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课时跟踪检测(五十八) 直线与圆锥曲线的位置关系


课时跟踪检测(五十八) 直线与圆锥曲线的位置关系 一、选择题 b x2 y2 1.直线 y= x+3 与双曲线 2- 2=1 的交点个数是( a a b A.1 C.1 或 2 B.2 D.0 )

x2 y2 2 2.(2015· 舟山三模)已知椭圆 C 的方程为 + 2=1(m>0),如果直线 y= x 与椭圆的 16 m 2 一个交点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F,则 m 的值为( A.2 C.8 B.2 2 D.2 3 )

3.(2015· 四川雅安月考)抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3的直 线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A,AK⊥l,垂足为 K,则△AKF 的面积是( A.4 B.3 3 C.4 3 D.8 4.已知抛物线 C:y2=8x 与点 M(-2,2),过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,
MB =0,则 k=( B 两点.若 MA ·

)

) B. 2 2

1 A. 2 C. 2

D.2

x2 5.(2015· 丽水一模)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y2=1 相交于 A,B 两点,则|AB|的最大 4 值为( A.2 4 10 C. 5 ) 4 5 B. 5 8 10 D. 5

6. (2015· 大连双基测试)过抛物线 y2=2px(p>0)焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 B, C 两点, l 与抛物线准线交于点 A,且|AF|=6, AF =2 FB ,则|BC|=( 9 A. 2 13 C. 2 二、填空题 x2 y2 7.设双曲线 - =1 的右顶点为 A,右焦点为 F.过点 F 平行于双曲线的一条渐近线 9 16 的直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为________. B.6 D.8 )

8.(2015· 贵州安顺月考)在抛物线 y=x2 上关于直线 y=x+3 对称的两点 M、N 的坐标分 别为________________________________________________________________________. 9.(2015· 沈阳模拟)已知点 A(- 2,0),点 B( 2,0),且动点 P 满足|PA|-|PB|=2,则 动点 P 的轨迹与直线 y=k(x-2)有两个交点的充要条件为 k∈__________________________. 10.(2015· 北京石景山期末)已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为直线 l,过抛物线上 一点 P 作 PE⊥l 于点 E,若直线 EF 的倾斜角为 150° ,则|PF|=________. 三、解答题 1 11.(2015· 山西模拟)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 2,离心率为 . 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 经过点 M(0,1),且与椭圆 C 交于 A,B 两点,若 AM― →=2 MB ,求直线 l 的方程.

12.(2015· 广东肇庆二模)已知双曲线 C 的两个焦点坐标分别为 F1(-2,0),F2(2,0),双 曲线 C 上一点 P 到 F1,F2 距离差的绝对值等于 2. (1)求双曲线 C 的标准方程; (2)经过点 M(2,1)作直线 l 交双曲线 C 的右支于 A,B 两点,且 M 为 AB 的中点,求直线 l 的方程; (3)已知定点 G(1,2),点 D 是双曲线 C 右支上的动点,求|DF1|+|DG|的最小值.

答案 b b 1.选 A 因为直线 y= x+3 与双曲线的渐近线 y= x 平行,所以它与双曲线只有 1 个 a a 交点. 2.选 B 根据已知条件得 c= 16-m2,则点? 16-m2,

?

x2 y2 2 2? 在椭圆 + = 16-m 16 m2 2 ?

1(m>0)上, ∴ 16-m2 16-m2 + =1,可得 m=2 2. 16 2m2

3.选 C ∵y2=4x,∴F(1,0),l:x=-1,过焦点 F 且斜率为 3的直线 l1:y= 3(x- 1 1),与 y2=4x 联立,解得 A(3,2 3),∴AK=4,∴S△AKF= ×4×2 3=4 3. 2 4.选 D 如图所示,设 F 为焦点,取 AB 的中点 P,过 A,B 分别作
MB =0,知 MA 准线的垂线,垂足分别为 G,H,连接 MF,MP,由 MA ·

1 1 ⊥MB,则|MP|= |AB|= (|AG|+|BH|),所以 MP 为直角梯形 BHGA 的中 2 2 位线, 所以 MP∥AG∥BH, 所以∠GAM=∠AMP=∠MAP, 又|AG|=|AF|, AM 为公共边,所以△AMG≌△AMF,所以∠AFM=∠AGM=90° ,则 1 MF⊥AB,所以 k=- =2. kMF 5.选 C 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线 l 的方程为 y=x+t,
2 2 ? ?x +4y =4, 由? 消去 y,得 5x2+8tx+4(t2-1)=0. ?y=x+t ?

4?t2-1? 8 则 x1+x2=- t,x1x2= . 5 5 ∴|AB|= 1+k2|x1-x2|

= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 8 4?t2-1? - t?2-4× = 2· ? ? 5? 5 = 4 2 · 5-t2, 5 4 10 . 5

当 t=0 时,|AB|max=

π 6.选 A 不妨设直线 l 的倾斜角为 θ,其中 0<θ< ,点 B(x1,y1),C(x2y2),则点 B 在 x 2 |AF| p 轴的上方. 过点 B 作该抛物线的准线的垂线, 垂足为 B1, 于是有|BF|=|BB1|=3, = , |AB| |BB1| p p 2 1 由此得 p=2,抛物线方程是 y2=4x,焦点 F(1,0),cos θ= = = = ,sin θ= 1-cos2θ |AF| 6 6 3

?y=2 2?x-1?, 2 2 sin θ = ,tan θ= =2 2,直线 l:y=2 2(x-1).由? 2 消去 y,得 2x2- 3 cos θ ?y =4x
5 5 9 5x+2=0,x1+x2= ,|BC|=x1+x2+p= +2= ,选 A. 2 2 2 4 7.解析:c=5,设过点 F 平行于一条渐近线的直线方程为 y= (x-5),即 4x-3y-20 3 32 1 32 32 =0,联立直线与双曲线方程,求得 yB=- ,则 S= ×(5-3)× = . 15 2 15 15 32 答案: 15 8.解析:设直线 MN 的方程为 y=-x+b,代入 y=x2 中, 1 整理得 x2+x-b=0,令 Δ=1+4b>0,∴b>- . 4 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=-1, y1+y2 x1+x2 1 =- +b= +b, 2 2 2 1 1 - , +b?在直线 y=x+3 上, 由? ? 2 2 ? 1 1 即 +b=- +3,解得 b=2, 2 2
?y=-x+2, ?x1=-2, ? ? 联立得? 解得? 2 ? ? ?y=x , ?y1=4, ?x2=1, ? ? ? ?y2=1.

答案:(-2,4)、(1,1) 9.解析:由已知得动点 P 的轨迹为一双曲线的右支且 2a=2,c= 2,则 b= c2-a2= 1,∴P 点的轨迹方程为 x2-y2=1(x>0),其一条渐近线方程为 y=x.若 P 点的轨迹与直线 y =k(x-2)有两个交点,则需 k∈(-∞,-1)∪(1,+∞).

答案:(-∞,-1)∪(1,+∞) 10.解析:由抛物线方程 y2=4x 可知焦点 F(1,0),准线为 x=-1.直线 EF 的斜率为 k =tan 150° =- 3 , 3 3 (x-1), 3

所以直线 EF 的方程为 y=-

2 3? 与准线方程联立可得点 E?-1, , 3 ? ? 2 3? 故可设 P?x, , 3 ? ? 1 将其代入抛物线方程 y2=4x,解得 x= . 3 1 ? 4 所以|PE|=? ?3-?-1??=3, 4 由抛物线的定义可知|PE|=|PF|,故|PF|= . 3 4 答案: 3 x2 y2 11.解:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>0,b>0), a b c 1 因为 c=1, = ,所以 a=2,b= 3, a 2 x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)由题意得直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y=kx+1, y=kx+1, ? ?2 2 联立方程?x y ? ? 4 + 3 =1, 得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且 Δ>0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 AM =2 MB ,得 x1=-2x2, -8k ? ?x +x =3+4k , 又? -8 x= , ?x · ? 3+4k
1 2 2 1 2 2

-8k ? ?-x =3+4k , 所以? -8 ?-2x =3+4k , ?
2 2 2 2 2

8k 消去 x2 得?3+4k2?2=

?

?

4 , 3+4k2

1 1 解得 k2= ,k=± , 4 2

1 所以直线 l 的方程为 y=± x+1, 2 即 x-2y+2=0 或 x+2y-2=0. 12.解:(1)依题意,得双曲线 C 的实半轴长 a=1,焦半距 c=2, 所以其虚半轴长 b= c2-a2= 3. 又其焦点在 x 轴上, y2 所以双曲线 C 的标准方程为 x2- =1. 3 (2)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
2 2 ? ?3x1-y1=3, 则? 2 2 两式相减, ?3x2-y2=3, ?

得 3(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.
?x1+x2=4, ? 因为 M(2,1)为 AB 的中点,所以? ?y1+y2=2. ?

所以 12(x1-x2)-2(y1-y2)=0,即 kAB=

y1-y2 =6. x1-x2

故 AB 所在直线 l 的方程为 y-1=6(x-2), 即 6x-y-11=0. (3)由已知,得|DF1|-|DF2|=2, 即|DF1|=|DF2|+2, 所以|DF1|+|DG|=|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2, 当且仅当 G,D,F2 三点共线时取等号. 因为|GF2|= ?1-2?2+22= 5, 所以|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2= 5+2. 故|DF1|+|DG|的最小值为 5+2.


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