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高中数学必修四教案全集(40份) 人教课标版9(优秀教案)

同角三角函数的基本关系 整体设计
教学分析 与三角函数的定义域、符号的确定一样,同角三角函数的基本关系式的推导,紧扣了定义,是按 照一切从定义出发的原则进行的,通过对基本关系的推导,应注意学生重视对基本概念学习的 良好习惯的形成,学会通过对基本概念的学习,善于钻研,从中不断发掘更深层次的内涵. 同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来,在使用 时一要注意“同角”,至于角的表达形式是至关重要的,如 ππ 等,二要注意这些关系式都是对于
使它们有意义的那些角而言的,如 α 中的 α 是使得 α 有意义的值,即 α≠π ? ∈. 2
已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这是同 角三角函数关系式的一个最基本功能,在求值时,根据已知的三角函数值,确定角的终边的位 置是关键和必要的,有时由于角的终边的位置不确定,因此解的情况不止一种,解题时产生遗 漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置;二是利用平方关系开方时,漏掉了负的 平方根. 三维目标 .通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进 行三角函数的化简与证明. .同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:()求值(知一求二);()化简三角函数式;() 证明三角恒等式.通过本节的学习,学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证 明. .通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能力,树立 转化与化归的思想方法. 重点难点 教学重点:课本的三个公式的推导及应用. 教学难点:课本的三个公式的推导及应用. 课时安排 课时
教学过程 导入新课 思路.先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,并 鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算下列各式的 值:
sin 60 ? sin135 ? ()°°;()°°;() cos 60 ? ;() cos135 ? .
推进新课 新知探究 提出问题
①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角 α 应受什么影响?



如图,以正弦线、余弦线和半径三者的长构成直角三角形,而且.

由勾股定理有.

因此,即 αα(等式).

显然,当 α 的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立.

根据三角函数的定义,当

?
α≠π

∈时,有

2

sin a α(等式). cosa

这就是说,同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于,商等于角 α 的正切.

②对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其

他的三角函数的值.

活动:问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系,然后教师点拨学生

思考这两个公式的用处.同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件,及使等式分别有意义的

角的取值范围.

问题②可让学生展开讨论,点拨学生从方程的角度进行探究,对思考正确的学生给予鼓励,对

没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”.

讨论结果:

①在上述两个等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一个等式中,α 可以是任意角,在第

二个等式中

?
α≠π

∈.

2

②在上述两个等式中,只要知道其中任意一个,就可以求出其余的两个.知道正弦(余弦),就可

以先求出余弦(正弦),用等式;进而用第二个等式求出正切.

应用示例

思路例 已知 α 4 ,并且 α 是第二象限的角,求 αα 的值. 5
活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明

确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是 αα,故 α

的值最容易求得,在求 α 时需要进行开平方运算,因此应根据角 α 所在的象限确定 α 的符号,

在此基础上教师指导学生独立地完成此题.

解:因为 αα,所以

49
αα( ) .
5 25

又因为 α 是第二象限角,所以 α<.于是 α ? 9 ? 3 , 25 5

从而 α sin a 4 ×( ? 5 ) ? 4 . cosa 5 3 3

点评:本题是直接应用关系求解三角函数值的问题,属于比较简单和直接的问题,让学生体会 关系式的用法.
应使学生清楚 α ? 4 中的负号来自 α 是第二象限角,这也是根据商数关系直接运算后的结果, 3
它不同于在选用平方关系式的三角函数符号的确定.
例 已知 α ? 8 ,求 αα 的值. 17
活动:教师先引导学生比较例、例题设条件的相异处,根据题设条件得出角的终边只能在 第二或第三象限. 启发学生思考仅有 α<是不能确定角 α 的终边所在的象限,它可能在轴的负半轴上(这时 α). 解:因为 α<,且 α≠,所以 α 是第二或第三象限角.如果 α 是第二象限角,那么

α

1- cos2a

1? (?

8 )2

15
,

17 17

α sin a 15 ×( ? 17 ) ? 15 , cosa 17 8 8

如果 α 是第三象限角,那么 α ?

5

α?

4
.

17 3

点评:在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时候,应先根据题目条件讨论

角的终边所在的象限,分类讨论所有的情况,得出所有的解.

思路

例 已知 α 为非零实数,用 α 表示 α、α.

活动:引导学生思考讨论:角的终边在什么位置;能否直接利用基本关系式求出 α 或 α 的值.

由 α≠,只能确定 α 的终边不在坐标轴上.关于 α、α、α 的关系式只有 α sin a ,在这个式子中必 cosa

须知道其中两个三角函数值,才能求出第三个,因此像这类问题的求解,不能一步到位,需要公

式的综合应用.其步骤是:先根据条件判断角的终边的位置,讨论出现的所有情况.然后根据讨

论的结果,利用基本关系式求解.分情况求出 α,进而求出 α.

解:因为 αα,所以 αα.

又因为 α sin a cosa

,所以

α

sin 2 cos 2

a a

1 ? cos2 a cos2 a

?

1 cos2

a

?1.

于是

c

1 os2

a

αα

1

?

1 tan

2

a

.

由 α 为非零实数,可知角 α 的终边不在坐标轴上,从而

α

? ?? ? ??

1

?

1 tan 2
1

a

,当a为第一、 第四象限角, ,当a为第二, 第三象限角,

?? 1 ? tan2 a

ααα

? ?? 1 ? ??

tan a ? tan 2
tan

a

,当a为第一, 第四象限角, ,当a为第二、 第三象限角.

?? 1 ? tan2 a

点评:要求学生灵活运用三角函数公式进行变形、化简、求解.需要学生认真细致分析题目的 条件,灵活运用公式,需要较高的思维层次. 变式训练

已知 α≠,用 α 表示 α、α. 解:本题仿照上题可以比较顺利完成.

?? 1 ? cos2 a, 当a为第一、 第二象限角, α?
??? 1 ? cos2 a,当a为第三、 第四象限角,

? ?

1 ? cos2 ? ,当a为第一、 第二象限角,

? α?

cos?

????

1? cos2 ? , 当a为第三、 第四象限角. cos?

例 求证: cosx ? 1 ? sin x . 1 ? sin x cos
活动:先让学生讨论探究证明方法,教师引导思考方向.教材中介绍了两种证明方法:证法

一是从算式一边到另一边的证法,算式右边的非零因式 α,在左边没有出现,可考虑左边式子的 分子、分母同乘以,再化简;在证法二中可以这样分析,要让算式成立,需证()(),即,也就是,由平 方关系可知这个等式成立,将上述分析过程逆推便可以证得原式成立.

证法一:由≠,知≠,所以≠,于是

左边 cos x(1 ? sin x) ? cos x(1 ? sin x) ? cos x(1 ? sin x) ? 1 ? sin x ? 右边

(1 ? sin x)(1 ? sin x) 1 ? sin 2 x

1 ? sin x2 x

cos x

所以原式成立. 证法二:因为()(),
且≠≠,所以 cosx ? 1 ? sin x . 教师启发学生进一步探究:除了证法一和证法二外你可否还 1 ? sin x cosx
有其他的证明方法.教师和学生一起讨论,由此可探究出证法三.依据“ ? ”来证明恒等式是常
用的证明方法,由学生自己独立完成. 证法三:因为

cos x 1 ? sin x cos x cos x ? (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos2 x ? (1 ? sin 2 x) cos2 ? cos2 x

?

?

?

?

?0

1 ? sin x cos x

(1 ? sin x) cos x

(1 ? sin x) cos x (1 ? sin x) cos x

所以 cosx ? 1 ? sin x . 1 ? sin x cosx
点评:这是一道很有训练价值的经典例题,教师要充分利用好这个题目.从这个例题可以看出, 证明一个三角恒等式的方法有很多.证明一个等式,可以从它的任何一边开始,证得它等于另 一边;还可以先证得另一个等式成立,从而推出需要证明的等式成立.

例 化简 1- sin 2 440?.

活动:引导学生探究:原式结果为°时是不是最简形式,还应怎么办?教师引导学生运用诱
导公式一化简为°,由于°>,因此 cos2 80? |°|°,此题不难,让学生独立完成.

解:原式 1- sin 2 (360? ? 80?) 1- sin280? 1- sin280? °.
点评:恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式.提醒学生注意化简后的简单的三角函 数式应尽量满足以下几点:()所含的三角函数种类最少;()能求值(指准确值)的尽量求值;()不含 特殊角的三角函数值. 变式训练
化简: 1- 2sin40 ?cos40?
答案°°. 点评:提醒学生注意±αααα±αα(α±α),这是一个很重要的结论. 知能训练 课本本节练习.
解答 α ? 3 α 3 . 54
.当 φ 为第二象限角时 φ 3 φ ? 1 22

当 φ 为第四象限角时 φ ?

31
φ.

22

.当 θ 为第一象限角时 θ≈θ≈.

当 θ 为第二象限角时 θ≈θ≈.

s in ?

.()θθθ

θ;

c os?

() 2cos2 a ?1 ? 2cos2 a ? (sin2 a ? cos2 a) ? cos2 a ? sin 2 a ? 1 1? 2sin 2 a (sin2 a ? cos2 a) ? 2sin 2 a cos2 a ? sin 2 a

.()左(αα)(αα)αα 右; ()左 α(αα)ααα 右. 课堂小结 由学生回顾本节所学的方法知识:①同角三角函数的基本关系式及成立的条件,②根据一个任 意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要注意这个 角的终边所在的位置,从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出).
“知一求二”的解题步骤一般为:先确定角的终边位置,再根据基本关系式求值,若已知正弦或 余弦,则先用平方关系,再用其他关系求值;若已知正切或余切,则构造方程组求值. 教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题,并让 学生总结本节用到的思想方法. 作业 .化简(α)α;
.已知 α,求 sin a ? cosa 的值. sin a ? cosa

答案. 设计感想
公式的推导和应用是本节课的重点,也是本节课的难点. 公式的应用实际上是求可化为完全平方的三角函数式的“算术平方根”的化简题和证明题,这 类问题可按下列情形分别处理: ()如果这个三角函数式的值的符号可以确定,则可以根据算术平方根的定义直接得到结果; ()如果这个三角函数式的值的符号不可以确定,则可根据题设条件,经过合理的分类讨论得到 结果. 三角函数式的化简,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则,它不仅需要学生能熟悉和灵活 运用所学的三角公式,还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式,同时,这类问题还具有较 强的综合性,对其他非三角知识的灵活运用也具有较高的要求,在教学时要注意进行相关知识 的复习. 证明恒等式的过程实质上就是分析转化和消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用 的方法一般有以下三种: ()依据相等关系的传递性,从等式一边开始,证明它等于另一边,证明时一般遵循由繁到简的原 则. ()依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子. ()依据等价转化思想,证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立. 教材上在运用这一方法时使用的是综合法,初学恒等式的证明时,运用等价转化的方法可以使 证明的思路更清楚一些,实际上,使用综合法时不一定要求进行等价转化,只需证明等式成立 的充分条件即可(教师知道即可),证明方法中分别运用到了分式的基本性质和算式的基本性 质. 使学生明白,如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函数,为了便于将算式两边沟通,可通过 “切化弦”使两边的三角函数相同.
学习是一件增长知识的工作,在茫茫的学海中,或许我们困苦过,在艰难的竞争中,或许我们疲劳过,在失败的阴影中,或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长,从哑哑学语
的婴儿到无所不能的青年时,这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢?当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时,当我们在漫长的奋斗后成功时,那种无与伦比的感受又有谁
能表达出来呢?因此学习更是一件愉快的事情,只要我们用另一种心态去体会,就会发现有学习的日子真好! 如果你热爱读书,那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉;从书中找到生活的榜样;
从书中找到自己生活的乐趣;并从中不断地发现自己,提升自己,从而超越自己。 明天会更好,相信自己没错的! 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语,就能积累起
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