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学案:正弦定理、余弦定理解三角形(2)

学案:正弦定理、余弦定理解三角形(2) 班级:__105______ 学习 主题
正弦定理、余弦定理解三角形(2)是在学生学习三角函数的概念和加法定理和正弦定 理、余弦定理解三角形(1)基础上进行研究的,它更紧密联系了生产实际运用 ,起着重要 作用,也是进一步学习函数建模的思想的重要过程。 主

姓名:_______________

题:正弦定理、余弦定理解三角形(2)

本知识 点背景

在预习任务中,我们复习了初中的三角形有关知识点,具备了接受新知识的基础;另一 方面 105 班基础比较薄弱,对初中所学的公式等运用还不够熟练,所以现在建模思想上面还 要加强。

教 学 目 的

1 会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法;
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2 搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系; 3 理解各种应用问题中的有关名词、术语,如:坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等; 4 通过解三角形的应用的学习,提高解决实际问题的能力 利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
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重点

实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法

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难点

实际问题向数学问题转化思路的确定

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教法与 学法的 选 择

在教学中引导学生分析题意,分清已知与所求,根据题意画出示意图,并启发学生在解三 角形时正确选用正、余弦定理 学法上以课前自学为主要方式,在引导分析时,留出学生的思考空间,让学生去联想、探 索,同时鼓励学生大胆质疑,围绕中心各抒己见,让学生自己出题,把思路方法和需要解决 的问题弄清。 利用学案导学,让学生明确课前要做的作业,课堂采用的方法,需要达到的要求,在尝试 练习中,让学生通过练习,类比,引入新课。
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学习过

教学过程: 一、主题复习 :
1

程:
1、 课前

1.正弦定理:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

2.余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, ? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc

主 题 任 务 ( 自 主 学 习)
自主学习 →互助探 究→展示 交流→多 元评价→ 能力生成

c2 ? a2 ? b2 b ? c ? a ? 2ca cos B, ? cos B ? 2ca
2 2 2

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC , ? cosC ?

a2 ? b2 ? c2 2ab

二、师生共同探究: 例1 自动卸货汽车的车箱采用液压结构,设计时需要计
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算油泵 与车箱 为 6° 字)
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顶杆 BC 的长度 已知车箱的最大仰角为 60°, 油泵顶点 B 支点 A 之间的距离为 1.95m, AB 与水平线之间的夹角 20′,AC 长为 1.40m,计算 BC 的长(保留三个有效数

分析:求油泵顶杆 BC 的长度也就是在△ABC 内,求边长 BC 的问 题,而根据已知条件,AC=1.40m,AB=1.95 m,∠BAC=60°+6°20′=66°20′ 相 当于已知△ABC 的两边和它们的夹角,所以求解 BC 可根据余弦定理
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2、课堂 主题任 务:
任务 1 : 应用的特 征 (自主探 究) 评述:此题虽为解三角形问题的简单应用,但关键是把未知边所处的三角形找到,在转 换过程中应注意“仰角”这一概念的意义,并排除题目中非数学因素的干扰,将数量关系从 题目准确地提炼出来 例 2 某渔船在航行中不幸遇险,发出求救信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出该渔船 在方位角为 45°、距离 A 为 10 海里的 C 处,并测得渔船正沿方位角为 105°的方向,以 9 海 里/h的速度向某小岛 B 靠拢,我海军舰艇立即以 21 海里/h的速度前去营救,试问舰艇应 按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间 分析: 设舰艇从 A 处靠近渔船所用的时间为x h, 则利用余弦定理建立方程来解决较好, 因为如图中的∠1,∠2 可以求出,而 AC 已知,BC、AB 均可用x表示,故可看成是一个已知 两边夹角求第三边问题 解
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任务 2: 推 广 应 用,变式 探究

答 成果:解好本题需明确“方位角”这一概念,方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标 方向线的水平角,其范围是(0°,360°)
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2

在利用余弦定理建立方程求出x后, 所求舰艇方位角就转化为一个已知三边求角的问题, 故仍然利余弦定理 例 3 用同样高度的两个测角仪 AB 和 CD 同时望见气球 E 在它们的正西方向的上空,分别测得 气球的仰角是α 和β ,已知 B、D 间的距离为 a,测角仪的高度是 b,求气球的高度 分析:在 Rt△EGA 中求解 EG,只有角α 一个条件,需要再有一边长被确定,而△EAC 中 有较多已知条件,故可在△EAC 中考虑 EA 边长的求解,而在△EAC 中有角β ,∠EAC=180° -α 两角与 BD=a 一边,故可以利用正弦定理求解 EA 解:
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评述:此题也可以通过解两个直角三角形来解决,思路如下:设 EG=x,在 Rt△EGA 中, 利用 cotα 表示 AG;在 Rt△EGC 中,利用 cotβ 表示 CG,而 CG-AG=CA=BD=a,故可以求 出 EG,又 GF=CD=b,故 EF 高度可求 例 4 如图所示,已知半圆的直径 AB=2,点 C 在 AB 的延长线上,BC=1,点 P 为半圆上的一 个动点,以 DC 为边作等边△PCD,且点 D 与圆心 O 分别在 PC 的两侧,求四边形 OPDC 面积的 最大值 分析:要求四边形 OPDC 面积的最大值,这首先需要 建立一 个面积函数,问题是选谁作为自变量,注意到动点 P 在 半圆上 运动与∠POB 大小变化之间的联系,自然引入∠POB= θ 作为 自变量建立函数关系 四边形 OPDC 可以分成△OPC 与 等边△
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PDC,S△OPC 可用

1 ·OP·OC·sinθ 表示,而等边△ 2
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PDC 的

面积关键在于边长求解,而边长 PC 可以在△POC 中利用余弦定理表示,至于面积最值的获 得,则通过三角函数知识解决 解:设∠POB=θ ,四边形面积为y,则在△POC 中,由余弦定理得: PC2=OP2+OC2-2OP·OCcosθ =5-4cosθ ∴y=S△OPC+S△PCD=

1 3 ? 1 ? 2 sin ? + (5-4cosθ ) 2 4

=2sin(θ -

? 5 3 )+ 3 4

∴当θ -

学习成 果交流


? ? 5? 5 3 = 即θ = 时,ymax=2+ 6 3 2 4

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评述:本题中余弦定理为表示△PCD 的面积,从而为表示四边形 OPDC 面积提供了可能, 可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据,一般地也是分析几何量之间关系的重要公式,要 认识到这两个定理的重要性 另外,在求三角函数最值时,涉及到两角和正弦公式 sin(α +β )=sinα cosβ +cos
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3

α sinβ 的构造及逆用,应要求学生予以重视 三、课堂练习:

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1 如图,在海岸 A 处发现北偏东 45°方向,距 A 处
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( 3 -1)海里的 B 处有一艘走私船 在 A 处北偏西 75°
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方向, 距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船, 奉命以 10 3

相互评价 海里/时的速度追截走私船,此时走私船正以 10 海里
/时的速度, 从 B 处向北偏东 30°方向逃窜 问: 辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船? 并求出所需时间 解:
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任务 3:

思想方 法提炼

答: 四、反思小结 通过本节学习,要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时,掌 握由实际问题向数学问题的转化,并提高解三角形问题及实际应用题的能力
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学生自主出题,自主完成 让学生自己尝试举例、出题,学习小组成员交流评价。

三、课 后任务

师生共同小结,内容、方法与手段、提炼思想

作业布置(课后练习同步) 体验解解斜三角形知识在实际中的应用的同时,掌握由实际问题向数学问题的转化,并提高 解三角形问题及实际应用题的能力 。
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4


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