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高二数学 选修1-1 第三章《导数及其应用》师用教案2


选修 1-1 第三章《导数及其应用》
§3.3.3 函数的最大(小)值与导数
【知识要点】
求函数 f(x)在 ? a, b? 上的最大值与最小值的步骤: ? ? 求函数 y=f (x)在 ? a, b ? 内的极值; 将函数 y=f (x)的极值与端点处的函数值 f (a)、f (b)比较,其中“最大的一个是最大值,最小的一 个是最小值”.

【例题精讲】 【例 1】求函数 f (x)=x4-2x2+5 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值与最小值.

【例 2】求函数 f (x) = x3-4x+4 在 ?0,3? 上的极值及最大值与最小值.

1 3

【例 3】已知 a 为实数,f (x)=(x2-4)(x-a) ,(1)求导数 f ? ? x ? ;
(2)若 f ? ? ?1? ? 0 ,求 f (x)在 ? ?2, 2? 上的最大值和最小值; (3)若 f (x)在 ? ??, ?2? 和 ?2,+?? 上都是增函数,求 a 的取值范围.

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【例 4】求抛物线 y=

1 2 x 上与点 A(6,0)距离最近的点. 2

【基础达标】
1.设 f (x)在 x0 附近有定义, f (x0)是 f (x)的最大值,则( A.在 x0 附近的左侧 f (x) ? f (x0),右侧 f (x) ? f (x0) B.在 x0 附近的左侧 f (x) ? f (x0),右侧 f (x) ? f (x0) C.在 x0 附近的左侧 f (x) ? f (x0),右侧 f (x) ? f (x0) D.在 x0 附近的左侧 f (x) ? f (x0),右侧 f (x) ? f (x0) 2.下列说法正确的是( ) B.函数的极小值就是函数的最小值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 ) D. ?2 ) )

A.函数的极大值就是函数的最大值 C.函数的最值一定是极值 3.设 y=x2+x,则 y 在区间 ? ?1,0? 上的最小值是( A.0 B. ?

1 4

C.

1 2

4.函数 y=x(1-x2)在 ?0,1? 上的最大值为(

A.

2 3 9

B. ?

2 2 9

C.

3 2 9

D.

3 8

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5.函数 f (x)=x3-3x+1 在闭区间[-3,0]的最大值、最小值分别是( A.1,-1 6.函数 y=x3- B.3,-17 C.1,-17

) D.9,-19 .

3 2 x +a ? ?1 ? x ? 1? 的最大值是 2,那么它的最小值是 2


7.函数 y=x5-5x4+5x3+1 在[-1,2]上的值域为 1~5 CDBAB 6、 ?

1 2

7、[-10,2]

【能力提高】
8.求函数 f (x)=x3+x2-x,x ?? ?2,1? 的最大值与最小值.

9.求函数 y=4x2(x2-2),x ?? ?2, 2? 的极值与最值.

10.某商品每件 60 元时,每星期卖出 300 件,如调整价格,每涨价 1 元,每星期要少卖 10 件,已 知每件商品成本为 40 元,如何定价才能使利润最大?

§3.4 生活中的优化问题
【知识要点】
解决优化问题的基本思路是:

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上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.

【例题精讲】 【例 1】用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方
形,然后把四边翻转 90° 角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大? 最大 容积是多少?

【例 2】统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/
小时) 的函数解析式可以表示为: y ?

1 3 x3 ? x ? 8 ? 0 ? x ? 120 ? . 已知甲、 乙两地相距 100 128000 80

千米.(1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少? 最少为多少升?

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【基础达标】
1.曲线 y=x3 在 P 点处的切线斜率为 k,若 k=3,则 P 点为( A.(-2,-8) C.(2,8) )

B.(-1,-1)或(1,1) D.(-

1 1 ,- ) 2 8

2.曲线 y=3x2+6 在 x ? ? A.

3 处的切线倾斜角是( 6

) D. ?

? 4

?

B. ?

?
4

?

C.

3.若 0 ? x ? A.sin x ?

?
2 2

2? ? 3

2? 3

,则下列命题正确的是(

) C.sin x ?

?

x

B.sin x ?

2

?

x

3

?

x

D.sin x ? )

3

?

x

4.曲线 y=f (x)在点(0,0)处的导数值是-1,则过该点的切线一定( A.平行于 Ox 轴 C.平分第一、三象限 B.平行于 Oy 轴 D.平分第二、四象限

5.已知函数 f (x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是( A. ?1 ? a ? 2 B. ?3 ? a ? 6 C. a ? ?3 或 a ? 6



D. a ? ?1 或 a ? 2

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6.在抛物线 y=x2 上依次取两点,它们的横坐标分别为 x1=1,x2=3,若抛物线上过点 P 的切线与过 这两点的割线平行,则 P 点的坐标为 .

7.一条长为 l 的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的 长度分别为 1~5 BCBDC . 6、(2,4) 7、

l l . 2 2

【能力提高】
8.做一个容积为 256 升的方底无盖水箱,求它的高为多少时,材料最省.

9.某轮船航行过程中每小时的燃料费与其速度的立方成正比.已知当速度为 10 千米/小时,燃料费 10 元/小时,其他与速度无关的费用每小时 180 元.问轮船的速度为多少时,每千米航程成本最低?

10.宽为 a 的走廊与另一走廊垂直相连,如果长为 8a 的细杆能水平地通过拐角,则另一走廊的宽度 至少是多少? B A C

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第三章 导数及其应用

复习

理解导数的概念和几何意义,掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则,能运用导 数来研究函数的性质(单调性、极值和最值)和解决生活中一些优化问题.

【例题精讲】 【例 1】若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为(
A、4x-y-3=0 B、x+4y-5= C、4x-y+3=0 )

D、x+4y+3=0

【例 2】已知函数 f (x)=x3+ax2+bx+c 在 x= ?
(1)求 a、b 的值与函数 f (x)的单调区间.

2 与 x=1 时都取得极值, 3

(2)若对 x ?? ?1, 2? 时,不等式 f (x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围.

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【例 3】请您设计一个帐篷:它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3m 的
正六棱锥(如右图所示).试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1 的距离为多少时,帐篷的体积最大? O

O1

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【基础达标】
1.y=x2 sin x,则 y? =( A.2x sin x ) B.x2 cos x C.2x cos x+x2 cos x ) C. ? -11 , ? D. ? ??, ?1? 和 ?1 , +? ? ) D.2x sin x+x2 cos x

2.已知函数 y=x3-3x,则它的单调增区间是( A. ? ??,0? B. ? 0, +? ?

3.函数 f (x)=x4-2x2+5 在区间[-2,3]上的最大值与最小值分别是( A.5,4 B.13,4 C.68,4 ) D.68,5

4.曲线 y=3x2+6 在 x= ? A.

? 4

1 处的切线倾斜角是( 6

?

B. ?
2

?

4

?

C.

3? ? 4

D. ?

3? 4
f ? ? 0?

5.已知二次函数 f (x)=ax +bx+c 的导数为 f ? ? x ? , f ? ? 0? ? 0 ,对于任意实数 x,都有 f (x) ? 0,则 f ?1? 的最小值为( A.3 ) B.

5 2

C.2

D.

3 2
. ,切线的斜率为 .

6.曲线 y=2x-x3 在点(1,1)处的切线方程为 7.过原点作曲线 y=ex 的切线,则切点的坐标为 1~5 DDCCC 6、x+y-2=0

7、(1,e),e.

【能力提高】
8.已知函数 f ? x ? ?

ax ? 6 的图象在点 M ? ?1, f ? ?1?? 处的切线方程为 x+2y+5=0. x2 ? b

(1)求函数 y=f (x)的解析式;(2)求函数 y=f (x)的单调区间.

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9.设函数 f (x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8 ,其中 a∈R. (1)若 f (x)在 x=3 处取得极值,求常数 a 的值; (2)若 f (x)在(-∞,0)上为增函数,求 a 的取值范围.

10.有一块边长为 6m 的正方形钢板,将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形,然后焊接成一个 无盖的蓄水池. (1)写出以 x 为自变量的容积 v 的函数解析式 v(x),并求函数 v(x)的定义域; (2)指出函数 v(x)的单调区间; (3)蓄水池的底边为多少时,蓄水池的容积最大? 最大容积是多少?

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