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化州市化州二中2014-2015学年度综合测试理科数学试卷及答案


高二第二学期综合测试理科数学(五)
一、选择题 1.函数 f ( x) ?

3x 2 ? lg(3x ? 1) 的定义域是( ) 1? x
B. (-

A. (-

1 ,1) 3

1 ,+∞) 3

C. (-

1 1 , ) 3 3

D.(-∞,-

1 ) 3

【答案】A

?x ? 1 ?1 ? x ? 0 1 ? 试题分析:由题意可得 ? ,即 ? 1 ,整理得 ? ? x ? 1 . 3 x?? ?3x ? 1 ? 0 ? 3 ?
2 .函数 y ? sin(2 x ? ( B )

?
6

) 的图象可看成是把函数 y ? sin 2 x 的图象做以下平移得到

A.向右平移

? 6

B.向左平移

? 12

C.向右平移

? 12

D.向左平移

? 6

3.等差数列 {an } 中,如果 a1 ? a4 ? a7 ? 39 , a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则数列 {an } 前 9 项的 和为( ) A.297 B.144 【答案】C C.99 D.66

试题分析: ∵ a1 ? a4 ? a7 ? 39 , ∴ a1 ? a3 ? a6 ? a9 ? 27 , a4 ? a7 ? a43 ?

3 9 , a4 ? 13 ,

a3 ? a6 ? a9 ? 3a6 ? 27 , a6 ? 9 ,∴ d ? ?2 , a1 ? 19 ,
∴ S9 ? 19 ? 9 ?

9?8 ? (?2) ? 99 . 2

4. 已 知 某 次 月 考 的 数 学 考 试 成 绩 ? ~ N 90, ?

?

2

?(? ? 0) , 统 计 结 果 显 示

p?70 ? ? ? 110? ? 0.6 ,则 P?? ? 70 ? ? (
A. 0.2 【答案】A B. 0.3 C. 0.1

) D. 0 . 5

试题分析:由正态曲线的对称性, P ?? ? 70 ? ?

1 (1-0.6)=0.2. 2

5.一个几何体的三视图如图所示,其俯视图为正三角形,则这个几何体的体积为( )

试卷第 1 页,总 10 页

A.12 3 【答案】B

B.36 3

C.27 3

D.6

试题分析:由三视图可知这个几何体为正三棱柱,底面正三角形的高为 3 3 ,则
2 ?a? a 2 ? ? ? ? 3 3 ,解得底面正三角形的边长为 a ? 6 ,正三棱柱的高为 4,所以所 ?2? 2

? ?

求几何体的体积为 V ? Sh ? 6. ( x ? A.180 【答案】A

3 2 ? 6 ? 4 ? 36 3 ,正确答案为 B. 4

2 n ) 展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是( ) x2
B.90
n

C.45

D.360

试题分析:因为 ? x ?

? ?

2? ? 的展开式中只有第六项二项式系数最大,所以 n ? 10 ,则 x2 ?
r

由 Tr ?1 ? C ?
r 10

? x?

10? r

10?5 r 10 ? 5r ? 2? r r ? 0 ,解得 r ? 2 ,所以展开 ? ? 2 ? ? C10 2 x 2 ,令 2 ?x ?

2 式中的常数项是 C10 ? 22 ? 180 ,故正确答案选 A.

7.下列命题中,真命题是( A. ?x ? R, 2 ? 1
x

) B. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

C. ?x ? R,lg x ? 0

D. ?x ? N ,( x ? 2) ? 0
* 2

【答案】A 【解析】因为选项 B,不存在 x 满足不等式,错误。选项 C,x=1 不符合,选项 D,x=2, 不符合,选 A 8.若向量 a ? ? cos ? ,sin ? ? , b ? A. 4 【答案】A 试题分析: 由题意可知 a ? 1 ,b ? 2 , 而 2a ? b ? a ? b ? 3 cos? ? sin ? , B. 2 2

?

3, ?1 ,则 2a ? b 的最大值为(
C. 2 D. 2

?



? 2a ? b ?

2

? 4a ? 4a ? b ? b ? 4 ? 4

2

2

?

?? ? 3 cos ? ? sin ? ? 4 ? 4 sin ? ? 3 cos ? ? 8 ? 8sin ?? ? ? ? 8 3? ?

?

?

?

因此 2a ? b 的最大值为 8 ? 8 ? 4 ,故选 A. 二、填空题 9.函数 f ( x ) ? x ? 10.

1 (x ? 1) 的最小值为 x ?1
.

3



?

?

2 0

( x ? sin x) dx ?

试卷第 2 页,总 10 页

【答案】 【解析】

?2
8

?1

?

?
2 0

1 2 ? ? x ? sin x ? dx ? ? ? x ? cos x ? ?2 ?

?
2 0

? 1 ? ? ?2 ?? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? 0 ? cos 0 ? ? ? 1 . 2? 8 ?2 ? 2 ? ? ?

11.如图,在等腰直角三角形 ABC 中,BC=3,将 ?ABC 绕直线

BC 旋转一周后形成的几何体的体积等于

9?

C

【答案】 【解析】 依题意可得所形成的几何体等于正方形 ABCD 绕直线 A B AB 旋转一周所形成的底面半径为 3 高为的圆柱减去 ?ABD 绕 绕 直 线 AB 旋 转 一 周 所 形 成 的 底 面 半 径 为 3 高 为 3 的 圆 锥 , 所 以

1 2 V ? V圆柱 ? V圆锥 ? 3 ? ? ? 32 ? ? 3 ? ? ? 32 ? ? 3 ? ? ? 32 ? 18? 3 3
12.已知抛物线 y ? 8x 的准线 l 与双曲线 C :
2

x2 ? y 2 ? 1 相切,则双曲线 C 的离心率 a2

e?
【答案】



5 2
2

【解析】抛物线 y ? 8x 的准线 l : x ? ?2 ,依题意可得,直线 l : x ? ?2 经过双曲线

C:

x2 c 5 ? y 2 ? 1 的左顶点,则 a ? 2 ,所以 c ? a2 ? b2 ? 5 ,故 e ? ? 2 a a 2

2 2 13.已知实数 x, y 满足 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 23 ? 0( x ? 3) ,则 z ? x ? y 的取值范围是

【答案】 ?1 ? 2,1

?

?
2 2

试题分析:由不等式 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 23 ? 0( x ? 3) ,得

? x ? 3? ? x ? 3?

2

? ? y ? 4 ? ? 2 ? x ? 3? , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 用 虚 线 画 出 圆
2

2

? ? y ? 4 ? ? 2 ,再作出虚线 x ? 3 ,则 x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 23 ? 0( x ? 3) 的可
2

行域是由虚线 x ? 3 与此虚线的右半圆围成的区域(不包括边界) ,又目标函数可化为

y ? x ? z , 则 当 直 线 y ? x? z过 可 行 域 的 上 顶 点 A 3, 4 ? 2

?

?

时,有

zm i ? n 3 ? 4 ? 2

?

?

y ? x ? z 与半圆相切于点 B 时,目标函数 z 有 ? ? 1 ?,当直线 2

试卷第 3 页,总 10 页

最大值,将目标函数化为 x? y?z ?0 ,则此时有

3? 4? z 12 ? ? ?1?
2

? 2 ,解得

zmax ? 1? z ? ?1不合题意? ,如图所示,所以正确答案为 ?1 ? 2,1 .
y=x-zmin A(3,4+ 2 ) (3,4) y=x-zmax B y=x x =3 o 3 x

?

?

y

4

14 . ( 坐标系与参数方程选做题 ) 过点 (2, ※ .

?
3

) 且平行于极轴的直线的极坐标方程为

【答案】 ? sin ? ? 3 【解析】先将极坐标化成直角坐标表示, (2,

?
3

) 化为 (1, 3) ,过 (1, 3) 且平行于 x 轴

的直线为 y ? 3 ,再化成极坐标表示,即 ? sin ? ? 3 . 15. (几何证明选讲选做题)已知 PA 是⊙O 的切线, 切点为 A , 直线 PO 交⊙O 于 B 、C 两点, AC ? 2 , ?PAB ? 120? ,则⊙O 的面积为 ※ . A P O C
(第 15 题 图) 【答案】 4? 【 解 析 】 由 弦 切 角 定 理 , ?PAC ? ?ABC , 由 ?PAB ? 120? , ?CAB ? 90? 得

B

?PAC ? ?ABC ? 30? , 在 R t? A B C 中 , 2 R ? B C ? 2 A C? 2 ? 2 ? 4 , R?4 ,

S ? ? R 2 ? 4? .
三、解答题 16.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ? ?2sin x,cos x ? , n ? (1)求函数 f ( x ) 的解析式;
试卷第 4 页,总 10 页

?

3 cos x, 2cos x , ,函数 f ( x) ? 1 ? m ? n .

?

(2)当 x ??0, ? ? 时,求 f ( x ) 的单调递增区间; 解: (1)∵m?n ? ?2 3 sin x cos x ? 2cos x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ?1 ????2 分
2

∴ f ( x) ? 1 ? m?n ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ,??????????????3 分 ∴ f ( x) ? 2sin ? 2 x ? (2)由 ?

? ?

??
?
2

? 。???????????????????6 分 6?
? 2k ? (k ? Z ) ,

?
2

? 2 k? ? 2 x ?
? k? ? x ?

?
6

?

解得 ?

?
6

?

3

? k?

(k ? Z ) ,?????????????8 分

∵取 k=0 和 1 且 x ??0, ? ? ,得 0 ? x ? ∴ f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0, 法二:∵ x ??0, ? ? ,∴ ?

?
3



11? ? x ? ? ,?????10 分 6

? ? ? ?11? ? 和 , ? ? 。?????????12 分 ? 3? ? ? ? 6 ?

11? , 6 6 6 ? ? ? 3? ? 11? ? 2x ? ? ∴由 ? ? 2 x ? ? 和 , ????????8 分 6 6 2 2 6 6 ? 11? ? x ? ? ,??????10 分 解得 0 ? x ? 和 3 6 ? 2x ? ?
∴ f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0,

?

?

? ? ? ?11? ? 和 , ? ? 。?????????12 分 ? 3? ? ? ? 6 ?

17.(本小题满分 12 分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动,为了了解本次竞赛 学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本 (样本容量为 50)进行统计,按照 [50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100] 的分组作出频率分布直方图, 并作出样本分数的茎叶图 (图中仅列出了得分在 [50,60) ,

[90,100] 的数据)

(1)求频率分布直方图中 x,y 的值; (2)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 3 名同 学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,设 ? 表示所抽取的 3 名同学中得分在

试卷第 5 页,总 10 页

[80,90) 的学生个数,求 ? 的分布列及其数学期望
试题解析: (Ⅰ)由题意可知,样本容量 n=50 , y ?
x ? 0.1 ? 0.004 ? 0.010 ? 0.016 ? 0.04 ? 0.030

2 ? 0.004 , 50 ?10

?????4 分 (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)有 5 人,分数在[90,100]有 2 人,共 7 人 抽取的 3 名同学中得分在 [80,90) 的学生个数 ? 的可能取值为 1, 2,3 ,?????6 分 则 P(? ? 1) ?
1 2 C5 C2 C 2C1 20 4 C 3 10 2 5 1 ? ? , P(? ? 2) ? 5 3 2 ? ? , P(? ? 3) ? 5 ? ? 3 3 C7 35 7 C7 35 7 C7 35 7

9分

所以, ? 的分布列为 ? 1

2
4 7

3
2 7

P

1 7

??10 分
1 4 2 15 所以, E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ?????12 分 7 7 7 7 考点:1 频率分布直方图;2 茎叶图;3 离散型随机变量的分布列和数学期望

18.(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为1 的正方 形, PA ? BC , PD ? DC ,且 PC ? 3 .

(Ⅰ)求证: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 B ? PD ? C 的余弦值; 试题解析: (Ⅰ)证明:在正方形 ABCD 中, CD ? AD . 又因为 CD ? PD , AD 所以 CD ? 平面 PAD . 因为 PA ? 平面 PAD , 所以 CD ? PA .

PD ? D , AD ? 平面PAD , PD ? 平面PAD
????分 ????分

因为 PA ? BC . CD ? BC ? C CD ? 平面ABCD , BC ? 平面ABCD 所以 PA ? 平面 ABCD . ????6 分 (Ⅱ)解:连接 AC ,由(Ⅰ)知 PA ? 平面 ABCD .

因为 AC ? 平面 ABCD ,
试卷第 6 页,总 10 页

所以 PA ? AC . 因为 PC ? 3 , AC ? 2 , 所以 PA ? 1 .

????8 分

分别以 AD , AB , AP 所在的直线分别为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系,如图 所示. 由题意可得: B(0,1,0) , D(1, 0, 0) , C (1,1, 0) , P(0, 0,1) . 所以 DC ? (0,1,0) , DP ? (?1,0,1) , BD ? (1, ?1,0) , BP ? (0, ?1,1) .??10 分 设平面 PDC 的一个法向量 n ? ( x, y, z ) , 则?

? ?n ? DC ? 0, ? y ? 0, 即? 令 x ? 1 ,得 z ? 1 . ? x ? z ? 0. n ? DP ? 0 , ? ? ?

所以 n ? (1, 0,1) . 同理可求:平面 PDB 的一个法向量 m ? (1,1,1) . 所以 cos ? n, m ?? ????12 分

n?m 1? 0 ?1 6 . ? ? | n || m | 3 2? 3
6 . 3
????14 分

所以二面角 B ? PD ? C 的余弦值为

考点:1、线线垂直、线面垂直;2、二面角;3、空间向量法解立体几何。
? 19.(本小题满分 14 分)设数 ?an ? 满足: a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ? n ? an n ? N .

?

?

(1)求证:数列 ?an ? 1 ? 是等比数列; (2)若 bn ? ? 2 ? n?? an ?1? ,且对任意的正整数 n ,都有 bn ? 值范围. 【解析】 (1)当 n ? 1 时,则有 a1 ? 1 ? a1 ,解得 a1 ?
?

1 t ? t 2 ,求实数 t 的取 4

1 ,????1 分 2

当 n ? 2 且 n ? N 时, a1 ? a2 ? a3 ???? ? an?1 ? an ? n ? an ,

a1 ? a2 ? a3 ???? ? an?1 ? ? n ?1? ? an?1 ,
上式 ? 下式,得 an ? 1 ? an ? an?1 ? 2an ? an?1 ? 1 ,所以 an ?

1 1 an ?1 ? ,??3 分 2 2

试卷第 7 页,总 10 页

1 1 1 1 1 an ? 1 2 an ?1 ? 2 ? 1 2 ? an ?1 ? 1? 1 ? ? ? ,且 a1 ? 1 ? ? 1 ? ? 故 2 2 an ?1 ? 1 an ?1 ? 1 an ?1 ? 1 2
因此数列 ?an ?1 ? 是首项为 ?

1 1 ,公比为 的等比数列,????5 分 2 2
1 ;????7 分 2n

1 ?1? 因此 an ? 1 ? ? ? ? ? 2 ?2?

n ?1

??

( 2 ) bn ? ? 2 ? n ?? an ? 1? ?

n?2 1 2 , bn ? t ? t 对 任 意 的 正 整 数 n 恒 成 立 , 则 n 2 4

1 t 2 ? t ? ? bn ? max ,????8 分 4
bn ?1 ? bn ? n ? 1 n ? 2 ? n ? 1? ? 2 ? n ? 2 ? 3 ? n ? n ? ? n ?1 ,????9 分 2n ?1 2 2n ?1 2
?

当 n ? 2 且 n ? N 时, bn?1 ? bn ? 0 ,即 bn ? bn?1 ,因此 b1 ? b2 ? b3 ,????10 分 当 n ? 3 时,则 bn?1 ? bn ? 0 ,则有 b3 ? b4 ,????11 分 当 n ? 4 且 n ? N 时, bn?1 ? bn ? 0 ,即 bn ? bn?1 ,则数列从第四项开始单调递减, 因此, b3 或 b4 最大,? ? bn ?max ? b3 ? b4 ?
?

1 ,????12 分 8

所以 t ?
2

1 1 1 1 t ? ,即 8t 2 ? 2t ? 1 ? 0 ,解得 t ? ? 或 t ? ,????13 分 4 8 4 2
? ? 1? ? ?1 ? , ?? ? .????14 分 ? ?2 ?

因此实数 t 的取值范围是 ? ??, ? ? 4

考点:1.定义法求数列通项;2.等比数列的定义;3.数列的单调性;4.不等式恒成立 20.(本小题满分 14 分)已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左右焦点分

3 F F F F 别为 1 和 2 ,且| 1 2 |=2,点(1, 2 )在该椭圆上.
(1)求椭圆 C 的方程; (2) 过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点, 以 F2 为圆心 2 为半径的圆与直线 l 相 切,求 ? A F2 B 的面积.

x2 y2 ? ?1 3 【解析】 (1)椭圆 C 的方程为 4

(6 分)

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(2)以 F2 为圆心 2 为半径的圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 2
2 2

(7 分)

①当直线 l ⊥x 轴时,与圆不相切,不符合题意.

(8 分)

②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1) ,由圆心到直线的距离等于

r?
半径得:

2|k | 1 ? k 2 , k ? ?1,?l : y ? ?( x ? 1)) ,
(10 分)

代入椭圆方程得:

7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 ? AB ? 1 ? k 2 | x2 ? x2 |?

2 2 7 . . (12 分)

又直线 l 与圆 F2 相切,所以

?AF2 B 的面积

?

1 12 2 | AB | r ? 2 7 . p ? 2 ln x . x

(14 分)

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? px ?

(1)若 p ? 2 ,求曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 f ( x) 在其定义域内为增函数,求正实数 p 的取值范围; (3)设函数 g ( x ) ?

2e ,若在 ?1, e? 上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) > g ( x0 ) 成立,求 x

实数 p 的取值范围. 试题分析: (1)当 p ? 2 时,函数 f ( x) ? 2 x ?

2 ? 2 ln x , f (1) ? 2 ? 2 ? 2ln1 ? 0 x

f ?( x) ? 2 ?

2 2 ? ,曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 f ?(1) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 x2 x
? 3分

从而曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? 2 (2) f ?( x) ? p ?
2

p 2 px 2 ? 2 x ? p ? ? x2 x x2

令 h( x) ? px ? 2 x ? p ,要使 f ( x ) 在定义域 (0, ? ?) 内是增函数,只需 h( x) ? 0 在

(0, ? ?) 内恒成立
由 题 意 p ? 0 , h( x) ? px ? 2 x ? p 的 图 象 为 开 口 向 上 的 抛 物 线 , 对 称 轴 方 程 为
2

x?

1 ? (0, ? ?) p 1 , p
只需 p ?

∴ h( x) min ? p ?

1 ≥ 0 ,即 p ≥1 时, h( x) ? 0, f ?( x) ? 0 p
8分

∴ f ( x ) 在 (0, ? ?) 内为增函数,正实数 p 的取值范围是 [1, ? ?) ???
试卷第 9 页,总 10 页

(3)∵ g ( x ) ?

2e 在 ?1, e? 上是减函数 x

∴ x ? e 时, g ( x)min ? 2 ; x ? 1 时, g ( x)max ? 2e ,即 g ( x) ?? 2,2e? ①当 p ? 0 时, h( x) ? px2 ? 2 x ? p ,其图象为开口向下的抛物线,对称轴 x ? 轴的左侧,且 h(0) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 x ? ?1, e? 内是减函数 当 p ? 0 时, h( x) ? ?2 x ,因为 x ? ?1, e? ,所以 h( x) ? 0 , f ?( x) ? ? 此时, f ( x ) 在 x ? ?1, e? 内是减函数 故当 p ≤ 0 时, f ( x ) 在 ?1, e? 上单调递减 ? f ( x)max ? f (1) ? 0 ? 2 ,不合题意 ② 当

1 在y p

2x ?0 x2

0 ? p ?1







1 x ? ?1, e? ? x ? ≥ 0 x







1? 1 ? f ( x) ? p ? x ? ? ? 2ln x ≤ x ? ? 2ln x x? x ?
又由(Ⅱ)知当 p ? 1 时, f ( x ) 在 ?1, e? 上是增函数 ∴x?

1 1 1 ? 2 ln x ≤ e ? ? 2 ln e ? e ? ? 2 ? 2 ,不合题意 ????12 分 x e e

③当 p ≥1 时,由(Ⅱ)知 f ( x ) 在 ?1, e? 上是增函数, f (1) ? 0 ? 2 又 g ( x) 在 ?1, e? 上是减函数,故只需 f ( x)max ? g ( x)min , x ? 1, e 而 f ( x)max ? f (e) ? p ? e ? ? ? 2ln e , g ( x)min ? 2

? ?

? ?

1? e?

即 p ? e ? ? ? 2ln e ? 2 ,解得 p ?

? ?

1? e?

4e e ?1
2

所以实数 p 的取值范围是 ?

? 4e ? ,? ?? 2 ? e ?1 ?

????14 分.

考点:1.导数的几何意义;2.函数的单调性与导数;3.二次函数的图像与性质;4.分 类讨论的思想.

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