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高中概率部分教学设计_图文

10 数学一班 第 3 小组
必修 3 部分 3.1 随机事件的概率
一. 教材分析
本节课是新人教版 A 必修三 第三章第一节《随机事件的概率》第一课时,它包含两部分内 容:事件的分类和随机事件的概率。 在讲事件分类时,通过课本实例,结合生活实际,以便让学生较容易的得出三类事件的概念, 然后通过课本例题和习题进行巩固。 三类事件的概念中,重点是让学生了解随机事件
二.学勤分析
根据学生的年龄特点和认知水平,本节课就从学生熟悉并感兴趣的抛掷硬币入手,让学生亲 自动手操作,在相同条件下重复进行试验. 在实践过程中形成对随机事件发生的随机性以及 随机性中表现出的规律性的直接感知,从而形成对概念的正确理解。
三.教学目标
1.体会确定性现象与随机现象的含义,了解必然事件、不可能事件及随机事件的意义; 2.了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性,进一步了解概率的意义以及概率与频率 的区别; 3.理解概率的统计定义,知道根据概率的统计定义计算概率的方法; 4.通过对概率的学习,使学生对对立统一的辨证关系有进一步的认识
四.教学重难点
重点:事件的分类;概率的定义以及和频率的区别与联系。 难点:用概率知识理解现实生活中的具体问题。
五.教学方法
用生活中简单的实例引入本节课的知识,循序渐进的讲解知识点
六.设计思想
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采用实验探究和理论探究,通过设置问题情景、探究以及知识的迁移,侧重于学生的“思”、 “探”、“究”的自主学习,促使学生多“动”,激发学生兴趣,争取使学生有更多自主支配的时 间.

七.教学过程

(一)导入:

考虑下列现象发生的可能性:

1. 化工厂排放废气,污染环境;

2. 实心铁块丢入水中,铁块浮起;

3. 买一张彩票,中奖了; 4. 实数 a,b 都不为 0,但 a2 b2=0;

5. 明天早晨下雨;

6. 掷一枚硬币,正面向上.

现象 1 一定发生,现象 2、4 不可能发生,现象 3、5、6 可能发生也可能不发生.联系初中

所学的内容,在一定条件下,事先就能断定发生或不发生某种结果,这种现象就是确定性现

象;在一定条件下,某种现象可能发生,也可能不发生,事先不能断定出现哪种结果,这种

现象就是随机现象.

进一步得出①在一定条件下, 必然会发生的事件叫做必然事件(certain event);②在一定

条件下,肯定不会发生的事件叫做不可能事件(impossible event);③在一定条件下, 可

能发生也可能不发生的事件叫做随机事件(random event).

创设问题情境:对于随机事件,知道它发生的可能性大小是非常重要的,它能为我们

的决策提供关键性的依据.那么,如何才能获得随机事件发生的可能性大小

(二)问题探究:

(1)投币实验:(分组实验并统计结果)

①抛掷一枚硬币,观察它落地时哪一面朝上.

②你的结果和其他同学一致吗?为什么会出现这样的情况?

③各小组的结果一致吗?为什么?

④如果重复试验,全班的汇总结果会一致吗?如果不一致,你能说出原因吗?

(2)利用电脑模拟投币实验;

(3)展示历史上一些著名的投币实验结果,

试验次数 (n) 2048 4040 12000 24000 30000

正面向上的次数 (频数 m) 1061 2048 6019 12012 14984

正面向上的频率 (m/n) 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4996

2

绘制成图

72088

36124

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0.5011

(5)结论: 一般地,如果随机事件 A 在 n 次试验中发生了 m 次,当试验的次数 n 很大时,我们可以将事 件 A 发生的频率作为事件 A 的概率的近似值,即 P(A)≈0.5
(三)概念学习: (1)概率与频率 ①频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率,并在其附近摆动; ②频率本身是随机的,在试验前不能确定; ③概率是一个确定的数,是客观存在的,与试验无关; ④概率是频率的稳定值,而频率是概率的近似值; (2)概率的求法与取值范围 ①求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验; ②只有当频率在某个常数附近摆动时,这个常数才叫做事件 A 的概率; ③概率反映了随机事件发生的可能性大小; ④必然事件的概率为 1,不可能事件的概率是 0.即 0≤P(A)≤1,随机事件的概率是 0<P(A)<1 (四)练习题
选择题 1.下列事件是随机事件的个数是(D). (1)在常温下,焊锡熔化; (2)明天天晴; (3)自由下落的物体作匀加速直线运动; (4)函数 ( 且 )在定义域上是增函数. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 2.下列事件中,必然事件是( C ).
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A.掷一枚硬币出现正面 B.掷一枚硬币出现反面 C.掷一枚硬币,或者出现正面,或者出现反面 D.掷一枚硬币,出现正面和反面 3.向区间(0,2)内投点,点落入区间(0,1)内属于( D ). A.必然事件 B.不可能事件 C.随机事件 D.无法确定 计算题 1..袋中有 3 个红球,3 个白球, 袋中有 4 个红球,6 个白球,若从每一袋中各随机摸一球, 则它们颜色相同的概率是_________. 2. 1 个口袋中装有 2 只白球(不同)和 1 只黑球,从中任取 2 个球. (1)“取到黑球”有________种结果,其概率是________; (2)“取到白球”有________种结果,其概率是________; 3. 对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下: 抽取台数 50 100 200 300 500 1000 优等品数 40 92 192 285 478 954 优等品频率 (1)计算表中优等品的各个频率;(2)该厂生产的电视机优等品的概率是多少?
六. 小结:
1.随机事件发生的不确定性及频率的稳定性.(对立统一) 2.随机事件的概率的统计定义:随机事件在相同的条件下进行大量的试验时,呈现规律性,
且频率总是接近于常数 P(A),称 P(A)为事件的概率. 3.随机事件概率的性质:0≤P(A)≤1.
七.教学反思
本课主要让学生能够通过抛掷硬币的实验,获得正面向上的频率,知道大量重复实验时 频率可作为事件发生概率的估计值。在具体情境中了解概率的意义,从数学的角度去思考, 认识概率是描述不确定现象规律的数学模型,发展随机观念。具体的方法应用图表以及多媒 体等工具,逐步认识到随机现象的规律性;体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 让学生在解决问题的过程中形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯,并积极参 与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点,从交流中获益。 概率研究随机事件发生的可能性的大小。这里既有随机性,更有规律性,这是学生理解的重 点与难点。根据学生的年龄特点和认知水平,本节课就从学生熟悉并感兴趣的抛掷硬币入手,
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让学生亲自动手操作,在相同条件下重复进行试验,在实践过程中形成对随机事件的随机性 以及随机性中表现出的规律性的直接感知,从而形成对概念的正确理解。在课堂上学生们做 实验十分积极,基本上完成了我的预先设想。比如在事件的分析中,因为比较简单,学生易 于接受,回答问题积极踊跃,在做实验中,有做的,有记录的,分工合作,有条不紊,热闹 而不混乱,回答实验结果时,大胆仔细,数据到位,在总结规律时,也能踊跃发言,各抒己 见,思虑很敏捷,说明学生真的在认真思考问题。总之,效果明显。但是在具体的问题上还 有不尽如人意的地方,比如学生们做的实验结果并没有在 1/2 左右徘徊,有的组差距还比较 大;因为时间问题,实验做的并不很仔细,对实验的分析没有想设计中那么完美等等. 教完之后,很多想法。我想下次如果再上这节课时,将给学生更多时间,让学生们更充分的 融会到自由学习,自主思考,交流合作中提炼结果的学习氛围中。 在课堂上也有不如意的地方,这需要以后教学中改进。

八.板书设计
概念 小结

标题 例题

草稿

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3.2.1 古典概率
一 教学分析
选自《数学 3》的第三章 概率中的 3。2 节古典概型。古典概型是概率中最基本、最重要的 类型之一。这节内容是在一般随机事件的概率的基础,经一步研究等可能性事件的概率。
二 学情分析
本课的学习是建立在学生已经了解了概率的意义,掌握了概率的基本性质,知道了互斥事件 和对立事件的概率加法公式。学生已经具备了一定的归纳、猜想能力,但在数学的应用意识 与应用能力方面尚需进一步培养。
三 教学目标
1 理解古典型概率的概念,能运用所学概念来求一些简单地古典概率,并通过实例归纳和总 结出概率的一般加法公式。 2 通过对古典概率型的学习,使学生进一步体会随机事件概率的实际意义。 3 通过对古典型概念的归纳和总结,使学生体验知识产生和形成的过程,培养学生的抽象概 括能力。
四 教学重点
理解古典概型的含义及其概率的计算公式。
五 教学难点
如何判断一个试验是否为古典概型,分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个 数和试验中基本事件的总数。
六 教学方法
1 发展学生类比、归纳、猜想等合情推理能力。 2 通过对各种不同的实际情况的分析、判断、探索,培养学生的应用能力。
七 设计思想
用较为简单的生活中的例子来由浅入深的讲解新知识,让学生更容易接受。
八 教学过程
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1、问题情境
(1)。 掷一颗骰子,观察出现的点数。这个试验的基本事件空间Ω ={1,2,3,4,5,6}。 它有 6 个基本事件。由于骰子的构造是均匀的,因而出现这 6 种结果的机会是均等的,均为 1/6
(2)。 一先一后掷两枚硬币,观察正反面出现的情况。这个试验的基本事件空间Ω ={(正, 正),(正,反),(反,正),(反,反)}。它有 4 个基本事件。因为每一枚硬币”出现正面”与”出 现反面”的机会是均等的,所以可以近似地认为出现这 4 种结果的机会是均等的,均为 1/2。
(3)。 在适宜的条件下"种下一粒种子观察它是否发芽"。这个试验的基本事件空 间为Ω ={发芽,不发芽},而这两种结果出现的机会一般是不均等的。
2、建立模型
(1) 讨论以上三个问题的特征
结论:a。问题 1,2 与问题 3 不相同。
b。问题 1,2 有两个共同特征:
①有限性。在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的基本事 件。
②等可能性。每个基本事件发生的可能性是均等的。
(2)。 古典概型的定义
通过学生的讨论,归纳出古典概型的定义。
如果一个随机试验有上述(2)中的两个共同特征,我们就称这样的试验为古典概型, 上述前 2 个例子均为古典概型。
一个试验是否为古典概型在于这个试验是否具有古典概型的两个特征---有限性和 等可能性,并不是所有的试验都是古典概型。例如,第 3 个例子就不属于古典概型。
(3)。 讨论古典概型的求法
充分利用问题 1,2 抽象概括出古典概型的求法。
一般地,对于古典概型,如果试验的 n 个事件为 A1,A2,…,An,由于基本事件是两两互 斥的,则由互斥事件的概率加法公式,得
P(A1)+P(A2)+…+P(An)=P(A1∪A2∪…∪An)=P(Ω )=1。 又∵P(A1)=P(A2)=…=P(An),
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∴代入上式,得 nP(A1)=1,即 P(A1)= 1/n。 ∴在基本事件总数为 n 的古典概型中,每个基本事件发生的概率为 1/n 。 如果随机事件 A 包含的基本事件数为 m,同样地,由互斥事件的概率加法公式可得 P(A)=m/n。 3、解释应用 [例题一] (1)。 掷一颗骰子,观察掷出的点数,求掷得奇数点的概率。 注:规范格式,熟悉求法。 (2)。 从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的 3 件产品中每次任取一件,每次取出 后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。 [练习一]:在例 2 中,把"每次取出后不放回"换成"每次取出后放回",其余条件不变, 求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。 注意:放回抽样与不放回抽样的区别。 [例题二]:甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)。求: (1)平局的概率。 (2)甲赢的概率。 (3)乙赢的概率。 解:把甲、乙出的"锤子"、"剪刀"、"布"分别标在坐标轴上。 其中△为平局,⊙为甲赢,※为乙赢,一次出拳共有 3×3=9 种,结果如图 29-1。设平 局为事件 A,甲赢为事件 B,乙赢为事件 C。 由古典概率的计算公式,得 思考:例 3 这类概率问题的解法有何特点? [练习二] 抛掷两颗骰子,求:(1)点数之和出现 7 点的概率。(2)出现两个 4 点的概率。 [例题三]
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掷红、蓝两颗骰子,事件 A={红骰子的点数大于 3},事件 B={蓝骰子的点数大于 3}, 求事件 A∪B={至少有一颗骰子点数大于 3}发生的概率。
教师明晰:古典概型的情况下概率的一般加法公式。 设 A,B 是Ω 中的两个事件。 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B), 特别地,当 A∩B=Ω 时,P(A∪B)=P(A)+P(B)。
九 教学反思
这篇案例设计采用了从具体到抽象的方法,充分展示了知识的形成过程,使学生感到自然,没 有突兀感,符合学生的认知规律。例题的设计有梯度,跟踪练习有针对性,教学过程充分发挥 了学生自主学习和合作学习的学习方式,对学生后继学习能力的培养有积极的作用。基因给 他们的后代。
十 板书设计
1 古典概型的定义 ①有限性。在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的基本事件。
②等可能性。每个基本事件发生的可能性是均等的。 如果一个随机试验有上述两个共同特征,我们就称这样的试验为古典概型。 对于古典概型,如果试验的 n 个事件为 A1,A2,…,An,由于基本事件是两两互斥的,则由互斥 事件的概率加法公式,得 P(A1)+P(A2)+…+P(An)=P(A1∪A2∪…∪An)=P(Ω )=1。 又∵P(A1)=P(A2)=…=P(An), ∴代入上式,得 nP(A1)=1,即 P(A1)= 1/n。 ∴在基本事件总数为 n 的古典概型中,每个基本事件发生的概率为 1/n。 如果随机事件 A 包含的基本事件数为 m,同样地,由互斥事件的概率加法公式可得 P(A)=m/n。 设 A,B 是Ω 中的两个事件。
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B), 特别地,当 A∩B=Ω 时,P(A∪B)=P(A)+P(B)。
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3.2.2 (整数值)随机数的产生的教学设计
一、教材分析
(整数值)随机数(random numbers)的产生是普通高中课程标准实验教材人教 A 版数学 3(必修)第三章概率第二节第二课时的内容,本节课的内容是用计算机或计算器产生取整 数值的随机数,用随机模拟的方法估计事件的概率。
产生随机数的方法有两种,本节课要用计算机产生随机数,并根据试验结果设计与统计、 概率的意义、概率与频率等相关的问题,帮助学生更好的理解概率的意义和统计思想。
在本节课中通过模拟试验的设计和实施,让学生经历完整的随机模拟过程,体会如何用 模拟的方法估计概率。其中设计概率模型需要学生理性的分析,进行模拟实验需要学生实际 的操作,统计试验结果需要学生有统计的思想。
二、学情分析
对于如何产生整数值随机数,学生不难想到前面学过的“简单随机抽样”的方法,但由 于这种方法过于费时费力,所以考虑用计算器或计算机产生随机数,由于计算器或计算机产 生的随机数是根据确定算法产生的,具有周期性(周期很长),具有类似随机数的性质,但 并不是随机数,称为伪随机数。在实际教学中学生还没有系统的“周期性”的概念,这里可 以简要带过,不必深究。
对于教材中计算器与计算机产生随机数的方法,基本类似,故重点介绍操作较为便捷的 Excel 产生随机数,这一方法让学生直观感受到了随机数的产生过程,但也存在一些问题, 因为无论是教材中的哪一种方法,操作中试验模拟次数非常有限,从而导致学生计算出的概 率近似值误差偏大。
此外,一部份学生对计算机操作较为陌生,可能会产生操作上的一些问题,使得课堂教 学不同步。
本节课的主导思想是让学生掌握一种技能(即用计算机模拟试验);树立一种思想(即算 法思想);加深一处理解(即“频率”与“概率”的区别与联系)。
三、教学目标
1.通过介绍让学生了解产生(整数值)随机数的两种方法,并理解计算机产生随机数的 特征和过程;
2.通过教师演示及每一位学生的亲自实践,区别用 Excel 与用 QBASIC 两种软件的优点 与不足,掌握一定的用计算机解决数学问题的技能;
3.通过教学使学生学会设计和运用模拟方法近似计算概率,让学生深刻体会到概率与 频率的区别,并通过大量模拟试验,让学生充分感受到“大数规律”,从而理解用频率估计 概率的科学性。
四、教学重点:
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通过模拟试验的实施,了解计算机产生随机数的方法;通过模拟实验的设计和实施,体 会如何运用模拟试验的方法估计概率。
五、教学难点
运用模拟试验的方法估计概率及使学生学会设计和运用模拟方法近似计算概率。
六、教学方法
运用了两类教学方法: 第一类方法是:“以语言传递信息为主的方法”,用了讲授法;谈话法;讨论法。 第二类方法:“以引导探究为主的方法”,有发现法;探究法等。
七、设计思想
通过创设问题引导学生去近一步体会、理解的。继续创设问题情境,激发学生的探究热 情,让学生认识让计算机产生整数值随机数的意义。通过教师给学生讲授随机函数让学生掌 握 BASIC 语言中的 INT(q*RND)函数。
接着又提出问题:让学生通过计算机的实际操作,掌握随机函数;并通过计算机产生的 随机数,计算频率,估计概率,加深对频率与概率关
教师追问:为什么我们得到的概率不是固定的值?哪个数据更接近实际概率? 让学生探究:试验得到的结果只能是概率的近似值或估计值,每次试验结果可能是不同 的。这是频率估计概率出现的必然现象,是不确定性的具体体现。当试验次数不断增加时, 通过绘制散点图,发现这个估计值稳定在一个数值附近,这个数值就是概率。 教师点评:这个模拟试验还可以设计为产生 1,2,3,4,5,6 六个随机数,约定用数字 1,2,3 表示出现反面。然后进行统计分析。 要想直接得到反面向上的频数还可以用 FREQUENCY 函数进行统计。 收集学生的数据可能得到的折线图:(情况不唯一)横坐标表示实验次数,纵坐标表示相 应的频率。
八、教学过程
问题一:(1)请谈谈“频率”与“概率”的区别与联系?(2)如何用“频率”近似估计 “概率”?
学生由以前学过的知识不难答出: 1.频率与试验有关,具有随机性;概率是事件本身的性质,是一个固定的数值。 2.当做出大量重复试验后,频率总是在概率附近波动,当试验次数足够大时,频率的波 动就变小,所以,我们常常用频率近似的估计概率,即将大量重复试验后所得的频率近似地 看成是概率。 教师点评:要用频率估计概率,需要“做大量的重复试验”。 引出问题二。 问题二:由于做大量重复实验,费时费力,我们可以考虑随机数法,那么如何产生随机数呢? (发学生探究的热情。让学生认识用计算机产生整数值随机数的意义。) 预设的活动:由于不久前刚学过统计,学生不难答出“用简单随机抽样”的办法得到随机数。
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此处可以引导学生设计一个用“摸球”产生 0~25 的随机数的试验。 教师点评:这种办法没有从根本上减小做大量重复试验的繁杂程度,那么这些试验能用计算 机代替吗?答案是肯定的。也即产生随机数的方法通常有两种:方法一,简单随机抽样;方 法二,由计算机或计算器随机生成随机数。计算机产生的随机数是依据确定的算法产生的, 具有周期性,是伪随机数,但由于周期很长,有随机性的性质,所以可以利用计算机产生随 机数进行试验。
教师讲授:随机函数: 1、ndbetween(a,b):Excel 中使用,产生从整数 a 到整数 b 的取整数值的随机数; 2、nt(q*rand()):Excel 中使用,产生从整数 0 到整数 q-1 的取整数值的随机数; 3、T(q*RND):Qbasic 中使用,产生从整数 0 到整数 q-1 的取整数值的随机数. 设计意图:教材中只给出 Excel 中使用的 Randbetween(a,b),表示取[a,b]内的所有整数 值随机变量,这一函数在使用前需要加载宏命令,由于一些计算机所装的 Excel 大多是简装 版,无法使用这一函数,所以介绍 Int(q*rand())函数,在 Excel 中使用这一函数的好 处有三:其一,适用于所有的简装版 Excel,无需加载宏;其二,由于 rand()产生[0,1) 均匀随机变量,乘整数 q 调整范围,再取整即可得到整数值随机变量;其三,便于掌握 BASIC 语言中的 INT(q*RND)函数。
问题三:你能设计一个用计算机模拟掷均匀硬币的实验吗?约定:用0表示反面,1表 示正面。根据试验数据估计反面向上的概率.
设计意图:1.让学生通过计算机的实际操作,掌握随机函数; 2.通过计算机产生的随机数,计算频率,估计概率,加深对频率与概率关
系的理解。 学生活动:打开 Excel 软件,在 A1 中输入:= Int(2*rand()).将光标置于 A1 的右下 角向下拖动至少 20 行,观察产生的随机数。在 B1 中输入:=sum(A1:A20),统计正面出现的 次数。在 C1 中输入:=(1-B1)/20,计算出现反面的频率。 在操作时试验次数由学生自定。 学生在操作计算机时可能会遇困难,教师需要巡视帮助学生解决一些操作中产生的问题; 收集学生获得的数据。 教师追问:为什么我们得到的概率不是固定的值?哪个数据更接近实际概率? 学生探究:试验得到的结果只能是概率的近似值或估计值,每次试验结果可能是不同的。 这是频率估计概率出现的必然现象,是不确定性的具体体现。当试验次数不断增加时,通过 绘制散点图,发现这个估计值稳定在一个数值附近,这个数值就是概率。 教师点评:这个模拟试验还可以设计为产生 1,2,3,4,5,6 六个随机数,约定用数字 1,2,3 表示出现反面。然后进行统计分析。 要想直接得到反面向上的频数还可以用 FREQUENCY 函数进行统计。 收集学生的数据可能得到的折线图:(情况不唯一)横坐标表示实验次数,纵坐标表示相 应的频率。
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0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0

系列1

20

40

60

80

100

120

例(教材中的例 6)天气预报说,在今后三天中,每一天下雨的概率为 40%,这三天中恰 有两天下雨的概率是多少?
例题分析: 问题四:你能类比掷硬币的试验,设计该问题的模拟试验吗? 设计意图:培养学生类比分析问题的能力和习惯。 问题五:如何理解“恰”字的意义? 设计意图:让学生学会如何审题。 学生分析:当且仅当三天中有两天下雨。
问题六:用计算机模拟随机实验,解决问题的关键是什么? 设计意图:培养学生的建模思想。 教师引导学生对比以前解决实际问题中常用的思路,学生分析得到问题的关键是建立一 个计算机可以执行的数学模型。
练习:何用随机数模拟 40%? 2.如何模拟三天中恰有两天下雨?

九、教学反思
这篇案例设计采用了从抽象到具体的方法,充分展示了知识的形成过程,使学生感到自 然,没有突兀感,符合学生的认知规律.问题的创设有梯度,教学过程充分发挥了学生自主学 习和探索学习的学习方式。
本课时的教材中给出了用计算器产生随机数的办法,和设计模拟试验,用 EXCELL 软件 产生随机数并进行统计的办法。这一课教学时怎样上更有实效,我觉得要做到以下几点。
1. 按照教材的要求利用适当的信息技术实施教学 教材和教参中给出了利用 EXCELL 软件实施两个模拟试验的操作步骤,教师只需要按部 就班地执行即可实现,所以教师首先要做的就是消除对信息技术的恐惧。当然熟悉 EXCELL 软件的教师也可以选择其他的函数完成任务,所以教师要积极尝试。在实际教学中有一部分 教师进行了尝试,这些尝试是成功的。

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2. 利用课堂生成的资源帮助学生更好地理解概率的意义 在本节课的两个模拟试验中都出现了同样的现象。对于掷硬币试验,学生用 EXCELL 软 件产生 100 个随机数,并统计随机数 1 出现的频率,统计的结果各不相同:0.49,0.57,0.51, 0.50 等等。 在出现这些统计数据时教师要引导学生分析,提出问题:为什么每个人的统计结果不 相同?哪个数据更接近实际的概率?通过分析让学生明确随机模拟试验得到的结果只能是 概率的近似值或估计值,每次试验的结果可能是不同的。这是频率估计概率时出现的必然现 象,是不确定性的具体体现。当试验次数不断增加时,通过绘制散点图,可以让学生看到这 个估计值稳定在一个数值附近,这个数值就是概率值。从而加深对频率与概率关系的理解。 增加试验次数,可以在 EXCELL 软件中完成,也可以象本节课一样用 QBASIC 软件编程 实现。
3. 在本课时教学中要注重数学分析 虽然这节课是上机操作,实践性比较强,但是仍然不能脱离数学教学的本质,要注重
数学分析,做到: 第一,分析计算机产生的随机数的特点。 第二,分析为什么要使用模拟试验,让学生经历数学建模的过程。 第三,分析软件语言的数学道理。 学生理解了其中的数学含义,才能比较快速的操作,实行模拟。让学生感受到计算机
程序语言是合情合理的。
4. 确保学生的同步操作 由于学生上机经历少,键盘操作不熟练,所以在课堂上出现部分学生跟不上教师的现 象。前面的操作跟不上,后继的工作显然不能进行,学习效果自然不行,所以要确保学生能 与教师同步操作,以实现课堂教学效率的最大化。
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十、板书设计

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3.2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生的教学设

主板

副板

一、:问题一,问题二

例题:

练习:

天气预报说,在今后三天中,每一天下 1. 如 何 用

二、函数:

雨的概率为 40%,这三天中恰有两天下雨的 随 机 数 模

1、ndbetween(a,b):Excel 中使 概率是多少?

拟 40%?

用,产生从整数 a 到整数 b 的取 解:我们通过设计模拟实验的方法法来解决

整数值的随机数;(重难点)

问题。利用计算器或者计算机可以产生 0 2. 如 何 模

2、t(q*rand()):Excel 中使用, 到 9 之间取整数值的随机数,我们用 1,2,3,4 拟 三 天 中

产生从整数 0 到整数 q-1 的取整 表示下雨,用 5,6,7,8,9,0,表示不下雨,这样 恰 有 两 天

数值的随机数;(重难点)

可以体现下雨的概率是 40%,因为是三天, 下雨?

3、T(q*RND):Qbasic 中使用,产 所以每三个随机数作为一组,例如:产生

生从整数 0 到整数 q-1 的取整数 20 组随机数

值的随机数.

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

三、随机数的两种方法

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

方法一,简单随机抽样;方法二, 就相当于做了 20 次验,在这组数中,如果

由计算机或计算器随机生成随机 恰有两个数在 1,2,3,4 中,则表示恰有两天

数。

下雨。他们分别是:191 271 932 812 393 即

四、用 Excel 与用 QBASIC 两种软 五个数,我们得到三天中恰有两天下雨的概

件的优点与不足

率近似 5/20=25%

问题三:你能设计一个用计算 思考:

机模拟掷均匀硬币的实验吗?约 1、通过例题你能体会到随机模拟的好处

定:用0表示反面,1表示正面。 吗?

根据试验数据估计反面向上的概 2、算机模拟随机实验,解决问题的关键是什

率.

么?

3、你能类比掷硬币的试验,设计该问题的

模拟试验吗?

作业: 习题 3.2 第二题和 第三题

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3.3.1 几何概型
教学内容:人教版《教学必修 3》第三章第 3.3.1 节几何概型。
一:教材分析:
概率的初步知识在初中已经介绍,在选修模块的系列 2 中还将继续学习概率的基本 内容,因此,本章在高中阶段概率的学习中,起了承前启后的作用。
本章的核心是运用数学方法去研究不确定现象的规律,让学生初步形成用科学的态 度,辩证的思想,随机的观念去观察,分析研究客观世界的态度,并获取认识世界的初步知 识和科学方法;这对全面系统地 掌握概率知识,对于学生辩证思想的进一步形成的作用。
二:学情分析:
这部分是新增的内容,介绍介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需 要,但是对几何概型的的要求仅限于初步体会几何概型的意义,所以教材书中选的例题都是 比较简单的,随机模拟部分是本章的重点内容。几何概型是另一类等可能概率,它与古典概 率的区别在于试验的结果不是有限个。
本节的教学需要一些实物模型为教具,如教科书中的转盘模型,例 2 中的随机撒豆 子的模型等,教学中应当注意让学生实际行动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性。几 何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个:它的特点是 在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状,位置无关, 只与该区域的大小有有关。
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三:教学目标:

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(1)知识与技能

了解几何概型的意义,运用几何概型的概率计算公式,会求简单地几何概型事件的概 率。

(2)过程与方法

通过游戏,案例分析,学习运用几何概型的的含义,体验几何概型的练习与区别。

(3)情感,态度与价值观

通过对几何概型的研究,感知生活中数学,体会数学文化,培养学生的教学素养。

四:教学重点:

几何概型的特点,几何概型的识别,几何概型的概率公式。

五:教学难点:
将现实问题转化为几何概型问题,从实际背景中找几何度量。
六:教学方法
本节课是概率范畴,故课程内容的性质而决定了在教学中要以实际生活的例 子为主,设计出便于学生动手和思考的问题并适时引导学生对实际问题的进行探 究,运用多媒体课件加强数形结合思想的渗透,同时设计一定的有梯度的例题、 练习题加以巩固,让学生在动手和思考中体会知识的形成过程。

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七:教学过程
(一):复习导入
1. 古典概型的两个基本特征是什么? 2. 如何计算古典概型的概率?
(二):创设情境
1.问题情境
情境一、 甲、乙二人玩转盘游戏,如以下两图,规定当指针指向阴影区域时,甲获胜,
否则乙获胜. 问: 1、各图所有可能的试验结果与甲获胜包含的试验结果是多少?; 2、能否用古典概型公式求甲获胜的概率,为什么?

(图1)

(图2)

情境二、 长为 3 米的绳子,从中间随机剪开,则得到的每段绳长都不小于 1 米的概率
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是多少? 以上两个问题的共同特点是什么?如何求以上两个随机事件发生的概率?

感悟新知 1 阅读课文回答:什么是几何概型?其概率公式是什么? 2 举例说明:举一个几何概型的实例 3 比较并探究:古典概型与几何概型的区别与联系是什么?

(三).意义建构

(1)、定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这 样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

(2)几何概型的概率公式:

P(A)=

构成事件 A的区域长度(面积或体 积) 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体

积)

归纳几何概型的特点:

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.

(2)每个基本事件出现的可能性相等.

(四)、简单应用
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例1. 某人睡觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他 等待的时间不多于 10 分钟的概率.
解:依题意,此人可能等待的时间 0----60 分钟,用图形表示如下,当此人 在每小时的 50----60 分某时刻醒来时,其等待时刻不多于 10 分钟
所以P( A) ? L' ? 60 ? 50 ? 10 ? 1 L 60 ? 0 60 6
例 2.已知:在一个边长为 2 的正方形中有一个椭圆(如图), 随机向正方形内丢一粒豆子,若落入椭圆的概率为 0.3,, 求椭圆的面积.
解:记“豆子落入椭圆内”为事件 A,豆子落 入正方形内任一点的机会都是等可能的.
? P( A) ? S椭圆 S正
? S椭圆 ? P( A) ? S正 ? 0.3 ? 22 ? 1.2
答:椭圆面积为 1.2

(五)、巩固深化 (1)、长度型几何概型 例 1.某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待

的时间不多于 10 分钟的概率.

解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟}. 事件 A 是打开收音机的时刻恰好

位于[50,60]时间段内,因此

由几何概型的概率公式,得

P(A)

?

(60-50) 60

?

1 6

.

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即“等待报时的时间不超过 10 分钟”的概率为 1/6. 引申:某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间 不多于 10 分钟的概率.
设计意图:为了让学生对这一实际问题的本质有进一步的认识,优化几何 测度的选择,我把圆盘形钟表换成了电子钟,突破课本的设计理念,引导学生认 识到弧长、角度、面积这些测度本质上就是时间区域的长度,从形到数的转变, 实现了测度的优化选择,揭示出数学的本质,突破了难点。 (六)复习回顾
1、求几何概型概率的步骤 2、几何概型与古典概型的区别与联系。 3、这节课学到了什么? (七)、课后作业 1、如图所示,
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在等腰直角三角形 ABC 中,在线段 AB 上取一点 M,求 AM<AC 的概率?

变式: 过直角顶点 C 在 ABC 内部作一条射线 CM,与线段 AB 交于点 M,则

AM<AC 的概率如何计算?

2、在边长为 2 的正方形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是四边中点,将米粒随

机撒在正方形中,若米粒落在下列 3 个图中阴影部分区域的概率分别是 P1、P2、

P3 .则其大小关系是________

F

D

F

C

D

FC

D

C

G

E

G

E

G

E

A

H

B

A

H

B

A

H

B

思考题:抛阶砖游戏 “抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的

“金币”(设“金币”的半径为 1)抛向离身边若干距离的阶砖平面上,

抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖(边长为 3 的正方形)的范

围内(不与阶砖相连的线重叠),便可获奖,许多人纷纷参与此游

戏,却很少有人得到奖品,你能用今天所学的数学知识解释这是为

什么吗?

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教学反思:本节课主要以学生动手探究为主, 课程内容的性质而决定了在教学 中要以实际生活的例子为主,设计出便于学生动手和思考的问题并适时引导学生 对实际问题的进行探究 ,从学生课堂的动手实践、课堂检测案的完成来看主要 有以下几个方面的问题 好的方面: 1、动手较积极,总结归纳问题表现较好
2、课堂思维活跃,知识掌握情况较好 不足方面: 1、缺乏深度思维的习惯,实际生活阅历不足
2、抽象、划归能力差,理论与实践结合能力有待提高。 针对以上问题教师要在教学中培养学生动手能力,关注生活,思考生活方面 知识的教学渗透,及提高课堂教学的艺术性、感染力。
3.2.2 均匀随机数的产生教学设计
一、教材分析
本节内容是在学生学习古典概型、整数随机数的产生以及几何概型后,概率必修内容的 最后一节。不仅要关注本节内容,也要重视与其它知识的联系与区别,从整体出发正确地把 握本节内容的地位和作用,这样才能作出有针对性的解析.本节内容是均匀随机数的产生和 应用.内容解析时,应从均匀随机数产生的意义、均匀随机数产生的方法以及均匀随机数在 随机模拟中的应用等方面人手.内容解析,特别要注意内容所反映的数学思想方法的剖析与 确定。
二、学情分析
心理学研究表明,“学生是学习的主体,所有的新知识只有通过学生自身的再创造活动, 才能纳入其认知结构中,才可能成为下一个有效的知识。”高二学生的感性思维比较强,理
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性思维比较弱,他们依赖性较强,自主探究意识薄弱,如果没有掌握好概念性的问题,他们 极容易在解题时钻牛角尖。
所以本节课适宜采用启发式讲解,互动式讨论,归纳发现等授课方式,充分发挥学生的 主体地位,营造生动活泼的课堂教学气氛。通过学生的亲身体验,培养探求知识的能力,并 能对生活实际问题进行数学化,得出结论。在教学过程中培养学生思考问题和解决问题的能 力,不管学生的数学知识掌握如何,这种探究活动能让不同的学生在数学上得到不同的发展。
三、教学目标
1、知识与技能:(1)正确理解集合概型的概念; (2)掌握几何概型的概念公式; (3)会根据古典概型与几何概型的区别; (4)了解均匀随机数的概念; (5)掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法; (6)会利用均匀随机数解决具体的有关概率问题。 2、过程与方法:(1)发现法教学,通过师生共同探究,体会数学知识的形成,学会应用所 学知识来解决实际问题,找到数学与现实生活的联系,培养逻辑推理能力; (2)通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,养成自觉动手动脑的好习惯。 3、情感态度与价值观:本节课的主要特点是随即试验多,培养学生严谨的思维结构,勤奋 好学的好习惯。
四、教学重点
掌握几何概型的概念、公式及应用。掌握[0,1]上均匀随机数的产生及[a,b]上均匀随机 数的产生。学会采用适当的随机模拟法去估算几何概率。
五、教学难点
对计算机或计算器的运用技能,利用计算器或计算机产生均匀随机数,并将其运用到实 际概率问题中去。
六、教学方法
讲授法:运用幻灯片,计算机及多媒体教学。通过对本节知识的探究与学习,用一些实 际问题让学生更直观地感知用图形解决概率问题的方法,掌握数学思想与逻辑推理的数学方 法。
七、设计思想
通过学生对活动的参与及自己操作发现这个问题并不是我们所学的古典概型,从而引起 思维冲突,使学生深切的感到需要一种新的解决问题的办法,激发了学生学习新知识的欲望, 促进良好的教学效果的形成。
八、教学过程
1、创设情境:在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果 的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可 能是 8:00 至 9:00 之间的任何一个时刻;往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中 的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。 2、基本概念:(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面
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积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式:P(A)=
(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个 基本事件出现的可能性相等.
3、例题分析: 例 1、 判下列试验中事件 A 发生的概率是古典概型,还是几何概型。 (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; (2)如下图所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向 B 区域时,甲 获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率。
分析:本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性。而几 何概型则是在试验中出现无限通过学生对活动的参与及自己操作发现这个问题并不是我们 所学的古典概型,从而引起思维冲突,使学生深切的感到需要一种新的解决问题的办法,激 发了学生学习新知识的欲望,促进良好的教学效果的形成。多个结果,且与事件的区域长度 有关。 (1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6×6=36 种,且它们都是等可能的,因此属于古典 概型; (2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概 率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型。 例 2、在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一 点钻探,钻到油层面的概率是多少?
分析:石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而 40 平方千米可看 作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率。
解:记“钻到油层面”为事件 A,则 P(A)=40/10000=0.004. 答:钻到油层面的概率是 0.004.
例 3、取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1m
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的概率有多大?
分析:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]内的任意数,并且 每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0, 3]上的均匀随机数,其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1,2]内, 也就是剪得两段长都不小于 1m。这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3]内个数之比就是 事件 A 发生的概率。
解法 1:(1)利用计算器或计算机产生一组 0 到 1 区间的均匀随机数 a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a1*3. (3)统计出[1,2]内随机数的个数 N1 和[0,3] 内随机数的个数 N。 (4)计算频率 fn(A)=N1/N 即为概率 P(A)的近似值。
解法 2:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度[0,3](这里 3 和 0 重合).转动 圆盘记下指针在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数 N1 及试验总次数 N,则 fn(A)=N1/N 即为概率 P(A)的近似值。
小结:用随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转化为 随机数的范围。解法 2 用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试验 次数不可能很大;解法 1 用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试 验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻 的认识。
例 4、在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,求这个正方形 的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间的概率。
分析:正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在 12cm 长的线段 AB 上任取一点 M, 求使得 AM 的长度介于 6cm 与 9cm 之间的概率。
解:(1)用计算机产生一组[0,1]内均匀随机数 a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a1*12 得到[0,12]内的均匀随机数。 (3)统计试验总次数 N 和[6,9]内随机数个数 N1 (4)计算频率 。 记事件 A={面积介于 36cm2 与 81cm2 之间}={长度介于 6cm 与 9cm 之间},则 P(A)的近 似值为 fn(A)= . 练习: 1.已知地铁列车每 10min 一班,在车站停 1min,求乘客到达站台立即乘上车的概率。 2.两根相距 6m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于 2m 的 概率。
九、板书设计
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3.3.2 均匀随机数的产生

1、几何概型的概念、公式 2、、均匀随机数的概念 3、利用计算机产生均匀随机 数的方法

例题讲解 课堂练习

课后作业

选修 2-3 部分
2.1 离散型随机变量及其分布列
一、教学内容分析
本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修 2-3 人教版)
二、学生学习情况分析
学生已基本对对选修 2-3 第二章《随机变量及其分布》中的离散型随机变量的概念, 如何求离散型随机变量分布列,但对分布列的性质还不能很好的理解和应用,故拟定通过 本课 加强学生对分布列性质的掌握和应用。
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三、设计思想
本节课以建构主义基本理论为指导,以新课标基本理念为依据进行设计的,针对学生的 学习背景,先要挖掘其知识背景贴近学生实际,其次,激发学生的学习热情,把学习的主动 权交给学生,为他们提供自主探究、合作交流的机会,确实改变学生的学习方式。
四、教学目标
1、知识与技能目标 (1)离散型随机变量的分布列、随机变量 ξ 的取值范围及取这些值的概率、分布列的 两个基本性质; (2)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它这个范围内各个值的概率之和; (3)能根据分布列求出谋事件的概率; (4)培养学生的收集信息、分析问题和解决问题的实际应用能力。
2、过程与方法目标 (1)通过学生自主对立思考,解决一些较容易的问题; (2)帮助学生在原有经验上对新知识主动建构,在交流合作中学习。
3、情感态度与方法目标 (1)优化学生的思维品质; (2)通过自主探索、合作交流,曾强学生对数学的情感体验,提高创新意识; (3)充分体会数学来源于生活,有服务于生活,培养学生的应用意识。
五、教学重点和难点
重点:1、散型随机变量的分布列能完全描述由这个离散型随机变量所刻画的随机现象; 2、通过分布列计算随机事件的概率; 3、通过已知分布列求与之相关的另一随机变量分布列。
难点:1、随机变量的含义; 2、确定随机变量的取值范围; 3、计算相关随机事件的概率。
六、教学方法
讲授、启发引导、师生互动讲练结合。
七、教学过程
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(一)创设情景、提出问题 实例引入:
生活中,我们都认识赌博这个东西,有扑克牌 的赌博,有麻将的赌博,在我们国家还有一种古老 的赌博方式,就是摇骰子。在许多影视作品中我们 都能看到赌徒们都是以买大小的形式进行赌博的, 那么今天我们就来讨论一下摇骰子买大小的公平 性。
(二)师生互动、探究新知 我们先从简单的摇一枚骰子来讨论:当我们摇 一枚骰子的时候会出现几种情况?而每种情况出 现的概率是多少? 经过讨论得到: 在随机试验掷一枚骰子中,我们可以定义一个随机变量 ξ , ξ 的值分别对应试验 所得的点数. ξ 能取哪些值?ξ 取每个值的概率分别是 多少?
解:ξ 的取值有 1、2、3、4、5、6 则
列成表格形式

ξ

1

2

3

4

5

6

P

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

一般地,设离散型随机变量 ξ 可能取的值为

x1, x2,? ? ?xi ,? ? ?,

? ? ? ? x ξ取的每一个值 i i ? 1,2,? ? ? 的概率 P ? ? xi ? pi ,则称表

ξ

x1

x2

……

xi

……

P

p 1

p2

……

pi

……

为随机变量ξ的概率分布,简称为ξ的分布列。

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现在我们知道了摇出点数的所有可能性和概率,那么下面我们继续讨论赌徒们赌博时大 是从几到几,小是从几到几才公平?为什么?

由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质:

p ? 0 (1) i

,i=1,2,……;

(2) p1 ? p2 ? ? ? ? ? 1。
经讨论大是从 4 到 6,小是从 1 到 3. 因为 P(1-3)=1/6+1/6+1/6=1/2
P(4-6)=1/6+1/6+1/6=1/2

(三)巩固训练、提升总结 例 1、写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果
(1)一袋中装有 5 只同样大小的白球,编号为 1,2,3,4,5 现从该袋内随机取出 3 只 球,被取出的球的最大号码数 ξ ;
(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数 η 。

解:(1) ξ 可取 3,4,5 ξ =3,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,3; ξ =4,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,4 或 1,3,4 或 2,3,4;
ξ =5,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,5 或 1,3,5 或 1,4,5 或 2,3 或 3,4,5 (2)η 可取 0,1,…,n,… η =i,表示被呼叫 i 次,其中 i=0,1,2,…

例 2、抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为 ξ , 试问:“ξ > 4”表示的试验结果是什么?

答:因为一枚骰子的点数可以是 1,2,3,4,5,6 六种结果之一,由已知得-5≤ξ ≤5, 也就是说“ξ >4”就是“ξ =5”所以,“ξ >4”表示第一枚为 6 点,第二枚为 1 点。

八、教学反思
在教学过程中要充分发挥学生的主体地位。在课堂上,无论是新教师还是老教师,通 常会把自己当做课堂上的主人而过多的会忽略学生的主体地位;或者学生会因为长时间的习 惯于听老师来讲解而忘记自己是课堂的主人。在建立新知的过程中,教师力求引导、启发, 让学生逐步应用所学的知识来分析问题、解决问题,以形成比较系统和完整的知识结构。每 个问题在设计时,充分考虑了学生的具体情况,力争提问准确到位,便于学生思考和回答。 使思考和提问持续在学生的最近发展区内,学生的思考有价值,对知识的理解和掌握在不断 的思考和讨论中完善和加深。但由于时间的把握,以及对学生的放手程度上‘实施落实的可 能还不到位,有待改进。
总之,在今后的教学工作中,需不断总结、反思。作为准数学教师,一方面要激发学 生学习数学的兴趣,让学生感觉到每解决一个数学问题,就有一种成就感;另一方面,更重

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要的是教师本人要不断提高自己的专业水平。在总结、反思中不断提升自己的教学水平,将 来做一名真正合格的人民教师。
2.2 二项分布及其应用
这一节共分为两部分 第一部分是条件概率;第二部分是事件的相互独立性
教材分析
条件概率和事件的相互独立性这两个概念的引入是为了更深刻的理解 n 次独立重 复试验及二项分布模型。条件概率和事件的相互独立性是高考重点考察的内容,在解题 中常和分布列的有关知识结合在一起考察。
一、 学情分析
在历年的高考中,都会有概率的题目,根据学生在必修三中做的概率题目来看,学 生的答题情况并不理想,出现了各种各样的错误。这说明学生对这一部分的知识理解不 深刻,而且不能很好的掌握知识。因此在讲这一部分知识之前需要给学生复习一下必修 三中的相关知识() 以及这一章中的第一节:离散型随机变量及其分布列(离散型随 机变量、随机变量及其分布、)。在复习过程中要调动学生的积极性,有老师来引导着学 生自己回忆这些知识,让学生们通过自己的探究来加深理解。此外还要学生理解“二项 分布”与前面知识的联系与区别,构建知识网络。
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二、 教学目标

1、知识目标:了解条件概率和事件的相互独立性的概念,理解 n 次独立重复试验 和二项分布模型,并能解决一些简单的实际问题。
2、能力目标:在探究的过程中,培养学生使用概率知识分析和解决实际问题的能 力,体会分类讨论,转化等数学思想,增强数学的应用意识。提高学生学习数学的兴趣。
3、情感目标:通过学生的讨论探究,主动学习,培养他们勇于探索和团结合作的 精神。同时培养学生的动手能力。
教学重点:理解 n 次独立重复试验及二项分布模型。

三、

教学难点:利用相互独立事件和二项分布模型解决实际问题。

四、

教学方法:探究法、讲授法

五、

设计思想:通过一些例子引发学生的思考,并去探究,最后由老

师 的理解和掌握相关知识
六、 教学过程

讲解使学生更深刻

1、 课时安排:2 个课时。 2、 课时 1 讲解条件概率 教具:多媒体、投影仪
一. 复习引入:

1.

概率的确定方法:通过进行大量的重复试验,用这个事件发生的频率近似

地作为它的概率;

2.概率的性质:必然事件的概率为 ,不可能事件的概率为 ,随机事件的概率为 , 必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
二.讲授新课

探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同

学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.

3、 若抽到中奖奖券用“Y ”表示,没有抽到用“N”,表示,那么三名同学的抽奖结

果共有三种可能:Y , N 和 N.用 B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券” , 则 B

仅包含一个基本事件 Y.由古典概型计算公式可知,最后一名同学抽到中奖奖券的概

率为 1/3 .

思考:1.如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,那么最后一名同学抽到奖券 的概率又是多少?

因为已知 第一名同学没有抽到中奖奖券,所以可能出现的基本事件只有 Y 和

N .而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是 Y.由古典概型计算公式可

知.最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 1/2 ,不妨记为 P(B|A ) ,其中 A 表示事

件“第一名同学没有抽到中奖奖券”.

2.已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率 呢?

在这个问题中,知道第一名同学没有抽到中奖奖券,等价于知道事件 A 一定会发

生,导致可能出现的基本事件必然在事件 A 中,从而影响事件 B 发生的概率,使得 P

( B|A )≠P ( B ) .

思考:对于上面的事件 A 和事件 B,P ( B|A)与它们的概率有什么关系呢?

1.

用 C 表示三名同学可能抽取的结果全体,则它由三个基本事件组成,即 C

={Y , N , N}.既然已知事件 A 必然发生,那么只需在 A={ Y , N}的范围内考虑问题,

即只有两 个基本事件 Y 和 N.在事件 A 发生的情况下事件 B 发生,等价于事件 A

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和事件 B 同时发生,即 AB 发生.而事件 AB 中仅含一个基本事件 Y,因此

P(B|A)=1/2 =n(AB)/n(A) .

2.

其中 n ( A)和 n ( AB)分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件

个数.另一方面,根据古典 概型的计算公式.

P(AB)=n(AB)/n(A),P(A)=n(A)/n(c)

其中 n(c)表示 c 中包含的基 本事件个数.所以,

P(AB)=n(AB)/n(A)=P(AB)/P(A)因此,可以通过事件 A 和事件 AB 的概率来表示

P(B| A ) . 条件概率

P(B|A)=P(AB)/P(A)

1.定义 设 A 和 B 为两个事 件,P(A)>0,那么,在“A 已发生”的条件下,B 发生的条件概 率. 读作 A 发生的条件下 B 发生的概率. 定义为

由这个定义可知,对任意两个事件 A、B,若 ,则有 并称上式微概率的乘法公式 . 2.P(?|B)的性质: (1)非负性:对任意的 A f. ;

(2)规范性:P( |B)=1; (3)可列可加性:如果是两个互斥事件,则

更一般地,对任意的一列两两部相容的事件 (I=1,2…),有

P=. 例 1.在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地依次抽取 2 道题,求: (l)第 1 次抽到理科题的概率; (2)第 1 次和第 2 次都抽到理 科题的概率; (3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率. 解:设第 1 次抽到理科题为事件 A,第 2 次抽到理科题为事件 B,则第 1 次和第 2

次都抽到理科题为事件 AB. (1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道的事件数为

n(C )=20. 根据分步乘法计数原理,n (A)=12 .于是

P(A)=n(A)/n(C)=3/5 (2)因为 n (AB)=6 ,所以

P(AB)=n(AB)/n(C)=6/20=3/10
(3)解法 1 由( 1 ) ( 2 )可得,在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到 理科题的概

P(B|A)=n(AB)/n(A)=1/2 解法 2 因为 n (AB)=6 , n (A)=12 ,所以

P(B|A)=n(AB)/n(A)=6/12=1/2
例 2.一张储蓄卡的密码共位数字,每位数字都可从 0~9 中任选一个.某人在银行 自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:

(1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率;

(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的 概率. 解:设第 i 次按对密码为事件 (i=1,2) ,则 表示不超过 2 次就按对密码.

33

10 数学一班 第 3 小组

(1)因为事件 A 与事件 C 互斥,由概率的加法公式得

P(A)=P(A)+P(C)=1/10+9/90=1/5

(2)用 B 表示最后一位按偶数的事件,则

P(A|B)=P(A|B)+P(C|B)

课堂练习.

1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为 S={1,2,3,4,5 ,6},令事

件 A={2,3,5},B={1,2,4,5,6},求 P(A),P(B),P(AB),P(A︱B)。2、

一个正方形被平均 分成 9 个部分,向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中),

设投中最左侧 3 个小正方形区域的事件记为 A,投中最上面 3 个小正方形或正中间的 1

个小正方形区域的事件记为 B,求 P(AB),P( A︱B)。

3、在一个盒子中有大小一样的 20 个球,其中 10 和红球,10 个白球。求第 1 个

人摸出 1 个红球,紧接着第 2 个人摸出 1 个白球的概率。 课后练习

1.一个口袋内有 2 个白球和两个黑球,那么

(1)先摸出一个白球不放回,再摸出一个白球的概率是多少?

(2)先摸出一个白球后放回,再摸出一个白球的概率是多少?

2.某射手每次射击击中目标的概率是 2/3,且各次射击的结果互不影响。

(1)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率;

(2)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标的概 率;

(3)假设最多只能射击 3 次,击中目标即终止射击,求这名射手恰好射击两次的 概率;
九.教学反思

1. 通过对具体情景的分析,了解条件概率的定义。

2. 掌握一些简单的条件概率的计算。

3. 通过对实例的分析,会进行简单的应用。

十.板书设计

这作为主板

随堂练习的讲

条件概率



相关知识

例题讲解

草稿版

第二课时
一、 复习引入:
1 事件的定义:随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; 必然事件:在一定条件下必然发生的事件; 不可能事件:在 一定条件下不可能发生的事件 2.随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 发生的频率 总 是接近某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 的概率,记作 . 3.概率的确定方法:通过进行大量的重复试验,用这个事件发生的频率近似地作为
34

10 数学一班 第 3 小组
它的概率; 4.概率的性质:必然事件的概率为 ,不可能事件的概率为 ,随机事件的概率为 ,
必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事件 )称为一个基本事
件 6.等可能性事件:如果一次试验中可能出现的结果有 个,而且所有结果出现的
可能性都相等,那么每个基本事件的概率都是 ,这种 事件叫等可能性事件 7.等可能性事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有 个,而且所有结果
都是等可能的,如果事件 包含 个结果,那么事件 的概率 8.等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件 A 和事件 B 是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件. 一般地:如果事件 中的任何两个都是互斥的,那么就说事件 彼此互斥 11.对立事件是:必然有一个发生的互斥事件. 12.互斥事件的概率的求法:如果事件 A、B 彼此互斥。那么
P(A+B)=P(A)+P(B) 探究: (1)甲、乙两人各掷一枚硬币,都是正面朝上的概率是多少? 事件 :甲掷一枚硬币,正面朝上;事件 :乙掷一枚硬币,正面朝上 (2)甲坛子里有 3 个白球,2 个黑球,乙坛子里有 2 个白球,2 个黑球,从这两个 坛子里分别摸出 1 个球,它们都是白球的概率是多少? 事件 :从甲坛子里摸出 1 个球,得到白球;事件 :从乙坛子里摸出 1 个球,得 到白球 问题(1)、(2)中事件 、 是否互斥?(不互斥)可以同时发生吗?(可以) 问题(1)、(2)中事件 (或 )是否发生对事件 (或 )发生的概率有无影响?(无 影响) 思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件 A 为“第一 名同学没有抽到中奖奖券”, 事件 B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件 A 的发生会影 响事件 B 发生的概率吗? 显然,有放回地抽取奖券时,最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张,因 此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响,即事件 A 的发生不会影 响事件 B 发生的概率.于是 P(B| A)=P(B), P(AB)=P( A ) P ( B |A)=P(A)P(B).
二、讲解新课:
1.相互独立事件的定义: 设 A, B 为两个事件,如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件 A 与事件 B 相互独 立(mutually independent ) . 事件 (或 )是否发生对事件 (或 )发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做 相互独立事件 若 与 是相互独立事件,则 与 , 与 , 与 也相互独立 2.相互独立事件同时发生的概率: 问题 2 中,“从这两个坛子里分别摸出 1 个球,它们都是白球”是一个事件,它的发 生,就是事件 , 同时发生,记作 .(简称积事件) 从甲坛子里摸出 1 个球,有 5 种等可能的结果;从乙坛子里摸出 1 个球,有 4 种
35

10 数学一班 第 3 小组
等可能的结果 于是从这两个坛子里分别摸出 1 个球,共有 种等可能的结果 同时 摸 出白球的结果有 种 所以从这两个坛子里分别摸出 1 个球,它们都是白球的概率 .
另一方面,从甲坛子里摸出 1 个球,得到白球的概率 ,从乙坛子里摸出 1 个球, 得到白球的概率 .显然 .
这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积 一 般地,如果事件 相互独立,那么这 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率 的积,
即. 3.对于事件 A 与 B 及它们的和事件与积事件有下面的关系:
三、讲解范例:
例 1.某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券 上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果两次兑奖活动的 中奖概率都是 0 . 05 ,求两次抽奖中以下事件的概率:
(1)都抽到某一指定号码; (2)恰有一次抽到某一指定号码; (3)至少有一次抽到某一指定号码. 解: (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件 A, “第二次抽奖抽到某一指定号 码”为事件 B ,则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件 AB.由于两次抽奖结果互不 影响,因此 A 与 B 相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号码的概 率
P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05× 0.05 = 0.0025. (2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A )U( B)表示.由于事件 A 与 B 互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的定义,所求的概率为 P (A )十 P( B)=P(A)P( )+ P( )P(B ) = 0. 05× (1-0.05 ) + (1-0.05 ) × 0.05 = 0. 095. ( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB ) U ( A )U( B)表示.由 于事件 AB , A 和 B 两两互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的定义,所求的概 率为 P ( AB ) + P(A )+ P( B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.
二、 随堂练习
1、.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击 次,甲射中的概率为 ,乙射中的概 率 为 ,求:
(1) 人都射中目标的概率; (2) 人中恰有 人射中目标的概率; (3) 人至少有 人射中目标的概率; (4) 人至多有 人射中目标的概率? 2、.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为 0.2. (1)假定有 5 门这种高炮控制某个区域,求敌机进入这个区域后未被击中的概率; (2)要使敌机一旦进入这个区域后有 0.9 以上的概率被击中,需至少布置几门高 4、 从一副扑克牌(不含大小王)中不放回的抽取 2 次,每次抽一张。已知第一 次抽到 A.求第二次也抽到 A 的概率。
课后练习
1.一个口袋内有 2 个白球和两个黑球,那么 (1)先摸出一个白球不放回,再摸出一个白球的概率是多少? (2)先摸出一个白球后放回,再摸出一个白球的概率是多少?
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10 数学一班 第 3 小组

2.天气预报。在元旦假期甲地的降雨概率是 0.2,乙地的降雨概率是 0.3.假定在这 段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,计算这段时间内:

(1)甲、乙两地都降雨的概率;

(2)甲、乙两地都不降雨的概率;

(3)其中至少一个地方降雨的概率;

3.甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置投球,命中率分别为 1/2 与 P,且

乙投球两次均未命中的概率为 1/16

(1)求乙投球的命中率;

(2)若甲投球一次,乙投球两次,两人共命中的次数记为 A,求 A 的分布列;

九.教学反思:

1. 理解两个事件相互独立的概念。

2. 能进行一些与事件独立有关的概率的计算。

3. 通过对实例的分析,会进行简单的应用。
十.板书设计

这作为主板

随堂练习的讲解 草稿版

事件的相互独立性

相关知识

例题讲解

2.3 随机变量的期望与方差教学设计
1.教材分析:
数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平, 表示了随机变量在随机实验中取值的平均值,所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天, 我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.其实在初中我们也对一 组数据的波动情况作过研究,即研究过一组数据的方差.
2.学情分析:
教学内容分析: (1).通过实例让学生理解离散型随机变量的均值(数学期望)的含义,并且能够求出 相应的离散型随机变量的均值; (2).推导出均值的线性组合的性质 E(aξ+b)=aEξ+b; (3).理解并会应用两点分布及二项分布中随机变量均值的计算公式。
学生分析: 教材以形象的混合糖果的定价问题的解释为例,引出了离散型随机变量的均值的定义,
37

10 数学一班 第 3 小组
其中涉及到了“加权平均”,根据学生的知识水平,对于加权平均数理解存在问题,同时 也为了学生更加专注于对随机变量的均值的理解,采用了本节的引入方法。吸引学生兴趣。
3 教学目标:
了解离散型随机变量的均值或期望的意义,会根据分布列求出均值或期望,理解公式 “E(aξ +b)=aEξ +b”,以及“若ξ ~B(n,p),则 Eξ =np”;了解离散型随机变量的方差、标 准差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
知识与技能:了解离散型随机变量的均值或期望的意义,会根据离散型随机变量的分布 列求出均值或期望.
过程与方法:理解公式“E(aξ+b)=aEξ+b”,以及“若 ξ B(n,p),则 Eξ=np”.能熟 练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。在推导公式的过程中让学生体会由特 殊到一般的思考问题
情感、态度与价值观:承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与 人文价值。
4.教学重点: 利用离散型随机变量的分布列的均值计算公式求随机变量的均值.根据
分布列求出均值或期望,了解方差公式“D(a ξ +b)=a2Dξ ”,以及“若 ξ ~ Β (n,p),则 Dξ =np(1—p)”,并会用上述公式计算有关随机变量的方差; 会根据期望、方差、标准差的大小解决实际问题。
5.教学难点:离散型随机变量的期望的概念的理解.
6.教学方法:五步教学法(导入新课、教授新课、巩固练习、知识拓展、小结)
7.设计思想:本节内容是离散型随机变量的均值(期望),是在前面学习离散型随机变
量的分布列的基础上进行研究的,同时又为下一节要研究的离散型随机变 量的方差奠定基础,在知识上起到了承前启后的作用。本节课学习过程中, 要注意培养学生总结归纳两种求均值的方法,定义法和公式法。(两点分 布、二项分布)。体会由一般到特殊的思想方法,并会简单的应用。
8.教学过程:
离散型随机变量的均值:
新课导入: 通过前面的学习我们知道,与某离散型随机变量有关事件的概率,可由该随机变量的分
布列确定。在实际问题中,我们还关心离散型随机变量取值的平均水平,这个问题是否也能 由随机变量的分布列确定呢?
现在让我们思考这样一个问题:某商场为满足市场需求要将单价分别为 18 元/kg,24 元/kg,36 元/kg 的 3 种糖果按 3:2:1 的比例混合销售,其中混合糖果中每一颗糖果的质量 都相等,如何对每千克混合糖果定价才合理?
假设:价格定为(18+24+36)/3=26(元/千克);合理吗?为什么?如何体现三种的比 例?
38

10 数学一班 第 3 小组
平均在每 1kg 的混合糖果中,3 种糖果的质量分别为 1/2kg, 1/3kg, 1/6kg, 所以价格应
定为: 18?3 ? 24? 2 ? 36?1 ? 23 (元/千克). 6
它是三种糖果价格的加权平均,其中 1/2, 1/3, 1/6 权数,在计算平均数时,权数可以 表示总体中的各种成分所占的比例,权数越大的数据在总体中所占的比例越大,它对加权平 均数的影响也越大.加 权 平 均 数 是 不 同 比 重 数 据 的 平 均 数 , 加 权 平 均 数 就 是 把 原 始 数 据 按照合理的比例来计算.
1/2 表示价格为 18 元/千克的糖果在混合糖果中所占比例,1/3 表示价格为 24 元/千克 的糖果在混合糖果中所占比例,1/6 表示价格为 36 元/千克的糖果在混合糖果中所占比例. 讲授新课及练习:
“在搅拌均匀的混合糖果中,如果每一颗糖果的质量都相等,”那么在混合糖果中任 取一颗糖果,取到每颗糖果的可能性相等,这样在混合糖果中任取一颗,取到的糖果恰好是 价格为 18 元/千克的糖果的概率是多少?恰好是价格为 24 元/千克的糖果的概率是多少?恰 好是价格为 36 元/千克的糖果的概率是多少?
在混合糖果中任取一颗,取到的糖果恰好是价格为 18 元/千克的概率是 1/2,恰好是 价格为 24 元/千克的概率是 1/3,恰好是价格为 36 元/千克的概率是 1/6.
假设从这种混合糖果中随机选取一颗,记 X 为这颗糖果的原来单价(元/千克),则 X 的分布列为:
X 18 24 36 P 1/2 1/3 1/6
因此权数恰好是随机变量 X 取每种价格的概率。这样,每千克混合糖果的合理价格应 为:
18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)=23(元/千克). 一般地,若离散型随机变量 X 的概率分布为:

X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
则称 E(X)= x1 p1+ x2 p2+…+ xn pn 为 X 的均值或数学期望,简称期望. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平 均水平. 均值或期望的一个性质:
若 Y=aX+b, a, b 是常数,X 是随机变量,则 Y 也是随机变量,有 P(Y=axi+b)=P(X=xi), i=1,2,…,n.

所以 Y 得分布列为:

X

x1

x2



Y

ax1+b ax2+b …

P

p1

p2



因为

P(Y=axi+b)=P(X=xi),i=1,2,…,n.

xi axi+b
pi



xn

… axn+b



pn

39

10 数学一班 第 3 小组
于是 E(Y ) ? (ax1 ? b) p1 ? (ax2 ? b) p2 ? … ? (axi ? b) pi ? … ? (axn ? b) pn
= a(x1 p1 ? x2 p2 ? … ? xn pn ? …) ? b( p1 ? p2 ? … ? pn ? …)
= aE( X ) ? b
由此,我们得到了期望的一个性质: E(aX ? b) ? aE( X ) ? b
例 1 在篮球比赛中,罚球命中得 1 分,不中得 0 分。如果某运动员罚球命中的概率为 0.7, 那么他他罚球 1 次得分 X 的均值(期望)是多少。 解:由题意知
P( X ? 1) ? 0.7, P( X ? 0) ? 0.3
所以 E( X ) ? 1? P( X ? 1) ? 0 ? P( X ? 0) ? 1?0.7 ? 0?0.3 ? 0.7

一般地,如果随机变量 X 服从二点分布,那么 若 X 服从二点分布,则 E(X)=p. 如果 X~B(n,p),

E(X)=1×p+0×(1-p)=p 于是有

那么由

kC

k n

?

k

?

n! k!(n ?

k )!

?

(k

n ? (n ? 1)! ? 1)![(n ? 1) ? (k

? 1)]!

?

nC

k ?1 n?1

,可得

n

n

n?1

? C ? C ? C E( X ) ? k k pkqn?k ? np p q k?1 k?1 n?1?(k?1) ? np

n

n?1

k pk q n?1?k ? np
n?1

k?0

k ?1

k?0

即:因为

P(X

?

k

)

?

C

k n

p

k

(1

?

p)n?k

?

C

k n

pk qn?k ,

E( X )

?



C

0 n

p0qn

+1×

C

1 n

p1q n?1

+2×

C

2 n

p 2 q n?2

+…+k×

C

k n

pk qn?k

+…+n×

C

n n

p

n

q

0



所以 E( X )

?

np(

C0 n ?1

p

0q

n

?1



C

1 n ?1

p

1

q

n?2

+…+

C

k ?1 n?1

p

k

?1q

(

n?1)?(

k

?1)

+…+

C

n ?1 n ?1

p

n ?1

q

0

)

? np( p ? q)n?1 ? np .

故若 X~B(n,p),则 E( X ) ? np.
例 2. 一次单元测验由 20 个选择题构成,每个选择题有 4 个选项,其中有且仅有一个选 项正确。每题选对得 5 分,不选或选错不得分,满分 100 分。学生甲选对任一题的概率为 0.9,学生乙则在测验中对每题都从各个选项中随机地选择一个,求学生甲和乙在这次测验 中的成绩的均值。
解:设学生甲和乙在这次单元测验中选对的题数分 别为 X1, X2, 则 X1~ B(20, 0.9), X2~B(20, 0.25),

40

10 数学一班 第 3 小组

? E( X1 ) ? 20 ? 0.9 ? 18,

E( X 2 ) ? 20 ? 0.25 ? 5

新疆 王新敞
奎屯

由于答对每题得 5 分,学生甲和乙在这次测验中的成绩分别是 5 X1 和 5 X2

所以,他们
新疆 王新敞
奎屯

在测验中的成绩的均值分别是:

E(5X1 ) ? 5E( X1 ) ? 5 ? 18 ? 90, E(5X 2 ) ? 5E( X 2 ) ? 5 ? 5 ? 25,

例 3. 根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为 0.25,有大洪水的概率为 0. 01.该地区

某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失 60 000 元,遇到小洪水时要损失 10 000

元.为保护设备,有以下 3 种方案:

方案 1:运走设备,搬运费为 3 800 元.

方案 2:建保护围墙,建设费为 2 000 元.但围墙只能防小洪水.

方案 3:不采取措施,希望不发生洪水.

试比较哪一种方案好.

解:用 X1 、X2 和 X3 分别表示方案 1,2,3 的损失.

采用第 1 种方案,无论有无洪水,都损失 3 800 元,即

X1 = 3 800 .

采用第 2 种方案,遇到大洪水时,损失 2 000 + 60 000=62 000 元;没有大洪水时,损

失 2 000 元,即

X2

=

?62000,有大洪水; ??2000,无大洪水.

?60000,有大洪水; 同样,采用第 3 种方案,有 X3 = ??10000,有小洪水;
??0,无洪水.
于是,
E(X1)=3 800 E(X2)=62 000×P (X2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X2 = 2 000)
= 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 E(X3)=60000×P(X3 =60000)+10 000×P(X3=10 000)+0×P(X3=0)
=60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 采取方案 2 的平均损失最小,所以可以选择方案 2 . 值得注意的是,上述结论是通过比较“平均损失”而得出的.一般地,我们可以这样来
理解“平均损失”:假设问题中的气象情况多次发生,那么采用方案 2 将会使损失减到最小.由 于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案 2 也不一定是最好的.

例 4 有一批数量很大的产品,其次品率是 15%,对这批产品进行抽查,每次抽取 1 件,

如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品为止,但抽查次数不超过

10

次 新疆 王新敞

奎屯

求抽查次数

X

的期望(结果保留三个有效数字) 新疆 王新敞

奎屯

解:抽查次数 X 取 1≤X≤10 的整数,从这批数量很大的产品中抽出 1 件检查的试验可

以认为是彼此独立的,取出次品的概率是 0.15,取出正品的概率是 0.85,前 k-1 次取出正品

而第 k 次(k=1,2,…,10)取出次品的概率:

P( X ? k) ? 0.85k?1 ? 0.15 (k=1,2,…,10)

需要抽查 10 次即前 9 次取出的都是正品的概率:P( X

?

10)

?

0.85 由此可得 X 的概 9 新疆 王新敞

奎屯

41

率分布列如下:

10 数学一班 第 3 小组

X1

2

3

4

5

P 0.15 0.1275 0.1084 0.092 0.0783

根据以上的概率分布列,可得 X 的期望

6 0.0666

7 0.0566

8 0.0481

9 0.0409

E( X ) ? 1? 0.15 ? 2? 0.1275 ? ? ? ? ? 10? 0.2316 ? 5.35

小结 :

(1)离散型随机变量的均值(期望),反 映了随机变量取值的平均水平;

(2)求离散型随机变量 X 的均值的基本步骤:

①理解 X 的意义,写出 X 可能取的全部值;

②求 X 取各个值的概率,写出分布列;

③根据分布列,由均值(期望)的定义求出 E(X)

新疆 王新敞

奎屯

(3)公式 E(aX+b)=

aEX+b,(4) 服从二项分布的随机变量的均值(期望):E(X)=np

新疆 王新敞

奎屯

(4)随机变量的均值与样本的平均值有什么联系与区别?

随机变量的均值是一个常数,而样本的平均值是随着样本的不同而变化的,因

此,样本的平均值是随机变量;对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本

的平均值越老越接近于总体的均值,因此,我们常用样本的平均值来估计总体的

均值。

离散型随机变量的方差

复习: 均值(数学期望)是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均
水平,表示了随机变量在随机实验中取值的平均值.对随机变量取值的稳定与波动、集中与 离散的程度进行研究.其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究,即研究过一组数 据的方差.

回顾一组数据的方差的概念:设在一组数据 x1 , x2 ,…, xn 中, x 是它们的平均值,那

么:

S2

?

1[ n

( x1

?

x )2 + (x2

?

x

)2

+…+ (xn

? x )2]

叫做这组数据的方差 .

一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为:

X x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn …

则称 E( X ) ? x1 p1 ? x2 p2 ? … ? xn pn ? … 为 X 的均值(数学期望).

均值(期望)的一个性质: E(aX ? b) ? aE( X ) ? b

若 X~B(n,p),则 EX=np .

导入: 问题:要从甲、乙两名同学中挑出一名,代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录,

42

10 数学一班 第 3 小组

甲同学击中目标靶的环数 X1 的分布列为:

X1 5

6

7

8

P 0.03 0.09 0.20 0.31

乙同学击中目标靶的环数 X2 的分布列为:

X2 5

6

7

8

P 0.01 0.05 0.20 0.41

9 0.33

应派哪位同学参赛? 1 如果仅从平均射击成绩比较,能否区分甲、乙两名同学的射击水平? E(X1)=8,
E(X2)=8;他们的均值相等,只根据均值无法区分这两名同学的射击水平。 2 考察 X1,X2 的分布列图,甲、乙两人的射击水平有何差异?
0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
5 6 7 8 9 10

通过对两个图形的比较和观察可知,乙的成绩更集中于 8 环,他的成绩更稳定。 讲授新课和练习:

设离散型随机变量 X 的发布列为:

X x1 x2 …… xi …… xn

P

p1 p2 …… pi …… pn

X 数学期望为 E(X),则称(xi-E(X))2 随机变量 X 的方差,记做 D(X) 即 D(X)=(xi-E(X))2

并称其算术根 D( X ) 为随机变量 X 的标准差。

随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度,方差和标准差 数值越小,随机变量偏离于均值的平均程度越小。
上述甲、乙两名同学的方差分别为:

10

9

? ? D( X 1 ) ? (i ? 8)2 P( X 1 ? i) ? 1.50 , D( X 2 ) ? (i ? 8)2 P( X 2 ? i) ? 0.82

i?5

i?5

因此甲的成绩稳定性较差,乙的成绩稳定性较好,稳定在 8 环左右。 例 1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解:抛掷散子所得点数 X 的分布列为:
从而 EX ? 1? 1 ? 2? 1 ? 3? 1 ? 4? 1 ? 5? 1 ? 6? 1 ? 3.5 666666

X123456

43

P111111 666666

10 数学一班 第 3 小组

DX ? (1? 3.5)2 ? 1 ? (2 ? 3.5)2 ? 1 ? (3 ? 3.5)2 ? 1 ? (4 ? 3.5)2 ? 1

6

6

6

6

? (5 ? 3.5)2 ? 1 ? (6 ? 3.5)2 ? 1 ? 2.92

6

6

D(X ) ? 1.17

例 2.有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息:

甲单位不同职位月工资 X1/元 获得相应职位的概率 P1

1200 1400 1600 1800 0.4 0.3 0.2 0.1

乙单位不同职位月工资 X2/元 获得相应职位的概率 P2

1000 1400 1800 2000 0.4 0.3 0.2 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位? 解:由题意,可得 E(X1)= 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 , D(X1)= (1200-1400) 2×0. 4+(1400-1400)2×0.3+(1600-1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1
= 40 000 ; E(X2)=1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 , D(X2)= (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l
= 160000 . 因为 E(X1)=E(X2), D(X1)<D(X2),所以两家单位的工资均值相等,但甲单位不同职位的 工资相对集中,乙单位不同职位的工资相对分散.这样,如果希望不同职位的工资差距小一 些,就选择甲单位;如果希望不同职位的工资差距大一些,就选择乙单位.

例 3.已知离散型随机变量 ?1 的概率分布为离散型随机变量? 2 的概率分布为:
ζ1 1 2 3 4 5 6 7
1111111 P7777777
ζ 2 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3
P 1 1 111 1 1 7 7 777 7 7
44

10 数学一班 第 3 小组

求这两个随机变量期望、均方差与标准差.

解:

E?1

? 1?

1 7

?

2?

1 7

?????

7?

1 7

?

4

D?1

?

(1 ?

4) 2

?

1 7

?

(2

?

4) 2

?

1 7

?

????

(7

?

4) 2

?

1 7

?

4

D?1 ? 2

E? 2

?

3.7 ?

1 7

? 3.8?

1 7

?????

4.3 ?

1 7

?

4

D?2 =0.04, D?2 ? 0.2

本题中的?1 和? 2 都以相等的概率取各个不同的值,但?1 的取值较为分散,? 2 的取值较为集

中. E?1 ? E?2 ? 4 ,D?1 ? 4 ,D? 2 ? 0.04 ,方差比较清楚地指出了? 2 比?1 取值更集中。
总结: 几个重要公式:
1、若 X 服从两点分布(即 X ~ B(1, p) ),则 D(X ) ? p(1? p) .

2、若 X ~ B(n, p) ,则 D(X ) ? np(1? p) .

3、 D(aX ? b) ? a2D( X ) .
注意: ⑴随机变量 X 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的; ⑵随机变量 X 的方差、标准差也是随机变量 X 的特征数,它们都反映了随机变量取值的 稳定与波动、集中与离散的程度; ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛.

拓展: 在之前导入的问题中,请思考:
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在 9 环左右,本班应该派哪一名选手参赛?如果 其他班级参赛选手的射击成绩都在 7 环左右,又应该派哪一名选手参赛?
问题的本质:选择方差大的好还是方差小的好? 如果其他班级选手的射击成绩都在 9 环左右,本班候选人成绩只有 8 环,要想取胜或不 输,选手必须超常发挥。一般看来,方差大的,超常发挥的可能性越大,因此,应该派甲去; 如果其他班级选手的射击成绩都在 7 环左右,要想取胜或不输,本班选手的射击成绩稳 定在 8 环比较好,因此,选择派乙去;他的成绩的方差比较小,成绩更集中于 8 环,取胜的 可能性更大; 随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别? 二者都是反映离散程度和稳定性的定量指标; 随机变量的方差是常数,样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此样本的方差是随 机变量,随着样本容量的增加,样本的方差越来越接近于总体的方差,因此常用样本的方差

45

10 数学一班 第 3 小组

来估计总体的方差。 9.教学反思 (1)离散型随机变量的期望,反映了随机变量取值的平均水平;
(2)求离散型随机变量 ξ 的期望的基本步骤:
①理解? 的意义,写出 ? 可能取的全部值;

②求? 取各个值的概率,写出分布列;

③根据分布列,由期望的定义求出 E?

新疆 王新敞

公式 E(a? ? b) ? aE? ? b ,以及服从二

奎屯

项分布的随机变量的期望 E? ? np 。

(3)学生是否能够很快的掌握具体均值的计算,学生对于均值的意义理解不够透彻,学生
是否错误地将 EX 与概率混淆,认为 EX 也应该是在 0 ~ 1 之间的数字。对于二项分布均值
公式的推导,是学生学习的难点。 10.板书设计:
离散型随机变量的均值

主板

副板

草稿版

1.一般地,若离散型随机变量 X 的概率分 例题 1、2、3、4 基 草稿

布为:

本算法



X x1 x2 … xi … xn

称 E P p1 p2 … pi … pn

(X)= x1 p1+ x2 p2+…+ xn pn 为 X 的均值或 数学期望

2 期望的一个性

质: E(aX ? b) ? aE( X ) ? b

3 随机变量 X 服从二点分布,那么 E(X)=1 ×p+0×(1-p)=p 4 若 X~B(n,p),则 EX=np 注:主要内容,包括例题题目由 PPT 展示。

离散型随机变量的方差

主板

副板

草搞板

46

10 数学一班 第 3 小组

1、设离散型随机变量 X 的发布列为:

例题 1、2、3、的基 草稿

本算法

X x1 x2 …… xi ……

xn

P p1 p2 …… pi ……

pn

X 数学期望为 E(X),则称(xi-E(X))2 随机变量 X 的方 差,记做 D(X),即 D(X)=(xi-E(X))2

2 、 若 X 服 从 两 点 分 布 ( 即 X ~ B(1, p) ), 则

D(X ) ? p(1? p) .

3 若 X ~ B(n, p) , D(X ) ? np(1? p) .

4、 D(aX ? b) ? a2D(X )

2.4 正态分布教学设计
一、教材分析
正态分布是高中新教材人教 A 版选修 2-3 的第二章“随机变量及其分布”的最后一节内 容,在学习了离散型随机变量之后,正态分布作为连续型随机变量,在这里既是对前面内容 的一种补充,也是对前面知识的一种拓展,是必修三第三章概率知识的后续。该节内容通过 研究频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线,引出拟合的函数式,进而得到正态 分布的概念、分析正态曲线的特点,最后研究了它的应用。 旧教材采用直接给出正态分布密度函数表达式的方法,这使学生在很长一段时间里不理解正 态分布的来源。新教材利用高尔顿板引入正态分布的密度曲线更直观,易于解释曲线的来源。 正态分布是描述随机现象的一种最常见的分布,在现实生活中有非常广泛的应用。在这里学 习正态分布,也有利于学生在大学阶段的进一步学习。
二、教学目标
1.知识与技能
47

10 数学一班 第 3 小组

① 通过高尔顿板试验,了解正态分布密度曲线的来源
② 通过借助几何画板,理解正态分布的概念及其曲线特点,掌握利用 3? 原则解决一些简单
的与正态分布有关的概率计算问题 2.过程与方法 ① 通过试验、频率分布直方图、折线图认识正态曲线,体验从有限到无限的思想方法 ② 通过观察正态曲线研究正态曲线的性质,体会数形结合的方法,增强观察、分析和归纳 的能力 3、情感态度与价值观 ① 通过经历直观动态的高尔顿试验,提高学习数学的兴趣
② 通过 3? 原则的学习,充分感受数学的对称美
三、重点、难点

重点:正态分布密度曲线的特点,利用 3? 原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算

问题 难点:正态分布密度曲线的特点

四﹑教学过程

(一)创设情境 1、高尔顿钉板实验 2、(在情境中复习引入) 总体密度曲线:样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值 的概率.设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近 于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线.

频率/组距

总体密度曲线

单位

O

ab

它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线,可求出总体在区间(a,b)内取值的 概率等于总体密度曲线,直线 x=a,x=b 及 x 轴所围图形的面积. 观察总体密度曲线的形状,它具有“两头低,中间高,左右对称”的特征,具有这种特征的 总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示:

??,? (x) ?

1

?(x?? )2
e 2? 2 , x ? (??, ??)

2? ?

其中? 是圆周率, e 是自然对数的底,实数 ? 和? (? >0)为参数, ? 与? 分别反映的是

48

10 数学一班 第 3 小组

均值与标准差。

我们称? ?,? ?x?的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线。

标准正态曲线:当μ =0、σ =l 时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示式是

f (x) ?

1

? x2
e2

2?

,(-∞<x<+∞)

其相应的曲线称为标准正态曲线 新疆 王新敞 奎屯
标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均 新疆 王新敞 奎屯
可转化成标准正态分布的概率问题 新疆 王新敞 奎屯

(二)讲解新课:
1、探究参数 ? 和? 正态曲线对应的解析式中含有两个参数 ? 和 ? 。下面结合函数解析式研究曲线特点,并分 析参数 ? 和? 对曲线的影响:(利用几何画板,先后固定参数? 和 ? ,通过变化参数 ? 和?
的值得到一系列正态曲线)
⑴ 固定? 的值,观察 ? 对图象的影响

当? 一定时,曲线随着 ? 的变化而沿 x 轴平移; 结合解析式分析知 ? ? 0 时它是个偶函数,于是参数 ? 决定了正态曲线的对称轴,
? ? 0时的图象可由 ? ? 0 时的图象平移得到。
1
曲线是单峰的,它关于直线 x ? ? 对称,曲线在 x ? ? 时达到峰值 ? 2? 。
或:

49

10 数学一班 第 3 小组
⑵ 固定 ? 的值,观察? 对图象的影响
综合以上图象,你还能得到正态曲线的哪些特点?
观察并结合参数 ? 与? 的意义可以分析得到:当 ? 一定时,? 影响了曲线的形状。 即:? 越小,偏离均值的程度越小,则曲线越瘦高;
? 越大,偏离均值的程度越大,则曲线越矮胖。 2. 3? 原则(特殊区间的概率) 几何画板演示 3? 原则:
P?? ? ?<X ? ? ? ? ? ? 0.6826
50

10 数学一班 第 3 小组
P?? ? 2?<X ? ? ? 2? ? ? 0.9544

P?? ? 3?<X ? ? ? 3? ? ? 0.9974
随机变量 X 落在区间 ?? ? ? , ? ? ? ?, ?? ? 2? , ? ? 2? ] 与 ?? ? 3? , ? ? 3? ] 这三个区间内 的概率,引入 3? 原则的内容,并指出:在 ?? ? 3? , ? ? 3? ?区间以外取值的概率只有 0.0026,
通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。 所以,在实际应用中,我们通常认为服从于正态分布的随机变量只取
?? ? 3? , ? ? 3? ?之间的值,简称 3? 原则。我们可以利用 3? 原则解决一些简单的与正态分 布有关的概率计算问题。
3﹑定义:
一般地,如果对于任何实数 a ? b ,随机变量 X 满足
b
? P(a ? X ? B) ? a ??,? (x)dx ,
则称 X 的分布为正态分布(normal distribution ) .正态分布完全由参数 ? 和? 确定,

因此正态分布常记作 N (?,? 2 ) .如果随机变量 X 服从正态分布,则记为 X~ N (?,? 2 ) .

说明: X 所落区间的端点是否能够取值,均不影响变量落在该区间内的概率。

4﹑正态曲线的性质(归纳):

(1)曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交 新疆 王新敞 奎屯

(2)曲线关于直线 x=μ

对称

(对称性)
新疆 王新敞

奎屯

(3)当 x=μ

时,曲线位于最高点

(峰值)
新疆 王新敞

奎屯

(4)当

x<μ

时,曲线上升(增函数);当

x>μ

时,曲线下降(减函数)

并且当曲线向
新疆 王新敞

奎屯

左、右两边无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向它无限靠近 (单调性、单峰性) 新疆 王新敞 奎屯

(5)μ

一定时,曲线的形状由σ

确定

新疆 王新敞

奎屯

σ 越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;

σ 越小.曲线越“瘦高”.总体分布越集中: (6)曲线与 x 轴之间的面积为 1。

(三)精解例题:

51

10 数学一班 第 3 小组

例 1.给出下列三个正态总体的函数表达式,请找出其均值μ 和标准差σ

新疆 王新敞

奎屯

f (x) ?

1

x2 ?
e 2 , x ? (??,??)

(1)

2?

f (x) ?

1

? ( x?1)2
e 8 , x ? (??,??)

(2)

2 2?

f (x) ? 2 e?2(x?1)2 , x ? (??, ??)

(3)

2?

答案:(1)0,1;(2)1,2;(3)-1,0.5

例 2. 把一条正态曲线 a 沿着横轴方向向右移动 2 个单位,得到新的一条曲线 b ,下列说法

不正确的是( )

A.曲线 b 仍然是正态曲线

B.曲线 a 和 b 的最高点的纵坐标相等

? C.以曲线 b 为正态分布的总体的方差比以曲线 a 为正态分布的总体的方差大 2
D.以曲线 b 为正态分布的总体的期望比以曲线 a 为正态分布的总体的期望大 2
(注:正态曲线 a 经过平移仍是正态曲线,峰值不变。而曲线的左右平移与 ? 即均值(期望)
有关。故 C 选项的说法不正确。)

例 3.某正态总体函数的概率密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为 1 ,求总体落 2?

入区间(-1.2,0.2)之间的概率 新疆 王新敞 奎屯 解:正态分布的概率密度函数是 f (x) ?

1

(x??)2 ?
e 2? 2 , x ? (??,??) ,它是偶函数,

2? ?

说明μ =0, f (x) 的最大值为 f (?) = 1 ,所以σ =1,这个正态分布就是标准正态分 2? ?
布 新疆 王新敞 奎屯 P(?1.2 ? x ? 0.2) ? ?(0.2) ? ?(?1.2) ? ?(0.2) ?[1? ?(1.2)] ? ?(0.2) ? ?(1.2) ?1

总结:

F(x) ? ?( x ? ? )

非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过

? 转化成标准正态总体,

然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准

新疆

新疆

王新敞

王新敞

奎屯

奎屯

差,然后进行相应的转化 新疆 王新敞 奎屯

52

10 数学一班 第 3 小组

四﹑巩固练习

练一练:

1、已知 X~N (0,1),则 X 在区间

内取值的概率是()

A、0.9544 B、0.0456 C、0.9772 D、0.0228

2、设离散型随机变量 X~N(0,1),则 P(x<0)=(0.5 ),P(-2<x<2)=( 0.9544 )

3、若已知正态总体落在区间 (0.3,+∞) 的概率为 0.5,则相应的正态曲线在 x= (0.3 )

时达到最高点。

五﹑高考链接

某地区数学考试的成绩 X 服从正态分布,其密度函数曲线如下图:
y
1 8 2?

x
O 20 40 60 80 100
写出 X 的分布密度函数;
求成绩 X 位于区间 ?52,68? 的概率是多少?

求成绩 X 位于区间 ?60,68? 的概率是多少?
解:若该地区有 10000 名学生参加考试,从理论上讲成绩在 76 分以上的考生有多少人?
根据对称轴可知 ? ? 60 ,根据峰值可知? ? 8 ,代入正态曲线表达式可得:

? ? ??,?

x

? 8

1 2?

? ?x?60?2
? e 128

由 ? ? 60,? ? 8 知:

? P?52<X ? 68? ? P?? ? ?<X ? ? ? ? ? ? 0.6826

?

P?60<X

?

68?

?

1 2

P?52<X

?

68?

?

0.3413

?

P?X>76?

?

P?X<44?

?

1 2

?1 ?

P?44

?

X

?

76??

?

1 2

?1 ?

0.9544?

?

0.0228

六﹑拓展链接

1.正态分布的历史与发展

53

10 数学一班 第 3 小组
2.正态分布的应用领域 在现实生活中,很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差;某一地区 同年龄人群的身高、体重、肺活量等;一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量 等;正常生产条件下各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、 电子管的使用寿命等);某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等;一般都服从正 态分布.因此,正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中.正态分布在概率和统 正态分布由于其强大的普适性,是概率论中最重要的一种连续型分布。从形式上看,它属于 概率论的范围,但同时又是统计学的基石,因此它的提出和应用具有其独特的双重理论背景 和重要价值。 从历史上看,正态分布从问世到作为分析统计数据的概率模型经历了三个阶段: 18 世纪 30 年代,狄莫弗最初在研究对一个概率作近似计算时发现了正态曲线,但由于多种 原因它并没有作为刻画随机现象的概率分布; 1809 年,高斯在研究测量误差时,第一次以概率分布的形式重新提出此分布,并赢得了人们 的普遍关注和研究。然而人们对统计数据与观测数据不相容性的认识,使得它的应用范围却 仅限于天文学、测地学等误差论领域; 19 世纪中叶至末期,凯特莱在社会领域、高尔顿等人在生物学领域的工作,使正态分布迅速 扩大到许多自然和社会科学领域,并最终进入统计学,成为一系列核心理论的基础和导火索。 计中占有重要的地位.
七、教学反思 现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面
产生深刻的影响。我们要尽最大可能实现信息技术与课程内容的有机整合,以利 于学生认识数学的本质。本节课我们用计算机呈现以往教学中难以呈现的课程内 容,增大了课堂容量,使学生对重点内容的掌握更深入。
54


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