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人教版高二数学选修1-2第一章《统计案例》章末复习提升学案

人教版高二数学选修 1-2 第一章《统计案例》 章末复习提升学案 知识网络 总结归纳 一、两个基本思想 1.回归分析的基本思想 回归分析包括线性回归分析和非线性回归分析两种, 而非线性回归分析往往可以通过变量代 换转化为线性回归分析,因此,回归分析的思想主要是指线性回归分析的思想. 注意理解以下几点: (1)确定线性相关关系 线性相关关系有两层含义: 一是具有相关关系, 如广告费用与销售量的关系等在一定条件下 具有相关关系,而气球的体积与半径的关系是函数关系,而不是相关关系;二是具有线性相 关关系. 判断是否线性相关的依据是观察样本点的散点图. (2)引起预报误差的因素 ^ ^ 对于线性回归模型 y=bx+a+e, 引起预报变量 y 的误差的因素有两个: 一个是解释变量 x, 另一个是随机误差 e. (3)回归方程的预报精度 判断回归方程的预报精度是通过计算残差平方和来进行的, 残差平方和越小, 方程的预报精 度越高. 简单来说,线性回归分析就是通过建立线性回归方程对变量进行预报,用回归方程预报时, 需对函数值明确理解,它表示当 x 取值时,真实值在函数值附近或平均值在函数值附近,不 能认为就是真实值. (4)回归模型的拟合效果 判断回归模型的拟合效果的过程也叫残差分析, 残差分析的方法有两种, 一是通过残差图直 观判断,二是通过计算相关指数 R2 的大小判断. 2.独立性检验的基本思想 独立性检验的基本思想类似于反证法. 要确认两个分类变量有关系的可信程度, 先假设两个 分类变量没有关系,再计算随机变量 K2 的观测值,最后由 K2 的观测值很大在一定程度上说 明两个分类变量有关系. 进行独立性检验要注意理解以下三个问题: (1)独立性检验适用于两个分类变量. (2)两个分类变量是否有关系的直观判断: 一是根据 2×2 列联表计算|ad-bc|,值越大关系越强; 二是观察等高条形图,两个深色条的高度相差越大关系越强; (3) 独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断,而不是对其是否有关系的判 断. 独立性检验的结论只能是有多大的把握确认两个分类变量有关系, 而不能是两个分类变 量一定有关系或没有关系. 二、两个重要参数 1.相关指数 R2 相关指数 R2 是用来刻画回归模型的回归效果的,其值越大,残差平方和越小,模型的拟合 效果越好. 2.随机变量 K2 随机变量 K2 是用来判断两个分类变量在多大程度上相关的变量. 独立性检验即计算 K2 的观 测值,并与教材中所给表格中的数值进行比较,从而得到两个分类变量在多大程度上相关. 三、两种重要图形 1.散点图 散点图是进行线性回归分析的主要手段,其作用如下: 一是判断两个变量是否具有线性相关关系, 如果样本点呈条状分布, 则可以断定两个变量有 较好的线性相关关系; 二是判断样本中是否存在异常. 2.残差图 残差图可以用来判断模型的拟合效果,其作用如下: 一是判断模型的精度,残差点所分布的带状区域越窄,说明模型的拟合精度越高,回归方程 的预报精度越高. 二是确认样本点在采集中是否有人为的错误. 题型一 回归分析的思想及其应用 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. 其基本步骤为: 通过 散点图和经验选择回归方程的类型, 然后通过一定的规则确定出相应的回归方程, 通过一定 的方法进行检验,最后应用于实际或对预报变量进行预测. 例 1 某地搜集到的新房屋的销售价格(单位:万元)和房屋面积(单位:m2)的数据如下表: 房屋面积/m2 销售价格/万元 (1)画出数据对应的散点图; (2)求线性回归方程; (3)根据(2)的结果,估计当房屋面积为 150 m2 时的销售价格. 解 (1)设 x 轴表示房屋的面积,y 轴表示销售价格,数据对应的散点图如图. 115 24.8 110 21.6 80 18.4 135 29.2 105 22 ^ ^ ^ (2)由(1)知 y 与 x 具有线性相关关系,可设其回归方程为y=bx+a,依据题中的数据,应用 科学计算器,可得出 1 5 x = ?xi=109, 5 i=1 ? (xi- x )2=1 570, i=1 5 1 5 y = ?yi=23.2, 5 i=1 ? (xi- x )(yi- y )=308, i=1 5 ? ?xi- x ??yi- y ? ^ ∴b= i=1 5 ? ?xi- x ?2 i=1 5 = 308 ≈0.196 2, 1 570 ^ ^ a= y -b x ≈23.2-0.196 2×109=1.814 2. ^ 故所求的线性回归方程为y=0.196 2x+1.814 2. ^ (3)由(2)知当 x=150 时,销售价格的估计值为y=0.196 2×150+1.814 2=31.244 2(万元). 故当房屋面积为 150 m2 时,估计销售价格是 31.244 2 万元. 反思与感悟 解答此类问题, 一般先根据散点图判断两个变量是否具有相关关系, 然后求出 回归方程,根据回归方程解决问题. 跟踪训练 1 从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与月 储蓄 yi(单位:千元)的数据资料,算得 ?xi=80, ?yi=20, ?xiyi=184, ?x2 i =720. i=1 i=1 i=1 i=1 10 10 10 10 ^ ^ ^ (1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程y=bx+a; (2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄. ^ ^ ^ ^ 附:线性回归方程y=bx+a中,b= i=1 ?xiyi-n x y ?x2 i -n x 10 10 ^ ^ ,a= y -b x ,其中 x , y 为样本平均 2 i=1 值. 1 n 80 解 (1)由题意知 n=10, x

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