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高中数学北师大版选修2-1 第三章 §3 3.2 双曲线的简单性质课件(32张)_图文

理解教材 新知 §3 知识点 第 三 章 考点一 把握热点 考向 考点二 考点三 应用创新演练 3.2 返回 返回 返回 如图是阿联酋阿布扎比国家展览中心 (ADNEC).阿布扎比是阿联酋的首都,这 个双曲线塔形建筑是中东最大的展览中心. 它的形状就像一条双曲线. 这是双曲线在建筑学上的应用,要想让双曲线更多更 好的为生活、工作所应用,我们必须研究双曲线的性质. 返回 问题1:双曲线的对称轴、对称中心是什么? 提示:坐标轴 原点. 问题2:双曲线的离心率越大,双曲线就越开阔吗? b 提示:是.离心率越大,a越大,双曲线就越开阔. 返回 双曲线的性质 x2 y2 a2-b2=1(a>0,b>0) y2 x2 a2-b2=1(a>0,b>0) 标准方程 图像 返回 标准方程 焦点 -=1(a>0,b>0) F1(-c,0),F2(c,0) -=1(a>0,b>0) F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 范围 性 质 顶点 对称性 轴长 *渐近线 |F1F2|=2c x≥a或x≤-a,y∈R (-a,0),(a,0) y≥a或y≤-a,x∈R (0,-a),(0,a) 对称轴: x轴、y轴 、对称中心:坐标原点 实轴长= 2a ,虚轴长= 2b x y b x y a a± b=0或y=± ax b± a=0或y=± bx e=(e>1) 返回 离心率 1椭圆有四个顶点,而双曲线有两个顶点. x2 y2 2.双曲线有两条渐近线,双曲线 a2 - b2 =1的渐近线方 x2 y2 程为a2-b2=0(a>0,b>0). 3.双曲线的中心、虚轴的一个端点和实轴的一个端点 构成一个直角三角形,这个直角三角形的三边满足关系式c2 =a2+b2. 返回 返回 [例1] 求双曲线4x2-y2=4的顶点坐标、焦点坐标、 实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程. [思路点拨] 研究其性质. 先将双曲线的形式化为标准方程,再 返回 [精解详析] y2 - 4 = 1, 将双曲线方程4x2-y2=4化为标准方程x2 ∴a=1,b=2,∴c= 5. 因此顶点为A1(-1,0),A2(1,0);焦点为F1(- 5 ,0), F2( 5,0); 实半轴长是a=1,虚半轴长是b=2; c 5 离心率e=a= 1 = 5; b 渐近线方程为y=± 2x. ax=± 返回 [一点通] 由双曲线的标准方程,求双曲线的有关 x2 y2 性质的步骤是:先将双曲线方程化为标准形式 a2 - b2 = ? y2 x2 ? 1?或a2-b2=1?,再确定a,b的值(注意它们的分母分别为 ? ? a2,b2,而不是a,b),进而求出c,再对照双曲线的几何 性质得到相应的答案. 返回 x2 y2 1.已知双曲线 - 2=1(b>0)的实轴的一个端点为 A1,虚轴的 16 b 一个端点为 B1,且|A1B1|=5,则双曲线的方程是 x2 y2 A. - =1 16 25 x2 y2 B. - =-1 16 25 ( ) x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =-1 16 9 16 9 解析:由双曲线方程知A1(4,0),B1(0,b),由|A1B1| =5得42+b2=25,∴b=3. x2 y2 故双曲线方程为:16- 9 =1. 答案:C 返回 2.求双曲线16x2-9y2=-144的实半轴长、虚半轴长、 焦点坐标、离心率和渐近线方程. y2 x2 解:把方程化为16- 9 =1, ∴a=4,b=3,c=5. ∴实半轴长a=4,虚半轴长b=3, c 5 焦点坐标(0,-5),(0,5);离心率e=a=4, 4 渐近线方程为y=± 3x. 返回 [例 2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程. 5 (1)实轴长为 16,离心率为 ; 4 (2)双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0). [思路点拨] 由双曲线的几何性质,列出关于a、b、c 的方程,求出a、b、c的值. 返回 [精解详析] x2 y 2 y2 (1)设双曲线的标准方程为 a2-b2=1 或a2 x2 -b2=1(a>0,b>0). c 5 2 由题意知 2a=16,a=4,c =a2+b2,解得 c=10,a= x2 y2 y 2 x2 8,b=6,所以双曲线的标准方程为64-36=1 或64-36=1. 返回 x2 y2 (2)设双曲线方程为:a2-b2=1(a>0,b>0). 由已知得 a= 3,c=2, ∴b2=c2-a2=1. x2 2 ∴双曲线的标准方程为: 3 -y =1. 返回 [一点通] 根据双曲线的性质求双曲线的标准方 程时,一般采用待定系数法,首先要根据题目中给 出的条件,确定焦点所在的位置,然后设出标准方 程的形式,找出a、b、c的关系,列出方程求值,从 而得到双曲线的标准方程. 返回 3.如果双曲线的两个焦点分别为 F1(-3,0),F2(3,0),离心率 e = 3,则该双曲线的方程为________. x2 y2 解析:设双曲线方程为:a2-b2=1(a>0,b>0). c ∵a= 3,c=3, ∴a= 3,b2=6, x2 y 2 双曲线方程为: 3 - 6 =1. x2 y2 答案: 3 - 6 =1 返回 4.(1)已知双曲线的焦点在 y 轴,实轴长与虚轴长之比为 2∶3, 且经过 P( 6,2),求双曲线方程; 5 (2)已知焦点在 x 轴上,离心率为3,且经过点 M(-3,2 3) 的双曲线方程. y2 x2 解:(1)设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b ?a 2 ?b=3, 依题意可得? ? 42- 62=1, ?a b 4 ? 2 ?a = . 3 ?? 2 ? ?b =3. 3 2 1 2 故所求双曲线方程为 y - x =1. 4

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