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卓越学案数学必修2(人教A版)-第二章2.3 2.3.2课后分层训练

一、选择题 1.自二面角棱 l 上任选一点 O,若∠AOB 是二面角 α ? 具有条件( ) l? β 的平面角,则必须 A.AO⊥BO,AO?α,BO?β B.AO⊥l,BO⊥l C.AB⊥l,AO?α,BO?β D.AO⊥l,BO⊥l,且 AO?α,BO?β [导学号 10710168] 答案:D 2.如图所示,在三棱锥 P ? ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=90° ,则二面角 B ? PA ? C 的大小为( ) A.90° C.45° B.60° D.30° [导学号 10710169] 解析:选 A.∵PA⊥平面 ABC,BA,CA?平面 ABC, ∴BA⊥PA,CA⊥PA,因此,∠BAC 即为二面角 B ? =90° ,故选 A. 3.过两点与已知平面垂直的平面有( A.一个 C.一个或无数个 ) B.无数个 D.可能不存在 PA ? C 的平面角.又∠BAC [导学号 10710170] 解析:选 C.当两点连线与平面垂直时,有无数个平面与已知平面 垂直;当两点连线与平面不垂直时,有且只有一个平面与已知平面垂直. 4.对于直线 m,n 和平面 α,β,能得出 α⊥β 的一个条件是( A.m⊥n,m∥α,n∥β C.m∥n,n⊥β,m?α ) B.m⊥n,α∩β=m,n?α D.m∥n,m⊥α,n⊥β [导学号 10710171] 解析:选 C.∵m∥n,n⊥β,∴m⊥β. 又 m?α,∴α⊥β. 5.关于直线 a、b、l 及平面 α、β,下列命题中正确的是( A.若 a∥α,b∥α,则 a∥b B.若 a∥α,b⊥a,则 b⊥α C.若 a?α,b?α,且 l⊥a,l⊥b,则 l⊥α D.若 a⊥α,a∥β,则 α⊥β [导学号 10710172] 解析:选 D.A 选项中,若 a∥α,b∥α,则有 a∥b 或 a 与 b 相交 或 a 与 b 异面;B 选项中,b 可能在 α 内,b 可能与 α 平行,b 可能与 α 相交;C 选项中需 增加 a 与 b 相交,则 l⊥α.故选 D. 二、填空题 6 .在正方体 ABCD ? __________. A1B1C1D1 中,二面角 A ? BC ? A1 的平面角等于 ) [导学号 10710173] 答案:45° 7.已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面(如图).则图中互相垂直的平面有________对. [导学号 10710174] 解析: ∵DA⊥AB, DA⊥PA. ∴DA⊥平面 PAB, 同理 BC⊥平面 PAB, 又 AB⊥平面 PAD.∴DC⊥平面 PAD,∴平面 PAD⊥平面 AC,平面 PAB⊥平面 AC,平面 PBC⊥平面 PAB,平面 PAB⊥平面 PAD,平面 PDC⊥平面 PAD,共 5 对. 答案:5 8.已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线的长为 2 6,则侧面与底面所成的二面角等 于________. [导学号 10710175] 解析: 1 1 如图所示,由正四棱锥的性质可以得到 BC=2 3,又 VS?ABCD=12= S 正方形 ABCD·SO= 3 3 ×(2 3)2·SO,∴SO=3.过点 O 作 OE⊥BC,垂足为 E,则 E 为 BC 的中点,连接 SE,由 正四棱锥的性质可得 SE⊥BC,∴∠SEO 即为所求二面角的平面角.在 Rt△SEO 中,tan∠ SO 3 SEO= = = 3,∴所求的二面角的大小为 60° . OE 3 答案:60° 三、解答题 9.如图,正方体 ABCD ? BDE. A1B1C1D1 中,E 是 AA1 的中点.求证:平面 C1BD⊥平面 [导学号 10710176] 证明:连接 AC 交 BD 于 O,则 O 为 BD 的中点,连接 C1O,EO, C1E. 因为 EB=ED,点 O 是 BD 的中点, 所以 BD⊥EO. 因为 C1B=C1D,点 O 是 BD 的中点, 所以 BD⊥C1O, 所以∠C1OE 即为二面角 C1 ? 因为 E 为 AA1 中点, 设正方体的棱长为 a, 则 C1O= EO= C1E= a2+? 6 2 ?2 a = 2 a, ?2 ? BD ? E 的平面角. 2 2 ?a? +? 2a? = 3a, ?2? ? 2 ? 2 1 ?2 3 ( 2a)2+? ?2a? =2a, 所以 C1O2+EO2=C1E2, 所以 C1O⊥OE,所以∠C1OE=90° . 所以平面 C1BD⊥平面 BDE. 10.如图,在三棱锥 P ? ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点.已知 PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5. 求证:(1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC. [导学号 10710177] 证明:(1)因为 D,E 分别为棱 PC,AC 的中点, 所以 DE∥PA. 又因为 PA?平面 DEF,DE?平面 DEF, 所以直线 PA∥平面 DEF. (2)因为 D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,PA=6,BC=8, 1 1 所以 DE∥PA,DE= PA=3,EF= BC=4. 2 2 又因为 DF=5,故 DF2=DE2+EF2, 所以∠DEF=90° ,即 DE⊥EF. 又 PA⊥AC,DE∥PA,所以 DE⊥AC. 因为 AC∩EF=E,AC?平面 ABC,EF?平面 ABC, 所以 DE⊥平面 ABC, 又 DE?平面 BDE, 所以平面 BDE⊥平面 ABC. 1.α、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 外的两条不同直线,给出四个论断: ①m⊥n;②α⊥β;③m⊥β;④n⊥α.以其中三个论断作为条件,余下的一个作为结论,其 中正确命题的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4 [导学号 10710178] 解析:选 B.若①m⊥n,②α⊥β,③m⊥β 成立,则 n 与 α 可能平

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