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北京市西城区2016届高三数学下学期第一次模拟考试试题 文


北京市西城区 2016 年高三一模试 卷 数 学(文科)

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项.
2 1. 设集合 A ? {x | x ≤4 x} ,集合 B ? {?1, 2, ?3, 4} ,则 A ? B ? (



(A) {?1, 2}

(B) {2, 4}

(C) {?3, ?1}

(D) {?1, 2, ?3, 4} )
x ( C ) ?x ? 0, sin x ? 2 ?1

x 2. 设命题 p: ?x ? 0, sin x ? 2 ?1 ,则 ? p 为(

x ( A ) ?x ? 0, sin x≤2 ?1

x ( B ) ?x ? 0, sin x ? 2 ?1

(D)

?x ? 0, sin x≤2x ?1
3. 如果 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( (A) y ? x ? f ( x) (B) y ? xf ( x) (C) y ? x2 ? f ( x) (D) y ? x2 f ( x) ) 甲队 8 2 8 9 0 1 m 乙队

4.下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在 3 次不同比赛中的得分情况,其中有一个 3 数字模糊不清, 在图中以 m 表示. 若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分,那么 m 的可能取值集合为( (A) {2} (B) {1, 2} ) (C) {0,1, 2} (D) {2,3}

??? ? ??? ? 5. 在平面直角坐标系 xOy 中,向量 OA =( ? 1, 2), OB =(2, m) , 若 O, A, B 三点能构成三角形,则



) (B) m ? ?4 (C) m ? 1 (D) m ? R ) 开始 输入 A, S

(A) m ? ?4

6. 执行如图所示的程序框图,若输入的 A, S 分别为 0, 1,则输出的 S ? ( (A)4 (B)16 (C)27 (D)36

k ?1
“函数 f ( x) 在 (2,8) 上存在零点”

7. 设函数 f ( x) ? log 1 x ? x ? a ,则“ a ? (1,3) ”是
2

A ? A? k
S ?S?A
k ?k?2

的(

) (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

k≥4
是 输出 S 结束
1



8. 在某校冬季长跑活动中,学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不 得超过 200 元. 已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为 20 元、10 元,一等奖人数与二

等奖人数的比值不得高于

1 ,且获得一等奖的人数不能少于 2 人,那么下列说法中错误 的是( .. 3



(A)最多可以购买 4 份一等奖奖品 (B)最多可以购买 16 份二等奖奖品 (C)购买奖品至少要花费 100 元 (D)共有 20 种不同的购买奖品方案 第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 在复平面内,复数 z1 与 z2 对应的点关于虚轴对称,且 z1 ? ?1 ? i ,则 z1 z2 ? ____. 10.在△ABC 中, b ? 7 , a ? 3 , tan C ?

3 ,则 c ? _____. 2 11 . 若 圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 与 双 曲 线 C :

1 正(主)视图

1 侧(左)视图

房间 A 35 m
2

房间 B 20 m
2

房间 C 28 m
2

x2 则 a ? _____; ? y 2 ? 1(a ? 0) 的渐近线相切, a2
双曲线 C 的渐近线方程是____. 12.一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截去 俯视图

一部分后,所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为____. 13. 有三个房间需要粉刷, 粉刷方案要求: 每个房间只用一种颜色的涂料, 且三个房间的颜色各不相同. 三 个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表:

涂料 1 16 元/ m
2

涂料 2 18 元/ m
2

涂料 3 20 元/ m
2

那么在所有不同的粉刷方案中,最低的涂料总费用是 _______元.

?4 x≥4, ? ? 1, 14 . 设函数 f ( x) ? ? x ? ?log 2 x, 0 ? x ? 4,
系是______.

则 f (8) ? ____;若 f (a) ? f (b) ? c , f ?(b) ? 0 ,则 a, b, c 的大小关

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分)

π 2 设函数 f ( x) ? sin x cos x ? sin ( x ? ) . 4
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;

π π (Ⅱ)求函数 f ( x ? ) 在 [0, ] 上的最大值与最小值. 6 2

16.(本小题满分 13 分) 已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 , a2 ? a6 ? 10 , a2a6 ? 21 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
a (Ⅱ)设 bn ? 2 n ,记数列 {bn } 前 n 项的乘积 为 Tn ,求 Tn 的最大值. ..

17.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, BB1 ? 底面 ABCD , AD //BC , ?BAD ? 90? , AC ? BD . (Ⅰ)求证: B1C // 平面 ADD1 A1 ; (Ⅱ)求证: AC ? B1D ; (Ⅲ)若 AD ? 2 AA1 ,判断直线 B1D 与平面 ACD1 是否垂直?并说 明理由. B B1 A C A1 C1 D D1

18.(本小题满分 13 分) 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取 40 名学生的测试成绩,整理数 据并按分数段 [40,50) , [50, 60) , [60, 70) , [70,80) , [80,90) , [90,100] 进行分组,假设同一组中的每个数 据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图(如下).

各 分 数 段 人 数

14 12 10 8 6 4 2 O
? ? ?

? ?

3
? ?

45

55

65

75

85

?

95

体育成绩

(Ⅰ)体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有 1000 名学生, 试估计高一年级中“体育良好”的学生人数; (Ⅱ)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在 [60, 70) 和 [80,90) 的样本学生中随机抽取 2 人,求在抽取的 2 名学生中,至少有 1 人体育成绩在 [60, 70) 的 概率; (Ⅲ)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为 a,b,c ,且分别在 [70,80) ,[80,90) , [90,100] 三组中, 其中 a,b,c ? N .当数据 a,b,c 的方差 s 2 最大时,写出 a,b,c 的值.(结论不要求证明)

1 2 2 2 2 (注: s ? [( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ] ,其中 x 为数据 x1, x 2 , ?, x n 的平均数) n

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0) 的长轴长为 2 6 , O 为坐标原点. 3m m

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程和离心率;
3 ,0 ) (Ⅱ) 设动直线 l 与 y 轴相交于点 B , 点 A(

关于直线 l 的对称点 P 在椭圆 C 上, 求 | OB | 的最小值.

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ? ax 2 ? 1,且 f ?(1) ? ?1 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若对于任意 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? mx≤ ? 1 ,求 m 的最小值; (Ⅲ)证明:函数 y ? f ( x) ? xe x ? x2 的图象在直线 y ? ?2 x ? 1 的下方.

4

北京市西城区 2016 年高三一模试卷参考答案及评分标准 高三数学(文科) 2016.4 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.B 5.B 2.A 6.D 3.B 7.A 4. C 8.D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?2 11. 10. 2

3

y??

3 x 3

12.

23 3 3 2
b≥ a ? c

13.1464 注:第 11,14 题第一问 2 分,第二问 3 分.

14.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15.(本小题满分 13 分)
π 2 (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? sin x cos x ? sin ( x ? ) 4

1 ? sin 2 x ? 2
?

π 1 ? cos(2 x ? ) 2 2

?????? 4 分

1 1 1 π sin 2 x ? ? cos(2 x ? ) 2 2 2 2

1 1 1 ? sin 2 x ? ? sin 2 x 2 2 2 1 ? sin 2 x ? . 2

?????? 6 分 ?????? 7 分 ?????? 8 分

所以函数 f ( x) 的最小正周期为 π .
π π 1 (Ⅱ)解:由(Ⅰ),得 f ( x ? ) ? sin(2 x ? ) ? . 6 3 2

因为 0≤x≤ π , 2
π π 2π 所以 ? ≤2x ? ≤ , 3 3 3

所以 ? 所以 ?

3 π ≤sin(2 x ? )≤1 . 2 3
3 1 π 1 1 ? ≤sin(2 x ? ) ? ≤ . 2 2 3 2 2

?????? 11 分

5

且当 x ?

5π π 1 时, f ( x ? ) 取到最大值 ; 12 6 2

π 3 1 当 x ? 0 时, f ( x ? ) 取到最小值 ? ? . 6 2 2

?????? 13 分

16.(本小题满分 13 分)

?(a1 ? d ) ? (a1 ? 5d ) ? 10, (Ⅰ)(Ⅰ)解:由题意,得 ? ?(a1 ? d )(a1 ? 5d ) ? 21,
? a1 ? 8, ? a1 ? 2, 解得 ? 或? (舍). ? d ? ?1, ?d ? 1

?????? 3 分

?????? 5 分 ?????? 7 分

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 9 ? n .
9? n (Ⅱ)解:由(Ⅰ),得 bn ? 2 . a a a a ? a ??? an 所以 Tn ? 2 1 ? 2 2 ??? 2 n ? 2 1 2 .

所以只需求出 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an 的最大值. 由(Ⅰ),得 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? na1 ?
1 17 2 289 因为 Sn ? ? (n ? ) ? , 2 2 8
n(n ? 1) n 2 17 ? (?1) ? ? ? n . 2 2 2

?????? 9 分

?????? 11 分

所以当 n ? 8 ,或 n ? 9 时, Sn 取到最大值 S8 ? S9 ? 36 .
36 所以 Tn 的最大值为 T8 ? T9 ? 2 .

?????? 13 分

17.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 AD //BC , BC ? 平面 ADD1 A1 , AD ? 平面 ADD1 A1 , 所以 BC // 平面 ADD1 A1 . ???? 2 分

因为 CC1 //DD1 , CC1 ? 平面 ADD1 A1 , DD1 ? 平面 ADD1 A1 , 所以 CC1 // 平面 ADD1 A1 . 又因为 BC ? CC1 ? C , 所以平面 BCC1 B1 // 平面 ADD1 A1 . ???? 3 分 又因为 B1C ? 平面 BCC1 B1 , 所以 B1C // 平面 ADD1 A1 . B B1 A C ?????? 4 分 A1 C1 D D1

6

(Ⅱ)证明:因为 BB1 ? 底面 ABCD , 所以 BB1 ? AC . 又因为 AC ? BD , BB1 ? BD ? B , 所以 AC ? 平 面 BB1 D . 又因为 B1D ? 底面 BB1 D , 所以 AC ? B1D .

AC ? 底面 ABCD ,
?????? 5 分

?????? 7 分

?????? 9 分 ?????? 10 分

(Ⅲ)结论:直线 B1D 与平面 ACD1 不垂直. 证明:假设 B1D ? 平面 ACD1 , 由 AD1 ? 平面 ACD1 ,得 B1D ? AD1 .
? 由棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, BB 1 ? 底面 ABCD , ?BAD ? 90

?????? 11 分

可得 A1B1 ? AA1 , A1B1 ? A1D1 , 又因为 AA1 ? A1D1 ? A1 , 所以 A1B1 ? 平 面 AA1D1D , 所以 A1B1 ? AD1 . 又因为 A 1B 1?B 1D ? B 1, 所以 AD1 ? 平面 A1B1D , 所以 AD1 ? A1D . 这与四边形 AA1D1D 为矩形,且 AD=2AA1 矛盾, 故直线 B1D 与平面 ACD1 不垂直. ?????? 14 分 ?????? 13 分 ?????? 12 分

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由折线图,知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 30 人,??????2 分 所以该校高一年级学生中, “体育良好”的学生人数大约有1000 ? (Ⅱ)解:设 “至少有 1 人体育成绩在 [60,70) ”为事件 M ,
30 ? 750 人. ??4 分 40

??????5 分
7

记体育成绩在 [60,70) 的数据为 A1 , A2 , 体育成绩在 [80,90) 的数据为 B1 , B2 , B3 , 则从这两组数据中随机抽取 2 个,所有可能的结果有 10 种, 它们是: ( A1 , A2 ) , ( A1, B1 ) ,

( A1, B2 ) , ( A1, B3 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A2 , B3 ) , ( B1, B2 ) , ( B1, B3 ) , ( B2 , B3 ) .
而事件 M 的结果有 7 种,它们是: ( A1 , A2 ) , ( A1, B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A1 , B3 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) ,

( A2 , B3 ) ,
因此事件 M 的概率 P( M ) ?
7 . 10

??????7 分 ??????9 分 ??????13 分

(Ⅲ)解: a,b,c 的值分别是为 70 , 80 , 100 .

19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:因为椭圆 C:
x2 y2 ? ?1 3m m



所以 故

a 2 ? 3m



b2 ? m


m?2

??????1 分 , ??????3 分

2a ? 2 3m ? 2 6

,解得

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 6 2

因为 c ? a2 ? b2 ? 2 , 所以离心率 e ?
c 6 ? . a 3

??????5 分

(Ⅱ)解:由题意,直线 l 的斜率存在,设点 P( x0 , y0 )( y0 ? 0) , 则线段 AP 的中点 D 的坐标为 ( 且直线 AP 的斜率 k AP ?

x0 ? 3 y0 , ), 2 2
??????7 分

y0 , x0 ? 3

由点 A(3,0) 关于直线 l 的对称点为 P ,得直线 l ? AP , 故直线 l 的斜率为 ?

3 ? x0 1 ? ,且过点 D , k AP y0 y0 3 ? x0 x ?3 ? (x ? 0 ), 2 y0 2
??????9 分

所以直线 l 的方程为: y ?

8

令 x ? 0 ,得 y ?

2 2 2 x0 ? y0 ?9 x 2 ? y0 ?9 ,则 B(0, 0 ), 2 y0 2 y0



2 x0 y2 2 2 ? 0 ? 1 ,得 x0 , ? 6 ? 3 y0 6 2

化简,得 B(0,

2 ?2 y0 ?3 ). 2 y0

??????11 分

所以 | OB |?|

2 ?2 y0 ?3 | 2 y0

?| y0 | ?

3 2 | y0 |
3 2 | y0 |

≥2 | y0 | ?
? 6.

??????13 分

当且仅当 | y0 |?

3 6 ? [? 2, 2] 时等号成立. ,即 y0 ? ? 2 | y0 | 2
?????? 14 分

所以 | OB | 的最小值为 6 .

20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:对 f ( x) 求导,得 所以

f ?( x) ? 1 ? ln x ? 2ax
,解得



???????1 分

f ?(1) ? 1 ? 2a ? ?1

a ? ?1

, ???????3 分

所以 f ( x) ? x ln x ? x2 ?1 . (Ⅱ)解:由 f ( x) ? mx≤ ? 1 ,得 x ln x ? x2 ? mx≤0 , 因为 x ? (0, ??) , 所以对于任意 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x≤m . 设 g ( x) ? ln x ? x ,则 g ?( x ) ? 令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 当 x 变化时, g ( x) 与 g ?( x ) 的变化情况如下表:

???????4 分

1 ?1. x
???????5 分

x

(0,1)

1

(1, ??)

9

g ?( x )
g ( x)

?
Z

0
极大值

?
]
???????7 分

所以当 x ? 1 时, g ( x)max ? g (1) ? ?1 . 因为对于任意 x ? (0, ??) ,都有 g ( x)≤m 成立, 所以 m≥ ? 1 . 所以 m 的最小值为 ?1.

???????8 分

( Ⅲ ) 证 明 : “ 函 数 y ? f ( x) ? xe x ? x2 的 图 象 在 直 线 y ? ?2 x ? 1 的 下 方 ” 等 价 于 “ f ( x) ? xe x ? x2 ? 2 x ? 1 ? 0 ”, 即要证 x ln x ? xe x ? 2 x ? 0 , 所以只要证 ln x ? e x ? 2 . 由(Ⅱ),得 g ( x) ? ln x ? x≤ ? 1 ,即 ln x≤x ? 1 (当且仅当 x ? 1 时等号成立). 所以只要证明当 x ? (0, ??) 时, x ? 1 ? e x ? 2 即可. 设 h( x) ? (e x ? 2) ? ( x ?1) ? e x ? x ?1, 所以 h?( x) ? ex ?1 , 令 h?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 . 由 h?( x) ? 0 ,得 x ? 0 ,所以 h( x) 在 (0, ??) 上为增函数. 所以 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 x ? 1 ? e x ? 2 . 所以 ln x ? e x ? 2 . 故函数 y ? f ( x) ? xe x ? x 2 的图象在直线 y ? ?2 x ? 1 的下方. ???????13 分 ???????10 分

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