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第3章 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 (一)—— 平行与垂直关系的向量证法


§ 3.2 立体几何中的向量方法 (一) —— 平行与垂直关系的向量证法 知识点一 求平面的法向量 已知平面 α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面 α 的一 个法向量. 解 ∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0), ??? ? → AB =(1,-2,-4),AC=(1,-2,-4), 设平面 α 的法向量为 n=(x,y,z). ??? ? → 依题意,应有 n· AB = 0, n·?AC = 0.? ? ? ?x-2y-4z=0 ?x=2y 即? ,解得? .令 y=1,则 x=2. ?2x-4y-3z=0 ?z=0 ? ? ∴平面 α 的一个法向量为 n=(2,1,0). 【反思感悟】 用待定系数法求平面的法向量,关键是在平面内找两个不共 线向量,列出方程组,取其中一组解(非零向量)即可. ??? ? 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,DC 的中点,求证:? AE ?是平面 A1D1F 的法向量.? 证明 设正方体的棱长为 1,建立如图所示的空间直角坐标系,则? AE 是平面 A1D1F 的法向量. 证明 ??? ? 设正方体的棱长为 1,建立如图所示的空间直角坐标系,则 1? A(1,0,0),E? ?1,1,2?, ??? ? 1? AE =? ?0,1,2?. .D1=(0,0,1), 1 0, ,0?,A1(1,0,1). F? ? 2 ? 1 ???? ? 1 ? → D1F =? ?0,2,-1?,A1D1=(-1,0,0). ??? ? ???? ? 1 ? 1 1 1 0,1, ?· 0, ,-1?= - =0, ∵ AE · D1F =? 2? ? 2 ? ? 2 2 ??? ? → ??? ? → AE · A1D1=0,∴ AE ⊥A1D1.又 A1D1∩D1F=D1, ∴AE⊥平面 A1D1F,∴ AE 是平面 A1D1F 的法向量. 知识点二 利用向量方法证平行关系 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点,求证:B1C∥平面 ODC1. 证明 方法一 ∵? B1C =? A1D , ∴ B ? A1D ∴B1C∥A1D,又 A1D ? ? 面 ODC1, ∴B ? 1C∥面 ODC1.? 方法二 ∵? B1C =? B1C1 +? B1B ? =? B1O +? OC1 +? D1O +? OD =? OC1 +? OD .? ∴? B1C ,? OC1 ,? OD 共面.? 又 B1C ? ?面 ODC1,∴B1C∥面 ODC1.? 方法三 ??? ? ???? ? ???? ? ???? ? ????? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ? ???? 建系如图,设正方体的棱长为 1,则可得 B1(1,1,1),C(0,1,0), 1 1 ? O? ?2,2,1?,C1(0,1,1), ???? ? B1C =(-1,0,-1), ???? 1 1 ? OD =? ?-2,-2,-1?, ???? ? 1 1 ? OC1 =? ?-2,2,0?. 设平面 ODC1 的法向量为 n=(x0,y0,z0), 2 ???? ? ?n ? OD ? 0, 则? ???? ? ? ?n ? OC1 ? 0, ?-2x -2y -z =0 得? 1 1

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