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天津市天津一中2013-2014学年高一上学期期中考试 数学试题


天津市天津一中 2013-2014 学年高一上学期期中考试 数学试题
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 已 知 集 合 M ? { y | y ? x ? 1, x ? R},
2

集 合 N ? { x | y?

3 ? 2 x }则 , M ?N ?



) A. {(? 2,1), ( 2,1)} B. [0, 3] C. [ ?1, 3] D. ? )

2.已知 A,B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3},A∩(?UB)={9},则 A=( A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9}

3 (

. )





{1} ? X

{1,2,3,4,5}







X



A.15 个 4.函数 y ? ( ) A. [?4, 1] 5. 已 知

B.16 个

C.18 个

D.31 个

? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 x

B. [?4, 0) 函 数

C. (0, 1]

D. [?4, 0) ? (0, 1] 的 值 为

? x ? 1( x ? 1) ? ? 5 ?? f ( x) ? ? 则f ? f ? ?? ? x ? 3 ( x ? 1 ) ? ? 2 ?? ?



) A. ?

1 2
2

B.

3 2

C.

5 2

D.

9 2
( )

6.已知函数 y ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在 (??,4] 上是减函数, 则 a 的取值范围是 A. [?3,??) B. (??,?3] 7. 设 函 数 C. (??,5] D. [3,??)

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 f ( x) ? ? 则 不 等 式 ? x ? 6, x ? 0

f ( x) ? f (1) 的 解 集 是



) A. (?3,1) ? (3,??) C. (?1,1) ? (3,??) B. (?3,1) ? (2,??) D. (??,?3) ? (1,3)

8. (

函 ) A. (??,1]



y ? x2 ? 2x ? 3















B. [1, ??)

C. [3, ??)

D. (??, ?1]

, ? )x1 ( ? x2 , )有 9. 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) 满 足 : 对 任 意 的 x1 , x2? [ 0 ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0. x2 ? x1
则 ( ) B. f (1) ? f (?2) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f (?2)

A. f (3) ? f (?2) ? f (1) C. f (?2) ? f (1) ? f (3)

10.已知集合 A ? {x x ? a},B ? {x 1 ? x ? 2} ,且 A ? (C R B) ? R ,则实数 a 的取值范围 是( ) B. a ? 1 C. a ? 2 D. a ? 2

A. a ? 1

二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 11.关于 x 的二次方程 (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 的两个实数根互为倒数,则 m = _____.
2 2

12.函数 y ? 1 ? 2 x ? x 的值域为 13.若 f ( x) ?

. .

1 ? a 是奇函数,则 a ? 2 ?1
x

14. 设 函 数 f ( x) 为 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ( x ) ? 2x ?1 , 则 当 x ? 0 时 , f ( x) 的 解 析 式 为 .

15. 已知 f ( x) 为二次函数,且满足 f (0) ? 1 , f ( x ? 1) ? f ( x) ? 4 x ,则 f ( x) 的解析式 为 .
2

16.若直线 y ? 1与曲线 y ? x ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是

.

三、解答题: (共 4 题,46 分) 17.已知全集 U= {x | x ? ?4} ,集合 A ? {x | x ? 1 ? 2} ,B= {x | (?UA)∪B,A∩(?UB).

x ? 0} ,求 A∩B, 5? x

18.已知 0 ? x ? 2, y ? 4

x?

1 2

? 3 ? 2 x?2 ? 7 的最大值为M,最小值为m,求M-m的值.

19.已知函数 f ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? 3
2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 [ ? (2)若函数 f ( x) 在 [ ?

3 , 2] 上的最值; 2

3 , 2] 上的最大值为 1,求实数 a 的值. 2

20. 已知函数 f ( x) 的定义域为 ? ??, 0 ? ? ? 0, ?? ? ,且满足条件① f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ;② (2)讨论函数的单调性; (3) f (2) ?1 ;③当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 .(1)求证 f ( x) 为偶函数; 求不等式 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 的解集.

参考答案: 一、选择题 1-10 CDADBBADAC

11. ? 2 12. (-∞,1] 13.

1 2

14.f(x)=-2-x+1 15.f(x)=-2x2-2x+1 16. 1 ? a ? 17. 解:A=[-1,3] A∩B=[0,3] CuA=[-4,-1) ∪(3,+ ∞) (CuA) ∪B=[-4,-1) ∪[0,+ ∞) B=[0,5)

5 4

A∩(CuB)=[-1,0)

18. 解 y ? 2(2 ) ? 3 ? 4 ? 2 ? 7
x 2 x

设t ? 2 x ? [1,4] ? y ? 2t 2 ? 12t ? 7 ? 2(t ? 3) 2 ? 11 当t ? 3时 m ? y min ? ?11 当t ? 1时 M ? y max ? ?3 M ?m ?8

19.解(1)当 a=1 时

1 13 f ( x) ? x 2 ? x ? 3 ? ( x ? ) 2 ? 2 4
1 1 13 当x ? ? 时 f ( x) min ? f (? ) ? ? 2 2 4 当x ? 2时 f ( x) max ? f (2) ? 3
(2)对称轴 x ? ?

2a ? 1 2

10

当?

2a ? 1 1 1 ? , 即a ? 时 2 4 4 ?a ? 1 2

f ( x) max ? f (2) ? 4a ? 1 ? 1 20 当 ? f ( x) max

2a ? 1 1 1 ? , 即a ? 时 2 4 4 3 9 3 ? f (? ) ? ? (2a ? 1) ? ? 3 2 4 2 3 1 ? ? 3a ? 1 ? a ? ? 4 12 1 1 ?a ? or a ? ? 2 12
有 f(1)=f(1)+f(1) ∴f(-1)=0 ∴f(x)=f(-x)且定义域关于原式对称 法二:f(x2)=f(x)+f(x) ∴f(1)=0

20. (1)证明:令 x=y=1 令 x=y=-1 令 y=-1

有 f(1)=f(-1)+f(-1) 有 f(-x)=f(x)+f(-1)

∴f(x)是偶函数

=f(-x)+f(-x)

∴f(x)=f(-x) 法三:令 y=-1 f(-x)=f(x)+f(-1)

① x=-x f(x)=f(-x)+f(-1) ② ①-② ∴f(x)=f(-x) (2)任取 x1,x2∈(0,+ ∞)且 x1<x2,则 y=-1

x2 ?1 x1

f ( x2 ) ? f ( ?

x2 x ? x1 ) ? f ( 2 ) ? f ( x1 ) x1 x1 ?f( x2 )?0 x1

x2 ? 1, 又当x ? 1时, f ( x) ? 0 x1 x2 )?0 x1

? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f (

? f ( x)在(0,??)上单调递增 又f ( x)是偶函数 ? f ( x)在(??,0)单调递减
(3)

f ( 2 ? 2) ? f ( 2) ? f ( 2) ? 2 ? f ( x) ? f ( x ? 3) ? f ( 4) f [ x( x ? 3)] ? f (4)
∵f(x)是偶函数 ∴f(|x(x-3)|) ≤f(4)

?x ? 0 ?x ? 0 ? ? ? ?x ? 3 ? 0 ? ?x ? 3 ? ?1 ? x ? 4且x ? 0且x ? 3 ?| x( x ? 3) |? 4 ? 2 2 ? ? x ? 3x ? 4 ? 0或x ? 3x ? 4 ? 0

∴解集为[-1,0)∪(0,3)∪(3,4]


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