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1.2集合间的基本关系及运算


1.2 集合间的基本关系及运算
【知识要点】 1、 子集: 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素, 那么集合 A 称为集合 B 的子集, 记作 A ? B 或 B ? A. 2、集合相等:如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时集合 B 的任何一 个元素都是集合 A 的元素,那么集合 A 等于集合 B,记作 A=B。 3、真子集:如果 A ? B,且 A ? B,那么集合 A 称为集合 B 的真子集,A

?B.

?

4、设 A ? S,由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集,记作 CS A 5、元素与集合、集合与集合之间的关系 6、有限集合的子集个数 (1)n 个元素的集合有 2 个子集 (2)n 个元素的集合有 2 -1 个真子集 (3)n 个元素的集合有 2 -1 个非空子集 (4)n 个元素的集合有 2 -2 个非空真子集 7、 交集: 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合叫 A 与 B 的交集, 记作 A ? B。 8、并集:由所有属于集合 A 或属于 B 的元素构成的集合称为 A 与 B 的并集,记 A ? B。 9、集合的运算性质及运用 【知识应用】 1.理解方法:看到一个集合 A 里的所有元素都包含在另一个集合里 B,那么 A 就是 B 的 子集,也就是说集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素,即由任意 x ? A 能推 出 x ? B。 【J】例 1. 指出下列各组中集合 A 与集合 B 之间的关系 (1)A={-1,1},B=Z (2)A={1,3,5,15},B={x|x 是 15 的正约数}
n n n n

【L】例 2. 已知集合 A={x|-2 ? x ? 5},B={x|m+1 ? x ? 2m-1},若 B ? A,求实数 m 取值范围。

1

【C】例 3. 已知集合 A ? {0,1,2,3},至少有一个奇数,这样的集合 A 的子集有几个,请一 一写出。

2.解题方法:证明 2 个集合相等的方法: (1)若 A、B 两个集合是元素较少的有限集,可 用列举法将元素一一列举出来, 比较之或者看集合中的代表元素是否一致且代表元素满 足的条件是否一致,若均一致,则两集合相等。 (2)利用集合相等的定义证明 A ? B, 且 B ? A,则 A=B. 【J】例 1. 下列各组中的两个集合相等的有( ) (1)P={x|x=2n,n ? Z}, Q={x|x=2(n-1),n ? Z} (2)P={x|x=2n-1,n ? N ? }, (3) P={x| x -x=0}, Q={x|x=
2

Q={x|x=2n+1,n ? N ? }

1 ? (?1) n ,n ? Z} 2

【L】例 2. 已知集合 A={x|x= 集合 B 是否相等。

1 ? 1 ? k? + ,k ? Z},B={x|x= k? + ,k? Z},判断集合 A 与 2 4 4 2

【C】例 3. 设集合 A={x|

x?3 ? 0},集合 B={x|(x-3)(x-2) ? 0},判断 A 与 B 相等吗? x?2

3.理解方法:如果集合 A 中的元素都包含于集合 B,并且集合 B 中有集合 A 所没有的元 素,那么集合 A 就是集合 B 的真子集。 【J】例 1. 设集合 A={2,8,a}, B={2, a -3a+4},且 B ? A,求 A 的值。
2

?

【L】例 2. 满足{a} ? M ? {a,b,c,d}的集合 M 有哪几个?

?

2

【C】例 3. 集合 M={x|x=3k-2,k ? Z},P={y|y=3x+1,x ? Z},S={z|z=6m+1,m ? Z}之间的关系 是_______________。

4.理解方法:通俗的讲,A ? S,那么将集合 S 中的元素去除掉集合 A 中的元素,所剩余 下来的元素组成的集合就是 S 的子集 A 的补集。 【J】例 1.设集合 A={1,2,3,4,},集合 U={1,2,3,4,5,6},那么 Cu A=_______

【L】 例 2.若 U=Z, A={x|x=2k,k ? Z},B={x|x=2k+1.k ? Z},则 Cu A=_______, Cu B=________

【C】例 3.不等式组 ?

?2 x ? 1 ? 0 的解集为 A,U=R,试求 Cu A ?3x ? 6 ? 0

5.理解方法:元素与集合的关系是属于与不属于的关系,用 ? 表示;集合与集合之间的关 系是包含( ? ) 、真包含( ? ) ,相等(=)的关系。 【J、L】例 1. 在下列各式中错误的个数是( )
?

①1∈{0,1,2};②{1}∈{0,1,2};③{0,1,2}?{0,1,2}; ④{0,1,2}={2,0,1} A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【C】例 2 设 A、B 为两个集合,下列四个命题: (1)A ? B ? 对任意 x ? A,有 x ? B (3)A ? B ? B ? A A.(1) (2) (2)A ? B ? A ? B= ? )

(4)A ? B ? 存在 x ? A, 使得 x ? B, 其中真命题的序号 ( C. (1)(2)(3)
3

B. (3)(4)

D. (4)

6.应用类。主要记住子集个数,那么真子集的个数就是子集个数减去本身(也就是 1 个) , 非空子集个数就是子集个数减去空集(也是 1 个) ,非空真子集个数就是子集个数减去空集 和本身(也就是减去 2 个) 。如果记忆不牢靠,可以用列举法列举一个或多个元素较少的集 合,来找出它的集合的个数,推出子集个数。 【J】例 1 集合 A={x|0≤x<3 且 x∈Z}的真子集的个数是( A.5 B.6 C.7 D.8 )

【L】 例 2 集合{a,b,c,,d,e,f}的子集个数______,真子集个数_____,非空子集个数______,非空 真子集个数_______.

【C】 例 3 同时满足: (1) M ? {1,2,3,4,5,}; (2) a ? M, 则 6-a ? M 的非空集合 M 有

个。

7.理解方法:简单的说,就是将集合 A 与集合 B 中共有的元素找出来,将这些元素组成的 集合就是集合 A 与集合 B 的交集。 (注意: 不能仅认为 A ? B 中的任一元素都是都是 A 与 B 的公共元素,同时还有 A 与 B 的公共元素都属于 A ? B 的含义,这就是文字定义 中“所有”二字的含义,而不是“部分”公共元素。当 A 与 B 没有公共元素时,不能 说 A 与 B 没有交集,而是它们的交集为 ? 。 【J】例 1 设集合 M={m ? Z|-3<m<2},N={n ? Z|-1 ? n ? 3},则 M ? N=________ 例 2 如果集合 U={1,2,3, 4,5,6,7,8}, A={2,5,8}, B={1,3,5,7}那么 ( Cu A) ? B=______

【L】例 3 已知 A={-4,2a-1, a },B={a-5,1-a,9},A ? B={9},a=_______
2

4

【C】例 4 设集合 A={ a ,-3,9},B={4,-3,8}, 若A ? B ? ?4, ?3? 求实数 a 的值
2

例 5 已知集合 M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么 M ? N=_________

8.解题方法:集合 A 与集合 B 的并集就是将集合 A 中的元素与集合 B 的元素加起来所组成 的集合。也就是说,如果我们已知了两个集合,那么它们所包含的所有不同元素组成的就是 这个集合的并集。并集的符号语言中的“或”与生活语言中的“或”的含义是不同的,生活 用语中的“或”是只取其一,并不兼存,而并集中的“或”则是可兼有的。包含 3 种情形: (1)x ? A,且 x ? B; (2)x ? B,且 x ? A (3)x ? A 且 x ? B。 【J】例 1 若集合 A={1,3,x},B={1, x },A ? B={1, ,3,x},则 x 可以为________
2

例 2 集合 M={x|-3<x<1},N={x|x ? -3},则 M ? N=_________

【L】 例 3 集合 A={x| x +3x+2 ? 0}, B={x|m x -4x+m-1>0,m ? R},若 A ? B= ? , 且 A ? B=A,
2 2

求 m 的取值范围。

【C】例 4 集合 A={0,2,a},B={1, a },若 A ? B={0,1,2,4,16},则 a 的值为_______
2

例 5 集合 A={x<a},B={x|1<x<2},且 A ? ( CR B)=R,则实数 a 的取值范围是______

9. 理解类:A ? A=A ? A=A A ? ? = ? ,A ? ? =A A ? B=B ? A A ? B=B ? A A ? Cu A=U A ? Cu A= ?
5

Cu ( Cu A)=A Cu (A ? B)=( Cu A) ? ( Cu B)
A ? B=A ? A ? B

Cu (A ? B)=( Cu A) ? ( Cu B)

A ? B=A ? B ? A.

要熟练掌握这些运算性质,建议运用文氏图形帮助理解记忆。并且在运用时,要注意检 验元素的互异性。在解题时,要一步一步来求出集合,最终得出我们要求的集合,有括 号的先求括号里的。若是求一个值的取值范围,一般可以先求出一个集合,在通过 2 个集合的关系,求出另一个集合,列出关系可求的所求值。 【J】 例 1 已知集合 A={x| x +3x+2 ? 0}, B={x|m x -4x+m-1>0, m? R}, 若 A ? B= ? ,
2 2

且 A ? B=A,求 m 的取值范围。

【L】例 2 已知集合 M={x| A M?N B M?N

x?3 ? 0},N={x|x ? -3},则集合{x|x ? 1}=( x ?1
C CR (M ? N) D CR (M ? N)

)

【C】例 3 设 A={x| x +4x=0},B={ x +2(a+1)x+ a -1=0,若 A ? B=B,求 a 的取值范围。
2 2 2

总结: (1)熟练掌握与应用文氏图,将题目与文氏图结合,更容易求出答案 (2)要求出某一个含有元素字母的集合,要求元素字母取值范围,往往是利用题目 中所给的集合间的关系或者集合与元素之间的关系来找出元素字母的取值范围。

6

练习题: 1 集合 P={x|2 ? x ? 10},Q={x|a-1 ? x ? 2a+2},Q ? P,求 a 的取值范围

2 A={x| x -3x+2=0},B={x| x -ax+3a-5=0},A ? B=B,求 a 的取值范围。
2 2

3 已知集合{1,2,3,4,},写出这个集合的所以子集

4 已知集合 A={x|a x -3x+1=0,a ? R},
2

(1)若 A 是空集,求 a 的取值范围 (2)若 A 至多有一个元素,求 a 的取值范围

5 集合 U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(A ? B)?( Cu C)=________

6 A={x, x , y -1},B={0,|x|,y},若 A=B,求 x,y 的值

2

2

7


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