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全国名校高中数学题库--圆锥曲线2


圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程:

7 x2 y 2 ? ? 1 有公共的焦点,并且双曲线的离心率 e1 与椭圆的离心率 e2 之比为 ,求双曲线 C1 的方程. 3 36 49 2 (2)以抛物线 y ? 8x 上的点 M 与定点 A(6, 0) 为端点的线段 MA 的中点为 P,求 P 点的轨迹方程.
1、 (1)已知双曲线 C1 与椭圆 C2 :

13 e1 7 13 y 2 x2 y 2 x2 ? (1)解: C1 的焦点坐标为 (0, ? 13). e2 ? 由 设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 则 ? a 2 ? b 2 13 解得 a 2 ? 9, b2 ? 4 双曲线的方程为 ? 得 e1 ? ? ?1 9 4 a b ? 7 3 e2 3 ? 2
? a 9

? a 2 ? b 2 ? 13

x0 ? 6 ? ?x ? 2 ? x0 ? 2 x ? 6 ? (2)解:设点 M ( x0 , y0 ), P( x, y) ,则 ? ,∴ ? . ? y0 ? 2 y ? y ? y0 ? ? 2 2 2 代入 y0 ? 8x0 得: y ? 4 x ? 12 .此即为点 P 的轨迹方程.
2、 (1) ?ABC 的底边 BC ? 16 , AC 和 AB 两边上中线长之和为 30,建立适当的坐标系求此三角形重心 G 的轨迹和顶点 A 的轨迹. (2)△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= 程.

3 sinA,求点 A 的轨迹方 5

解: (1)以 BC 所在的直线为 x 轴, BC 中点为原点建立直角坐标系.设 G 点坐标为 ?x,y ? ,由 GC ? GB ? 20,知 G 点的轨迹是以 B 、 C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因 a ? 10 , c ? 8 ,有

? ? x ?x ? 3 , ? 2 y? 2 x y x x2 y2 ? A 的轨迹方程为 b ? 6 ,故其方程为 ? ? 1? y ? 0? .设 A?x,y ? , G?x?,y?? ,则 ? ? 1? y? ? 0? . ①由题意有 ? ? ? 1? y ? 0? ,其轨迹是椭圆(除去 x 轴上两 代入①,得 y 100 36 100 36 900 324 ? y? ? ? 3 ?
2 2

点) . (2)分析:由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以 2R(R 为外接圆半径) ,可转化为边长的关系. 解:sinC-sinB=

3 sinA 5

2RsinC-2RsinB=

3 ?2RsinA 5

∴ AB ? AC ?

3 BC 5
(*)

即 AB ? AC ? 6

∴点 A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ∵2a=6,2c=10 ∴a=3, c=5, b=4

x2 y2 ? ? 1 (x>3) 所求轨迹方程为 9 16
点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)

3、如图,两束光线从点 M(-4,1)分别射向直线 y= -2 上两点 P(x1,y1)和 Q(x2,y2)后,反射光线恰好通过椭圆 C: 圆 C 的方程. 解:设 a=2k,c=k,k≠0,则 b= 由题设条件得:

6 1 x2 y2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的两焦点,已知椭圆的离心率为 ,且 x2-x1= ,求椭 2 2 5 a b

3 k,其椭圆的方程为

0?2 1 ? (?2) , ① ? ? k ? x1 ? 4 ? x1 0?2 1 ? (?2) , ② ? ? k ? x2 ? 4 ? x2 6 x2-x1= , ③ 5 11 x2 y2 由①、②、③解得:k=1,x1= ? ,x2=-1,所求椭圆 C 的方程为 ? ? 1. 5 4 3 1 4、在面积为 1 的 ?PMN 中, tan M ? , tan N ? ?2 ,建立适当的坐标系,求出以 M 、 N 为焦点且过 P 点的椭圆方程. 2 解:以 MN 的中点为原点, MN 所在直线为 x 轴建立直角坐标 系,设 P( x , y) . 5 ? ? y ? x ? c ? ?2, ? x ? 3c 5 2 ? , ) ∴ 则 ? y ∴ ? 即 P( 1 ? ? , 2 3 3 ? ? y ? 4 c且c ? 3 2 ?x ?c ? 3 2 ? ?cy ? 1.
∴ 所 求 椭 圆 方 程 为

x2 y2 ? 2 ?1 . 4k 2 3k

4x2 y 2 ? ?1 15 3

? ?

4 ? 25 ?12a 2 ? 3b 2 ? 1, ?a 2 ? 15 , ? ? 得? 4 ? ?a 2 ? b 2 ? 3 , ?b 2 ? 3. ? ? 4 ?

5、已知点 P 是圆 x2+y2=4 上一个动点,定点 Q 的坐标为(4,0) . (1)求线段 PQ 的中点的轨迹方程; (2)设∠POQ 的平分线交 PQ 于点 R(O 为原点) ,求点 R 的轨迹方程. 解: (1)设线段 PQ 的中点坐标为 M(x,y) ,由 Q(4,0)可得点 P(2x-4,2y) ,代入圆的方程 x2+y2=4 可得(2x-4)2+(2y)2=4,整理可得所求轨迹为(x-2)2+y2=1. (2)设点 R(x,y) ,P(m,n) ,由已知|OP|=2,|OQ|=4,∴

1 1 | OP | | PR | 1 | OP | 1 ? ,由角平分线性质可得 ? = ,又∵点 R 在线段 PQ 上,∴|PR|= |RQ|,∴点 R 分有向线段 PQ 的比为 ,由定 2 2 | OQ | 2 | OQ | | RQ | 2

1 ? m? ?4 ? 2m ? 4 2 3x ? 4 ? ? ?x ? 2 2 1 3 ?m ? 2 ? ? ? 3x ? 4 3 y ? ? 3x ? 4 ? ? 3 y ? 1? 比分点坐标公式可得 ? ,即 ? ,∴点 P 的坐标为 ? , ? ,代入圆的方程 x2+y2=4 可得 ? ?? ? ? 4 , ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? 2? ?n ? 3 y 1 ? n? ?0 ? 2 ? 2n ?y ? 2 ? ? 1 3 1? ? 2 ?

4 ? 2 16 4 ? 2 16 ? ? +y = (y≠0). ∴点 R 的轨迹方程为 ? x ? ? +y = (y≠0). 9 9 3? 3? ? uuv uuu u v 6、已知动圆过定点 ?1,0 ? ,且与直线 x ? ?1 相切.(1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程;(2) 是否存在直线 l ,使 l 过点(0,1) ,并与轨迹 C 交于 P, Q 两点,且满足 OP ? OQ ? 0 ?若存在,求出直线 l 的方
即? x ? 程;若不存在,说明理由. 解: (1)如图,设 M 为动圆圆心, F ?1,0 ? ,过点 M 作直线 x ? ?1 的垂线,垂足为 N ,由题意知: MF ? MN , 即动点 M 到定点 F 与定直线 x ? ?1 的距离相等,由抛物线的定义知,点 M 的轨 迹为抛物线,其中 F ?1,0 ? 为焦点, x ? ?1 为准线, ∴ 动点 R 的轨迹方程为 y 2 ? 4 x (2)由题可设直线 l 的方程为 x ? k ( y ? 1)(k ? 0) ,

? ?

2

2

? y ? 4x 2 △ ? 16k ? 16 ? 0 , k ? ?1或k ? 1 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? y2 ? 4k , y1 y2 ? 4k ??? ? ???? ??? ???? ? 由 OP ? OQ ? 0 ,即 OP ? ? x1 , y1 ? , OQ ? ? x2 , y2 ? ,于是 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,
2

由?

? x ? k ( y ? 1)

得 y 2 ? 4ky ? 4k ? 0

即k

2

? y1 ?1?? y2 ?1? ? y1 y2 ? 0 , (k 2 ?1) y1 y2 ? k 2 ( y1 ? y2 ) ? k 2 ? 0 ,

, 4k (k2 ? 1 ) k2? 4 ? k ? ,解得 k ? ?4 或 k ? 0 (舍去) ? k 2 0 又 k ? ?4 ? ?1 , ∴ 直线 l 存在,其方程为 x ? 4 y ? 4 ? 0

y2 x2 7、设双曲线 2 ? (II)若 A、B 分别为 l1 、l2 上的点,且 2 B 51 2,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程, ? 1 的两个焦点分别为 F 、 2 ,离心率为 2.(I)求此双曲线的渐近线 l1 、l2 的方程; F |A?| F | F| 1 3 a ? ? 并说明轨迹是什么曲线; (III)过点 N(1 0) 能否作出直线 l ,使 l 与双曲线交于 P、Q 两点,且 O ? Q 0 P O ? .若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. , 2 2 解: (I)? e ? 2 , ? c ? 4a
2 2 ?? a c ca, ? ?3 ? 2 ? 1 ,
2 x 3 ? 曲 程 2? ? ,渐近线方程为 y ? ? 双 方 y 线 为 1 x 3 3

4分

, (II)设 A,B, ( y (2 y,AB 的中点 Mx y x 1, 2 ) x ) 1

?

?

? 2| AB| ? 5| F1 F2 | 5 5 ?| AB| ? | F1 F2 | ? ? 2c ? 10 2 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 10 3 3 x1 ,y 2 ? ? x 2 , 2 x ? x1 ? x 2 , 2 y ? y1 ? y 2 3 3 3 3 ? y1 ? y 2 ? ( x1 ? x 2 ) ,y1 ? y 2 ? ( x1 ? x 2 ) 3 3 又y1 ? ?

?

3 ( y1 ? y 2 )

?

2

? 3 ? ? ? ( x1 ? x 2 ) ? ? 10 ? 3 ?

2

2 2 1 x 3 y ? )? 22 1, ? ? 3 2 (x ?0即 (y 2 ) 0 1 3 7 2 5 5

则 M 的轨迹是中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 10 3 ,短轴长为 (III)假设存在满足条件的直线 l

10 3 的椭圆.(9 分) 3

设 l k l曲、 :双yx y 1 线Q ? 与, (,(1 ( 2 x ? ) 交 2) 于, P x ) y 1

? ? ? P? Q?0 O O ? 1x ?y y ?0 x 2 1 2 ? 1x ?k2(x ?1 x ?1 ?0 x 2 )( 2 ) 1 ? 1x ?k2?x x ?(x ?x )?1 ?0 x 2 ? 1 2 1 2
∴k 不存在,即不存在满足条件的直线 l . 8、设 M 是椭圆 C :

y 1 ? ?k(x? ) ? 由 2 x2 得 k? )x2 ?6 2x?3 2 ?3?0 (3 1 k k ? y ? ?1 2 ? 由(i) (ii)得 k ? ? 3 0 3 ? 2 2 6 k 3 ?3 k x xx () ii 1 2 1 (i) 则 ?x ?3 2 ? , 2 ? 3 2 ? k 1 k 1

x2 y 2 ? ? 1 上的一点,P、Q、T 分别为 M 关于 y 轴、原点、x 轴的对称点,N 为椭圆 C 上异于 M 的另一点,且 MN⊥ MQ,QN 与 PT 的交点为 E,当 M 沿椭圆 C 运动时,求动点 E 12 4

的轨迹方程. 解:设点的坐标 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )( x1 y1 ? 0), E( x, y), 则 P(? x1 , y1 ), Q(? x1 , ? y1 ), T ( x1 , ? y1 ), ??1 分

? x12 ?12 ? ? ? 2 ? x2 ? ?12 ?

y12 ? 1,???? (1) 1 x y y 4 ???3 分 由(1)-(2)可得 k MN ? kQN ? ? . ?6 分又 MN⊥ MQ, kMN ? kMQ ? ?1, kMN ? ? 1 , 所以 kQN ? 1 . 直线 QN 的方程为 y ? 1 ( x ? x1 ) ? y1 ,又直线 2 3 y1 3 x1 3x1 y2 ? 1.???? (2) 4

PT 的方程为 y ? ?

1 1 x2 x1 x. 从而得 x ? x1 , y ? ? y1. 所以 x1 ? 2 x, y1 ? ?2 y. 代入(1)可得 ? y 2 ? 1( xy ? 0), 此即为所求的轨迹方程. 2 2 3 y1

9、已知:直线 L 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上。若点 A(-1,0)和点 B(0,8)关于 L 的对称点都在 C 上,求直线 L 和抛物线 C 的方程. 分析:曲线的形状已知,可以用待定系数法.设出它们的方程,L:y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0). 设 A、 关于 L 的对称点分别为 A/、 /, B B 则利用对称性可求得它们的坐标分别为: ( A/

k 2 ?1 2k 8(k 2 ? 1) 1? 5 2 5 ( 16k ,? 2 , 2 ) B/ 2 , ) 因为 A/、 /均在抛物线上, 。 B 代入, 消去 p, k2-k-1=0.解得: 得: k= ,p= . 2 2 5 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

所以直线 L 的方程为:y=

1? 5 4 5 x,抛物线 C 的方程为 y2= x. 2 5

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别是 F(-c, 、(c, , 是椭圆外的动点, 0)F2 0)Q 满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点, T 在线段 F2Q 上, 点 并且满足 PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. 1 a2 b2 c 2 (Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |? a ? x ; (Ⅱ)求点 T 的轨迹 C 的方程; (Ⅲ)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使△F1MF2 的面积 S= b . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存 a
10、 已知椭圆 在,请说明理由. (Ⅰ)证法一:设点 P 的坐标为 ( x, y). 由 P ( x, y ) 在椭圆上,得

| F1 P |? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? b 2 ? ? (a ? c 2 x) . a

b2 2 x a2

由 x ? a, 知a ?

c c x ? ?c ? a ? 0 ,所以 | F1 P |? a ? x. ?????????3 分 a a

证法二:设点 P 的坐标为 ( x, y). 记 | F1 P |? r1 , | F2 P |? r2 , 则 r1 ?

( x ? c) 2 ? y 2 , r2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 .

2 2 由 r1 ? r2 ? 2a, r1 ? r2 ? 4cx , 得 | F1 P |? r1 ? a ?

c x. a c x ? 0. a

证法三:设点 P 的坐标为 ( x, y). 椭圆的左准线方程为 a ?

2 由椭圆第二定义得 | F1 P | ? c ,即 | F1 P |? c | x ? a |?| a ? c x | . a c a a a2 |x? | c

由 x ? ? a, 知a ?

c c x ? ?c ? a ? 0 ,所以 | F1 P |? a ? x. ??????????3 分 a a

(Ⅱ)解法一:设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 | PT | ? | TF2 |? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点. 在△QF1F2 中, | OT |?

1 | F1Q |? a ,所以有 x 2 ? y 2 ? a 2 . 2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x 2 ? y 2 ? a 2 . ??????????7 分 解法二:设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 PT ?TF2 ? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点.
x? ? c ? ?x ? 2 , ? 设点 Q 的坐标为( x ?, y ? ) ,则 ? ? y ? y? . ? 2 ?

?x? ? 2 x ? c, 因此 ? ? y ? ? 2 y.
由 | F1Q |? 2a 得 ( x? ? c) ? y ? ? 4a .
2 2 2





将①代入②,可得 x 2 ? y 2 ? a 2 . 综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x 2 ? y 2 ? a 2 . ????????7 分 (Ⅲ)解法一:C 上存在点 M( x0 , y0 )使 S= b 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y 0 ? a 2 , ? ?1 2 ? ? 2c | y 0 |? b . ?2

2

③ ④

2 b2 . 所以,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; 由③得 | y0 |? a ,由④得 | y 0 |? c c
2 当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M.?????????11 分

c

2 当 a ? b 时, MF ? (?c ? x0 ,? y0 ), MF2 ? (c ? x0 ,? y0 ) , 1 c

2 2 由 MF ? MF2 ? x0 ? c 2 ? y0 ? a 2 ? c 2 ? b 2 , 1

MF1 ? MF2 ?| MF1 | ? | MF2 | cos?F1MF2 ,
S? 1 | MF1 | ? | MF 2 | sin ?F1 MF 2 ? b 2 ,得 tan?F1 MF2 ? 2. 2

解法二:C 上存在点 M( x0 , y0 )使 S= b 2 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y 0 ? a 2 , ? ?1 2 ? ? 2c | y 0 |? b . ?2

③ ④

由④得 | y 0 |?

4 2 2 b2 2 . 上式代入③得 x0 ? a 2 ? b 2 ? (a ? b )(a ? b ) ? 0. c c c c

2 于是,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; c
2 当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M.?????????11 分

c

2 y0 y0 当 a ? b 时,记 k1 ? k F M ? , , k 2 ? k F2 M ? 1 c x0 ? c x0 ? c

由 | F1 F2 |? 2a, 知 ?F1 MF2 ? 90? ,所以 tan?F MF ?| k1 ? k 2 |? 2. ????14 分 1 2
1 ? k1k 2

11、设抛物线 C : y ? x 的焦点为 F,动点 P 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上运动,过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.(1)求△APB 的重心 G 的轨迹方程; (2)证 明∠PFA=∠PFB. 2 2 解: (1)设切点 A、B 坐标分别为 ( x, x0 )和( x1 , x1 )((x1 ? x0 ) ,
2
2 ∴切线 AP 的方程为: 2x0 x ? y ? x0 ? 0;

切线 BP 的方程为: 2 x1 x ? y ? x1 ? 0;
2

解得 P 点的坐标为: x P ?

x0 ? x1 , y P ? x0 x1 2

所以△APB 的重心 G 的坐标为 xG ?

x0 ? x1 ? x P ? xP , 3
2

2 y0 ? y1 ? y P x0 ? x12 ? x0 x1 ( x0 ? x1 ) 2 ? x0 x1 4 x P ? y p yG ? ? ? ? , 3 3 3 3

所以 y p ? ?3 yG ? 4xG ,由点 P 在直线 l 上运动,从而得到重心 G 的轨迹方程为:
2

1 x ? (?3 y ? 4 x 2 ) ? 2 ? 0, 即y ? (4 x 2 ? x ? 2). 3
(2)方法 1:因为 FA ? ( x0 , x0 ? ), FP ? (
2

1 4

x0 ? x1 1 1 2 , x0 x1 ? ), FB ? ( x1 , x1 ? ). 2 4 4

由于 P 点在抛物线外,则 | FP |? 0.

x0 ? x1 1 1 1 2 ? x0 ? ( x0 x1 ? )(x0 ? ) x0 x1 ? FP ? FA 4 4 ? 4, ? 2 ∴ cos?AFP ? 1 | FP || FA | | FP | 2 2 | FP | x0 ? ( x0 ? ) 2 4

x0 ? x1 1 1 1 2 ? x1 ? ( x0 x1 ? )(x1 ? ) x0 x1 ? FP ? FB 2 4 4 ? 4, ? 同理有 cos?BFP ? 1 | FP || FB | | FP | 2 2 | FP | x1 ? ( x1 ? ) 2 4
∴∠AFP=∠PFB.

x |x | 1 方法 2:①当 x1 x0 ? 0时,由于x1 ? x0 , 不妨设x0 ? 0, 则y0 ? 0, 所以 P 点坐标为 ( 1 ,0) ,则 P 点到直线 AF 的距离为: d1 ? 1 ; 而直线BF的方程 : y ? ? 2 4 2
2 即 ( x1 ? ) x ? x1 y ?

x12 ? x1

1 4 x,

1 4

1 x1 ? 0. 4

x 1 x 1 |x | | ( x12 ? ) 1 ? 1 | ( x12 ? ) 1 4 2 4 ? 4 2 ? | x1 | 所以 P 点到直线 BF 的距离为: d 2 ? 1 2 1 x12 ? ( x12 ? ) 2 ? ( x1 ) 2 4 4
所以 d1=d2,即得∠AFP=∠PFB.

1 2 x0 ? 1 4 ( x ? 0),即( x 2 ? 1 ) x ? x y ? 1 x ? 0, ②当 x1 x0 ? 0 时,直线 AF 的方程: y ? ? 0 0 0 4 x0 ? 0 4 4
1 x12 ? 1 4 ( x ? 0),即( x 2 ? 1 ) x ? x y ? 1 x ? 0, 直线 BF 的方程: y ? ? 1 1 1 4 x1 ? 0 4 4
所以 P 点到直线 AF 的距离为:

x ? x1 1 x ? x1 1 1 2 2 2 | ( x0 ? )( 0 ) ? x0 x1 ? x0 | | 0 )(x0 ? ) 4 2 4 2 4 ? | x0 ? x1 | ,同理可得到 P 点到直线 BF 的距离 d ? | x1 ? x0 | ,因此由 d =d ,可得到∠AFP=∠PFB. d1 ? ? 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 x0 ? ( x0 ? ) ? x0 4 4
二、中点弦问题:

x2 ?1 1? ? y2 ? 1 , (1)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (3)过 A?2, 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上 1? 2 ? 2 2? 1 有两点 P 、 Q , O 为原点,且有直线 OP 、 OQ 斜率满足 kOP ? kOQ ? ? ,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程. 2
12、已知椭圆 分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法. 解:设弦两端点分别为 M ?x1,y1 ? , N ?x2,y2 ? ,线段 MN 的中点 R?x,y ? ,则

? x12 ? 2 y12 ? 2, ? 2 2 ? x2 ? 2 y 2 ? 2, ? ? x1 ? x2 ? 2 x, ? y ? y ? 2 y, ? 1 2

① ② ③ ④

①-②得 ?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? 2? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 . 由 题 意 知 x1 ? x2 , 则 上 式 两 端 同 除 以 x1 ? x2 , 有

?x1 ? x2 ?2? y1 ? y2 ? y1 ? y2
x1 ? x2
将③④代入得 x ? 2 y

? 0,
y1 ? y2 ? 0 .⑤ x1 ? x2

1 1 y ? y2 1 , y ? 代入⑤,得 1 ? ? ,故所求直线方程为: 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . ⑥ 2 2 x1 ? x2 2 1 1 2 将⑥代入椭圆方程 x 2 ? 2 y 2 ? 2 得 6 y ? 6 y ? ? 0 , ? ? 36 ? 4 ? 6 ? ? 0 符合题意, 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 为所求. 4 4 y ? y2 x ? 4y ? 0 . (2)将 1 (椭圆内部分) ? 2 代入⑤得所求轨迹方程为: x1 ? x2 y ? y2 y ? 1 (3)将 1 代入⑤得所求轨迹方程为: (椭圆内部分) ? x2 ? 2 y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 . x1 ? x2 x ? 2
(1)将 x ? (4)由①+②得 :
2 x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 ? 2 , ⑦, 将③④平方并整理得 2 2 2 ⑧, ⑨ x12 ? x2 ? 4x 2 ? 2x1 x2 , y12 ? y2 ? 4 y 2 ? 2 y1 y2 ,

?

?

4 x 2 ? 2 x1 x2 ? 4 y 2 ? 2 y1 y2 ? 2 , ⑩ 4 1 ? 1 ? 再将 y1 y2 ? ? x1 x2 代入⑩式得: 即 2 x 2 ? x1 x2 ? 4 y 2 ? 2? ? x1 x2 ? ? 2 , 2 ? 2 ?
将⑧⑨代入⑦得:

?

?

x2 ?

y2 ?1. 1 2

此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.

13、椭圆 C:

x2 y 2 4 14 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且 PF1 ? F1 F2 ,| PF1 |? ,| PF2 |? . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M,交椭圆 C 于 A, B 两 2 3 3 a b

点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程. 解法一:(Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a ? PF ? PF2 ? 6 ,a=3. 1 在 Rt△PF1F2 中, F1 F2 ?
2
2

PF2 ? PF1
2

2

? 2 5 , 故椭圆的半焦距 c= 5 ,

x2 y2 ? 从而 b =a -c =4,所以椭圆 C 的方程为 =1. 9 4
2

(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2). 、

由圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1).

从而可设直线 l 的方程为

y=k(x+2)+1,

代入椭圆 C 的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称.所以 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 ? x2 且

x1 ? x 2 18k 2 ? 9k ?? ? ?2. 2 4 ? 9k 2

解得 k ?

8 8 ,所以直线 l 的方程为 y ? ( x ? 2) ? 1, 9 9

即 8x-9y+25=0.

(经检验,符合题意)

x1 y ? 1 ? 1, 9 4 x2 y ? 2 ? 1, 9 4
①-②得
2 2

2

2





( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0. ③ 9 4

因为 A、B 关于点 M 对称,所以 x1+ x2=-4, y1+ y2=2, 代入③得

y1 ? y 2 8 8 = ,即直线 l 的斜率为 , 9 9 x1 ? x2
8 (x+2) ,即 8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意. 9

所以直线 l 的方程为 y-1= 14、已知椭圆 l 的方程.

y 2 x2 9 2 ? 1 3? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点 F1 (0, ?2 2) ,对应的准线方程为 y ? ? .(1)求椭圆的方程; (2)直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 恰被点 P ? ? , ? 平分,求直线 2 a b 4 ? 2 2?

? ? c ? ?2 2 ? 2 9 2 ? a 解: (1)由 ? ? ? ? 得 a ? 3, b ? 1 4 ? c ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ?

即椭圆的方程为 x2 ?

y2 ? 1. 9

3 1? k 3 ? (2)易知直线 l 的斜率一定存在,设 l: y ? ? k ? x ? ? , 即y ? kx ? ? . 2 2? 2 2 ?
k 3 ? ? y ? kx ? 2 ? 2 , k2 3 27 ? 设 M(x1, y1) ,N(x2, y2) ,由 ? 得 (9 ? k 2 ) x2 ? (3k ? k 2 ) x ? ? k ? ? 0. 2 4 2 4 ? x 2 ? y ? 1. ? 9 ?

∵x1、x2 为上述方程的两根,则 ? ? (3k ? k 2 )2 ? 4(9 ? k 2 ) ? ?
3k ? k 2 . 9 ? k2 ? 1 3? ? 1? ∵MN 的中点为 P ? ? , ? ,∴ x1 ? x2 ? 2 ? ? ? ? ? ?1. 2 2? ? ? 2? 2 2 ∴ 3k ? k ? 9 ? k ,解得 k=3. ? 9 9 27 ? 代入①中, ? ? 182 ? 4(9 ? 9) ? ? ? ? ? ? 182 ? 0 ?4 2 4 ? ∴直线 l:y=3x+3 符合要求.

? k2 3 27 ? ? k? ??0 4 ? ? 4 2



∴ x1 ? x2 ? ?

∴?

3k ? k 2 ? ?1. 9 ? k2

15、设 F1 , F2 分别是椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的左右焦点,(1)设椭圆 C 上的点 ( 3, ) 到 F1 , F2 两点距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标;(2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点, 2 a b 2
试探究 k PM

求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程;(3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M,N 两点,当直线 PM ,PN 的斜率都存在,并记为 k PM , K PN 及直线 L 有关,并证明你的结论.

? K PN 的值是否与点 P

3 ( 3) 2 ) 在椭圆上, 解: (1)由于点 ( 3, ? 2 a2

(

3 2 ) 2 ?1 b2

2 a =4,

椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

焦点坐标分别为(-1,0)

, (1,0)

(2)设 KF1 的中点为 B(x, y)则点 K (2 x ? 1, 2 y )

把 K 的坐标代入椭圆

x2 y 2 ? ?1 4 3

中得

(2 x ? 1) 2 (2 y ) 2 ? ?1 4 3

1 y2 线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程为 ( x ? )2 ? ?1 3 2 4

(3)过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对称 设 M ( x0 , y0 ) N ( ? x0 , ? y0 ), p( x, y) M , N , P在椭圆上,应满足椭圆方程 ,得

x0 2 y0 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 ,2 ? 2 ? 1 2 a b a b

k PM ?

y ? y0 x ? x0

K PN ?

y ? y0 x ? x0

k PM

y ? y0 y ? y0 y 2 ? y0 2 b2 ? ? 2 ? K PN = =? 2 x ? x0 x ? x0 x ? x0 2 a
? K PN 的值与点 P 的位置无关,同时与直线 L 无关
2 4 9 2 ,离心率 e 满足 , e, 成等比数列. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)是否存在直线 l ,使 l 与椭圆交于不同的两点 A, B ,且线段 AB 恰 3 3 4

故: k PM

16、已知椭圆的一个焦点为 F1 (0,?2 2 ) ,对应的准线为 y ? ? 好被直线 x ? ?

1 平分?若存在,求出直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围;若不存在,说明理由. 2

2 4 8 2 2 ? ? ,所以 e ? . 3 3 9 3 设椭圆上任意一点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则由椭圆的第二定义得,
解 : (Ⅰ)由题意知, e ?
2

x2 ? ( y ? 2 2)2 y? 9 2 4

?

y2 y2 2 2 2 ? 1 ,故所求椭圆方程为 x 2 ? ? 1. ,化简得 x ? 9 9 3

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , AB 中点 M ( x0 , y0 ) ,依题意有

x1 ? x 2 1 ? ? x0 ? 2 ? ? 2 ? x1 ? x 2 ? ?1 ? ,可得 ? . ? ? y1 ? y 2 ? 2 y 0 ? y ? y1 ? y 2 ? 0 2 ?
y 1 3 3 3 3 若直线 l 存在,则点 M 必在椭圆内,故 (? ) 2 ? 0 ? 1 ,解得 0 ? y0 ? 或? ? y0 ? 0 . 2 9 2 2 ? 2 y1 2 ? 1 (1) ? x1 ? ? 9 将 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 代入椭圆方程,有 ? 2 ? x 2 ? y 2 ? 1 (2) ? 2 9 ? ( y ? y1 )( y 2 ? y1 ) ? 0, (2) ? (1) 得, ( x 2 ? x1 )(x 2 ? x1 ) ? 2 9 y ? y1 9( x2 ? x1 ) 9 ? (?1) 9 故 k AB ? 2 , 所以 y 0 ? , ?? ?? 2k AB x2 ? x1 y 2 ? y1 2 y0
则有 0 ?
2

9 3 3 3 3 9 ? 或? ? ? 0, 2k AB 2 2 2k AB

解得 k AB ? 3或k AB ? ? 3 , 故存在直线 l 满足条件,其倾斜角 ? ? ( 三、定义与最值: 17、已知 F 是椭圆 (1)求 PA ?

? ?

? 2? , )?( , ). 3 2 2 3

5x2 ? 9 y2 ? 45 的左焦点,P 是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点.

3 PF 的最小值,并求点 P 的坐标; (2)求 2

PA ? PF 的最大值和最小值.

3 PF 11 6 5 2 ,1) ; 解:(1)由椭圆的第二定义转化知 的最小值是 ,此时 P (? 2 5 (2)依题意,由椭圆的第二定义知 PA ? PF ? PA ? (6 ? PF2 ) ? 6 ? ( PA ? PF2 ) PA ?
∵ PA ? PF2 ? AF2 ?

2 ∴ ? 2 ? PA ? PF2 ? 2

∴ 6 ? 2 ? PA ? PF ? 6 ? 18、设 F1、F2 分别是椭圆

2 (当且仅当 P、A、F2 三点共线时取 ?)

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,若 P 是该椭圆上的一个动点, 4 ??? ??? ? ? (Ⅰ)求 PF 1 ? PF 2 的最大值和最小值;(Ⅱ)求 PF1 ? PF2 的最大值和最小值.

解:易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 ,所以 F1 (? 3, 0), F2 ( 3, 0). ??? ??? ? ? x2 1 设 P(x, y) ,则 PF1 ? PF 2 ? (? 3 ? x, ? y) ? ( 3 ? x, ? y) ? x2 ? y 2 ? 3 ? x2 ? 1 ? ? 3 ? (3x 2 ? 8). 4 4 ???? ??? ? 因为 x ? [?2, 2] ,故当 x=0,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF1 ? PF 2 有最小值-2. 当 x ? ?2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF1 ? PF 2 有最大值 1. 19、若双曲线过点 (2, 6) ,其渐近线方程为 y ? ? 2 x .(I)求双曲线的方程; (II)已知 A (3,2) , B( 3,0) ,在双曲线上求一点 P ,使 PA ? 解: (Ⅰ) x 2 ? 20、以椭圆
???? ??? ?

3 PB 的值最小. 3

x2 y ? ? 1 的焦点为焦点,过直线 l:x ? y ? 9 ? 0 上一点 M 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点 M 应在何处?并求出此时的椭圆方程. 12 3

3 y2 ? 1 (II) P( 3,2) ,最小值为 3 ? 2 2 3

分析:椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决.

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 ?? 3,? , F2 ?3,? . 0 0 12 3 点 F1 关于直线 l:x ? y ? 9 ? 0 的对称点 F 的坐标为(-9,6) ,直线 FF2 的方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . ?x ? 2 y ? 3 ? 0 解方程组 ? 得交点 M 的坐标为(-5,4) .此时 MF ? MF2 最小. 1 ?x ? y ? 9 ? 0 所求椭圆的长轴: 2a ? MF ? MF2 ? FF2 ? 6 5 ,∴ a ? 3 5 ,又 c ? 3 , 1 2 x2 y2 2 2 2 2 ? ? 1. ∴ b ? a ? c ? 3 5 ? 3 ? 36 .因此,所求椭圆的方程为 45 36 2 2 x y 21、已知动点 P 与双曲线 - =1 的两个焦点 F1、F2 的距离之和为 6. 2 3
解:如图所示,椭圆

? ?

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)若 PF ? PF2 =3,求⊿PF1F2 的面积; 1 (Ⅲ)若已知 D(0,3),M、N 在轨迹 C 上且 DM =? DN ,求实数?的取值范围.

1 x2 y2 + =1;②2;③[ ,5] 5 9 4 2 2 22、 E 、 F 是椭圆 x ? 2 y ? 4 的左、右焦点, l 是椭圆的右准线,点 P ? l ,过点 E 的直线交椭圆于 A 、 B 两点.(1)当 AE ? AF 时,求 ?AEF 的面积; (2)当 AB ? 3 时,求 AF ? BF 的大小; (3)求 ? EPF 的最大值. ? m?n ? 4 1 解: (1) ? 2 ? S?AEF ? mn ? 2 2 y 2 ?m ? n ? 8
解:①
A P M B E O F x

(2)因 ?

? AE ? AF ? 4 ? ? AB ? AF ? BF ? 8 , ? BE ? BF ? 4 ?

则 AF ? BF ? 5. (3)设 P(2 2, t)(t ? 0) tan?EPF ? tan(?EPM ? ?FPM )

?(

3 2 2 3 2? 2 2 2t 2 2 3 , ? ) ? (1 ? )? 2 ? ? 2 ?1 t t t t ? 6 t ? 6t 3

3 ? ?EPF ? 30? 3 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? 2 23、已知定点 A(0 ,1 ) 、 B(0 , ? 1) 、 C (1, 0 ) ,动点 P 满足: AP? BP ? k | PC | .(1)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的图形; (2)当 k ? 2 时,求 | AP ? BP | 的最大值和最小值. 解:(1)设动点 P 的坐标为 ( x , y ) ,
当 t ? 6 时, tan?EPF ? 则 AP ? ( x , y ? 1) , BP ? ( x , y ? 1) , PC ? (1 ? x , y ) . ∵ AP? BP ? k | PC | ,∴ x 2 ? y 2 ? 1 ? k ( x ? 1) 2 ? y 2 ,
2 ? ?? ? ?? ? ??
? ?? ? ?? ? ??

?

?

即 (1 ? k ) x 2 ? (1 ? k ) y 2 ? 2kx ? k ? 1 ? 0 . 若 k ? 1 ,则方程为 x ? 1 ,表示过点 (1, 0 ) 且平行于 y 轴的直线.

k 2 1 2 ) ? y2 ? ( ) , 1? k 1? k k 1 , 0 ) 为圆心,以为半径 表示以 ( 的圆. 1? k |1? k | 2 2 (2)当 k ? 2 时,方程化为 ( x ? 2) ? y ? 1 .
若 k ? 1 ,则方程为 ( x ?
? ??

AP ? BP ? ( x , y ? 1) ? ( x , y ? 1) ? ( 2 x , 2 y )
? ?? ? ??

? ??

∴ | AP ? BP |? 2 x 2 ? y 2 . 又∵ ( x ? 2) ? y ? 1 ,
2 2

∴ 令 x ? 2 ? cos? , y ? sin ? ,则

| AP ? BP |? 2 x 2 ? y 2 ? 2 5 ? 4 cos?
∴当 cos ? ? 1时, | AP ? BP | 的最大值为 6 ,当 cos ? ? ?1 时,最小值为 2 . 24、点 A、B 分别是以双曲线
? ?? ? ??

? ??

? ??

x2 y2 ? ? 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆 C 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆 C 上,且位于 x 轴上方, PA ? PF ? 0 (1)求椭圆 C 的的方程; 16 20

(2)求点 P 的坐标; (3)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,点 M 到直线 AP 的距离等于|MB|,求椭圆上的点到 M 的距离 d 的最小值. 解(1)已知双曲线实半轴 a1=4,虚半轴 b1=2 5 ,半焦距 c1= 16 ? 20 ? 6 , ∴椭圆的长半轴 a2=c1=6,椭圆的半焦距 c2=a1=4,椭圆的短半轴 b2 = 62 ? 42 ?

20 ,

x2 y2 ? ?1 36 20 (2)由已知 A(?6,0) , F (4,0) ,设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则
∴所求的椭圆方程为

AP ? ( x ? 6, y), FP ? ( x ? 4, y), 由已知得 ? x2 y 2 ? ?1 ? 36 20 ? ?( x ? 6)( x ? 4) ? y 2 ? 0 ? 3 2 则 2 x ? 9 x ? 18 ? 0 ,解之得 x ? 或x ? ?6 , 2 3 5 ?3 5 ? 3 ,所以点 P 的坐标为 ? , 由于 y>0,所以只能取 x ? ,于是 y ? 3?9 分 2 2 ?2 2 ? m?6 m?6 (3)直线 AP : x ? 3 y ? 6 ? 0 ,设点 M 是 (m,0) ,则点 M 到直线 AP 的距离是 ,于是 ? m?6 , 2 2
又∵点 M 在椭圆的长轴上,即 ? 6 ? m ? 6 ? m ? 2 ∴当 m ? 2 时,椭圆上的点到 M (2,0) 的距离

d 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 20 ?
又 ?6 ? x ? 6 ∴当 x ?

5x2 4 9 ? ( x ? ) 2 ? 15 9 9 2

9 时,d 取最小值 15 2

25、已知在平面直角坐标系 xoy 中,向量 j ? (0,1), ?OFP的面积为 3 ,且 OF ? FP ? t ,OM ? 2

uuu uur r

uuur

u uu uu v v 3uur r (II)设以原点 O 为中心,对称 OP ? j .(I)设 4 ? t ? 4 3, 求向量OF与FP的夹角? 的取值范围; 3

轴在坐标轴上,以 F 为右焦点的椭圆经过点 M,且 | OF |? c, t ? ( 3 ? 1)c 2 ,当| OP | 取最小值时,求椭圆的方程. 解: (1)由 2 3 ? 1 | OF | ? | FP | ? sin ? , 得 | OF | ? | FP |? 4 3 ,由 cos? ? OF ? FP ? t sin ? ,
2 sin ? | OF | ? | FP | 4 3

得 tan? ? 4 3 . …………………………………………………………………3 分
t

?4 ? t ? 4 3

?1 ? tan? ? 3

?? ?[0,? ] ∴夹角 ? 的取值范围是(

? ? , ) 4 3

………………………………………………………………6 分 (2) 设P( x0 , y0 ),则FP( x0 ? c, y0 ), OF ? (c,0).

??? ??? ? ? ?OF ? FP ? ( x0 ? c, y0 ) ? (c, 0) ? ( x0 ? c)c ? t ? ( 3 ? 1)c 2 ? 1 ??? 4 3 S?OFP ? | OF | ? | y0 |? 2 3 ? y0 ? ? 2 c

? x0 ? 3c

…………………………………………………………………………………………8 分
??? ? 4 3 2 4 3 2 2 ? OP |? x0 ? y0 ? ( 3c)2 ? ( | ) ? 2 3c ? ? 2 6 ………………10 分 c c

∴当且仅当 3c ?
?OM ?

4 3 ,即c ? 2时, | OP | 取最小值2 6 , 此时, OP ? (2 3,?2 3 ) c

3 (2 3,2 3 ) ? (0,1) ? (2,3) 3

或 OM ? 3 (2 3,?2 3 ) ? (0,1) ? (2,?1)
3

…………12 分
? a ? 4, b 2 ? 12

椭圆长轴 2a ? (2 ? 2) 2 ? (3 ? 0) 2 ? (2 ? 2) 2 ? (3 ? 0) 2 ? 8 或 2a ? (2 ? 2) 2 ? (?1 ? 0) 2 ? (2 ? 2) 2 ? (?1 ? 0) 2 ? 1 ? 17 故所求椭圆方程为

?a ?

1 ? 17 2 1 ? 17 ,b ? 2 2

x2 y2 ? ? 1 .或 x 2 ? y 2 ? 1 …………14 分 16 12 9 ? 17 1 ? 17
2
2

2

26、已知点 F (0 , 1) ,一动圆过点 F 且与圆 x ? ( y ? 1) 2 ? 8 内切. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设点 A(a , 0) ,点 P 为曲线 C 上任一点,求点 A 到点 P 距离的最大值 d (a ) ; (Ⅲ)在 0 ? a ? 1 的条件下,设△ POA 的面积为 S1 ( O 是坐标原点, P 是曲线 C 上横坐标为 a 的点) ,以 d (a ) 为边长的正方形的面积为 S 2 .若正数 m 满足 S1 ? mS2 ,问 m 是否存在最小值,若存在,请求出此最小值,若不存在,请说明理由. 解(Ⅰ)设动圆圆心为 M ( x, y ) ,半径为 r ,已知圆圆心为 E (0,?1) , 由题意知 | MF |? r , | ME |? 2 2 ? r ,于是 | ME | ? | MF |? 2 2 ,

y2 ? 1. 2 2 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ)设 P( x, y ) ,则 | PA | ? ( x ? a) ? y ? ( x ? a) ? 2 ? 2x ? ? x ? 2ax ? a ? 2 ? ?( x ? a) 2 ? 2a 2 ? 2 ,令 f ( x) ? ?( x ? a) 2 ? 2a 2 ? 2 , x ? [?1 , 1] ,所以, 当 ? a ? ?1 ,即 a ? 1 时 f (x) 在 [?1 , 1] 上是减函数, ? f ( x)?max ? f (?1) ? (a ? 1) 2 ;
2 所以点 M 的轨迹 C 是以 E 、 F 为焦点,长轴长为 2 2 的椭圆,其方程为 x ?

? 当 ? 1 ? ?a ? 1 ,即 ? 1 ? a ? 1 时, f (x) 在 [?1 , a] 上是增函数,在 [?a , 1] 上是减函数,则 ? f ( x)?max ? f (a) ? 2a 2 ? 2 ;
当 ? a ? 1 ,即 a ? ?1 时, f (x) 在 [?1,1] 上是增函数, ? f ( x)?max ? f (1) ? (a ? 1) 2 .

a ? ?1 ?1 ? a , ? ? 2 所以, d (a ) ? ? 2a ? 2 , ?1 ? a ? 1 . ?1 ? a , a ?1 ? ?
(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时, P(a , ? 2 ? 2a 2 ) ,于是 S1 ?

1 a 2(1 ? a 2 ) , S 2 ? 2a 2 ? 2 ,(12 分) 2

a 2(1 ? a 2 ) 1 a 2(1 ? a 2 ) ? m(2a 2 ? 2) ,即 m ? 若正数 m 满足条件,则 , 2 4( a 2 ? 1)

a 2 (1 ? a 2 ) a 2 (1 ? a 2 ) 2 2 ,令 f (a) ? ,设 t ? a ? 1 ,则 t ? (1 , 2) , a ? t ? 1 , m ? 2 2 2 2 8(a ? 1) 8(a ? 1)
2

(t ? 1)( 2 ? t ) 1 ? ? t 2 ? 3t ? 2 ? 1 ? 2 3 ? 1 ?1 3 ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 2 ? 8 t 8? t 4?t 4? 64 8t t ? ? ? ? 1 3 4 1 所以,当 ? ,即 t ? ? (1 , 2) 时, [ f (a )] max ? , t 4 3 64 1 1 1 2 即m ? , m ? .所以, m 存在最小值 . 64 8 8 27、已知点 M(-2,0) ,N(2,0) ,动点 P 满足条件|PM|-|PN|=2 2 . 记动点 P 的轨迹为 W.
2

于是 f (a ) ?

(1)求 W 的方程; (2)若 A、B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA? OB 的最小值. (1)由|PM|-|PN|=2 2 知动点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支,实半轴长 a= 2 . 又半焦距 c=2,故虚半轴长 b= c 2 ? 2 ? 2. 所以 W 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,x≥ 2 . 2 2

(2)设 A、B 的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2). ,
2 2 当 AB⊥x 轴时,x1=x2,y1=y2,从而 OA ? OB =x1x2+y1y2= x1 ? y1 ? 2. 当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m,与 W 的方程联立,消去 y 得 (1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,

2km m2 ? 2 ,x1x2= 2 , 1? k 2 k ?1 所以 OA ? OB =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m) 2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2 (kx 2 2 2 2 (1 ? k )(m ? 2) 2k m 2k 2 ? 2 4 = ? ? m2 ? 2 ? 2? 2 . 2 2 k ?1 1? k k ?1 k ?1 2 又因为 x1x2>0,所以 k -1>0,从而 OA ? OB >2.
故 x1+x2= 综上,当 AB⊥x 轴时, OA ? OB 取得最小值 2. 28、一束光线从点 F1 (?1, 0) 出发,经直线 l : 2 x ? y ? 3 ? 0 上一点 P 反射后,恰好穿过点 F2 (1 , 0) . (Ⅰ)求点 F1 关于直线 l 的对称点 F1? 的坐标; (Ⅱ)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆 C 的方 程; (Ⅲ)设直线 l 与椭圆 C 的两条准线分别交于 A 、 B 两点,点 Q 为线段 AB 上的动点,求点 Q 到 F2 的距离与到椭圆 C 右准线的距离之比的最小值,并求取得最小值时点 Q 的坐标.

n 1 m ?1 n ? ? 且2? ? ? 3 ? 0 .??2 分 m ?1 2 2 2 9 2 9 2 解得 m ? ? , n ? , 因此,点 F1? 的坐标为 (? , ) . ???????4 分 5 5 5 5 (Ⅱ)? PF1? ? PF ,根据椭圆定义, 1
解: (Ⅰ)设 F1? 的坐标为 (m, n) ,则 得 2a ?| PF1? | ? | PF2 |?| F1?F2 | ?

9 2 (? ? 1) 2 ? ( ? 0) 2 ? 2 2 ,?????5 分 5 5

? a ? 2 , b ? 2 ? 1 ? 1. x2 ? y2 ? 1. ∴所求椭圆方程为 2

????????????7 分

a2 ? 2 ,? 椭圆的准线方程为 x ? ?2 . ??????????8 分 c 设点 Q 的坐标为 (t , 2t ? 3) (?2 ? t ? 2) , d1 表示点 Q 到 F2 的距离, d 2 表示点 Q 到椭圆的右准线的距离.
(Ⅲ)? 则 d1 ?

(t ? 1) 2 ? (2t ? 3) 2 ? 5t 2 ? 10t ? 10 , d 2 ? t ? 2 .

d1 ? d2
令 f (t ) ? 因此,

5t 2 ? 10t ? 10 t 2 ? 2t ? 2 ? 5? , t?2 (t ? 2) 2

???????????10 分 ????????????13 分

4 t 2 ? 2t ? 2 (?2 ? t ? 2) ,则 f (t ) 在 t ? ? 时取得最小值. 2 3 (t ? 2)

d1 4 1 4 2 最小值= 5 ? f (? ) ? ,此时点 Q 的坐标为 (? , ) .????14 分 3 3 3 2 d2 注: f (t ) 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得.
29、设 F 是椭圆 C :

x2 y2 (2)若 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点,直线 l 为其左准线,直线 l 与 x 轴交于点 P,线段 MN 为椭圆的长轴,已知: | MN |? 8, 且 | PM |? 2 | MF | . (1)求椭圆 C 的标准方程; a2 b2

过点 P 的直线与椭圆相交于不同两点 A、B 求证:∠AFM=∠BFN; (3)求三角形 ABF 面积的最大值.

| 解(1)? MN |? 8 ? a ? 4

a2 1 ? a ? 2(a ? c)即2e 2 ? 3e ? 1 ? 0 ? c ? 或e ? 1(舍去) c 2 x2 y2 ? 椭圆的标准方程为 ? ?1 ?c ? 2 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12 16 12 ?????????(文 6 分,理 4 分) (2)当 AB 的斜率为 0 时,显然 ?AFM ? ?BFN ? 0. 满足题意 又?| PM |? 2 | MF | 得
当 AB 的斜率不为 0 时,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,AB 方程为 x ? my ? 8, 代入椭圆方程 整理得 (3m ? 4) y ? 48my ? 144 ? 0
2 2



? ? (48m) 2 ? 4 ? 144 (3m 2 ? 4), y1 ? y 2 ?

48m 3m 2 ? 4

y1 ? y 2 ?

144 3m 2 ? 4

y1 y2 y1 y2 2m y1 y 2 ? 6( y1 ? y 2 ) ? ? ? ? ?0 (m y1 ? 6)(m y2 ? 6) x1 ? 2 x2 ? 2 my1 ? 6 my2 ? 6 ? k AF ? k BF ? 0, 从而?AFM ? ?BFN. 综上可知:恒有 ?AFM ? ?BFN .????????????(9 分) ? k AF ? k BF ?
(3)

S ?ABF ? S ?PBF ? S ?PAF ?

1 72 m 2 ? 4 | PF | ? | y 2 ? y1 |? 2 3m 2 ? 4
16 ? 72 2 3 ? 16 ?3 3

72 m 2 ? 4 ? ? 3(m 2 ? 4) ? 16

72 3 m2 ? 4 ?

当且仅当

m2 ? 4 16 28 3 m2 ? 4 ? 即m 2 ? 3 m2 ? 4

(此时适合△>0 的条件)取得等号.

三角形 ABF 面积的最大值是 3 3. ????????????(13 分) 四、弦长及面积: y2 ? 30、已知双曲线的方程为 x2 ? ? 1 ,设 F1、F2 分别是其左、右焦点.(1)若斜率为 1 且过 F1 的直线 l 交双曲线于 A、B 两点,求线段 AB 的长;(2)若 P 是该双曲线左支上的一点,且 ?F PF2 ? 60 ,求 1 3 ?F1 PF2 的面积 S. 解: (1)AB: y ? x ? 2 ,代入 x2 ? 设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) 则

y2 ? 1 并整理得 2 x 2 ? 4 x ? 7 ? 0 3

x1 ? x2 ? 2, x1 x2 ? ?

7 2

? AB ? 1 ? 1 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 ? 4 ? 14 ? 6
(2)设 PF2 ? m, PF ? n ,则 m ? n ? 2 1
2 2 ? 在 ?F1 PF2 中,由余弦定理有 16 ? m ? n ? 2mn cos 60 ? m ? n ? 2mn ? mn 2

? mn ? 12 ? S ?

1 1 3 mn sin 60? ? ?12 ? ?3 3 2 2 2 2 10 ,求直线的方程. 5

31、已知椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 1 及直线 y ? x ? m . (1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点?(2)若直线被椭圆截得的弦长为 解: (1)把直线方程 y ? x ? m 代入椭圆方程 4 x 2 ? y 2 ? 1 得
2 2

4x 2 ? ?x ? m? ? 1 ,
2

即 5x ? 2mx? m ? 1 ? 0 . ? ? ?2m? ? 4 ? 5 ? m2 ?1 ? ?16m2 ? 20 ? 0 ,解得 ?
2

5 5 . ?m? 2 2 2m m2 ? 1 (2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 x1 , x2 ,由(1)得 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 5 5
m 2 ? 1 2 10 ? 2m ? ? 根据弦长公式得 : 1 ? 1 ? ? ? .解得 m ? 0 .方程为 y ? x . ? ? 4? 5 5 ? 5 ? ? 32、已知长轴为 12,短轴长为 6,焦点在 x 轴上的椭圆,过它对的左焦点 F1 作倾斜解为 的直线交椭圆于 A , B 两点,求弦 AB 的长. 3
2 2

?

?

分析:可以利用弦长公式 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ?
2

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 求得,

也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求. 解:(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] .因为 a ? 6 , b ? 3 ,所以 c ? 3 3 .因为焦点在 x 轴上,
所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,左焦点 F (?3 3 , 0) ,从而直线方程为 y ? 3x ? 9 . 36 9
2

由直线方程与椭圆方程联立得: x ? 72 3x ? 36? 8 ? 0 . x1 , 2 为方程两根, 设 所以 x1 ?x2 ? ? x 13 (法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.

36 ? 8 72 3 ,x1 x2 ? , ? 3, k 13 13

从而 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ?
2

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ?

48 . 13

x2 y2 ? ? 1 ,设 AF ? m , BF ? n ,则 AF2 ?12 ? m , BF2 ?12 ? n . 1 1 36 9 ? 1 2 2 2 2 2 在 ?AF F2 中, AF2 ? AF1 ? F1 F2 ? 2 AF1 F1 F2 cos ,即 (12 ? m) ? m ? 36 ? 3 ? 2 ? m ? 6 3 ? ; 1 3 2 48 6 6 所以 m ? .同理在 ?BF F2 中,用余弦定理得 n ? ,所以 AB ? m ? n ? . 1 13 4? 3 4? 3
由题意可知椭圆方程为 (法 3)利用焦半径求解. 先根据直线与椭圆联立的方程 13x ? 72 3x ? 36? 8 ? 0 求出方程的两根 x1 , x2 ,它们分别是 A , B 的横坐标.
2

再根据焦半径 AF ? a ? ex1 , BF ? a ? ex2 ,从而求出 AB ? AF ? BF . 1 1 1 1
3 x2 y 2 (1)求双曲线的离心率; (2)经过该双曲线的右焦点且斜率为 2 的直线 m 被双曲线截得 c. ? 2 ? 1(b ? a ? 0) 的半焦距为 c ,直线 l 过 (a, 0), (0, b) 两点,已知原点到直线 l 的距离为 2 4 a b 的弦长为 15,求双曲线的方程. 解: (1) b ? a ? b2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? a 2 ? c 2 ? 2a 2 ? e2 ? 2 ? e ? 2 ?????????2 分

33、设双曲线方程

3 x y 直线 l 的方程为 ? ? 1 ,即 bx ? ay ? ab ? 0 ,由原点到直线 l 的距离为 c得 a b 4
d? ab a ?b
2 2

?

ab 3 ? c ,即 16a 2 (c 2 ? a 2 ) ? 3c 4 ,?????????????4 分 c 4

4 两边同时除以 a 4 得 16(e2 ? 1) ? 3e4 ,整理得 3e 4 ? 16e 2 ? 16 ? 0 ,解得 e2 ? 或4 ?5 分 3 又 e ? 2 ,故双曲线的离心率为 e ? 2 ?????????????????6 分 x2 y 2 (2)由(1)知道 e ? 2 即 c ? 2a ,所以设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1 a 3a 又由题意得直线 m 方程为 y ? 2( x ? 2a) ,代入双曲线方程得 ????????7 分
3x2 ? 4( x ? 2a)2 ? 3a 2 ,整理得 x 2 ? 16ax ? 19a 2 ? 0 ?????????????8 分

记直线 m 与双曲线的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ? 16a, x1 x2 ? 19a 2 ?9 分
? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 ] ? 5(256a2 ? 76a2 ) ? 30a ? 15

1 ??????????????????????????????11 分 2 x2 y 2 ? 1 ???????????????????12 分 ? 所求双曲线方程为 ? 1 3 4 4
?a?

34、已知 △ ABC 的顶点 A,B 在椭圆 x ? 3 y ? 4 上, C 在直线 l:y ? x ? 2 上,且 AB ∥ l .
2 2

(Ⅰ)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及 △ ABC 的面积; (Ⅱ)当 ?ABC ? 90 ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直线的方程. 0) 解: (Ⅰ)因为 AB ∥ l ,且 AB 边通过点 (0, ,所以 AB 所在直线的方程为 y ? x .
?

设 A,B 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), 2,y2 ) . (x 由?

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, ?y ? x

得 x ? ?1 .所以 AB ?

2 x1 ? x2 ? 2 2 .

又因为 AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离.所以 h ? (Ⅱ)设 AB 所在直线的方程为 y ? x ? m ,由 ?
2

2 , S△ ABC ?
2

1 AB ?h ? 2 . 2
2

? x 2 ? 3 y 2 ? 4,

?y ? x ? m 因为 A,B 在椭圆上,所以 ? ? ?12m ? 64 ? 0 .
设 A,B 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), 2,y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? (x 所以 AB ?

得 4 x ? 6mx ? 3m ? 4 ? 0 .

3m 3m2 ? 4 , x1 x2 ? , 2 4

2?m 32 ? 6m2 2 2 2 2 2 .又因为 BC 的长等于点 (0,m) 到直线 l 的距离,即 BC ? . AC ? AB ? BC ? ?m ? 2m ? 10 ? ?(m ? 1) ? 11 . 2 2 所以当 m ? ?1 时, AC 边最长, (这时 ? ? ?12 ? 64 ? 0 ) 此时 AB 所在直线的方程为 y ? x ? 1 . 2 x1 ? x2 ?
35、梯形 ABCD 的底边 AB 在 y 轴上,原点 O 为 AB 的中点, | AB |?

4 2 4 2 ,| CD |? 2 ? , AC ? BD, M 为 CD 的中点.(Ⅰ)求点 M 的轨迹方程; )过 M 作 AB 的垂线,垂足为 N,若存在正常数 ?0 , (Ⅱ 3 3

使 MP ? ?0 PN ,且 P 点到 A、B 的距离和为定值,求点 P 的轨迹 E 的方程; )过 (0, ) 的直线与轨迹 E 交于 P、Q 两点,求 ?OPQ 面积的最大值. (Ⅲ 解: (Ⅰ)设点 M 的坐标为 M(x, y)(x≠0),则 C ( x, y ?1? 又 A(0,
2 2 2 ), B (0,? 2). 由 3 3
2 2 2), D ( x, y ?1? 2). 3 3

uuu v

uuu v

1 2

AC ⊥ BD

???? ??? ? 有 AC ?BD ? 0 , 即

y A N O B D P M C x

( x , y ?1 ) x (?y , ? 1 ) ? ,

0

(Ⅱ )设 P(x, y) ,则 M ? (1 ? ?0 ) x, y ? ,代入 M 的轨迹方程有 即
x2 2 ∴P 的轨迹为椭圆 (除去长轴的两个端点) . ? y ? 1( x ? 0) , 1 2 ( ) 1? ?0

∴x2+y2=1(x≠0).

?????????(4 分)

(1 ? ?0 )2 x2 ? y 2 ? 1( x ? 0).

要 P 到 A 、 B 的距离之和为定值,则以 A 、 B 为焦点,故 ∴

1?

1 (1??0 )2

?(

2 2)2 . 3

?0 ? 2.

从 而 所 求 P 的 轨 迹 方 程 为 9x2+y2=1(x ≠

0). ?????????9 分

(Ⅲ )易知 l 的斜率存在,设方程为 y ? kx ? 设 P(x1, y1), Q(x2, y2),则 x1 ? x2 ? ?
? x2 ? x1 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ?
? S ?OPQ ?

1 3 . 联立 9x2+y2=1,有 (9 ? k 2 ) x2 ? kx ? ? 0. 4 2

k ?3 , x1 x2 ? . 2 9?k 4(9 ? k 2 )
4k 2 ? 27 2 . 令 t ? k ? 9 ,则 x2 ? x1 ? (9 ? k 2 )2
4t ? 9 且 t ? 9. t2

1 1 1 1 1 1 1 2 4 ? x2 ? x1 ? ?9 ? 2 ? 4 ? ? ?9( ? ) 2 ? ,? t 2 2 4 t 4 t 9 9 t

1 1 ? 9,? 0 ? ? . t 9

所以当 ?

1 t

1 3 ,即 t ? 9, 也即 k ? 0 时, ?OPQ 面积取最大值,最大值为 .?? 14 分 12 9

五、范围问题: 36、直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 相交于 A、B 两点.(1) 当 a 为何值时,A、B 两点在双曲线的同一支上?当 a 为何值时,A、B 两点分别在双曲线的两支上?(2) 当 a 为何值时,以 AB 为直径的 圆过原点?

解: (1) 联立 ?

?1 ? y ? ax消去 y ? 2 2 ? (3-a )x -2ax-2=0 ① 2 ?3 x ? y 2 ? 1 ?

显然 a2≠3,否则方程①只有一解,于是直线与双曲线至多一个交点. 若交点 A、B 在双曲线同支上,则方程①满足:
?? ? 4a 2 ? 8(3 ? a 2 ) ? 0 ?? 6 ? a ? 6 ? ? ?? ? 2 ?0 ?a ? ? 3或a ? 3 ? 2 ? ?a ? 3

? a∈(- 6 ,- 3 )∪( 3 , 6 )

若 A、B 分别在双曲线的两支上,则有:
?4a 2 ? 8(3 ? a 2 ) ? 0 ? ? a∈(- 3 , 3 ) ? 2 ?0 ? 2 ?a ? 3

(2) 若以 AB 为直径的圆过点 O,则 OA⊥OB,设 A(x1,y1),B(x2,y2)由于 x1+x2= ∴y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a(x1+x2)+a2x1x2+1 =a2· 2
2 2a +a· 2 +1=1 a ?3 3?a 2 +1 ? a=± 1 a ?3
2

2a 2a ,x1x2= 2 . 2 3?a a ?3

∵OA⊥OB ∴x1x2+y1y2=0 ∴

此时△>0,符合要求. 37、已知圆 C: (x-1)2+y2=r2 (r>1) ,设 M 为圆 C 与 x 轴负半轴的交点, (1)当 r=2 时,求满足条件的 P 点的坐标; (2)当 r∈(1,+∞)时, 求直线 l 的斜率的取值范围. 解:(1)由已知得,r=2 时,可求得 M 点的坐标为 M(-1,0). 设 P(0, (2)设 N 坐标为(x,y) ,由已知得,在圆方程中令 y=0,求得 M 点的坐 2 设 P(0,b) ,则由 kCP?kMP=-1(或用勾股定理)得:r=b +1. 2 2 ∵点 P 为线段 MN 的中点,∴x=r-1=b ,y=2b,又 r>1.∴点 N 的轨迹方程为 y =4x(x>0). (3)由题意知直线 l 的斜率存在且不等于 0. 设直线 l 的方程为 y=kx+2,E(x1,y1) F(x2,y2) x1>0, x2>0. , , 由?

过 M 作圆 C 的弦 MN,并使它的中点 P 恰好落在 y 轴上. 求点 N 的轨迹 G 的方程;3) ( 过点 P 2) (0, 的直线 l 与 中轨迹 G 相交于两个不同的点 E、 若 CE ? >0, (2) F, CF
2 b) ,则由 kCP?kMP=-1(或用勾股定理)得:b =1. ∴b=±1 即点 P 坐标为(0,±1). 标为(1-r,0).

? y ? kx ? 2
2

? y ? 4x 4 ? 4k 4 x1+x2= >0,x1x2= 2 >0,得 k<1. ∵ CE ? CF >0,∴(x1-1) x2-1)+y1y2>0. ( 2 k k 1 2 2 ∴(k +1) x1x2+(2k-1) x1+x2)+5>0.得 k +12k>0. ∴k>0 或 k<-12. ∴0<k< 或 k<-12. ( 2 2 2 x y ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 l:y ? 4 x ? m ,椭圆 C 上有不同的两点关于该直线对称. 38、已知椭圆 C: ? 4 3 分析:若设椭圆上 A , B 两点关于直线 l 对称,则已知条件等价于:(1)直线 AB ? l ;(2)弦 AB 的中点 M 在 l 上. 利用上述条件建立 m 的不等式即可求得 m 的取值范围. 解:(法 1)设椭圆上 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点关于直线 l 对称,直线 AB 与 l 交于 M ( x0 , y0 ) 点.

, 得 k x +(4k-4)x+4=0,由 ? =-32k+16>0,得 k<
2 2

1 且 k≠0. 2

y ? ? x ? n, 1 ? 4 ∵ l 的斜率 kl ? 4 ,∴设直线 AB 的方程为 y ? ? x ? n .由方程组 ? 消去 y 得 ? 2 4 x y2

?

1

8n x ? x2 4 n 1 12 n ? .于是 x0 ? 1 , y0 ? ? x0 ? n ? , 13 2 13 4 13 4n 12 n 4n 13 , ) .∵点 M 在直线 y ? 4 x ? m 上,∴ n ? 4 ? ? m .解得 n ? ? m . ② 即点 M 的坐标为 ( 13 13 13 4 2 2 将式②代入式①得 13x ? 26mx ? 169m ? 48 ? 0 ③ 2 13 2 13 ∵ A , B 是椭圆上的两点,∴ ? ? (26m) 2 ? 4 ?13(169m2 ? 48) ? 0 .解得 ? . ?m? 13 13 13 4 13 ( ? m) ? ? m , (法 2)同解法 1 得出 n ? ? m ,∴ x0 ? 4 13 4 1 13 1 13 y0 ? ? x0 ? m ? ? ? (?m) ? m ? ?3m ,即 M 点坐标为 (?m , ? 3m) . 4 4 4 4 (?m) 2 (?3m) 2 2 13 2 13 ? ? 1 .解得 ? ∵ A , B 为椭圆上的两点,∴ M 点在椭圆的内部,∴ . ?m? 4 3 13 13 (法 3)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是椭圆上关于 l 对称的两点,直线 AB 与 l 的交点 M 的坐标为 ( x0 , y0 ) .

? ? ? 1, ?4 3 ?

13x 2 ? 8nx ? 16n 2 ? 48 ? 0

①。∴ x1 ? x2 ?

x y x y ∵ A , B 在椭圆上,∴ 1 ? 1 ? 1, 2 ? 2 ? 1 .两式相减得 3( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 , 4 3 4 3 3x y1 ? y2 即 3 ? 2 x0 ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 2 y0 ( y1 ? y2 ) ? 0 .∴ ? ? 0 ( x1 ? x2 ) . x1 ? x2 4 y0 3x 又∵直线 AB ? l ,∴ k AB ? kl ? ?1 ,∴ ? 0 ? 4 ? ?1 ,即 y0 ? 3x0 ①。 4 y0 又 M 点在直线 l 上,∴ y0 ? 4x0 ? m ②。由①,②得 M 点的坐标为 (?m , ? 3m) .以下同解法 2. 说明:涉及椭圆上两点 A , B 关于直线 l 恒对称,求有关参数的取值范围问题,可以采用列参数满足的不等式: (1)利用直线 AB 与椭圆恒有两个交点,通过直线方程与椭圆方程组成的方程组,消元后得到的一元二次方程的判别式 ? ? 0 ,建立参数方程. 2 2 x0 y0 ? ? 1 ,将 x0 , y0 利用参数表示,建立参数不等式. (2)利用弦 AB 的中点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部,满足 a b
39、已知抛物线 y2=2px (p≠0)上存在关于直线 x+y=1 对称的相异两点,求 p 的取值范围. 分析:解决本题的关键是找到关于 p 的不等式。 设抛物线上关于直线 x+y=1 对称的两点是 M(x1,y1)、 2,y2), N(x 设直线 MN 的方程为 y=x+b.代入抛物线方程, x2+(2b-2p)x+b2=0.则 x1+x2=2p-2b,y1+y2=( x1+x2)+2b=2p.则 MN 的中点 P 的坐标为 (p-b,p). 得: 因为点 P 在直线 x+y=1 上,所以 2p- b=1,即 b=2p-1。 又 ? =(2b-2p)2-4b2=4p2-8bp>0,将 b=2p-1 代入得:4p2-8p(2p-1)>0,3p2-2p<0.解得: 0<p<

2

2

2

2

2 . 3

40、已知圆 O : x ? y ?
2 2

向量 OQ ? OM ? ON ,求动点 Q 的轨迹方程; (Ⅲ)若直线 nl : x ? 3 y ? 8 ? 0 ,点 A 在直线 n 上,圆 O 上存在点 B ,且 ?OAB ? 30? ( O 为坐标原点),求点 A 的横坐标的取值范围. 解: (Ⅰ)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x ? 1 ,满足题意. ②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 ? k ?x ? 1? ,即 kx ? y ? k ? 2 ? 0

uuu uuuv uuu v v

16 2 7 (I)若直线 l 过点 (1,2) ,且与圆 O 交于两点 R 、 S , RS = ,求直线 l 的方程; (II)过圆 O 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设直线 m 与 y 轴的交点为 N ,若 9 . 3

3 | ?k ? 2 | 16 ? 7 ? 设圆心到此直线的距离为 d ,则 d ? ∴1 ? ,k ? , ?? ? 3 ? ?1 ? 2 4 9 ? k ?1 ? 故所求直线方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 ,综上所述,所求直线为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 或 x ? 1 ??? ???? ???? ? ? (Ⅱ)设点 M ?x0 , y0 ? , Q ? x, y ? ,则 N ?0, y0 ? ∵ OQ ? OM ? ON ,

2

16 y 2 16 y 2 16 2 2 ? ? ( y ? 0) . ,∴ x ? 由已知,直线 m //ox 轴,所以, y ? 0 ,∴ Q 点的轨迹方程是 x ? 9 4 9 , 4 9 8 ? x0 1 64 | OM | 1 ) .过点 A 作圆 O 的切线,切点为 M ,则 ?OAM ≥ ?OAB ? 30? .从而 sin ?OAM ≥sin30? ? ,即 ≥sin30? ? ,就是 | OA |2 ≤ 4(| OM |2 ) ? (Ⅲ)依题意点 A ? n ,设 A( x0, , 3 2 9 | OA | 2 8 ? x0 2 64 8 2 x0 2 ? ( ) ≤ , 5x0 ? 8x0 ≤ 0 ,解得 x0 ? [0, ] . y 3 9 5
∴ ? x, y ? ? ? x0 ,2 y0 ? 即 x0 ? x ,

y0 ?

y 2

又∵ x0 ? y0 ?
2 2

41、已知△PAQ 顶点 P(-3,0) ,点 A 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴正半 直线 l:y=k(x+1)与轨迹 E 交于 B、C 两点,点 D(1,0) ,若∠ 解:(1)OM =(x,y) OA =(0,a) OQ =(b, (b>0) , , 0) ,则 PA =

M
B A

轴上, PA? AQ ? 0 , QM ? 2 AQ .(1)当点 A 在 y 轴上移动时,求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)设 BDC 为钝角,求 k 的取值范围.

x

(3,a) AQ =(b,-a) , ,又 PA ? AQ =0,∴a2=3b ①,又∵ QM =(x-b,y) AQ =(b,-a) , ,

? x ? 3b QM =2 AQ ,∴ ? ? y ? ?2a

②,

O

由①②得 y2=4x(x≠0). 即 M 的轨迹的方程为 y2=4x,x≠0. (2)设 OB =(x1,y1) OC =(x2,y2) DB =(x1-1,y1) DC =(x2-1, , , , ∴ DB ? DC <0,x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0 ③. 由? y2) DB ? DC =| DB |?| DC |cos∠BDC,∵∠BDC 为钝角,∴cos∠BDC= ,

DB ? DC | DB | ? | DC |

? 0,

? y ? 4x 1 4 ? 2k 2 2 2 消去 y,得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0(k≠0) ,则 x1+x2= ,x1x2=1 ④,y1y2=k2(x1+1) 2+1)= k2[x1x2+(x1+x2)+1] ⑤ (x ,④⑤ 代入③,得 k2< ? ? <k< 2 2 2 2 k ? y ? k ( x ? 1)
2 2 <k< (k≠0). 2 2

(k≠0) ,满足△>0. ∴ ?

42、给定抛物线 C:y2=4x,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,记 O 为坐标原点.(1)求 OA ? OB 的值; (2)设 AF = ? FB ,当三角形 OAB 的面积 S∈[2, 5 ] ,求 ? 的取值范 围. (1)根据抛物线方程 y2=4x,可得 F(1,0) , 设直线 l 的方程为 x=my+1,将其与 C 的方程联立,消去 x 得 y2-4my-4=0, 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) 1>0>y2). , (y
2 2 则 y1y2=-4.因为 y1 ? 4x1 , y2 ? 4x2 ,所以 x1x2=

1 2 2 y1 y 2 ? 1. 16

故 OA ?OB ? x1x2+y1y2=-3. (2)因为 AF ? ? FB 所以(1-x1,-y1)= ? (x2-1,y2). 即?

?1 ? x1 ? ?x2 ? ? ?? y1 ? ?y 2

① ②

2 ,又 y1 ? 4x1 , ③

2 y2 ? 4x2 , ④

由②、③、④消去 y1,y2 后,得 x1= ? 2x2,将其代入①注意到 ? >0,解得 x2= 从而可得 y2= ? 因为 ? ?

1

?

.

2

?

,y1= 2

? .故三角形 OAB 的面积 S = |OF|?|y1-y2|= ? ?
1

1 2

1

?



1

?

≥2 恒成立. 所以只要解 ? ?

?

≤ 5 即可,解得

3? 5 3? 5 ≤? ≤ . 2 2

43、已知动圆过定点 P(1,0) ,且与定直线 l : x ? ?1 相切,点 C 在 l 上. (1)求动圆圆心的轨迹 M 的方程; (2)设过点 P,且斜率为- 3 的直线与曲线 M 相交于 A,B 两点.(i)问:△ABC 能否为正 三角形?若能,求点 C 的坐标;若不能,说明理由; (ii)当△ABC 为钝角三角形时,求这种点 C 的纵坐标的取值范围. 讲解 本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系,是解析几何中的存在性问题. (1)由曲线 M 是以点 P 为焦点,直线 l 为准线的抛物线,知曲线 M 的方程为 y 2 ? 4 x .
? (2) (i)由题意得,直线 AB 的方程为 y ? ? 3 ( x ? 1),由 ? y ? ? 3 ( x ? 1), 消 y 得 ? 2 ? y ? 4 x, ? 1 3x 2 ? 10 x ? 3 ? 0, 解出 x1 ? , x 2 ? 3. 3 1 2 3 16 于是, A 点和 B 点的坐标分别为 A ( , , ) ,B(3, ? 2 3 ) | AB |? x1 ? x 2 ? 2 ? . 3 3 3 假设存在点 C(-1,y) ,使△ABC 为正三角形,则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|, 即有 16 2 ? y 2 ? 4x 2 2 ?(3 ? 1) ? ( y ? 2 3 ) ? ( 3 ) ① ?
? ?( 1 ? 1) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? (16) 2 ② ?3 3 3 ?

由①-②得 42 ? ( y ? 2 3 )2 ? ( 4 )2 ? ( y ? 2 3 )2 ,
3 3

2 3 3

解得y ? ?

14 3 . 9
(3, ? 2 3 )

?2 3 因为 y ? ? 14 3 不符合①,所以由①,②组成的方程组无解.
9

故知直线 l 上不存在点 C,使得△ABC 是正三角形. (ii)设 C(-1,y)使△ABC 成钝角三角形, 由 ? y ? ? 3 ( x ? 1), 得 y ? 2 3. ?
? x ? ?1,

即当点 C 的坐标是(-1, 2 3 )时,三点 A,B,C 共线,故 y ? 2 3 .
1 2 3 2 28 4 3 y | AC | 2 ? (?1 ? ) 2 ? ( y ? ) ? ? ? y2 , 3 3 9 3

| BC |2 ? (3 ? 1) 2 ? ( y ? 2 3) 2 ? 28 ? 4 3 y ? y 2 ,
16 256 . | AB | 2 ? ( ) 2 ? 3 9

(i) 当 | BC |2 ?| AC |2 ? | AB |2 ,即 28 ? 4 3 y ? y 2 ? 28 ? 4 3 y ? y 2 ? 256 , 9 3 9 2 即y? 3时, ?CAB 为钝角. 9 (ii) 当 | AC |2 ?| BC |2 ? | AB |2 ,即 28 ? 4 3 y ? y 2 ? 28 ? 4 3 y ? y 2 ? 256 , 9 3 9 即 y ? ? 10 3时?CBA 为钝角.
3

(iii)当 | AB |2 ?| AC |2 ? | BC |2 ,即

256 28 4 3 y ? ? ? y 2 ? 28 ? 4 3 y ? y 2 , 9 9 3
该不等式无解,所以∠ACB 不可能为钝角.

即 y 2 ? 4 3 y ? 4 ? 0, ( y ? 2 ) 2 ? 0 . 3 3 3

故当△ABC 为钝角三角形时,点 C 的纵坐标 y 的取值范围是 y ? ? 10 3 或y ? 2 3 ( y ? 2 3 ) .
3 9

2 。DO⊥AB 于 O 点,OA=OB,DO=2,曲线 E 过 C 点,动点 P 在 E 上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变.(1)建立适当的坐标系,求曲线 E 的方 2 DM ? ? , 试确定实数 ? 的取值范围. 程; (2)过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、N 且 M 在 D、N 之间,设 DN
44、在 Rt△ABC 中,∠CBA=90°,AB=2,AC= 讲解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示 . ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | = y C

2 2 ? 22 ? ( ) 2 ? 2 2 2 2

∴动点 P 的轨迹是椭圆 . ∵a ?

A

O

B

x

2,

b ? 1,
2

c ? 1.

∴曲线 E 的方程是

x ? y2 ? 1 . 2

2 2 (2)设直线 L 的方程为 y ? kx ? 2 , 代入曲线 E 的方程 x ? 2 y ? 2 ,得

(2k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 6 ? 0
设 M1( x1, y1 ),

N ( x2 , y2 ) , 则

? ?? ? (8k ) 2 ? 4(2k ? 1) ? 6 ? 0, ① ? 8k ? , ? x1 ? x 2 ? ? 2 ② 2k ? 1 ? 6 ? ③ ? x1 x 2 ? 2k 2 ? 1 . ? | DM | 1 i) L 与 y 轴重合时, ? ? ? | DN | 3
ii) L 与 y 轴不重合时,

3 k2 ? . 2 x DM x D ? x M 又∵ ? ? ? ? 1, DN x D ? x N x2
由①得 ∵ x2 ? x1 ? 0, ∴0< ? <1 , 或

x2 ? x1 ? 0,

( x1 ? x2 ) 2 x1 x2 1 ∴ ? ? ?2??? ?2 . x1 ? x2 x2 x1 ?


( x ? x2 ) 2 x1 ? x2
2

?

64k 2 ? 6(2k 2 ? 1)

32 3(2 ? 1 ) k2

而k ? ∴ 4?

3 , 2

∴ 6 ? 3( 2 ?

1 ) ? 8. k2

32 3(2 ? 1 ) k2

?

16 , 3
16 , 3 2??? 1 ? 10 , 3

∴ 4???

1

?

?2?

?

? ?0 ? ? ? 1, ? 1 ? ?? ? ? 2, ? ? 1 10 ? ?? ? ? ? 3 , ?

?

1 ?1 ? ? ? ? 1. ∴ ? 的取值范围是 ? ,1? . 3 ?3 ?

45、已知平面上一定点 C (?1, 0) 和一定直线 l : x ? ?4. P为该平面上一动点,作 PQ ? l , 垂足为 Q , ( PQ? 2 PC) ? ( PQ? 2 PC) ? 0 .(1) 问点P在什么曲线上?并求出该曲线方程; (2)点O是坐标原

?

?

?

?

点, A、B 两点在点P的轨迹上,若 OA ? ?OB ? 1 ? ?) , 求 ? 的取值范围. ( OC 解:(1)由 ( PQ ? 2PC) ? ( PQ ? 2PC) ? 0 ,得: PQ ? 4PC ? 0 ,???(2 分)
2 2 2 ? ? 1 ,???(4 分) 设 P( x, y ) ,则 ( x ? 4) ? 4 ?( x ? 1) ? y ? ? 0 ,化简得: ? ? 4 3

uuv

uuv u

uu v

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? 2 ?

??? 2 ?

x2

y2

x2 y 2 ? ? 1 .???(6 分) 4 3 ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? x1 ? ?1 ? ? ? ? x2 (2)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,由 OA ? ?OB ? (1 ? ? )OC 得: CA ? ? CB ? 0 ,所以, A 、B 、C 三点共线.且 ? ? 0 ,得: ( x1 ? 1, y1 ) ? ? ( x2 ? 1, y2 ) ? 0 ,即: ? ?(8 分) ? y1 ? ?? y2
点 P 在椭圆上,其方程为 因为

x12 y12 (?1 ? ? ? ? x2 ) (?? y2 )2 ? ? 1 ,所以 ? ?1 4 3 4 3 x2 2 y2 2 (? x2 ) 2 (? y2 ) 2 ? ? 1 ,所以 ? ? ?2 4 3 4 3

①???(9 分)

又因为

②???(10 分)

3 ? 5? 2? (? ? 1) x2 ? (? ? 1)2 ? 1 ? ? 2 ,化简得: x2 ? 由①-②得: ,???(12 分) 2? 4 3 ? 5? ? 2. 因为 ?2 ? x2 ? 2 ,所以 ?2 ? 2? 1 ?1 ? ? ? ? 3 所以 ? 的取值范围为 ? ,3? . 解得: ???(14分) 3 ?3 ?
六、定值、定点、定直线 2 46、过 y =x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线 AB、AC 交抛物线于 B、C 两点.求证:直线 BC 的斜率是定值. 分析: (1)点 A 为定点,点 B、C 为动点,因直线 AB、AC 的倾斜角互补,所以 kAB 与 kAC 相反,故可用“k 参数”法,设 AB 的斜率为 k,写出直线 AB 的方程,将 AB 的方程与抛物线方程联立,因 A 为 已知交点,则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点 B 坐标,同理可得点 C 坐标,再求 BC 斜率。 (2)因点 B、C 在抛物线上移动,也可用“点参数”法,设 B(x1,y1),C(x2,y2),因 x1=y1 ,x2=y2 ,即可设 B(y1 ,y1),C(y2 ,y2)。再考虑 kAB=-kAC 得参数 y1,y2 的关系。 解法 1:设 AB 的斜率为 k,则 AC 的斜率为-k AB:y-2=k(x-4),与 y =x 联立得: y-2=k(y -4),即 ky -y-4k+2=0 ∵y=2 是此方程的一解,∴2yB=
2 2 2 2 2 2 2

? 4k ? 2 1 ? 2k , yB ? k k

xB=yB =

2

? 1 ? 4k ? 4 k 2 1 ? 2k ? 1 ? 4k ? 4k 2 ? , ∴B ? , ? k2 k ? k2 ? ?

∵kAC=-k,以-k 代替 k 代入 B 点坐标得 C ? ?

? 1 ? 4 k ? 4k 2 1 ? 2 k ? ? , ?k ? k2 ? ?

1 ? 2k 1 ? 2k ? 1 k k ∴kBC= ? ? 为定值 2 2 4 1 ? 4k ? 4k 1 ? 4k ? 4k ? 2 k k ?
解法 2:设 B(y1 ,y1),C(y2 ,y2),则 kBC=
2 2

y 2 ? y1 y 2 ? y1
2 2

?

1 y 2 ? y1

∵kAB=

y1 ? 2 y ?2 1 1 ? , k AB ? 22 ? 2 y 1 ? 4 y1 ? 2 y2 ? 4 y2 ? 2
1 1 1 ?? , 则y1 ? y 2 ? ?4 则 kBC= ? 为定值。 4 y1 ? 2 y2 ? 2

由题意,kAB=-kAC ∴

点评:解法 1 运算量较大,但其方法是一种基本方法,因 k 的变化而造成了一系列的变化,最终求出 BC 的斜率为定值;解法 2 利用点 B,C 在抛物线上设点,形成含两个参数 y1,y2 的问题,用整体 思想解题,运算量较小。 47、已知 A,B 分别是直线 y=x 和 y=-x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2 3 ,D 是 AB 的中 点. (1)求动点 D 的轨迹 C 的方程; (2)若过点(1,0)的直线 l 与曲线 C 交于不同两点 P、Q, uuu uuu v v ① 当|PQ|=3 时,求直线 l 的方程;② 设点 E (m,0)是 x 轴上一点,求当 PE · QE 恒为定值时 E 点的坐标及定值. a?b a ?b 解:(1)设 D(x,y),A(a,a),B(b,-b),∵D 是 AB 的中点, ∴ x= ,y= , 2 2 ∵|AB|=2 3 ,∴ (a-b)2+(a+b)2=12,∴ 2+(2x)2=12∴ D 的轨迹 C 的方程为 x2+y2=3. (2y) 点 (2) ① 当直线 l 与 x 轴垂直时,P(1, 2 ),Q(1,- 2 ),此时|PQ|=2 2 ,不符合题意; 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x-1), 由于|PQ|=3,所以圆心 C 到直线 l 的距离为 由
| ?k | k ?1
2

3 , 2



3 ,解得 k= ? 3 .故直线 l 的方程为 y= ? 3 (x-1). 2

② 当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=k(x-1), 由消去 y 得(k2+1)x2-2k2x+k2-3=0, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2)则由韦达定理得 x1+x2=
2k 2 k2 ? 3 ,x1x2= 2 , 2 k ?1 k ?1

??? ? ??? ? 则 PE =(m-x1,-y1), QE =(m-x2,-y2), ? ??? ??? ? QE ∴PE · =(m-x1)(m-x2)+y1y2=m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2

=m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1)

=m2-

2mk 2 k2 ? 3 k2 ? 3 2k 2 (m2 ? 2m ? 1)k 2 ? m2 ? 3 + 2 +k2 ( 2 - 2 +1)= k 2 ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k 2 ?1
? ??? ??? ? m2 ? 2m ? 1 =1,解得 m=1,∴PE · 为定值-2, QE 2 m ?3

要使上式为定值须

当直线 l 的斜率不存在时 P(1, 2 ),Q(1,- 2 ), ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? 由 E(1,0)可得 PE =(0,- 2 ), QE =(0, 2 ),∴PE · =-2, QE 综上所述当 E(1,0)时, PE · 为定值-2. QE
2 2 48、垂直于 x 轴的直线交双曲线 x 2 ? 2 y 2 ? 2 于 M、N 不同两点,A1、A2 分别为双曲线的左顶点和右顶点,设直线 A1M 与 A2N 交于点 P(x0,y0) (Ⅰ)证明: x0 ? 2 y0 为定值 (Ⅱ)过 P 作斜率为 ;

? ??? ??? ?

?

x0 的直线 l,原点到直线 l 的距离为 d,求 d 的最小值. 2 y0

解(Ⅰ)证明: 设M ( x1 ,? y1 ),则N ( x1 ,? y1 ),? A1 (? 2 ,0), A2 ( 2,0)

? 直线A1 M的方程为y ?
直线 A2N 的方程为 y ?

y1 x1 ? 2

(x ? 2)



? y1 x1 ? 2

(x ? 2)

②??4 分

①?②,得 y ?
2

? y12 x1 ? 2
2

( x 2 ? 2)

1 ? x12 ? 2 y12 ? 2,? y 2 ? ? ( x 2 ? 2),即x 2 ? 2 y 2 ? 2 2 ? P( x0 , y 0 )是直线A1 M与A2 N的交点
2 2 ? x0 ? 2 y 0 ? 2为定值??8分

(Ⅱ) l的方程为y ? y0 ? ?

x0 2 2 ( x ? x0 ),结合x0 ? 2 y0 ? 2整理得x0 x ? 2 y0 y ? 2 ? 0 2 y0

于是d ?

2
2 2 x0 ? 4 y 0

?

2
2 2 ? 2 y0

?

2 ??10 分 2 1 ? y0
?d ? 2 ?1 2 1 ? y0

2 2 ? x0 ? 2 y 0 ? 2

2 ? y0 ? 1

2 ?1 ? y 0 ? 2

当 y0 ? ?1 , y0 ? 1, d取最小值 ??12 分 时 2 1 49、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C(0,p)作直线与抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 相交于 A、B 两点. (1)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 ?ANB 面积的最小值;

(2)是否存在垂直 y 轴的直线 l,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由. 解法一: (1)依题意,点 N 的坐标为 N(0,-p) ,可设 A(x1, y1) ,B(x2, y2) , 由韦达定理得 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 x2 ? ?2 p 2 . 于是
1 S?ABN ? S?BCN ? S?ACN ? ? 2 p | x1 ? x2 |? p | x1 ? x2 |? p ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 ? p 4 p2 k 2 ? 8 p2 ? 2 p2 k 2 ? 2, 2

直线 AB 的方程为 y ? kx ? p ,与 x2=2py 联立得 ?

? x 2 ? 2 py, 消去 y 得 x2 ? 2 pkx ? 2 p 2 ? 0. ? y ? kx ? p.

∴ k=0 时, (S?ABN )min ? 2 2 p2. 当 (2)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y=a, AC 的中点为 O? ,l 与
1 1 2 1 2 ∵ | O?P |? | AC |? x1 ? ( y1 ? p)2 ? y1 ? p 2 , 2 2 2
| O?H |? a ?
2

y

以 AC 为直径的圆相交于点 P、Q,PQ 的中点为 H,则 O?H ? PQ, O? 点的坐标为 ?

? x1 y1 ? p ? , . 2 ? ?2 ?

y1 ? p 1 ? | 2a ? y1 ? p |, 2 2

B

A 1 1 p? ? l ∴| PH | ?| O?P |2 ? | O?H |2 ? ( y12 ? p2 )) ? (2a ? y1 ? p)2 ? ? a ? ? y1 ? a( p ? a), 4 4 2? ? O x ?? p? ? 2 2 ∴| PQ | ? (2 | PH |) ? 4 ?? a ? ? y1 ? a( p ? a) ? . N 2? ?? ? p p p 令 a ? ? 0 ,得 a ? ,此时|PQ|=p 为定值,故满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? ,即抛物线的通径所在的直线. 2 2 2 解法二: (1)前同解法一,再由弦长公式得
| AB |? 2 ? k 2 | x1 ? x 2 |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 ? 1 ? k 2 ? 4 p2k 2 ? 8 p2 ? 2 p 1 ? k 2 ? k 2 ? 2. 又由点到直线的距离公式得 d ?
S?ABN ? 1 1 2p ? d ? | AB |? ? 2 p 1 ? k 2 ? k 2 ? 2 ? ? 2 p2 k 2 ? 2 , 2 2 2 1? k ?? ?? p? ? ? y1 ? a ( p ? a ) ? . 2? ? 2p 1? k 2

O?

C

,从而,

(2)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y=a,则以 AC 为直径的圆的方程为 ( x ? 0)( x ? x1 ) ? ( y ? p)( y ? y1 ) ? 0 ,将直线方程 y=a 代入得 x2 ? x1 x ? (a ? p)(a ? y1 ) ? 0, 则 ? ? x12 ? 4(a ? p)(a ? y1 ) ? 4 ?? a ?

设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 P(x3, y3) ,Q(x4, y4) ,则有
?? p? ? p? ? | PQ |?| x3 ? x4 |? 4 ?? a ? ? y1 ? a( p ? a) ? ? 2 ? a ? ? y1 ? a( p ? a). 2? 2? ? ?? ? p p p 令 a ? ? 0, 得a ? ,此时|PQ|=p 为定值,故满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? ,即抛物线的通径所在的直线. 2 2 2

x2 y 2 3 2 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 是圆 O : x ? y ? 2 上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 处的切线, l 与双曲线 C 交 2 a b 3 于不同的两点 A, B ,证明 ?AOB 的大小为定值.
50、已知双曲线 C : 【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.

? a2 3 ? ? ? 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 , (Ⅰ)由题意,得 ? c ?c ? 3 ?a ?
∴ b ? c ? a ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2 2 2

2

(Ⅱ)点 P ? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0? 在圆 x2 ? y 2 ? 2 上, 圆在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? y0 ? ?

y2 ? 1. 2

x0 ? x ? x0 ? , y0

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 2 2 2 化简得 x0 x ? y0 y ? 2 .由 ? 及 x0 ? y0 ? 2 得 ? 3 x0 ? 4 ? x ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0 , 2 ?x x ? y y ? 2 0 ? 0 2 ∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? x0 ? 2 ,
2 2 2 2 ∴ 3x0 ? 4 ? 0 ,且 ? ? 16 x0 ? 4 3 x0 ? 4 8 ? 2 x0 ? 0 ,

?

??

?

设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OA ? OB 1 ∵ cos ?AOB ? ??? ??? ,且 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2 ? 2 ? x0 x1 ?? 2 ? x0 x2 ? , ? ? y0 OA ? OB

4 x0 8 ? 2 x2 , x1 x2 ? 2 0 , 2 3x0 ? 4 3x0 ? 4

? x1 x2 ?

2 2 2 2 x0 ?8 ? 2 x0 ? ? 8 ? 2 x0 8 x0 1 ? ?4 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 2 3x0 ? 4 2 ? x0 ? 3x0 ? 4 3x0 ? 4 ? ? ? 2 2 8 ? 2x 8 ? 2x ?? 2 0 ? 2 0 ? 0 .∴ ?AOB 的大小为 90? . 3x0 ? 4 3x0 ? 4

1 2 ? 4 ? 2 x0 ? x1 ? x2 ? ? x0 x1 x2 ? 2 ? 2 ? x0 ?

【解法 2】 (Ⅰ)同解法 1.

(Ⅱ)点 P ? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0? 在圆 x ? y ? 2 上,
2 2

圆在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? y0 ? ?

x0 ? x ? x0 ? , y0

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 化简得 x0 x ? y0 y ? 2 .由 ? 及 x0 ? y0 ? 2 得 ? 3 x0 ? 4 ? x ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0 ① ? 3 x0 ? 4 ? y ? 8 y0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0 ②∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? x0 ? 2 ,∴ 2 ?x x ? y y ? 2 0 ? 0 ??? ???? ? 8 ? 2 x2 2 x2 ? 8 ? 2 2 2 , ∴ OA? OB? 1 2 ? 1 2 ? , ∴ ?AOB 的 大 小 为 90 . ( ∵ x0 ? y0 ? 2 且 x0 y0 ? 0 , ∴ 3x0 ? 4 ? 0 , 设 A 、 B 两 点 的 坐 标 分 别 为 ? x1, y1? ,? x2 , y2 , 则 x1 x2 ? 2 0 , y1 y2 ? 0 xx y y 0 ? 2 3x0 ? 4 3x0 ? 4
2 2 2 0 ? x0 ? 2,0 ? y0 ? 2 ,从而当 3x0 ? 4 ? 0 时,方程①和方程②的判别式均大于零).

51、 (1)若 A、B 是抛物线 y =2Px(p>0)上的点,且∠AOB=90°(O 为原点) .求证:直线 AB 过定点. (2)已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F, A、B 为抛物线上的两个动点. (Ⅰ)如果直线 AB 过抛物线焦点, uuv uuv u 判断坐标原点 O 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系,并给出证明; (Ⅱ)如果 OA ? OB ? ?4 ( O 为坐标原点) ,证明直线 AB 必过一定点,并求出该定点. (1)证明:设 OA:y=kx,代入 y =2px 得 k x =2px 则 x ?
2 2 2

2

2p 2p ,y ? 2 k k

∴ A(

2p 2p , ) k2 k

同理由 OB:y=-

1 2 x 可得 B(2pk ,-2pk) k AB k

2p 1 ? 2 pk ?k 1 k k k ? ? ? ? 2p 1 1 1? k 2 ? 2 pk 2 ?k2 ?k k k2 k2

∴ AB : y 2 pk ?

k ( x ? 2 pk 2 ) 1? k 2

令 x=2p 得 y=0,说明 AB 恒过定点(2p,0)

(2)解: (Ⅰ)∵焦点 F 为(1,0) ,过点 F 的直线 AB 的方程可设为 x ? ty ? 1 ,代入抛物线 y 2 ? 4 x 得: y 2 ? 4ty ? 4 ? 0 , 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 y1 y2 ? ?4 ,
x1 x2 ?
2 y12 y2 ? ? 1. 4 4

? ? ?? ? ? ?? ?O A O B 1 x2 x? ? ?

1

y2 y ? 1 4 ?

?3? , 0 ?
??????6 分

于是 ?AOB 为钝角,故 O 在圆内.

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 x ? ty ? b, 代入抛物线y 2 ? 4 x 消去 x,得

y 2 ? 4ty ? 4b ? 0.设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 4t , y1 y2 ? ?4b. ??? ??? ? ? ?OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (ty1 ? b)(ty2 ? b) ? y1 y2 ? t 2 y1 y2 ? bt ( y1 ? y2 ) ? b2 ? y1 y2
= ? 4bt ? 4bt ? b ? 4b ? b ? 4b .
2 2 2 2

令 b2 ? 4b ? ?4,?b ? 2. ,∴直线 AB 过定点(2,0) .???????13 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上存在一点 P 到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的距 a 2 b2 离相等. (I)求椭圆的离心率 e 的取值范围; (II)若椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1 ,求椭圆 C 的方程; (Ⅲ)若直线 l : y ? kx ? m 与(II)中所述椭圆 C 相交于 A 、
52、已知椭圆 C :

B 两点( A 、 B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点 A2 ,求证:直线 l
过定点,并求出该定点坐标.

解:(Ⅰ)设点 P 的坐标为 P( x, y ) ,则|PF|= a ? ex ,∴ a ? ex = (II) a ? c ? 3, a ? c ? 1 ,? a ? 2, c ? 1, b ? 3 ,
2

a 2 (a ? c) a 2 (a ? c) a2 ,而 x ? a ,∴ ? x , 整理得: x ? ? a ,解得 2 ? 1 ? e ? 1 c c(a ? c) c(a ? c)
x2 y 2 ? ? 1. 4 3

∴ 椭圆的方程为

? y ? kx ? m, ? (Ⅲ)设 A( x2 , y2 ), B( x2 , y2 ) ,联立 ? x 2 y 2 ? 1, ? ? ?4 3 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 .
? ?? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0, 即3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0 ? 8mk ? 则 ? x1 ? x2 ? ? , 3 ? 4k 2 ? ? 4(m 2 ? 3) x1 ? x2 ? . ? 3 ? 4k 2 ? 3(m2 ? 4k 2 ) 2 2 又 y1 y2 ? (kx2 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m ? , 3 ? 4k 2 ∵ 椭圆的右顶点为 A2 (2,0), AA2 ? BA2 , ,

?( x2 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0, ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0,
3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ? ? 4 ? 0, ?7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0, 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 当 m1 ? ?2k 时, l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 ? 2, 0 ? ,与已知矛盾.
2k 2 时, l 的方程为 y ? k ( x ? ) , 7 7 ?2 ? ?2 ? 直线过定点 ? , 0 ? , ∴ 直线 l 过定点,定点坐标为 ? , 0 ? . ?7 ? ?7 ?
当 m2 ? ? 53、已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A ? ?2,0? 、 B ? 2,0? 、 C ?1, ? 三点. )求椭圆 E 的方程; )若直线 l : y ? k ? x ?1? ( k ? 0 )与椭圆 E 交于 M 、 N 两点,证明直 (Ⅰ (Ⅱ 线 AM 与直线 BN 的交点在一条定直线上. (Ⅰ )解法一:当椭圆 E 的焦点在 x 轴上时,设其方程为 解得: m1 ? ?2k , m2 ? ?

2k 2 2 ,且均满足 3 ? 4k ? m ? 0 , 7

? 3? ? 2?

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , a 2 b2

? 3? ? 2? x2 y 2 ? ? 1. ∴椭圆 E 的方程为 4 3

则 a ? 2 ,又点 C ?1, ? 在椭圆 E 上,得

1 9 ? 2 ? 1 .解得 b2 ? 3 . 2 2 4b

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , b2 a 2 1 9 ? 3? ? 1 .解得 a 2 ? 3 ,这与 a ? b 矛盾. 则 b ? 2 ,又点 C ?1, ? 在椭圆 E 上,得 2 ? 2 4a 2 ? 2?
当椭圆 E 的焦点在 y 轴上时,设其方程为 综上可知,椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

??4 分

?4m ? 1, 1 1 x2 y 2 ? ? 3? ? ? 1. 解法二:设椭圆方程为 mx ? ny ? 1 ( m ? 0, n ? 0 ) ,将 A ? ?2,0? 、 B ? 2,0? 、 C ?1, ? 代入椭圆 E 的方程,得 ? 解得 m ? , n ? .∴椭圆 E 的方程为 9 3 4 4 3 ? 2? ?m ? 4 n ? 1. ? 2 2 x y ? ? 1 并整理,得 ? 3 ? 4k 2 ? x 2 ? 8k 2 x ? 4 ? k 2 ? 3? ? 0 ,设直线 l 与椭圆 E 的交点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , (Ⅱ )证法一:将直线 l : y ? k ? x ?1? 代入椭圆 E 的方程 4 3 2 2 4 ? k ? 3? 8k 由根与系数的关系,得 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . ??8 分 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ? 6y ? ? 2y ? y1 直线 AM 的方程为: y ? ??10 分 ? x ? 2 ? ,它与直线 x ? 4 的交点坐标为 P ? 4, 1 ? ,同理可求得直线 BN 与直线 x ? 4 的交点坐标为 Q ? 4, 2 ? . x1 ? 2 ? x1 ? 2 ? ? x2 ? 2 ? 下面证明 P 、 Q 两点重合,即证明 P 、 Q 两点的纵坐标相等:
2 2

∵ y1 ? k ? x1 ?1? , y2 ? k ? x2 ?1? , ∴

? 8 ? k 2 ? 3? 40k 2 ? 2k ? ? ? 8? 2 2 3 ? 4k 2k ? 2 x1 x2 ? 5 ? x1 ? x2 ? ? 8? ? ? 3 ? 4k ? ? ?0. ? ? ? ? ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? x1 ? 2?? x2 ? 2?
因此结论成立. 综上可知,直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x ? 4 上. 证法二:将直线 l : y ? k ? x ?1? ,代入椭圆 E 的方程 设直线 l 与椭圆 E 的交点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,
2 2

6k ? x1 ? 1?? x2 ? 2 ? ? 2k ? x2 ? 1?? x1 ? 2 ? 6 y1 2 y2 ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ? x1 ? 2?? x2 ? 2?

??14 分 ??6 分

x y ? ? 1 并整理,得 ? 3 ? 4k 2 ? x 2 ? 8k 2 x ? 4 ? k 2 ? 3? ? 0 , 4 3

4 ? k 2 ? 3? 8k 2 由根与系数的关系,得 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 k ? x ? 1? y1 直线 AM 的方程为: y ? ? x ? 2 ? ,即 y ? 1 ? x ? 2? . x1 ? 2 x1 ? 2 k ? x ? 1? y2 ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 ? x ? 2? . x2 ? 2 x2 ? 2 AM 与直线 BN 的方程消去 y ,得 由直线
直线 BN 的方程为: y ?

??8 分

??10 分

x?

? 8 ? k 2 ? 3? 24k 2 ? 2 2? ? ? 4 x2 ? 4 ? ? 4k ? 6 ? x ? 2 2 ? 2? 2 3 ? 4k ? 3 ? 4k ? ? ? ? ? 3 ? 4k ? ? 4. ? 8k 2 4k 2 ? 6 ? 4 ? 2 x2 ? ? x2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

2 ? 2 x1 x2 ? 3 x1 ? x2 ? 2 ? 2 x1 x2 ? 3 ? x1 ? x2 ? ? 4 x2 ? ? ? ? x1 ? 3x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? ? 2 x2 ? 4

∴直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x ? 4 上. 证法三:将直线 l : y ? k ? x ?1? ,代入椭圆方程 设直线 l 与椭圆 E 的交点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , 由根与系数的关系,得 x1 ? x2 ?
2 2

??14 分

x y ? ? 1 并整理,得 ? 3 ? 4k 2 ? x 2 ? 8k 2 x ? 4 ? k 2 ? 3? ? 0 , 4 3

??6 分

4 ? k 2 ? 3? 8k 2 , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 2 消去 k 得, 2x1x2 ? 5 ? x1 ? x2 ? ? 8 .
直线 AM 的方程为: y ? 直线 BN 的方程为: y ?

??8 分 ??10 分

k ? x ? 1? y2 ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 ? x ? 2? . x2 ? 2 x2 ? 2 由直线 AM 与直线 BN 的方程消去 y 得,
2 ? 2 x1 x2 ? 3 x1 ? x2 ? 2 ?5 ? x1 ? x2 ? ? 8 ? 3 x1 ? x2 ? ? ? 4. ? ? x1 ? 3 x2 ? 4 x1 ? 3 x2 ? 4 ∴直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x ? 4 上. x?

k ? x ? 1? y1 ? x ? 2 ? ,即 y ? 1 ? x ? 2? . x1 ? 2 x1 ? 2
??12 分

??14 分


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