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1-4 全称量词与存在量词

能力拓展提升 一、选择题 10.命题 p:?x>1,log2x>0,则綈 p 是( A.?x>1,log2x≤0 B.?x≤1,log2x>0 C.?x>1,log2x≤0 D.?x≤1,log2x>0 [答案] C ) [解析] 全称命题的否定是特称命题.故选 C. 11.给出下列四个命题,其中为真命题的是( A.任意 x∈R,x2+3<0 C.存在 x∈Z,使 x5<1 [答案] C ) B.任意 x∈N,x2≥1 D.存在 x∈Q,x2=3 [解析] 由于任意 x∈R,都有 x2≥0,因而有 x2+3≥3, 所以命题“任意 x∈R,x2+3<0”为假命题; 由于 0∈N,当 x=0 时,x2≥1 不成立, 所以命题“任意 x∈N,x2≥1”是假命题; 由于-1∈Z,当 x=-1 时,x5<1, 所以命题“存在 x∈Z,使 x5<1”为真命题; 由于使 x2=3 成立的数只有± 3,而它们都不是有理数, 因此没有任何一个有理数的平方能等于 3,所以命题“存在 x∈ Q,x2=3”是假命题.故选 C. 12.下列命题中的假命题是( ) A.存在实数 α 和 β,使 cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ B.不存在无穷多个 α 和 β,使 cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ C.对任意 α 和 β,使 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ D.不存在这样的 α 和 β,使 cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ [答案] [ 解析 ] B cos(α+ β)= cosα· cosβ- sinα· sinβ,显然 C、 D 为真; sinα· sinβ=0 时,A 为真;B 为假.故选 B. 13.(2013· 银川一中模拟)有下列命题: ①设集合 M={x|0<x<3},N={x|0<x<2},则“x∈M”是“x∈ N”的充分而不必要条件; ②若 p∧q 是假命题,则 p,q 都是假命题; ③命题 P:“?x0∈R,x2 0-x0-1>0”的否定綈 P:“?x∈R, x2-x-1≤0”. 则上述命题中为真命题的是( A.①② C.③ [答案] [解析] C ①错误,“x∈M”是“x∈N”的必要而不充分条件; ) B.①③ D.②③ 因为“且”命题满足一假即假, 故 p 和 q 至少有一个为假命题, 故② 错误; 由命题的否定的定义可判断③正确, 综上可知只有③为真命题, 故选择 C. 14. 已知 a>0, 函数 f(x)=ax2+bx+c.若 x0 满足关于 x 的方程 2ax +b=0,则下列选项的命题中假命题是( A.存在 x∈R,f(x)≤f(x0) B.存在 x∈R,f(x)≥f(x0) C.任意 x∈R,f(x)≤f(x0) D.任意 x∈R,f(x)≥f(x0) ) [答案] C b (a>0)及抛物线的相关性质,可得 C 选项是 2a [解析] 由 x0=- 错误的. [点评] 也可以用导数判断单调性后得出结论. 二、填空题 15.给出下列三个命题: ①5≥5;②存在 x∈R,使得 2x+1=3;③对任意的 x∈R,有 x2+1<0,其中为真命题的是____________. [答案] ①② [解析] 对于①,由 5≥5 成立,故①为真;对于②来说,因为 2x+1=3,所以 x=1.所以存在 x∈R,使 2x+1=3,故②为真命题; 对于③,因为 x2+1>0 恒成立,则不存在 x∈R,使得 x2+1<0,故 ③为假命题,所以①②为真命题. 16.下列语句:①能被 7 整除的数都是奇数;②|x-1|<2;③存 在实数 a 使方程 x2-ax+1=0 成立;④等腰梯形对角线相等且不互 相平分.其中是全称命题且为真命题的序号是________. [答案] ④ [解析] ①是全称命题,但为假命题,②不是命题,③是特称命 题. 三、解答题 17.判断下列命题的真假: (1)若 a>0,且 a≠1,则对任意实数 x,ax>0; (2)?T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sinx|; (3)?x0∈R,x2 0+1<0. [解析] 命题(1)为全称命题,根据指数函数的性质可知,该命题 为真命题. 命题(2)是特称命题,存在 T0=π,使|sin(x+T0)|=|sinx|,故该命 题为真命题. 命题(3)是特称命题,因为对任意的 x∈R,都有 x2+1>0,故该 命题为假命题. 18.若 x∈[-2,2],不等式 x2+ax+3≥a 恒成立,求 a 的取值范 围. [解析] 设 f(x)=x2+ax+3-a,则问题转化为当 x∈[-2,2]时, [f(x)]min≥0 即可. a ①当- <-2, 即 a>4 时, f(x)在[-2,2]上单调递增, f(x)min=f(- 2 7 2)=7-3a≥0,解得 a≤ ,又 a>4,所以 a 不存在. 3 a ②当-2≤- ≤2,即-4≤a≤4 时, 2 a 12-4a-a f(x)min=f(- )= ≥0,解得-6≤a≤2. 2 4 又-4≤a≤4,所以-4≤a≤2. a ③当- >2,即 a<-4 时,f(x)在[-2,2]上单调递减,f(x)min=f(2) 2 =7+a≥0,解得 a≥-7, 又 a<-4,所以-7≤a<4. 综上所述,a 的取值范围是{a|-7≤a≤2}. 2

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