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高三数学6月适应性考试试题理新人教A版


江西省宜丰中学 高三适应性考试数学(理)试题
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的.

z ? 1 ? i (i为虚数单位) , z2 ?
1.已知 A. ? 1 ? i B. ? 1 ? i

2 ? z (

) C. 1 ? i
x

D. 1 ? i

} , 则 CR(A ∩ B) 为 2 . 设 全 集 R , 若 集 合 A ? {x || x ? 2 |? 3}, B ? {x | 2 ? 1 |? 1
( )

{x | x ? 1或x ? 5} A.

{x | x ? ?1或x ? 5} B.

{x | 1 ? x ? 5} C.

{x | ?1 ? x ? 5} D.
)

3.各项都是正数的等比数列 A.

{an } 中, a1 ? 2, a6 ? a1a2 a3 ,则公比 q ? (
C.

2

B. 2

3

D. 3

?2 x , x ? 0 1 f ( x) ? ? f (a) ? 2 ,则实数 a 的值是( ?log2 x, x ? 0 ,若 4.函数
A. ? 2 B.

)

2
2

C. ? 1 或 2 )

1

D. ? 1 或 2
2

5.以下命题错误的是(

A.命题“ ?x ? R, x ? x ? 2 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 2 ? 0 ” B.已知随机变量 ? 服 从 正 态 分 布 N (1, ? ) , P (? ? 4) ? 0.79, 则 P (? ? ?2) ? 0.21
2

C. 函 数

f

? x? ?

1 ? ? l o 2g x ?1, 2? 内 D.函数 f ( x) ? sin 4 x ? cos 4 x x 的一个零点落在区间

的最小正周期是 ?? 6.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则 该几何体的体积是( ) A.7 B.
20 3

C.

17 3

D.

14 3

7.设 x,y 满足约束条件

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? ? x? y?2?0 ? x ? 0, y ? 0 ?

,若目标函数 z ? ax ? by ( a ? 0, b ? 0 )的最大值为

a 2 b2 ? 4 的最小值为( 12,则 9



1

1 A. 2

13 B. 25

C.1

D.2

(第 6 题)

2 8.双曲线 C 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,且 F2 恰为抛物线 y ? 4 x 的焦点,设双曲线 C 与该

抛物线的一个交点为 A ,若 ?AF1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形,则双曲线 C 的离心率为 A.

2

B. 1 ? 2

C. 1 ? 3

D. 2 ? 3

9. a1,a2,…,an 是 1,2,…,n 的一个排列,把排在 ai 的左边且比 ai 小的数的个数 称为 ai 的顺序数(i=1,2,…,n) .如在排列 6,4,5,3,2,1 中,5 的顺序数为 1,3 的顺序数为 0.则在由 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个数字构成的全排列 中,同时满足 8 的顺序数为 2,7 的顺序数为 3,5 的顺序数为 3 的不同排 列的种数为( ) A. 48 B.96 C. 144 D. 192 10. 如右图 ,三棱锥 P ? ABC 的底面 是正三角形 ,各条侧棱 均相等 ,

?APB ? 60? . 设点 D 、 E 分别在线段 PB 、 PC . 上,且 DE //BC ,记

PD ? x , ?ADE 周长为 y ,则 y ? f ? x ? 的图象可能是(
题)
y

) ( 第 10

y

y

y

O

x O

x

O

x

O

x

A. B. C. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.

D.

ur r ur ? ? ur ? ? u e1 ? (cos ,sin ), e2 ? (2sin , 4 cos ), e1 ? e2 ? 4 6 4 3 11.已知

.

12.程序框图如下:如果下述程序运行的结果为 S=1320,那么判断框中横线上应填入的数 字是 . k ? k ?1 k ? ? 否 S ? S ?k k ? 12, S ? 1 开始 = 是
输出S

结束

13.设函数 f ( x) ? ( x ? a) ,其中
n

n ? 6 ? 2 cos xdx
0

?

f ?(0) ? ?3 4 , f (0) ,则 f ( x) 的展开式中 x

的系数为 14.对于函数 f(x) ,若存在区间 M=[a,b],使得 { y | y ? f ( x), x ? M } ? M , 则称区间 M 为函数 f ( x ) 的—个“好区间” .给出下列 4 个函数:
2

3 f ( x) ? 2 x ? 1 f ( x ) ? sin x ① ;② ;③ f ( x) ? x ? 3x :④ f ( x) ? 1 ? lg x

其中存在“好区间”的函数是 . (填入相应函数的序号) 15.考生注意:请在下列两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分

? x ? cos ? , ? y ? 1 ? sin ? ( ? 为参数)与曲线 ? 2 ? 2? cos? ? 0 的交 (1) (极坐标与参数方程)曲线 ?
点个数为 个.

f ? x ? ? x ? 2a ? x ? a (2)(不等式选讲 )已知实数 a?0 且函数 的值域为
{ y ?3a 2 ? y ? 3a 2 }
,则 a =_______.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分) 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (2sin x,1) , n ? ( 3 cos x, 2cos x) ,函数 f ( x) ? m ? n ? t .
2

x ? [0, ] 2 上有解,求 t 的取值范围; (Ⅰ)若方程 f ( x) ? 0 在
( Ⅱ ) 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 是 A , B , C 所 对 的 边 , 当 ( Ⅰ ) 中 的 t 取 最 大 值 且

?

f ( A) ? ? 1,b ? c ? 2 时,求 a 的最小值.

17. (本小题满分 12 分) 为了解今年师大附中高三毕业班准备报考清华大学的学生的体重情 况,将所得的数据整 理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左 到右的前 3 个小组的频率之比为 1: 2 : 3 ,其中第 2 小组的频数为 12 . (Ⅰ)求该校报考清华大学的总人数; (Ⅱ)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考清华 大学的同学中任选三人,设 ? 表示体重超过 60 公斤的学生人数,求 ? 的 分布列及数学期望. .
0.037

频率/组距

0.013 50 55 60 65 70 75 体重

3

18. (本小题满分 12 分)

a1 ? 2a2 ? 2 ? ? a n 已知数列 满足
(1)求数列 (2)设

2

n a3 ? ? ? ? ? 2 n?1 an ? , n ? N ? 2

?an ? 的通项;

bn ? (2n ? 1)an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n

19. (本小题满分 12 分) 如 图 , 一 个 正 ?ABC ? 和 一 个 平 行 四 边 形 ABDE 在 同 一 个 平 面 内 , 其 中

DE 的中点分别为 F , G . 现沿直线 AB 将 ?ABC ? 翻折成 AB ? 8 , BD ? AD ? 43 , AB ,
?ABC ,使二面角 C ? AB ? D 为 120? ,设 CE 中点为 H .

(Ⅰ) (i)求证:平面 CDF // 平面 AGH ; (ii) 求异面直线 AB 与 CE 所 成角的正切值; ( Ⅱ ) 求二面角 C ? DE ? F 的 余弦值.
B
C?
C

A

E

H A

F
D

G

第19题
B

E

F
D

G

20. (本小题满分 13 分)

x2 y2 3 2 2 2 椭圆 E: a + b =1(a>b>0)离心率为 2 ,且过 P( 6 , 2 ) 。
(1)求椭圆 E 的方程;

1 (2)已知直线 l 过点 M(- 2 ,0) ,且与开口朝
上, 顶点在原点的抛物线 C 切于第二象限的一 点 N,直线 l 与椭圆 E 交于 A,B 两点,与 y

4

5 轴交与 D 点,若 AD = ? AN , BD = ? BN ,且 ? + ? = 2 ,求抛物线 C 的标准方程。
? ? ? ?

21. (本小题满分 14 分) 设函数

f ? x ? ? x2 ? ax ? ln x

.

f ? x? (1)若 a ? 1 ,试求函数 的单调区间;
(2)过坐标原点 O 作曲线 y ? f ( x) 的切线,证明:切点的横坐标为 1;

g ( x) ?
(3)令

f ( x) e x ,若函数 g ? x ? 在区间(0,1]上是减函数,求 a 的取值范围.

江西省宜丰中学 高三(下) 适应考试考试数学(理)试题参考答案 选择题: CABD DCAB CB 填空题:11. 2 12. 9 13. 60 14.②③④ 15.(1)2(2) 1 解答题:16.

17.解: (1)设报考清华大学的人数为 n ,前三小组的频率分别为

p1 , p2 , p3 ,则由条件可得:

? p 2 ? 2 p1 ? ? p3 ? 3 p 2 ? p ? p ? p ? (0.037 ? 0.013) ? 5 ? 1 p ? 0.125, p2 ? 0.25, p3 ? 0.375……4 分 2 3 ? 1 解得 1
p 2 ? 0.25 ? 12 n ,故 n ? 48

又因为

………6 分

(2) 由(1)可得,一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为[ 8分

p ? p3 ? (0.037 ? 0.013) ? 5 ?

5 8…

5 3 p ( x ? k ) ? C 3k ( ) k ( ) 3? k 8 8 所以 x 服从二项分布,

? 随机变量 x 的分布列为:
5

x
p
Ex ? 0 ?


0

1

2

3

27 512

135 512

225 512
或: (

125 512

27 135 225 125 15 ? 1? ? 2? ? 3? ? 512 512 512 512 8

Ex ? 3 ?

5 15 ? 8 8 )

……12 分

18.解: (1)∵

a1 ? 2a2 ? 2 2 a3 ? ? ? ? ? 2 n?1 an ? n ?1 2

n 2



∴当 n ? 2 时,

a1 ? 2a2 ? ? ? ? ? 2 n?2 an?1 ? 1 2 an ?



………2 分

由①-②得,

2 n?1 an ?

? an ?

1 (n ? 2) 2n ………………………4 分

又∵

a1 ?

1 2 也适合



1 (n ? N ? ) n 2

………………………………6 分

(2)由(1)知

bn ? (2n ? 1) ?

1 2n

1 1 1 1 S n ? 1? ? 3 ? 2 ? 5 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 2 2 2 ∴



1 1 1 1 1 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5 ? 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n?1 2 2 2 2 2
由 ③ ④

④…………………8 分 得 :

1 1 1 1 1 1 S n ? ? 2( 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ) ? (2n ? 1) ? n?1 2 2 2 2 2 2

1 1 (1 ? n?1 ) 1 1 2 ? ? 2? 4 ? (2n ? 1) ? n?1 1 2 2 1? 2

?

1 1 1 3 2n ? 3 2n ? 3 ? 1 ? n?1 ? (2n ? 1) ? n ?1 ? ? n ?1 S ? 3? 2 n …………………12 分 2 2 2 2 2 ?

G 分别为 AB 、 DE 中点,所以 FDGA 19. (i)证明:连 FD . 因为 ABDE 为平行四边形, F 、 G 分别为 CE 、 DE 的中点,所以 HG // CD . ------2 为平行四边形,所以 FD // AG .又 H 、


FD 、 CD ? 平面 AGH , AG 、 HG ? 平面 AGH ,所以 FD // 平面 AGH ,CD // 平面 AGH , CD ? 平面 CDF ,所以平面 CDF // 平面 AGH .---------------4 分 而 FD 、 AB ? DF , (ii) 因为 ABC 为正三角形, BD ? AD , F 为 AB 中点,所以 AB ? CF ,

6

从而 ?CFD 为二面角 C ? AB ? D 的平面角且 AB ? 平面 CFD ,而 AB ? 平面 ABDE ,所以 平面 CFD ? 平面 ABDE . 作 CO ? 平面 ABDE 于 O ,则 O 在直线 DF 上,又由二面角

C ? AB ? D 的 平 面 角 为 ?CFD ? 120? , 故 O 在 线 段 DF 的 延 长 线 上 . 由 CF ? 4 3 得

FO ? 2 3 , CO ? 6 .

FD 、 FZ 为 x 、 y、 z 轴建立空间直角坐标系,如 以 F 为原点,FA 、

图,则由上述及已知条件得各点坐标为

A? 0 ,, 4 0 ?
, 所



B ?0 , ? 4, 0?




D 3 3, 0, 0

?

?,


E 3 3 ,, 8 0

?

?



C ?2 3 , 0, 6

?

?

AB ? ? 0 , ? 8, 0?

CE ? 5 3 ,, 8 ?6

?

? .----------------2 分
cos AB , CE ?

?

?

AB ? CE AB ? CE

?

所以异面直线 AB 与 CE 所成角的余弦值为

64 ? 8 8?5 7 5 7



?5 7 ?
从而其正切值为

2

? 64

8

? 111 8 .------------------------------8 分

( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 的 (ii) 知

CD ? 5 3 , 0, ?6 , DE ? ? 0 ,, 8 0?

?

?

,设平面 CDE 的法向量为

? ?5 3x ? 6 z ? 0, ? 6, 0, 5 3 y, z? n1 ? ? x , ? 8 y ? 0. ,则由 n1 ? CD ,n1 ? DE 得 ? 令 z ? 5 3 ,得 n1 ? .-12

?

?

分 又平面 DEF 的一个法向量为

n2 ? ? 0 ,, 0 1?

,而二面角 C ? DE ? F 为锐二面角,所以二面角

C ? DE ? F 的余弦为
20
e?

cos n1 , n2 ?


n1 ? n2 5 37 ? 37 n1 ? n2

2

.-------------12 分 (
2



1



x y 3 b 1 代入椭圆方程得: 2 ? 2 ? 1, , ? 1-e 2 ? , ? a ? 2b, 化为x 2 ? 4 y 2 ? 4b 2 ? 0 4b b 2 a 2
2
6 ? 2 ? 4b 2 ? 0, ? b 2 ? 2,a 2 ? 8

点 P( 6 , 2 )在椭圆 E 上
? 椭圆E方程为

x2 y 2 ? ?1 , 8 2 ----------- 6 分
2

(2)设 抛物线C 的方程为 y ? ax(a ? 0), 直线与抛物线 C 切点为

( x0 , ax0 2 ) ,

y? ? 2ax,? 直线l的斜率为2ax0 , l的方程为y-ax0 2 ? 2ax0 ( x ? x0 )
1 1 2 , 0),? ? ax 0 ? 2ax 0 ( ? ? x 0 ), 2 2
2 N ( x 0 , ax 0 )在第二象限, ? x0 ? 0

直线l过( ?

7

解得

x0 ? ?1

,? N (?1, a ) ,

直线l的方程为: y ? ?2ax ? a

-----------

8分

2 2 2 2 代入椭圆方程并整理得: (1 ? 16a ) x ? 16a x ? 4a ? 8 ? 0

(1) -------- 9 分
) 的 两 个 根 ,

设A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )
则x1 x2 ?



x1、x2是







1

4a 2 ? 8 ?16a 2 , x ? x ? 1 2 1 ? 16a 2 1 ? 16a 2

由 AD ? ? AN , BD ?

? BN ,

??

x1 x ?? 2 1 ? x1 , 1 ? x 2 ------- 10 分

x1 x2 2 x1 x2 ? x1 ? x2 8a 2 ? 16 ??? ? + ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 x2 ? x1 ? x2 7 ? 4a 2
??? ? , ?
5 2

--------- 11 分 --------12 分

8a 2 ? 16 5 3 3 ? a?? , a ? 0,? a ? 2 7 ? 4a 2 ,解得 6 6
3 2 x , 其标准方程为x 2 ? 2 3 y 6
2

? 抛物线C的方程为y ?

---------- 13 分

21.解: (1)a ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? lnx( x ? 0)

? f '( x) ? 2 x ? 1 ?

1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? x x

? 1? ?1 ? ? 1? ?1 ? x ? ? 0, ? , f ' ? x ? ? 0, x ? ? , ?? ? , f ' ? x ? ? 0 0, ? ? ? , ?? ? f x ? ? 2 2 ? 2? ?2 ? ? ? ? ? 的减区间为 , 增区间


--5

(2)设切点为

M ?t, f ?t ??



f ' ? x ? ? 2 x ? ax ?

1 x

k ? 2t ? a ?
切线的斜率

1 t ,又切线过

k?
原 点 ------7 分

f ?t ? t

f ?t ? 1 ? 2t ? a ? ,即:t 2 ? at ? t t

2 2 l t ?n t ? at 2? ? t ? 1 ?

t?

1

l n

0

2 t ? 1 满足方程 t 2 ? 1 ? ln t ? 0 ,由 y ? 1 ? x , y ? ln x 图像可知 x 2 ? 1 ? ln x ? 0

有唯一解 x ? 1 ,切点的横坐标为 1;

-----8 分

(3)

g '? x? ?

f '? x? ? f ? x? g ? x? ex ,若函数 在区间(0,1]上是减函数,
x2 ? 2 x ?
,所以

则 分

?x ? (0,1], g ' ? x ? ? 0,即: f ' ? x ? ? f ? x ?

1 ? ln x ? a ? x ? 1? ? 0 x ( * ) --10

8

?1 ? x ? ? 2 x ? 2 x ? 1? 1 1 1 设h ? x ? ? x ? 2 x ? ? ln x ? a ? x ? 1? h ' ? x ? ? 2 x ? 2 ? 2 ? ? a ? ? ?2? a x x x x2
2

2

若 a ? 2 ,则 分

h ' ? x? ? 0, h ? x ?



? 0,1? 递减, h ? x? ? h ?1? ? 0 即不等式 f '? x? ? f ? x? , ?x ?(0,1], 恒成立---11
1 1 2 1 ? ? 2 ?? ' ? x ? ? 2 ? 3 ? 2 ? 0 ? x 2 ? ? 在 ? 0,1? 上 递 x x x x

若 a?2 , 增,

? ? x ? ? 2x ?

? ? x ? ? ? ?1? ? ?2

?x0 ? ? 0,1? , 使得? ? x0 ? ? ?a
,即

x ? ? x0 ,1? ,? ? x ? ? ?a

h ' ? x ? ? 0 h ? x ? 在? x0 ,1?
,

上递增,

h ? x ? ? h ?1? ? 0

这与

2 ?x ? ? 0,1? x ? 2 x ? x ? ln x ? a ? x ? 1? ? 0

1

,

矛盾综上所述, a ? 2

-----14 分

解法二:

g '? x? ?

f '? x? ? f ? x? g ? x? ex ,若函数 在区间(0,1]上是减函数,

则 分

?x ? (0,1], g ' ? x ? ? 0,即: f ' ? x ? ? f ? x ?

x2 ? 2 x ?
,所以

1 ? ln x ? a ? x ? 1? ? 0 x -----10

显然 x ? 1 ,不等式成立

1 x 2 ? 2 x ? ? ln x x x ? ? 0,1? a ? 1? x 当 时, 恒成立------11 分



1 1 1 x 2 ? 2 x ? ? ln x ? x 2 ? 2 x ? 1 ? 2 ? ? ln x x x x h ? x? ? , h '? x? ? 2 1? x ?1 ? x ?



? ? x ? ? ? x2 ? 2 x ? 1 ?


?1 ? x ?? 2 ? x ? ? 0 1 1 ? ? ln x, ? ' ? x ? ? 2 ?1 ? x ? ? 2 x x x3
所以

? ? x?
h ? x?

? 0,1? 上递增, ? ? x ? ? ? ?1? ? 0 ? 0,1? 上递减, h ? x ? ? h ?1? ? lim
x ?1

h ' ? x? ? 0

--------12 分

x2 ? 2 x ?



1 ? ln x 1 1 ? ? x ? lim ? ?2 x ? 2 ? ? 2 ? ? 2 x ? 1 1? x x x ? ?

所以 a ? 2

--------------------14 分

9


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