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【高考复习方案】专题1-突破高考客观题常考问题-2015年高三数学(理科)二轮复习-浙江省专用(共165张PPT)


专题一

突破高考客观题常考问题

第1讲 第2讲

集合与常用逻辑用语 函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

第3讲
第4讲

函数与方程、函数模型及其应用
不等式与线性规划

核 心 知 识 聚 焦 考 点 考 向 探 究

第1讲 集合与常用逻辑用语

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第1讲
核 心 知 核 识 心 聚 焦 知 识 聚 焦

集合与常用逻辑用语

体验高考
1 .[2013·江西卷改编 ] 若集 合 A = {x∈R|ax2 + ax + 1 = 0} 中 只有一个元素 ,则 a=________.
[答案] 4


主干知识
? 集合的含 义 关键词: 集合、 元素,如①.

[解析]当 a=0 时, A=?; 当 a≠0 时,Δ=a2-4a=0,则 a=4.

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第1讲

集合与常用逻辑用语

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 集合的关 系 关键词: 子集、 相等、空集,如②.

2.[2013· 福建卷改编] 若集合 A= {1,2,3},B={1,3,4},则 A∩B 的 子集 个数为________.
[答案] 4


[解析] A∩B={1,3},所以子集 共有 22=4 个.

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第1讲

集合与常用逻辑用语

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 集合的运 算 关键词:交 集、并集、全集、 补集,如③④⑤.

3.[2014· 浙江卷改编] 设全集U= {x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5}, 则 ?UA③ =________.

[答案] {2}
[解析] ?UA={x∈N|2≤x< 5}= {2}.

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第1讲

集合与常用逻辑用语

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

4. [2014· 重庆卷] 设 全集④ U={n∈N|1≤n≤10}, A={1, 2, 3, 5, 8}, B={1, 3, 5, 7, 9}, 则 (?UA)∩B⑤ =________.

[答案] {7,9}
[解析] 由题知?UA={4,6,7,9,10},所以(?UA)∩ B ={7,9}.

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第1讲

集合与常用逻辑用语

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 充要条件 关键词:充分 条件、必要条件、 充要条件,如⑥.

5.[2014· 浙江卷改编] 已知 i 是 虚数单位, a, b∈R, 得“a=b=1” 是“(a+bi)2=2i” 的________条件 .


[答案] 充分不必要
[解析] 由a,b∈R,(a+bi)2=a2 -b2+2abi=2i, 得
? ?a=1, ? ?a=-1, ? 或? ? ? ?b=1 ?b=-1.
2 2 ? ?a -b =0, ? ? ?2ab=2,

所以

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第1讲

集合与常用逻辑用语

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 命题、逻 辑联结词 关键词:命题、逻 辑联结词、命题真 假,如⑦⑧.

6.[2014· 湖南卷改编] 已知 命题⑦ p:若 x>y,则-x<-y,命题 q:若 x >y,则 x2>y2.在命题①p∧q,②p∨q, ③p∧ ? q,④ ? p∨q 中, 真命题⑧ 是 ________.

[答案] ②③
[解析]依题意可知, 命题 p 为真命 题,命题 q 为假命题.由真值表可知 p∧q 为假,p∨q 为真,p∧ ?q 为真, ?p∨q 为假.
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第1讲

集合与常用逻辑用语

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 量词 关键词:全称 量词、存在量词、 全称命题、特称命 题,如⑨.

7 . [2014· 安徽卷改编] 命题 “ ?x∈R , |x|+ x ≥ 0 ”的否 定是 . ________________.
[答案]?x0∈R,|x0|+x2 0<0


2

[ 解析] 易知该命题的否定为“?
2 x0∈R,|x0 |+x0 <0” .

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第1讲

集合与常用逻辑用语

—— 教师知识必备 ——
知识必备 集合与常用逻辑用语
集 合 与 常 用 集合 逻 辑 用 语 运算 概念 一组对象的全体,x∈A,x?A 子集 关系 真子集 相等 交集 并集 补集 元素特点:互异性、无序 性、确定性

x∈A?x∈B,即 A?B ? ?A; x∈A?x∈B,?x0∈B, A?B,B?C?A?C; x0?A?A B 含 n 个元素的集合的子集 数为 2n ?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB); ?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB); ?U(?UA)=A A?B,B?A?A=B A∩B={x|x∈A,且 x∈B} A∪B={x|x∈A,或 x∈B} ?UA={x|x∈U,且 x?A}
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第1讲

集合与常用逻辑用语

—— 教师知识必备 ——
概念 能够判断真假的语句 原命题:若p,则q 集 合 与 常 常用 用 逻辑 逻 用语 辑 用 语 充 条 件 充要条件 命 题 四种 命题 否命题:若¬p,则¬q 逆否命题:若¬q,则 ¬p 充分条件 p?q,p是q的充分条件 若命题p对应集合A,命题q 对应集合B,则p?q等价于 逆命题:若q,则p 原命题与逆命题、否命题与 逆否命题互逆, 原命题与否命题、逆命题与 逆否命题互否, 原命题与逆否命题、否命题 与逆命题互为逆否. 互为逆否的命题等价

要 必要条件 p?q,q是p的必要条件

p?q,p,q互为充要条 A?B,p?q等价于A=B 件
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第1讲

集合与常用逻辑用语

—— 教师知识必备 ——
p∨q,p,q 有一为真即为真, p,q 均为假时才为假 p∧q,p,q 均为真时才为真, p,q 有一为假即为假 ¬p 和 p 为一真一假两个互为 对立的命题

或 集 合 与 常 常用 用 逻辑 逻 用语 辑 用 语 量词 逻辑 联结 词 且

类比集合的并

类比集合的交



类比集合的补

全称 ?,含全称量词的命题叫全称命题,其否定为特称 量词 命题 存在 ?,含存在量词的命题叫特称命题,其否定为全称 量词 命题

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第1讲

集合与常用逻辑用语

? 考点一

集合及其运算

集合概念——1.集合的表示方法;2.元素的性质(无序性、 确定性、互异性);3.根据集合的含义求参 数值或者参数范围
考 点 考 向 探 究

集合关系——1.子集的个数;2.由集合关系求参数值或参 数范围;3.包含与相等关系 集合运算——1.交集;2.交并补混合运算 题型:选择、填空 难度:基础 分值:5 分 热点:集合关系与运算的综合

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第1讲

集合与常用逻辑用语

考 点 考 向 探 究

例1 (1)[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设集合M={0,1, 2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=( ) A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2} - (2)设全集U=R,集合A={x|2x(x 2)<1},B={x|y= ln(1-x)},则图11中阴影部分表示的集合为( ) A.{x|x≥1} B.{x|x≤1} C.{x|0<x≤1} D.{x|1≤x<2}

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第1讲

集合与常用逻辑用语

[答案] (1)D

(2)D

[解析] (1)集合 N=[1,2],故 M∩N={1,2}. - (2)由不等式 2x(x 2)<1,得 x(x-2)<0,解得 0<x<2, 故集合 A={x|0<x<2};集合 B 表示函数 y=ln(1-x)的定 义域,故集合 B={x|x<1}.图中的阴影部分为 A∩(?UB),
考 点 考 向 探 究

由于?UB={x|x≥1},所以 A∩(?UB)={x|1≤x<2}.

[小结 ]在涉及方程的解、不等式的解集的集合问题 中,要先求出集合,然后再按照集合的运算规律进行计 算.在列举集合的元素时,要注意集合元素的性质,特 别是集合元素的互异性.
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第1讲

集合与常用逻辑用语

考 点 考 向 探 究

变式题 (1)已知集合 M={-1,0,1},N={x|x= ab,a,b∈M,a≠b},则 M 与 N 的关系是( ) A.M=N B.M?N C.M?N D.M∩N=? (2)设全集 U=R,集合 A={x|x2-1<0},B={x|x(x -2) ≥0},则 A∩(?UB)=( ) A.{x|0<x<2} B.{x|0<x<1} C.{x|0≤x<1} D.{x|-1<x<0}

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第1讲

集合与常用逻辑用语

[答案] (1)C

(2)B

考 点 考 向 探 究

[解析] (1)对于集合 N,当 a,b∈M={-1,0,1}时, x=ab 的取值可以为-1,0,即 N={-1,0},而 M={- 1,0,1},所以 M?N. (2)集合 A=(-1, 1), 集合?UB=(0, 2), 所以 A∩(?UB) =(0,1).

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第1讲

集合与常用逻辑用语

? 考点二 命题与充要条件 命题 ——1.命题的四种形式;2.命题真假的判断

充要条件——1.充要条件的判断; 2.根据充要条件求出参数
考 点 考 向 探 究

值或者参数范围 题型:选择、填空 难度:基础 分值:5 分 热点:充要条件的判断

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第1讲

集合与常用逻辑用语

考 点 考 向 探 究

例2 (1)对于原命题“单调函数不是周期函数”,下列陈 述正确的是( ) A.逆命题为“周期函数不是单调函数” B.否命题为“单调函数是周期函数” C.逆否命题为“周期函数是单调函数” D.以上三者都不正确 (2)已知向量a=(1,2),b=(x,y),则“x=-4且y=2” 是“a⊥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

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第1讲

集合与常用逻辑用语

[答案] (1)D

(2)A

[解析] (1)原命题可以改写为“若函数是单调函数, 则函数不是周期函数”.其逆命题为“若函数不是周期 函数,则函数是单调函数”,故选项A不正确;其否命 题为“若函数不是单调函数,则函数是周期函数”,故
考 点 考 向 探 究

选项B不正确;其逆否命题为“若函数是周期函数,则 函数不是单调函数”,故选项C不正确. (2)a⊥b?x+2y=0,显然当x=-4且y=2时,x+ 2y=0,反之不一定成立,故“x=-4且y=2”是 “a⊥b”的充分不必要条件.

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第1讲

集合与常用逻辑用语

[小结]在命题的四种形式及其相互关系中,要特别 注意“是”的否定为“不是” , “不都是”的否定为“都 是”等.对于充要条件的判断,事实上就是判断原命题 与其逆命题的真假.

考 点 考 向 探 究

变式题 (1)[2014· 北京卷] 设{an}是公比为q的等比数 列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)命题“若空间两条直线是异面直线,则这两条直 线没有公共点”的逆否命题是( ) A.若空间两条直线不是异面直线,则这两条直线有 公共点
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第1讲

集合与常用逻辑用语

B.若空间两条直线没有公共点,则这两条直线是异 面直线 C.若空间两条直线不是异面直线,则这两条直线没 有公共点 D.若空间两条直线有公共点,则这两条直线不是异 面直线
考 点 考 向 探 究

[答案] (1)D

(2)D

[解析] (1)当a1<0,q>1时,数列{an}递减;当a1<0, 数列{an}递增时,0<q<1.故选D. (2)否定的结论作条件,否定的条件作结论得出逆否命 题,即“若空间两条直线有公共点,则这两条直线不是异 面直线”.
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第1讲

集合与常用逻辑用语

?

考点三

简单的逻辑联结词

或、且、非——1.用简单的逻辑联结词表示命题; 2.含有逻辑联结词命题真假的断 题型:选择、填空 分值:5 分 热点:含逻辑联结词命题真假的判断
考 点 考 向 探 究

难度:基础

例3 已知命题p:若a=2,则关于x的方程x2-ax +1=0有两个相等的实数根,命题q:若a>2,则关于x 的不等式x2-ax+1≥0恒成立.给出下列命题: ①p∨q;②p∧q;③¬p∨q;④p∧¬q. 其中真命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1
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第1讲

集合与常用逻辑用语

[答案] C
[解析]当a=2时,方程x2-ax+1=0的判别式等于 零,故其有两个相等的实数根,故命题p为真命题,命题 ¬p为假命题;当a>2时,方程x2-ax+1=0的判别式大 于零,此时不等式x2-ax+1≥0不恒成立,故命题q为假
考 点 考 向 探 究

命题,命题¬q为真命题.所以命题①④为真命题,命题 ②③为假命题.

[小结]命题p与¬p一真一假,命题p∨q为真的充 要条件是p,q至少有一个为真命题,命题p∧q为真 的充要条件是p,q都是真命题.
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第1讲

集合与常用逻辑用语

—— 教师备用例题 ——

例1 【配例1使用】已知集合A={1,2a},B={a,b},若 ?1? A∩B=?2?,则A∪B为( ) ? ? ?1 ? ? 1? A.?2,1,b? B.?-1,2? ? ? ? ? ? ? 1? 1 ? C.?1,2? D.?-1,2,1? ? ? ? ?

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第1讲

集合与常用逻辑用语

[答案] D

?1? 1 a ? ? [解析]因为A∩B= 2 ,所以2 = 2 ,得a=-1,所 ? ?

? ?1 ? 1? 1 以b= 2 ,所以A= ?1,2? ,B= ?2,-1? ,所以A∪B= ? ? ? ? ? ? 1 ?-1, ,1?. 2 ? ?

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第1讲

集合与常用逻辑用语

π 例 2 【配例 2 使用】设 0<x< 2 ,则“xsin2x<1”是“xsin x <1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

[答案] B

π [解析]当 0<x< 2 时,0<sin x<1,故 xsin x<1?xsin xsin x <sin x<1?xsin2 x<1,故条件是必要的;但 xsin2 x<1?xsin x 1 1 <sin x,而sin x>1,故不能保证 xsin x<1,所以条件是不充分 的.故选 B.
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第1讲

集合与常用逻辑用语

例 3 【配例 3 使用】 已知命题 p: 当 a>1 时, 函数 y=log 1 (x2
2

+2x+a)的定义域为 R;命题 q:“a=3”是“直线 ax+2y=0 与 直线 2x-3y=3 垂直”的充要条件,则以下结论正确的是( ) A.p 或 q 为真命题 B.p 且 q 为假命题 C.p 且¬q 为真命题 D.¬p 或 q 为假命题

[答案] A

[解析] 函数 y=log 1 (x2+2x+a)的定义域为 R 的充要
2

条件是 Δ=4-4a<0,即 a>1,p 为真命题;直线 ax+2y =0 与直线 2x-3y=3 垂直的充要条件是 2a-6=0,即 a= 3,q 为真命题.所以只有选项 A 中的结论正确.
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第2讲 函数、基本初等函数 Ⅰ的图像与性质

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第2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

核 心 知 识 聚 焦

体验高考 1.[2014· 江西卷改编] 函数 f(x)
=ln(x2-x)的 定义域 是________.


主干知识
? 函数的概 念及表示 关键词: 函数、 定义域、值域、分 段函数,如①.

[答案] (-∞,0)∪(1,+∞)
[解析] 由 x2-x>0, 得 x<0 或 x >1,故函数 f(x)=ln(x2-x)的定义域 是(-∞,0)∪(1,+∞).

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第 2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 函数的图 像 关键词: 图像, 如②.
? 函数的性 质 关键词:单调 性、奇偶性、周期 性,如③④⑤.

2. [2013· 福建卷改编] 通过观察 函数 y=ln(x +1)的 图像 ,则函数 在区间[0, +∞)上的 单调性 是单调 ________(填“递增”或“递减”).


2



2x [解析] y′= 2 ,当x≥0时, x +1 y′≥0,故该函数在区间[0,+∞)上 单调递增.

[答案] 递增

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第2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

3.[2014· 湖南卷改编] 已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的 偶函数和奇函数④ ,且 f(x)-g(x)=x3+x2+1,则 f(1) +g(1)=________.
[答案] 1
[解析] 因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(1)+ g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.

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第2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

4.[2013· 全国卷] 设 f(x)是以 2 为 周期⑤ 的函数,且当 x∈[1,3)时,f(x)=x-2,则 f(-1)=________.

[答案] -1

[解析] f(-1)=f(-1+2)=f(1)=1-2=-1.

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第2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识

5.[2013· 安徽卷] 定义在 R 上的函数 ? 函数解析 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).若当 0≤x≤1 时, 式 f(x)=x(1-x) ⑥ , 则 当 - 1≤x≤0 关键词:函 数、 解析式, 如⑥. 时,f(x)=________________.
1 [答案] -2x(x+1)
当-1≤x≤0时,0≤x+ 1 1≤1,由f(x+1)=2f(x),可得f(x)= 2 1 f(x+1)=-2x(x+1).
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[解析]

第2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 指、对、幂 函数的图像与性质 关键词:指数 函数、对数函数、 幂函数、图像与性 质,如⑦⑧.

6.[2013· 浙江卷改编] 已知 x,y 为 + 正实数,则下列四个式子:①2lg x lg y + =2lg x+2lg y;②2lg(x y)=2lg x·2lg y;③ 2lg x·lg y=2lg x+2lg y; ④2lg(xy)=2lg x· 2lg y. 其中 运算正确 的是________.


[答案] ④
[解析] ∵lg(xy)=lg x+lg y,∴ 2lg(xy)=2lg x+lg y=2lgx2lg y,故填④.

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第2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

7.[2014· 辽宁卷改编] 已知 则a,b,c的大小关系是________.



[答案] c>a>b
[解析] 因为0<a= 2 <1,b=log2 <0,c=log 1 >log 1 =1,所以c>a>b.
? 1 3

1 3

1 2 3

1 2 2

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第2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

—— 教师知识必备 ——
知识必备 函数与基本初等函数Ⅰ
概念 函 数 与 基 本 初 等 函 数 Ⅰ 函 数 概 念 及 其 表 示 性质 对于定义域内某个区间 I,x1,x2∈I, 偶函数在定义域内关 单调性 x1<x2,f(x)是增函数?f(x1)<f(x2), 于坐标原点对称的区 f(x)是减函数?f(x1)>f(x2) 对于定义域内任意 x,f(x) 是偶函数 ? 间上具有相反的单调 性、奇函数在定义域 定义域内任何一个自变量都有唯一对应的函数值.两函数相等只要定 义域和对应法则相同即可

表示 解析法、列表法、图像法.分段函数是一个函数,其定义域是各段定 方法 义域的并集,值域是各段值域的并集

f(x)=f(-x),f(x)是奇函数?f(-x)=- 内关于坐标原点对称 奇偶数 f(x).偶函数的图像关于 y 轴对称,奇 的区间上具有相同的 函数的图像关于坐标原点对称 单调性

周期性 对定义域内任意 x,存在非零常数 T,使得 f(x+T)=f(x)

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第2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

—— 教师知识必备 ——
0<a<1 a>1 0<a<1 a>1 α>0 α<0 在区间(-∞,+∞)上单调递减, x<0时y>1,x>0时0<y<1 在区间(-∞,+∞)上单调递增, x<0时0<y<1,x>0时y>1 在区间(0,+∞)上单调递减,0< x<1时y>0,x>1时y<0 在区间(0,+∞)上单调递增,0< x<1时y<0,x>1时y>0 在区间(0,+∞)上单调递增,图 像过坐标原点 在区间(0,+∞)上单调递减 函数图像过 定点(1,1) 函数图像过 定点(1,0) 函数图像过 定点(0,1)

函 数 与 基 本 初 等 函 数 Ⅰ 基 本 初 等 函 数 Ⅰ

指数函数 y=ax

对数函数 y=logax

幂函数 y=xα

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第2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

? 考点一

函数的概念与表示 ——1.函数的定义域、值域;2.分段函数

函数的概念

考 点 考 向 探 究

函数的表示方法——1.函数的解析式;2.函数的图像 题型:选择、填空 分值:5 分 难度:基础 热点:分段函数问题和函数图像的分析判断

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第2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

例1 [2014· 安徽卷] 若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小 值为3,则实数a的值为( ) A.5或8 B.-1或5 C.-1或-4 D.-4或8 [答案] D
[解析] 当a≥2时, ?3x+a+1(x>-1), ? ? a ?x+a-1? ?- ≤x≤-1?,其图像如图所示, ? f ( x) = ? 2 ? ? ? a? ?-3x-a-1?x<- ?, 2? ? ? a 由图可知,当x=-2时, ? a? a f(x)min=f?-2?=2-1=3,可得a=8. ? ?
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考 点 考 向 探 究

第2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

当a<2时, ? a? ? x>-2?, ?3x+a+1? ? ? ? ? a? f(x)=? ? ? ?-x-a+1?-1≤x≤-2?,其图像如图所示, ? ?-3x-a-1(x<-1),
考 点 考 向 探 究

? a? a a ? ? 由图可知,当x=- 2 时,f(x)min=f -2 =- 2 +1= ? ? 3,可得a=-4.综上可知,a的值为-4或8.
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第2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

考 点 考 向 探 究

[小结] (1)带有绝对值的函数的本质是分段函数, 只要根 据绝对值符号内式子的符号把定义域划分为若干部分, 即可 去掉绝对值符号, 把函数化为分段函数. (2)分段函数求值时 注意由内层到外层逐层计算, 在计算时要随时注意自变量的 取值在函数的哪个段上. (3)函数概念的核心是定义域和对应 关系, 求由解析式给出的函数的定义域就是求使解析式有意 义的自变量的取值集合.

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第2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

变式题 已知函数f(x)=ln(x2+1)的值域为{0,1, 2},则满足此条件的函数的个数为( ) A.8 B.9 C.26 D.27
考 点 考 向 探 究

[答案] B

[解析] 由题意易知,若定义域内只含有 3 个元素, 则有 4 种可能;若定义域内含有 4 个元素,则有 4 种可 能;若定义域内含有 5 个元素,则只有 1 种可能.故符 合题意的函数共有 9 个.

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第2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

? 考点二 函数的基本性质 函数的单调性——1.单调性的判断;2.利用单调性求参 数范围

函数的奇偶性——1.奇偶性的判断;2.奇偶性的应用
考 点 考 向 探 究

函数的周期性——1.周期性的推导;2.周期性的应用 题型:选择、填空 分值:5 分 热点:函数性质的判断和综合运用 难度:基础

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第2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

? 考向一 函数的单调性

例2 [2014·新课标全国卷Ⅱ]已知偶函数f(x)在[0, +∞)单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是 ________.

考 点 考 向 探 究

[答案] (-1,3)

[解析] 根据偶函数的性质,易知f(x)>0的解集为 (-2,2),若f(x-1)>0,则-2<x-1<2,解得-1 <x<3.

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第2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

考 点 考 向 探 究

[小结]函数的单调性是函数最重要的性质之一,函数 的单调性是在定义域内的局部性质,即函数在定义域的一 个子区间上单调,在整个定义域上可能不单调.函数单调 性的定义是等价的,既可以根据单调性和自变量的大小确 定函数值的大小,也可以根据函数值的大小和单调性判断 自变量的大小. x 变式题 设函数 f(x)=- (x∈R),集合 N={y|y 1+|x| =f(x),x∈M},其中 M=[a,b](a<b),则使 M=N 成立 的实数对(a,b)有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数多个

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第2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] A
[解析] 易知函数f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)= x+1-1 1 x - =- =-1+ 是单调递减的,故函数f(x) 1+x 1+x 1+x
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在区间(-∞,0)上也是单调递减的,又f(0)=0,所以函数 f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减.若M=N,则f(a)=b, a b f(b)=a,即- =b,- =a,所以a=0,b=0,又 1+|a| 1+|b| a<b,所以不存在使得M=N成立的实数对(a,b).

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第2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

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? 考向二 函数的奇偶性 例3 [2014· 新课标全国卷Ⅰ] 设函数f(x),g(x)的定 义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结 论正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
[答案] C
[解析] 由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函 数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为 C.

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[小结] 函数的奇偶性是定义域上的整体性质,即对定义 域内任意的自变量都要满足函数奇偶性的定义, 如果函数具 有奇偶性,其定义域在 x 轴上一定关于坐标原点对称.对具 备奇偶性的两个函数的和、差、积、商的奇偶性的判断,只 要根据定义进行判断即可.

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变式题 已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)是偶函数, f(x-1)是奇函数,若f(-0.5)=9,则f(2012)+f(2014)+ f(2.5)+f(1.5)=( ) A.-18 B.-9 C.0 D.9
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[答案] A
[解析] 由已知得 f(-x)=f(x), 又 f(-x-1)=-f(x-1), 所以 f(x+1)=-f(x-1),即 f(x+2)=-f(x),所以 f(2014) =f(2012+2)=-f(2012),即 f(2014)+f(2012)=0.f(2.5)= f(0.5 + 2) =- f(0.5) =- f( - 0.5) , f(1.5) = f( - 0.5 + 2) =- f(-0.5), 所以 f(2012)+f(2014)+f(2.5)+f(1.5)=-2f(-0.5) =-18.
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? 考向三 函数的周期性 例4 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x+1) 为奇函数,f(0)=0,当x∈(0,1]时,f(x)=log2x,则在 区间(8,10)内满足方程f(x)+1=f(1)的实数x为( ) 19 A. 2 B.9 17 33 C. 2 D. 4

[答案] C

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[解析] 根据已知得f(-x)=f(x),f(-x+1)=-f(x+1),即f(x+1) =-f(-x+1)=-f(x-1),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x +2)=f(x),即4为函数f(x)的一个周期. 由f(-x+1)=-f(x+1),可得f(x)=-f(2-x),当x∈[1,2)时,2 -x∈(0,1],所以当x∈[1,2)时,f(x)=-log2(2-x). 当x∈(8,9]时,x-8∈(0,1],此时f(x)=f(x-8)=log2(x-8), 又方程f(x)+1=f(1),所以f(x)=-1,即log2(x-8)=-1,解得x=
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17 2; 当x∈(9,10)时,x-8∈(1,2),此时f(x)=f(x-8)=-log2(10- x),又方程f(x)+1=f(1),所以f(x)=-1,即-log2(10-x)=-1,解 得x=8(舍去). 17 综上可知,在区间(8,10)内满足方程f(x)+1=f(1)的实数x为 2 .
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[小结] 函数的周期性是定义域上的整体性质,即对定义域 内的自变量都要满足周期函数的定义,周期性的重要应用之一 是把未知的函数值转化为已知的函数值.
? 考点三 函数的图像及其应用 函数图像的识别——根据函数解析式推断函数图像的大致形状
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函数图像的应用——应用函数图像,通过数形结合解决问题 题型:选择、填空 分值:5 分 热点:函数性质的判断和综合运用 难度:基础

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例5 (1)记实数x1,x2,…,xn中的最大数为max{x1, x2,…,xn},最小数为min{x1,x2,…,xn},则max{min{x+ 1,x2-x+1,-x+6}}=( ) 3 7 A.4 B.1 C.3 D.2 (2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=|x-a| -a(a>0),且对任意x∈R恒有f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范 围是( ) A.(0,4] B.(0,2] ? ? 1? 1? C.?0,2? D.?0,4? ? ? ? ?

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] (1)D

(2)D

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[解析] (1)如图所示,在同一坐标系中作出函数y=x+1,y =x2-x+1与y=-x+6的图像.由图可知,显然在C点时,y= min{x+1,x2-x+1,-x+6}取得最大值.解方程组 ? 5 x= , ? 2 ?y=-x+6, ? ? 得? ? ?y=x+1, ?y=7, ? 2 所以max{min{x+1, 7 2 x -x+1,-x+6}}=2.

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(2)易知当x≥0时,f(x)=

? ?x-2a,x≥a, ? ? ?-x,0≤x<a,

由题意,画出函数

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f(x)的图像,如图所示.由于函数f(x -1)的图像是由函数f(x)的图像向右 平移1个单位得到的,只有平移到图 ②和图③所示的情况下,才有f(x- 1 1) ≤f(x),故4a≤1,所以0<a≤4.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[小结] 函数图像是高考考查的重点,能够画出函数图像是利 用数形结合思想寻找解题途径的基础, 在复习函数时要特别关注 函数的图像.

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变式题 (1)已知函数f(x)=x|x-a|+2x.若存在a∈[-3, 3],使得关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根,则 实数t的取值范围是( ) ?9 5? ? 25? A.?8,4? B.?1,24? ? ? ? ? ? ? 9? 5? C.?1,8? D.?1,4? ? ? ? ?

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? ?1-|x-1|(x≤2), (2)已知函数f(x)= ? 1 2 如果在区 - x +2x-3(x>2), ? ? 4 间(1,+∞)上存在n(n≥1)个不同的数x1,x2,x3,…,xn使 f(x1) f(x2) f(xn) 得 x = x = …= x (n∈N*)成立,则n的取值 n 1 2 集合是( ) A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{2,3} D.{2,3,4}

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] (1)B

(2)B

[解析] (1)由已知可得f(x)=x|x-a|+2x= 2 ? ?x -(a-2)x,x≥a, ? 当2<a≤3时,画出函数y=f(x)的 2 ? ?-x +(a+2)x,x<a, 图像(草图)如图所示.
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质
要使得关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根,则需

(a+2)2 (a+2)2 2a 2a<tf(a)< ,即 <t < .又f(a)=2a,所以 4 f(a) 4f(a)
?(a+2)2? (a+2)2 25 ? 1<t< ,易知当a∈[-3,3]时, ? = ,所以 ? ? max 8a 24 8 a ? ?

25 1<t<24.
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2-x,1<x≤2, ? ? (2)由题意,在区间(1,+∞)上,f(x)= ? 1 2 - x +2x-3,x>2, ? ? 4 f(x1) f(x2) f(xn) 画出函数f(x)的图像如图所示.等式 x = x =?= x n 1 2 中n的值即为函数y=f(x)的图像与y=kx(k≠0)的图像的交点的个 数,由图可知,两函数图像的交点的个数可能为1,2,3.
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? 考点四 基本初等函数Ⅰ的图像与性质 二次函数的图像——图像的应用

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二次函数的性质——性质的应用 题型:选择、填空 分值:5-10 分 热点:二次函数的图像与性质的综合运用 难度:中等

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例6 中的(
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(1)函数 f(x)=x(m-x)满足 f(2-x)=f(x), 且在区间 )

[a,b]上的值域是[-3,1],则坐标(a,b)所表示的点在图 21 A.线段 AD 和线段 BC 上 B.线段 AD 和线段 DC 上 C.线段 AB 和线段 DC 上 D.线段 AC 和线段 BD 上
图 21

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

(2)[2014· 浙江卷] 设函数 f1(x)=x2,f2(x)=2(x-x2),f3(x) 1 i = |sin 2π x|,ai= ,i=0,1,2,?,99.记 Ik=|fk(a1)-fk(a0)| 3 99 +|fk(a2)-fk(a1)|+?+|fk(a99)-fk(a98)|,k=1,2,3,则( A.I1<I2<I3
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)

B.I2<I1<I3 D.I3<I2<I1

C.I1<I3<I2

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] (1)B

(2)B

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[解析] (1)∵f(2-x)=f(x),∴f(x) 的图像关于直线x=1对称,又f(x)= x(m-x)=-x2+mx,∴由二次函数 m 的对称轴可得 2 =1?m=2,∴f(x) =x(m-x)=-x2+2x=-(x-1)2+ 1≤1.由f(x)=-x2+2x=-3?x=- 1或x=3,画出函数图像可知,当a =-1时,只需1≤b≤3,当b=3 时,只需-1≤a≤1,故点(a,b)的 轨迹是线段AD和线段DC.

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(2)对于

?? i ?2 ? i-1?2? 2i-1 ? ? ? ? I1,由于??99? -? ? ?= 992 (i=1,2,?,99), ?? ? ? 99 ? ?

1 992 故 I1=992(1+3+5+?+2×99-1)=992=1; 对于 I2,由于
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? i 2? i-1 ? i ?2 ? 2 i-1? ? ? ? ? 2 ?99- 99 -?99? +? = ? ? 992|100 -2i |(i ? ? 99 ? ? ? ?

50(98+0) 100×98 992-1 2 =1, 2, ?, 99), 故 I2= 2×2× = = 99 2 992 992 <1. ? 1 ? 0 ? ? ? sin ? 2?? ? ? sin ? 2?? ? ? 1? I3 = ? 99 ? 99 ? ? ? 3?

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2 ? 1 ? ? ? sin ? 2?? ? ? sin ? 2?? ? ? 99 ? 99 ? ? ? ?

99 ? 98 ? ? ? sin ? 2?? ? ? sin ? 2?? ? 99 ? 99 ? ? ?
? sin?2π ? ? 99? 98? ×99?- sin?2π ×99?= ? ? ?

? ? ? ? ?

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25 ? 74 ?? ? ? 1? 2sin 2 ?? ? 2sin 2 ?? ? ? ? ?? ≈4>1. ? 99 ? 99 ?? 3 ? ? 3?

故 I2<I1<I3,故选 B.

[小结]解决二次函数题目的基本思路:一看函数图像的对称 轴;二看函数图像的开口方向和与x轴的交点;三看定义域、值 域、特殊函数值,画出图像上的特殊点是关键.解题时要注意 与不等式的结合.
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

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变式题 (1)已知函数 f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R), 给出 下列命题: ①f(x)必是偶函数; ②当 f(0)=f(2)时,f(x)的图像关于直线 x=1 对称; ③若 a2-b≤0,则 f(x)在区间[a,+∞)上是增函数; ④f(x)有最大值|a2-b|. 其中真命题的序号是( ) A.③ B.②③ C.③④ D.①②③ (2)已知函数 f(x)=|x2+2x-1|,若 a<b<-1 且 f(a)= f(b),则 ab+a+b 的取值范围是________.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质
[答案] (1)A (2)(-1,1)

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3 [解析] (1) 当 a≠0 时,f(x)不是偶函数,①错;取 a= , 2 b=1, 可得 f(0)=f(2), 但图像不关于直线 x=1 对称, ②错; 当 a2-b≤0 时,f(x)=x2-2ax+b,其对称轴为 x=a,开口 向上,在区间[a,+∞)上是增函数,③正确;因为 y=x2- 2ax+b 的图像开口向上,无最大值,所以 f(x)也无最大值, ④错.所以真命题的序号是③. (2)由题意,设 f(x)的图像与 x 轴的交点分别为 x1, x2(x1<x2),那么当 x1<x<x2 时,f(x)有最大值,在 x=-1 时 取得,即 f(-1)=2. 解方程 f(x)=|x2+2x-1|=2, 可以算出 x=-3 或 x=1, 则必然有-3<a<x1<b<-1.
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

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若a<b<-1,f(a)=a2+2a-1=f(b)=-(b2+2b-1),即 2 2 a + b a2+b2+2a+2b-2=0,则有a+b=1- ?ab+a+b= 2 a2+b2 (a-b)2 1- +ab=1- ,判断a-b的取值范围,显 2 2 2 ( b - a ) 然0<b-a<-1-(-3)=2?0<(b-a)2<4?-1<1- 2 <1,故-1<ab+a+b<1.

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—— 教师备用例题 ——
x3 例 1【配例 5 使用】[2013· 四川卷] 函数 y= x 的图 3 -1 像大致是( )

[答案] C
[解析] 函数的定义域是{x∈R|x≠0},排除选项 A;当 x<0 时,x3<0,3x-1<0,故 y>0,排除选项 B; 当 x→+∞时,y>0 且 y→0,故为选项 C 中的图像.
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

例2【配例6使用】若实数a,b,c满足loga2<logb2< logc2,则下列关系中不可能成立 的是( ) ..... A.a<b<c C.c<b<a B.b<a<c D.a<c<b

[答案]

A

[解析] 当logc2<0时,根据不等式的性质和对数的换底公 式可得log2c<log2b<log2a<0,可得0<c<b<a<1;当loga2 >0时,根据不等式的性质和对数的换底公式可得log2a>log2b >log2c>0,可得a>b>c>1;当loga2<0,logb2>0时,可得 0<a<1,b>c>1,即a<c<b;当logb2<0,logc2>0时,可 得0<b<a<1,c>1,即b<a<c.综上所述,只有选项A中的 关系式不可能成立.
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

例 3【配例 6 使用】[2013· 山东卷] 定义“正对数”: ln


? ?0,0<x<1, x=? 现有四个命题: ? ?ln x,x≥1.

①若 a>0,b>0,则 ln+(ab)=bln+a; ②若 a>0,b>0,则 ln+(ab)=ln+a+ln+b; ? ? + a ③若 a>0,b>0,则 ln ?b?≥ln+a-ln+b; ? ? + + + ④若 a>0,b>0,则 ln (a+b)≤ln a+ln b+ln 2. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)

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第2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] ①③④
[解析] ①中,当 ab≥1 时,∵b>0,∴a≥1,ln+(ab)=ln ab=bln a=bln+a; 当 0<ab<1 时,∵b>0,∴0<a<1,ln+(ab)=bln+a=0,∴①正确. + + + ②中,当 0<ab<1,且 a>1 时,左边=ln (ab)=0,右边=ln a+ln b=ln a +0=ln a>0,∴②不成立. a ③中, 当b≤1, 即 a≤b 时, 左边=0, 右边=ln+a-ln+b≤0, 左边≥右边, a a 成立;当b>1 时,左边=lnb=ln a-ln b>0,若 a>b>1 时,右边=ln a- ln b,左边≥右边,成立;若 0<b<a<1 时,右边=0, 左边≥右边,成立;若 a a>1>b>0,左边=lnb=ln a-ln b>ln a,右边=ln a,左边≥右边,成立, ∴③正确.

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第2讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

④中,若0<a+b<1,左边=ln+ ??a+b?? =0,右边=ln+a+ ln+b+ln 2=ln 2>0,左边≤右边;若a+b≥1,ln+??a+b??-ln
? a?b ? ? 2=ln(a+b)-ln 2=ln ? ? 2 ?,
? ?

?

?

又∵

a+b a+b ≤ a 或 2 2 ≤b,a,b至少有1个大于1,∴

? a?b ? ? a?b ? ? ?a+b? -ln 2= ? ≤ln a或ln ? ? ≤ln b,即有ln+ ? ln ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? a?b ? ? ≤ln+a+ln+b,∴④正确. ln a+b -ln 2=ln ? ? 2 ?
? ? ? ? ? ?

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第3讲 函数与方程、函数模 型及其应用

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第 3讲

函数与方程、函数模型及其应用

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 函数的零 点 关键词:方程 的根、 函数的零点、 函数零点的存在性 定理、函数零点的 个数,如①②.

1.[2014· 湖北卷改编] 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x≥0 时, f(x) =x2-3x ,则函数 g(x)=f(x) -x +3 的 零点 的集合是 ________.
[答案] {-2- 7,1,3}


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第 3讲

函数与方程、函数模型及其应用

核 心 知 识 聚 焦

[解析] 设 x<0, 则-x>0, 所以 f(x)=-f(-x)=-[(-x)2 -3(-x)]=-x2-3x . 求函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点等价于求方程 f(x)=-3 +x 的解. 当 x≥0 时,x2-3x=-3+x,解得 x1=3,x2=1; 当 x<0 时,-x2-3x=-3+x,解得 x3=-2- 7.

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第 3讲

函数与方程、函数模型及其应用

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

2. [2014· 福建卷] 函数 个数是________.
[答案] 2

2 ? ?x -2,x≤0, ② f(x)=? 的 零点 ? ?2x-6+ln x,x>0

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第 3讲

函数与方程、函数模型及其应用

核 心 知 识 聚 焦

[解析] 当x≤0时,f(x)=x2-2, 令x2-2=0,得x= 2(舍)或x=- 2, 即在区间(-∞,0)上,函数只有一个零点. 当x>0时,f(x)=2x-6+ln x, 令2x-6+ln x=0,得ln x=6-2x. 作出函数y=ln x与y=6-2x在区间(0,+∞)上的图像,则 两函数图像只有一个交点,即函数f(x)=2x-6+ln x(x>0)只有 一个零点. 综上可知,函数f(x)的零点的个数是2.

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 函数图像 与零点 关键词:方程 的根、 函数的零点、 函数图像的交点, 如③.

3.[2013· 湖南卷改编] 函数 f(x) =2ln x 的图像与函数 g(x)=x2-4x + 5 的 图 像 的 交点③ 个 数 为 ________.
[答案] 2

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

核 心 知 识 聚 焦

[解析] 方法一:作出函数 f(x)=2ln x,g(x)=x2-4x+5的 图像,如图所示. 由图可知,其交点个数为2.

方法二:也可以采用数值法: x 1 2 4 f(x)=2ln x 0 2ln 2=ln 4>1 ln 42<5 g(x)=x2-4x+5 2 1 5 易知它们有2个交点.

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 函数模型 及其应用 关键词:实际 问题的函数建模、 函数模型的实际应 用,如④⑤.

4.[2014· 湖南卷改编] 某市生产 总值连续两年持续增加,第一年的增 长率为p,第二年的增长率为q,则该 市这两年生产总值的 年平均增长率 为________.


[答案]

(1+p)(1+q)-1

[解析] 设年平均增长率为x, 则有(1+p)· (1+q)=(1+x)2,解得x = (1+p)(1+q)-1.

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

5.[2013· 上海卷改编] 甲厂以x千克/小时的速度匀速 生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的 利润是
? 3?⑤ 100?5x+1-x ? ? ?

元.若要使生产该产品2小时获得的

利润不低于3000元,则x的取值范围是________. [答案] [3,10] [解析] 由题意可知,生产该产品2小时获得的利润为 ? ? ? 3? 3? 3? ? ? ? ? ? 100 5x+1-x ×2=200 5x+1- x (元),由200 5x+1-x ? ≥ ? ? ? ? ? ?
1 3000,解得x≥3或x≤- .又1≤x≤10,所以3≤x≤10,故x的 5 取值范围是[3,10].
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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

—— 教师知识必备 ——
知识必备
函 数 函 数 与 方 程 及 函 数 模 型 函 数 建 模 解题 步骤 零 点

函数与方程及函数模型
零点的 概念 存在性 定理 概念 建模 阅读 审题 数学 建模 解答 模型 解释 模型 分析出已知什么、求什么,从中提炼出相应的数学问题 弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式 利用数学方法得出函数模型的数学结果 将数学问题的结果转译成实际问题的结果 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图像与x轴有交点?函数y=f(x)有 零点 若y=f(x)的图像在区间[a,b]上连续不断,且f(a)f(b)<0,则y=f(x)在 区间(a,b)内存在零点 把实际问题表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

? 考点一 函数的零点 函数的零点 ——零点概念的应用

考 点 考 向 探 究

零点存在性定理——应用零点存在性定理判断函数零点所在的 区间 题型:选择、填空 分值:5 分 难度:中等 热点:使用零点存在性定理判断零点所在区间,利用数形结合 思想确定零点个数

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

?

考向一

函数零点的存在性

考 点 考 向 探 究

例 1 已知 f(x)是定义在区间(0,+∞)上的单调函 数,且对任意的 x∈(0,+∞),都有 f[f(x)-log2x]=3, 则方程 f(x)-f′(x)=2 的解所在的区间是( ) ? ?1 ? 1? A. ?0, ? B. ? ,1? 2? ? ?2 ? C.(1,2) D.(2,3)
[答案] C

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

考 点 考 向 探 究

[解析] 由题意,对任意的 x∈(0,+∞),都有 f[f(x) -log2x]=3.又 f(x)是定义在区间(0, +∞)上的单调函数, 所以 f(x)-log2x 为定值. 设 t=f(x)-log2x, 则 f(x)=log2x +t.由 f(t)=3, 即 log2t+t=3, 得 t=2, 故 f(x)=log2x+2, 1 1 f′(x)= .因为 f(x)-f′(x)=2, 所以 log2x+2- =2, xln 2 xln 2 1 1 即 log2x-xln 2=0.设 h(x)=log2x-xln 2,可知 h(x)在其 1 1 定义域上单调递增, 又 h(1)=log21-ln 2=-ln 2<0, h(2) 1 1 1 =log22-2ln 2=1-ln 4>0, 所以 h(x)=log2x-xln 2的零 点在区间(1,2)上,即方程 f(x)-f′(x)=2 的解所在的区 间是(1,2).
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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

考 点 考 向 探 究

[小结]图像连续的函数在一个区间内存在零点的充 分条件是在区间的端点处的函数值异号,但注意这个条 件不是必要的,即不满足函数值在区间的端点处异号的 函数也可能在这个区间上存在零点. 在一些由指数函数、 对数函数、幂函数等组合而成的函数中,在判断端点值 的符号时要善于进行估算,即只要判断符号,无需求出 具体的数值.

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

变式题

已知 a 是函数 f(x)=2x-log1x 的零点,若 0
2

<x0<a,则 f(x0)的值满足( A.f(x0)=0 C.f(x0)<0

) B.f(x0)>0 D.f(x0)的符号不确定

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[答案] C [解析] 易知函数 f(x)是区间(0,+∞)上的增函数,又 f(x)存在零点 a,所以零点是唯一的,且在零点左侧的函数 值一定为负值,故有 f(x0)<0.

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

? 考向二 函数零点个数的判断 例 2 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且满足 f(1 + x) = f(1 - x),当 x∈[0, 1]时, f(x) = 2x. 若在区间 [ - 2, 3] 上,方程 ax+2a-f(x)=0 恰好有四个不相等的实数根,则实 数 a 的取值范围是________.
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[答案]

?2 2? ? , ? ?5 3?

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

[解析] 由 f(1+x)=f(1-x),f(x)是偶函数,得 f(x+1) =f(x-1), 所以 f(x+2)=f(x), 即 2 为函数 f(x)的一个周期. 由 题意,画出函数 y=f(x)在区间[-2,3]上的图像,如图所 示.又方程 ax+2a-f(x)=0 恰好有四个不相等的实数根, 等价于函数 y=f(x)的图像与函数 y=ax+2a 的图像有四个 不同的交点,且函数 y=ax+2a 的图像恒过点(-2,0),
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2-0 2-0 结合图像可得实数 a 满足 <a< , 即 3-(-2) 1-(-2) 2 2 5<a<3.

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

考 点 考 向 探 究

[小结]判断函数零点的方法:(1)零点存在性定理法, 使用这个方法时要注意判断函数的单调性,在某个区间上 单调的函数,如果符合零点存在性定理的条件,则在这个 区间上只有唯一的零点;(2)数形结合法,即把函数零点 等价地转化为两个函数图像的交点,通过判断交点的个数 得出函数零点的个数.

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

? 考点二

与函数有关的自定义问题

函数 ——函数的概念、性质、图像

考 点 考 向 探 究

新定义 ——各类新定义 题型:选择、填空 分值:5 分 难度:中等 热点:以函数的基础知识为依托的各类新定义问题

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

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例3 若存在正实数M,对于任意x∈(1,+∞),都 有|f(x)|≤M,则称函数f(x)在区间(1,+∞)上是“有界 函数”.给出下列函数: 1 x ①f(x)= ;②f(x)= 2 ; x-1 x +1 ln x ③f(x)= x ;④f(x)=xsin x. 其中在区间(1,+∞)上是“有界函数”的序号为 ________.
[答案] ②③

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函数与方程、函数模型及其应用

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[解析] ①中,当 x>1 且 x→1 时,f(x)→+∞,所以不存在正实 数 M,对于任意 x∈(1,+∞),都有|f(x)|≤M,故①中的函数不是 x x 1 “有界函数”;②中,当 x>1 时,0< 2 < = ,故存在正实数 x +1 2x 2 1 M≥ ,使得对于任意 x∈(1,+∞),都有|f(x)|≤M,故②中的函数 2 1-ln x 是“有界函数”;③中,f′(x)= x2 ,当 1<x<e 时,f′(x)>0, 当 x>e 时,f′(x)<0,故 x=e 是函数 f(x)在区间(1,+∞)上唯一的 1 极大值点,也是最大值点,故 f(x)max=f(e)=e .又当 x∈(1,+∞)时, 1 f(x)>0,所以存在正实数 M≥e ,使得对于任意 x∈(1,+∞),都有 |f(x)|≤M,故③中的函数是“有界函数”;
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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

π ④中,当x=kπ + 2 ,k∈Z,且k→+∞时,f(x)→∞,所以不 存在正实数M,使得对于任意x∈(1,+∞),都有|f(x)|≤M,故 ④中的函数不是“有界函数”.

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[小结]新定义问题的本质是转化思想的应用,即把新定 义问题转化为我们已知的问题后加以解决,解题的关键是理 解新定义,把新定义表达的问题转化为我们已经掌握的数学 问题,然后根据题目的要求进行推理计算并得出结论.

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

变式题 对于区间[a,b),(a,b),[a,b],(a,b],a<b, 则称b-a为区间长度.若关于x的不等式 x2+(2a2+2)x-a2+4a-7 <0的解集是一些区间的并集,且 x2+(a2+4a-5)x-a2+4a-7
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这些区间长度的和不小于4,则实数a的取值范围是________.

[答案] a≥3或a≤1

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函数与方程、函数模型及其应用

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[解析] 设方程 x2+(2a2+2)x-a2+4a-7=0 的两根分别为 x1,x2(x1<x2),方程 x2+(a2+4a-5)x-a2+4a-7=0 的两根分 别为 x3, x4(x3<x4), 则 x1x2=x3x4=-a2+4a-7=-(a-2)2-3<0, 所以 x1,x2 为一正一负,x3,x4 为一正一负. 又(x1+x2)-(x3+x4)=-a2+4a-7<0,所以 x1+x2<x3+x4, 而 x1+x2=-(2a2+2)<0,所以 x1<x3<x2<x4, 即原不等式等价于(x-x1)(x-x3)(x-x2)(x-x4)<0, 所以 x1<x<x3,x2<x<x4,因此(x3+x4)-(x1+x2)≥4, 即-(a2+4a-5)+2a2+2=a2-4a+7≥4, 解得 a≥3 或 a≤1.

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

? 考点三 各类函数

函数模型及其应用 —— 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函 数等

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实际问题的 函数建模 —— 不同类型的函数建模及其应用 题型:选择、填空、解答 分值:5-12 分 难度:中等 热点:以函数的基础知识为依托的函数建模及其应用

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

例 4 某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形,它在每分钟内 随时间 t(单位:s,且 t∈[0,60])的变化规律大致可用 y= ? ? ? tπ ? ? ? ? 2tπ ? 2 -?1+4sin x + 20 x(t 为时间参数,x,y 的单位:m) sin ? 60 ? 60 ? ? ? ? ? 来描述,其中地面可作为 x 轴所在平面,泉眼为坐标原点,垂 直于地面的直线为 y 轴.
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(1)试求此喷泉喷射的圆形范围的半径的最大值; (2)若在一建筑物前计划 修建一个矩形花坛,并在花 坛内装置两个这样的喷泉, 请设计花坛的尺寸,并对喷 水器的位置进行合理的安排, 使得花坛的面积最大且能全 图 31 部喷到水.
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函数与方程、函数模型及其应用

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πt 20sin 60 解: (1)当 y=0 时,x=0 或 x= .由 t∈[0,60], 2π t 1+4sin 60 πt 20sin 60 可知当 t=0 或 t=60 时,x= =0. π t 1+4sin2 60 πt 20sin 60 20 当 t∈(0,60)时,x= = . π t t π t π - 1+4sin2 60 sin 1 60 +4sin 60

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函数与方程、函数模型及其应用

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tπ tπ -1tπ 因为 t∈(0, 60), 所以 sin ∈(0, 1], 故 sin +4sin 60 60 60 tπ 1 ≥4,当且仅当 sin 60 =2,即 t=10 或 t=50 时,取得等号, 此时 x 取得最大值 5,所以此喷泉喷射的圆形范围的半径的最 大值是 5 m.

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函数与方程、函数模型及其应用

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(2)设花坛的长、宽分别为 x m,y m,根据要求,矩形花坛应 ?x ?2 在喷水区域内,顶点应恰好位于喷水区域的边界,依题意得?4? + ? ? ? y ?2 x2 2 ? ? =25(x>0,y>0),则所求问题转化为在 x>0,y>0, +y 4 ?2? =100 的条件下,求 S=xy 的最大值. ?x ?2 x x 2 ? ? 方法一:因为 S=xy=2· ·y≤ 2 +y =100,当且仅当 = 2 2 ? ? y,即 x=10 2,y=5 2时,等号成立,所以 Smax=100. 故当花坛的长为 10 2 m,宽为 5 2 m,且两个喷水器位于 矩形分成的两个正方形的中心时,符合要求.

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

x2 2 方法二:因为 x>0,y>0, +y =100, 4 ? x2? x2 2 所以 S=xy=x 100- 4 = x ?100- 4 ?= ? ? 1 -4(x2-200)2+10 000,
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所以当 x2=200, 即 x=10 2时, S 取得最大值, 即 Smax=100. x2 2 由 +y =100,得 y=5 2. 4 故当花坛的长为 10 2 m,宽为 5 2 m,且两个喷水器位于 矩形分成的两个正方形的中心时,符合要求.

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

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[小结]函数建模首先需要熟悉一定的数学知识,其次要 会根据题目的要求建立出求解目标所需要的函数关系式(数 学模型),然后通过求解这个函数关系式(求单调性、最值、 特殊的函数值等),对实际问题给出合理的解释.注意实际 问题中函数的定义域要根据实际意义给出, 而不是单纯根据 函数的解析式得出.

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函数与方程、函数模型及其应用

—— 教师备用例题 ——
例1 【配例1使用】[2013· 湖南卷] 设函数f(x)=ax+bx -cx,其中c>a>0,c>b>0. (1)记集合M={(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形 的三条边长,且a=b},则(a,b,c)∈M所对应的f(x)的零 点的取值集合为________; (2)若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论正确 的是______.(写出所有正确结论的序号) ①?x∈(-∞,1),f(x)>0; ②?x∈R,使ax,bx,cx不能构成一个三角形的三条 边长; ③若△ABC为钝角三角形,则?x∈(1,2),使f(x)=0.

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函数与方程、函数模型及其应用

[答案] (1){x|0<x≤1} (2)①②③
[解析] (1)因为a=b,所以函数f(x)=2ax-cx.又因为a,b,c不 能构成一个三角形,且c>a>0,c>b>0,所以a+b=2a<c.令f(x)= ? ?a?x ? ?a? x 1 a 1 x x x ? ? ? ? ? ? 2a -c =0,即f(x)=c 2 c -1 =0,故 c = 2 .又0< c < 2 ,结合指 ? ? ? ? ? ? 数函数的性质可知0<x≤1,即零点的取值集合为{x|0<x≤1}.

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函数与方程、函数模型及其应用
(2)因为f(x)=a +b -c =c
x x x x

??a?x ?b?x ? ?? ? +? ? -1?,且c>a>0,c>b>0, ?c? ?? c ? ?

?a? x a ?b? x b ?a? x a b 所以0< c <1,0< c <1.当x∈(-∞,1)时,有 ?c ? > c , ?c ? > c ,所以 ?c ? ? ? ? ? ? ? ?b? x a b ? ? + c > c + c .又a,b,c为三角形三边,则定有a+b>c,故对?x∈ ? ? ?? ?x ?b?x ? ?a? x ?b? x x x x x a (-∞,1), ?c ? + ?c ? -1>0,即f(x)=a +b -c =c ??c ? +?c ? -1? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?a? 2 ?b? 2 a ?a? 3 ?b? 3 b >0,故①正确.取x=2,则 ?c ? + ?c ? < c + c ,取x=3,则 ?c ? + ?c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a? 2 ?b? 2 ?a? n ?b? n < ?c ? + ?c ? ,由此递推,必然存在x=n时,有 ?c ? + ?c ? <1,即an+ ? ? ? ? ? ? ? ? bn<cn,故②正确.对于③,f(1)=a+b-c>0,f(2)=a2+b2-c2<0(C 为钝角),根据零点存在性定理可知,?x∈(1,2),使f(x)=0,故 ③正确.故填①②③.

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函数与方程、函数模型及其应用

例2 【配例3使用】设函数f(x)的定义域为D,若f(x)是 D上的单调函数,且存在[a,b]?D,使f(x)在区间[a,b]上 的值域为[a,b],则称f(x)为“闭函数”.现已知f(x)= 2x+1+k为“闭函数”,则k的取值范围是( 1 A.-1<k≤-2 1 C.2≤k<1 B.k<1 D.k>-1 )

[答案] A

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函数与方程、函数模型及其应用

[解析]

易知f(x)=

2x+1 +k是区间

? 1 ? ?- ,+∞? ? 2 ?

上的增函

数.由题意可知,f(x)= 区间为[a,b],则
? ? ? ? ?

2x+1 +k为“闭函数”,设符合题意的

故a,b是方程 2x+1 +k= 2b+1+k=b, x(x≥k)的两个不等实根,即方程x2-(2k+2)x+k2-1=0(x≥k)在区 ? 1 ? ? 间 -2,+∞?内有两个不等实根. ? ?

2a+1+k=a,

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

设x1,x2为方程x2-(2k+2)x+k2-1=0的两个根,则 ?Δ =(2k+2)2-4(k2-1)>0, ? 1 ?2k+2 >- ? 2 2, 1 ? 解得- 1 < k ≤- ,所以k ? 1?2 ? 1? 2 ??- ? -(2k+2)×?- ?+k2-1≥0, ?? 2? ? 2? 2 2 ? ?k -(2k+2)k+k -1≥0, 1 的取值范围为-1<k≤- . 2

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用

例3 【配例3使用】定义:若函数y=f(x)在区间[a,b] f(b)-f(a) 上存在x0(a<x0<b)满足f(x0)= ,则称x0是函数 b-a y=f(x)在区间[a,b]上的一个均值点.已知函数f(x)=-x2+ mx+1在区间[-1,1]上存在均值点,则实数m的取值范围是 ________.

[答案] (0,2)

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第3讲

函数与方程、函数模型及其应用
由题意,设函数f(x)=-x2+mx+1在区间[-1,1]上的均值点

[解析]

f(1)-f(-1) 为x0(-1<x0<1),则f(x0)= =m. 1-(-1) m m 易知函数f(x)=-x2+mx+1的对称轴为x= 2 .①当 2 ≥1,即m≥2时,有 m f(-1)=-m<f(x0)=m<f(1)=m,显然不成立,不合题意.②当 2 ≤-1,即 m≤-2时.有f(1)=m<f(x0)=m<f(-1)=-m,显然不成立,不合题意.③ ?m? m 当-1< 2 <1,即-2<m<2时,(Ⅰ)当-2<m<0时,有f(1)<f(x0)≤f ? 2 ? ,即 ? ? m2 m<m≤ 4 +1,显然不成立;(Ⅱ)当m=0时,f(x0)=m=0,此时x0=± 1,与 ?m? -1<x0<1矛盾,故m≠0;(Ⅲ)当0<m<2时,有f(-1)<f(x0)≤f ? 2 ? ,即-m<m ? ? m2 ≤ 4 +1,解得0<m<2.综上所述,实数m的取值范围为(0,2).
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第4讲 不等式与线性规划

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第 4讲

不等式与线性规划

核 心 知 识 聚 焦

体验高考 1.[2014· 四川卷改编] 若 a>b a b > 0 , c< d < 0 ,则不等式 (1) > ; c d
a b① (2) < 中成立的是________. d c
[答案] (2)

主干知识
? 不等关系 与不等式 关键词:不等 关系、不等式的性 质,如①.

1 [解析] 因为 c<d<0, 所以 0> c 1 1 1 > ,即- >- >0,与 a>b>0 对 d d c a b a b 应相乘得- >- >0,所以 < . d c d c
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第4讲

不等式与线性规划

体验高考
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主干知识
不等式
? 一元二次 不等式 关键词:二次 函数、一元二次方 程、一元二次不等 式的解法,如②.

2 . [2013· 广东卷]

x2+x-2<0② 的解集为________.
[答案] {x|-2<x<1}
[解析] x2+x- 2=(x-1)(x+2) < 0 ,解得-2 <x<1 ,故不等式的 解集为{x|-2<x<1}.

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不等式与线性规划

体验高考
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主干知识
x

3.[2013· 福建卷改编] 若 2 + 2y = 1 , 则 x+y③ 的 取 值 范 围 是 ________.

? 基本不等 式 关键词:基本 不等式、基本不等 式求最值,如③.

[答案] (-∞,-2]
[解析] 1=2x+2y≥2 2x+y?2x+y ≤2-2?x +y ≤-2,当且仅当 x=y =-1 时,等号成立.

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第4讲

不等式与线性规划

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 二元一次 不等式组表示的平 面区域 关键词:二元 一次不等式组、表 示的平面区域,如 ④.

4 . [2013· 全国卷 ] 记不等式组 ?x≥0, ? ?x+3y≥4,所表示的 平面区域为D④ . ?3x+y≤4 ? 若直线 y=a(x+1)与 D 有公共点,则 a 的取值范围是________.

[答案]

?1 ? ? ,4? ?2 ?

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不等式与线性规划

核 心 知 识 聚 焦

[解析] 已知不等式组表示的平面 区域如图中的三角形 ABC 及其内部, 直线 y=a(x+1)是过点(-1,0)斜率为 a 的直线,该直线与区域 D 有公共点 时,a 的最小值为 MA 的斜率,最大值 为 MB 的斜率,其中点 A(1,1),B(0, 1-0 1 4), 故 MA 的斜率等于 = , 1-(-1) 2 4-0 MB 的斜率等于 =4,故实 0-(-1) 数a
?1 ? 的取值范围是?2,4?. ? ?

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不等式与线性规划

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 简单的线 性规划问题 关键词:约束 条件、目标函数、 目标函数的最值, 如⑤.

5.[2013· 新课标全国卷Ⅱ改编] ?x-y+1≥0, ? 设 x, y 满足约束条件?x+y-1≥0, ?x≤3, ? 则 z = 2x - 3y 的 最小值⑤ 是 ________.
[答案] -6

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不等式与线性规划

核 心 知 识 聚 焦

[ 解析] 画出可行域如图△ABC,易得 A(3,-2),B(3, 2 4),C(0,1),作出直线 y= x,平移易知直线过 B 点时直线在 3 y 轴上的截距最大,此时 z 最小,所以 zmin=-6.

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不等式与线性规划

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 简单线性 规划逆向问题 关键词:已知 最值、恒成立、求 参数范围问题,如 ⑥.

6.[2013· 浙江卷] 设 z=kx+y,其 ?x+y-2≥0, ? 中实数 x,y 满足?x-2y+4≥0,若 z ?2x-y-4≤0. ? 的最大值为 12, 则实数 k⑥ =________.

[答案] 2

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不等式与线性规划

核 心 知 识 聚 焦

[ 解析 ] 不等式组表示的可行区域为如图所示的三角形 ABC 及其内部,A(2,0),B(4,4),C(0,2),要使 z 的最大值 为 12,只能经过 B 点,此时 12=4k+4,k=2.

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不等式与线性规划

—— 教师知识必备 ——
知识必备 不等式与线性规划
(1)a>b,b>c?a>c 不 等 不等式 与 线 性 规 划 一元二 次 不等式 (2)a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc (3)a>b?a+c>b+c 两个实数的顺序关系: a>b?a-b>0; a=b?a-b=0; a<b?a-b<0 1 1 a>b? < 的充要条件 a b
n

式 的性质 (4)a>b,c>d?a+c>b+d (5)a>b>0,c>d>0?ac>bd
* n

是 ab>0 n n (6)a>b>0,n∈N ,n>1?a >b ; a> b 解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根(如 果有实数根),再结合对应的函数的图像确定其大于零或者小于零的区 间,在含有字母参数的不等式中还要根据参数的不同取值确定方程根 的大小以及函数图像的开口方向,从而确定不等式的解集

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第4讲

不等式与线性规划

—— 教师知识必备 ——
?a+b?2 ? (a,b∈R); a+b≥2 ab(a,b>0);ab≤? ? 2 ?

基本 不 等 式 二元一 线 性 规 划 简单的 线性规 划 式(组) 不等式

a+b ab≤ 2 (a>0,b>0)

a+b 2ab ≤ ab≤ 2 ≤ a+b

a 2+ b 2 2 2 2 (a,b>0);a +b ≥

2ab(a,b∈R) 二元一次不等式Ax+By+C>0的解集是平面直角坐标系中表示直线 集是指各个不等式解集所表示的平面区域的公共部分 约束 条件 基本 概念 目标 函数 可行解 可行域 对变量x,y的制约条件.如果是x,y的一次式,那么称 线性约束条件 求解的最优问题的表达式.如果是x,y的一次式,那 么称线性目标函数 满足线性约束条件胡解(x,y)叫可行解 所有可行解组成的集合叫可行域

与 次不等 Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域,二元一次不等式组的解

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第4讲

不等式与线性规划

—— 教师知识必备 ——
基本 概念 不 等 式 与 线 性 规 划 简 单 的 线 性 规 划 问题 解法 含实际 背景 第二步 不含实 际背景 第三步 第一步 最优解 线性 规划 第一步 第二步 使目标函数取得最大值或者最小值的可行解叫最优解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或者最小值 的问题 画出可行域 根据目标函数的几何 意义确定最优解 求出目标函数的最值 设置两个变量,建立 约束条件和目标函数 同不含实际背景的解 法步骤
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注意区域边界的虚实

注意实际问题对变量 的限制

第4讲

不等式与线性规划

? 考点一 不等关系与不等式的解法 不等关系——根据题目列出不等式 不等式的 性质 ——利用不等式的性质进行推理论证
考 点 考 向 探 究

一元二次 不等式的 解法 ——1.解一元二次不等式;2.根据不等式恒成立确定 参数范围 题型:题型:选择、填空 分值:5 分 难度:中等 热点:与集合、函数的定义域等结合,解一元二次不等式

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第4讲

不等式与线性规划

(

例1 )

(1)[2013· 北京卷]设a,b,c∈R,且a>b,则

考 点 考 向 探 究

1 1 A.ac>bc B.a<b C.a2>b2 D.a3>b3 (2)[2014· 江西卷] 函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( ) A.(0,1] B.[0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)

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第4讲

不等式与线性规划

[答案] (1)D

(2)C

[解析] (1)∵函数 y=x3 在 R 上是增函数, a>b, ∴a3>b3. (2)由 x2-x>0,得 x>1 或 x<0.
考 点 考 向 探 究

[ 小结 ] 解一元二次不等式时只要把其对应的一元 二次方程的根求出, 然后结合其对应的二次函数的图像 得出解集即可.

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第4讲

不等式与线性规划
? ? x-3 ? ? ? ? ?x? ≤0? ? ? ? ?x-7 ?

变式题 已知集合A=

,B={x|x2-7x+

考 点 考 向 探 究

10<0},则?R(A∩B)=( ) A.(-∞,3)∪(5,+∞) B.(-∞,3)∪[5,+∞) C.(-∞,3]∪[5,+∞) D.(-∞,3]∪(5,+∞)
[答案] B
[解析] 集合 A=[3,7),集合 B=(2,5),所以 A∩B=[3, 5),所以?R (A∩B)=(-∞,3)∪[5,+∞).

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第4讲

不等式与线性规划

? 考点二 基本不等式及其应用 重要不等式 a2+b2≥2ab ——利用其证明不等式、求最值

考 点 考 向 探 究

a+b 基本不等式 ≥ 2 ab(a>0,b>0) ——利用其证明不等式、求最值 题型:选择、填空 难度:中等 分值:5 分 热点:利用基本不等式求最值

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第4讲

不等式与线性规划

p 例 2 (1)已知函数 f(x)=x+ (p 为常数, 且 p>0), x-1 若 f(x)在区间(1,+∞)上的最小值为 4,则实数 p 的值为 ________. (2)在△ABC 中,过中线 AD 的中点 E 作直线分别与
考 点 考 向 探 究

→ =xAB → ,AN → =yAC →, 边 AB 和 AC 交于 M,N 两点.若AM 则 4x+y 的最小值是________.
9 9 [答案] (1)4 (2)4

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第4讲

不等式与线性规划

考 点 考 向 探 究

p [解析] (1)因为 x∈(1,+∞),p>0,所以 f(x)=x+ = x-1 p 9 x-1+ +1≥2 p+1.由 f(x)min=2 p+1=4,得 p= . 4 x-1 → =1AD → =1AB → + 1 AC → = 1 AM → + 1 AN → ,由 (2)如图所示, AE 2 4 4 4x 4y 1 1 于 M,E,N 三点共线,所以 + =1,所以 4x+ y=(4x+ 4x 4y ?1 1? 1 y x 1 y x 9 ? ? + y)· =1+ + + ≥1+ +2 · = ,当且仅当 y 4 4x y 4 4x y 4 ?4x 4y? 3 6 =2x,即 x= ,y= 时,等号成立. 8 8

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第4讲

不等式与线性规划

[小结](1)没有明确的定值式,其实是隐藏了(x- 1 1)· =1;(2)利用基本不等式求出的最值,需检验 x-1 是否满足成立的前提条件.
考 点 考 向 探 究

变式题

x 设函数f(x)=lg ,若f(a)+f(b)=0, 2-x

3 1 则a+b的最小值为________.

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第4讲

不等式与线性规划

[答案] 2+ 3

考 点 考 向 探 究

x [解析] 由 >0, 得 x(x-2)<0, 即 0<x<2, ∴f(x) 2-x 的定义域为(0,2),由题设知 a,b∈(0,2).∵f(a)+f(b) a b ab =lg +lg =lg =0,∴ab=(2- 2-a 2-b (2-a)(2-b) a)(2-b), 3 1 1?3 1? 3b a ? ? ∴a+ b= 2,∴ + = + (a+b)=2 + + ≥2 a b 2?a b? 2a 2b 3b a + 3(当且仅当 = , 且 a+b=2, 即 a=3- 3, b= 3 2a 2b -1 时,等号成立).
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第4讲

不等式与线性规划

? 考点三 简单的线性规划问题 二元一次不等式组 表示的平面区域——确定区域的形状、求区域的面积等 简单的线性 规划问题
考 点 考 向 探 究

——求线性目标函数的最值或者取值范围

简单的非线性 规划问题

——求非线性目标函数的最值或者取值范围

题型:选择、填空 分值:5分 难度:中等 热点:线性目标函数的最值或者取值范围

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第4讲

不等式与线性规划
? 考向一 不等式组表示的平面区域

考 点 考 向 探 究

例3 在平面直角坐标系中,若不等式组 ?x+y-1≥0, ? ?x-1≤0, (a为常数)所表示的平面区域的面积等于 ?ax-y+1≥0 ? 2,则a的值为( ) A.-5 B.1 C.2 D.3

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第4讲

不等式与线性规划

[答案] D
[解析] 当a<0时,不等式组所表示的平面区域如图(1)中的区 域M,一个无限的角形区域,面积不可能为2,故只能a≥0,此时 不等式组所表示的平面区域如图(2)中的区域N,一个三角形区域, 若这个三角形的面积为2,则AB=4,即点B的坐标为(1,4),代入y =ax+1,得a=3.

考 点 考 向 探 究

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第4讲

不等式与线性规划

[小结]当不等式组含有参数时,不等式组所表示的 平面区域随着参数取值的不同可能发生质的变化.在 解决不等式组含有参数的问题时,一定要注意区域形 状的确定.
? ?y≥0, ?x-y≥1, 变式题 已知实数x,y满足 ? 若该不 x + 2 y ≤ 4 , ? ? ?x+my+n≥0. 5 等式组所表示的平面区域是一个面积为 4 的直角三角 形,则n的值是( ) 3 A.-2 B.-2 1 C.2 D.2

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第4讲

不等式与线性规划

考 点 考 向 探 究

?y≥0, ? [解析] 实数x,y满足?x-y≥1,所表示 ?x+2y≤4 ? 的区域如图所示,当直线x+my+n=0与 1 直线x+2y=4垂直时,m=- 2 ,直线方程 变为2x-y+2n=0,与x轴的交点坐标为 (-n,0),与直线x+2y-4=0的交点的纵 8+2n 1 坐标为y= 5 .而三角形的面积S= 2 (4+ 2 ?8+2n? ( 4 + n ) 5 3 ? n) ? = = ,解得 n =- .同 ? 5 ? 5 4 2 ? ? 理可知当直线x+my+n=0与x轴或与直线x -y=1垂直时,三角形面积的值不符合.
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[答案] A

第4讲

不等式与线性规划
? 考向二 简单的线性规划问题

?x+y-5≤0, ? 例4 设Z=2x+y,其中实数x,y满足 ?x-y-1≤0, 则 ?x≥0,y≥0, ? Z的最大值是________.
考 点 考 向 探 究

[答案]8
[解析]作出题中约束条件的 可行域,由图可知,当直线y= -2x+Z过点A(3,2)时,Z有最 大值,即Zmax=3× 2+2=8.

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第4讲

不等式与线性规划

[小结]解线性规划实际问题的关键是找到决定求解 目标的两个变量,设其为x,y,然后建立约束条件和 目标函数.
变式题 [2014· 广东卷] 若变量x,y满足约束条件 ?y≤x, ? ?x+y≤1, 且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n, ?y≥-1, ? 则m-n=( ) A.5 B.6 C.7 D.8

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第4讲

不等式与线性规划

[答案] B

[解析] 本题考查运用线性规划知识求目标函数的最 值,注意利用数形结合思想求解.画出不等式组表示的 平面区域,如图所示.

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第4讲

不等式与线性规划

当目标函数线经过点A(-1,-1)时,z取得最小值; 当目标函数线经过点B(2,-1)时,z取得最大值.故m= 3,n=-3,所以m-n=6.

?
考 点 考 向 探 究

考向三

含参数的非线性规划问题

?x+2y-4≤0, ? 例5 (1)当实数x,y满足?x-y-1≤0, 时,1≤ax+ ?x≥1 ? y≤4恒成立,则实数a的取值范围是________.

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第4讲

不等式与线性规划

考 点 考 向 探 究

?x≥1, ? (2)已知a>0,x,y满足约束条件 ?x+y≤3, 若z ?y≥a(x-3). ? =2x+y的最小值为1,则a=( ) 1 1 A.4 B.2 C.1 D.2
[答案]
? 3? ? (1)?1, ? 2? ? ?

(2)B

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第4讲

不等式与线性规划

(1)已知的不等式组表示的三角形区域的顶点分 ? 3? 别为(1,0), ?1,2? ,(2,1).设z=ax+y,则目标函数z= ? ? ax+y在上述点处取得最大值或最小值.由1≤ax+y≤4恒成 ? ?1≤a+3≤4, 2 ? 3 立,得 ?1≤2a+1≤4, 解得1≤a≤ 2 ,即a的取值范围是 ? ? ?1≤a≤4,
? 3? ?1, ?. 2? ?

[解析]

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第4讲

不等式与线性规划

(2)由题意知,约束条件表示的可行域如图所示,当直 线z=2x+y经过A点时,z取得最小值.将A(1,-2a)代入z 1 =2x+y,得1=2×1+(-2a),所以a= . 2

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第4讲

不等式与线性规划

[小结]解决非线性规划问题的关键是搞清楚目标函 数的几何意义,根据几何意义和已知不等式组表示的 平面区域确定其最值或者取值范围.
(1)若函数y=log2x的图像上存在点(x,y), ?x+y-3≤0, ? 满足约束条件?2x-y+2≥0 ,则实数m的最大值为( ) ?y≥m, ? 1 A.2 B.1 3 C.2 D .2 变式题

考 点 考 向 探 究

?y≥x, ? (2)已知z=2x+y,其中x,y满足 ?x+y≤2, 且z的最大 ?x≥a, ? 值是最小值的4倍,则a的值是________.
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第4讲

不等式与线性规划

[答案] (1)B

1 (2) 4

[解析] (1)如图所示,作出约束条件表示的可行域,当 函数y=log2x的图像过点(2,1)时,实数m有最大值1.

考 点 考 向 探 究

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第4讲

不等式与线性规划

(2)画出不等式组表示的可行域如图所示,可知目标 函数在点(a,a)处取得最小值,在点(1,1)处取得最大 1 值,故3=4× (2a+a),解得a=4.

考 点 考 向 探 究

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第4讲

不等式与线性规划

?

考点四

函数与不等式综合

考 点 考 向 探 究

例6 (1)若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5] 上有解,则实数a的取值范围为( ) ? 23 ? ? 23 ? A.?- 5 ,+∞? B.?- 5 ,1? ? ? ? ? C.(1,+∞) D.(-∞,-1) (2)已知正实数x,y满足ln x+ln y=0,且k(x+2y) ≤ x2+4y2恒成立,则k的最大值是________.
[答案] (1)A (2) 2

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第4讲

不等式与线性规划

考 点 考 向 探 究

[解析] (1)问题可转化为不等式 ax>2-x2 在区间[1,5]上 2 2 有解,即不等式 a> -x 在区间[1,5]上有解.令 f(x)= -x, x x 则有 a>f(x)min,而函数 f(x)在区间[1,5]上单调递减,故函数 2 23 f(x)在 x=5 处取得最小值,即 f(x)min=f(5)= -5 =- ,所 5 5 23 以 a>- 5 . (2)∵正实数 x,y 满足 ln x+ln y=0,∴ln xy=0 ,即 xy =1, 可得 x+2y≥2 2xy=2 2.∵k(x+2y) ≤x2+4y2 恒成立, x2+4y2 (x+2y)2-4 4 ∴k≤ = =(x+2y)- 恒成 x+2y x+2y x+2y

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第4讲

不等式与线性规划

x2+4y2 (x+2y)2-4 4 立,∴k≤ = =(x+2y)- 恒成 x+2y x+2y x+2y 4 立,即求(x+2y)- 的最小值.令t=x+2y,则t≥ x+2y 4 2 2 ,令f(t)=t- t (t≥2 2),则f(t)在区间[2 2 ,+∞)上单 4 调递增,∴t=2 2 时,f(t)min=f(2 2)=2 2 - = 2, 2 2 ∴k≤ 2,故k的最大值为 2.

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第4讲

不等式与线性规划

变式题 (1)设集合A={x|-2≤x<4},B={x|x2-ax- 4≤0}.若B?A,则实数a的取值范围是( ) A.[-1,2] B.[-1,2) C.[0,3] D.[0,3) (2)若至少存在一个x>0,使得关于x的不等式x2<2-|x -a|成立,则实数a的取值范围为________.
考 点 考 向 探 究

[答案] (1)D

? 9? (2)?-2,4? ? ?

[解析] (1)因为Δ=a2+16>0,所以不等式x2-ax-4≤0的 解集非空.若B?A,则方程x2-ax-4=0的两根均在区间[- ? ?-2<a<4, 2 ? 2 2,4)内,令f(x)=x -ax-4,则只要?f(-2)=2a≥0, 即 ? ? ?f(4) =12-4a>0
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第4讲

不等式与线性规划

考 点 考 向 探 究

可,解得0≤a<3,所以实数a的 取值范围是[0,3). (2)问题转化为:至少存在 一个x>0,使得关于x的不等式 |x-a|<2-x2成立.令f(x)=|x- a|,g(x)=2-x2,函数f(x)=|x -a|与x轴交于点(a,0),与y轴 交于点(0,|a|). ①当函数f(x)=|x-a|图像 的右支与y轴交于点(0,|a|) 时,有a<0.若|a|≥2,解得a≤- 2,则当a≤-2时,在y轴右 侧,函数f(x)=|x-a|的图像在 函数g(x)=2-x2的上方,不合 乎题意.
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第4讲

不等式与线性规划

考 点 考 向 探 究

②在y轴右侧,当函数f(x)=|x -a|图像的左支与函数g(x)=2-x2 的图像相切时,函数f(x)=|x-a|图 像的左支对应的解析式为y=a-x. 将y=a-x代入y=2-x2,得a-x =2-x2,即x2-x+(a-2)=0.令Δ =(-1)2-4× 1× (a-2)=0,即9- 9 9 4a=0,解得a= 4 ,则当a≥ 4 时, 如图所示,在y轴右侧,函数f(x) =|x-a|的图像在函数g(x)=2-x2 的上方或相切,则不等式|x-a|≥2 -x2在区间(0,+∞)上恒成立,不 合乎题意.
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第4讲

不等式与线性规划

考 点 考 向 探 究

9 ③当-2<a< 4 时,如图所 示,在y轴右侧,函数f(x)=|x -a|图像的左支或右支与函数 g(x)=2-x2的图像相交,在y轴 右侧,函数f(x)的图像中必有 一部分图像在函数g(x)=2-x2 图像的下方,即存在x>0,使 得不等式|x-a|<2-x2成立,故 ? 9? 实数a的取值范围是?-2,4?. ? ?

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第4讲

不等式与线性规划

—— 教师备用例题 ——
例1 【配例2使用】已知函数f(x)=log2x的反函数为g(x), 4 1 且有g(a)g(b)=16.若a>0,b>0,则a+b的最小值为( ) 9 A.9 B. C.4 D.5 4

[答案]B [解析]B 函数g(x)=2x,g(a)g(b)=2a·2b=2a+b= 16,所以a+b=4. ?4 1? 4b a? 1 4 1 1 1? 方法一: a + b = 4 (a+b) ?a+b? = 4 ?5+ a +b? ≥ 4 ? ? ? ? ? 4b a 8 4b a ? ? ? 9 · ?5+2 ?=4,当且仅当 a =b,即a=2b,即a=3, a b ? ? 4 b=3时等号成立.
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第4讲

不等式与线性规划

4 1 4 方法二:由a+b=4,得b=4-a,所以 a + b = a + 1 4 1 4 .令f(a)= a + (0<a<4),则f′(a)=- 2 + a 4-a 4-a a2-4(4-a)2 1 8 = 2 .令f′(a)=0,解得a= 3 (a=8 (4-a)2 a (4-a)2 舍去),即为函数f(a)的极小值点,也是最小值点,代入 9 可得f(a)的最小值为4.

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第4讲

不等式与线性规划

方法三:设a=4cos α ,b=4sin α

2

2

? π ? ,α∈?0, 2 ?

? ? ?, ?

cos2α +sin2α 4 1 1 1 则a+b= + = + cos2α 4sin2α cos2α
2 cos2α +sin2α cos2α 1 sin α 1 9 =1+ + 2 + ≥1+ +1= , 4 cos α 4 4 4sin2α 4sin2α

sin2α cos2α 2 2 当且仅当 = ,即 cos α = 2sin α 时等号成 cos2α 4sin2α 8 4 立,解得a= ,b= . 3 3
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第4讲

不等式与线性规划

例 2 【配例 3,例 4 使用】[2014· 山东卷] 已知 x,y 满足
? ?x-y-1≤0, 约束条件? 当目标函数 ? 2 x - y - 3 ≥ 0 , ?

z=ax+by(a>0,b>0)在 )

该约束条件下取到最小值 2 5时,a2+b2 的最小值为( A.5 D. 5 B.4 C.2

[答案] B

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第4讲

不等式与线性规划

[ 解析 ] 画出约束条件表示的可行域 (如图所示). 显然,当直线 z=ax+by 过点 A(2, 1)时,z 取得最小值,即 2 5=2a+b,所 以 2 5 - 2 a= b, 所以 a2+b2=a2+(2 5- 2a)2=5a2-8 5a+20.构造函数 m(a)=5a2 -8 5a+20( 5>a>0), 利用二次函数求最 值,显然函数 m(a)=5a2-8 5a+20 的最 4×5×20-(8 5)2 小值是 =4,即 a2+ 4× 5 b2 的最小值为 4.

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第4讲

不等式与线性规划

例 3 【配例 5 使用】某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工 人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙 型卡车.某天需往 A 地运输至少 72 吨的货物,派用的每辆车需 满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送 一次可获得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人, 运送一次可获得利润 350 元.若该公司合理计划当天派用两类 卡车的车辆数,则可获得最大利润 z=( ) A.4650 元 B.4700 元 C.4900 元 D.5000 元

[答案] C

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第4讲

不等式与线性规划

[解析]设当天派 x 辆甲型卡车,y 辆乙型卡车,则利润 z =450x+350y. ? ?0≤x≤8, ?0≤y≤7, ? 约束条件为?x+y≤12, 画出可行域(图略),由图可知, ? ? 10x+6y≥72, ? ? 2x+y≤19.
? ?x+y=12, 由? 确定的交点 (7 , 5) 为最优解.把 ? ?2x+y=19

x=7 , y= 5

代入目标函数得 zmax=4900.

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