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2018高中数学 第2章 数列 2.5 等比数列的前n项和习题 苏教版必修5

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等比数列的前 n 项和

(答题时间:40 分钟)

**1. 各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 Sn=2, S3n=14, 则 S4n=________。 **2. 设{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2,且 a1,a3,a6 成等比数列,则{an}的前 n 项 和 Sn 等于________。

a1 (3 n ? 1) *3. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= (n≥1) ,且 a4=54,则 a1=________。 2
**4. 已知等比数列{an}满足 an>0,n=1,2,…,且 a5·a2n-5=2 (n≥3) ,则当 n≥3 时, log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a2n-1=________。 **5. 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若
2n

S6 S =3,则 9 =________。 S3 S6

*6. 已知等比数列{an}中 a2=1,则前 3 项的和 S3 的取值范围是________。 *7. (临沂高二检测)已知等比数列{an}前 n 项之和为 Sn,若 S4=-20,S8=-1 640,求

a1 和 q。
**8. (扬州检测)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=-10,且 a2,a4,a5 成等比数 列。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a>0,求数列{aan+12}的前 n 项和 Sn。 ***9.(泗阳检测)已知等差数列{an}的公差 d<0,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数 列,b1=1,且 b2S2=64,b3S3=960。 (1)求 an 与 bn; (2)求 Sn 的最大值。

1

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1. 30 解析:∵S3n≠3Sn,∴q≠1,

? a1 ( q n ? 1) ? 2, ? ? q ?1 由已知条件得 ? 3n ? a1 ( q ? 1) ? 14, ? ? q ?1
n n

① ②
n n

②÷①整理得(q +3) (q -2)=0,则 q =2(q =-3 舍去) ,∴ (q -1)=30. 2.
4n

a1 a =2,S4n= 1 q ?1 q ?1

1 2 7 n+ n 4 4
2 2

解析:设数列{an}的公差为 d(d≠0) ,则有(2+2d) =2(2+5d) ,即 4d -2d=0.又

1 n( n ? 1) 1 1 2 7 ,所以 Sn=2n+ × = n + n。 2 2 2 4 4 n a (81 ? 1) a (3 ? 1) 3. 2 解析:由数列{an}的前 n 项和 Sn= 1 (n≥1) ,则 a4=S4-S3= 1 2 2 a (27 ? 1) - 1 =27a1,且 a4=54,则 a1=2。 2
d≠0,所以 d=
4. n(2n-1) 解析:由等比数列的性质知
2n a1·a2n-1=a2·a2n-2=…=an-1·an+1=a2 n=a5·a2n-5=2 , ∴log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a2n-1 n 2n-1 =log2(a1·a2·a3·…·a2n-1)=log2(2 ) =n(2n-1) 。

7 5. 3

S6 S (1 ? q 3 ) S 3 3 3 解析:设公比为 q,则 = = 1+q =3,所以 q = 2,于是 9 = S3 S6 S3

1 ? q3 ? q6 1 ? 2 ? 4 7 = = 。 1? 2 3 1 ? q3
6.(-∞,-1]∪[3,+∞) 解析:∵{an}是等比数列,∴设数列{an}的公比为 q(q≠0) ,又∵a2=1,∴a1= =q, ∴S3=a1+a2+a3=

1 ,a3 q

1 2 2 +1+q, ∴q + (1-S3) q+1=0, ∴Δ = (1-S3)-4≥0, ∴S3≤ q

-1 或 S3≥3。综上可知,S3 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞) 。

1 ? ?a1 ? 1, ?a1 ? ? 7. ? 2 或? ?q ? ?3 ? ?q ? 3
解析: (1)当 q=1 时,S4=4a1=-20,∴a1=-5;

S8=8a1=-1640,∴a1=-205,∴无解。
(2)当 q≠1 时,S4=

a1 (1 ? q 4 ) a (1 ? q 8 ) =-20,S8= 1 =-1640, 1? q 1? q
2

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1 ? q8 =82,∴q=±3 1? q4

a1 (1 ? 3 4 ) 1 当 q=3 时,由 =-20,∴a1=- ; 2 1? 3 4 a [1 ? (?3 )] 当 q=-3 时,由 1 =-20,∴a1=1。 1? 3 1 ? ?a1 ? 1, ?a1 ? ? 综上: ? 2 或? ?q ? ?3 ? ?q ? 3 a 2 (1 ? a 2 n ) 8. (1) an=2n-12; (2) Sn= 。 1? a2
解析: (1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0) , 因为 a1=-10,a2,a4,a5 成等比数列,所以(a1+3d) =(a1+d) (a1+4d) , 即(-10+3d) =(-10+d) (-10+4d) , 解得 d=2 或 d=0(舍) 。 所以 an=-10+(n-1)×2=2n-12。 (2)由(1)知,an=2n-12, 所以 aan+12=a (a>0) 。 当 a=1 时,数列{aan+12}的前 n 项和 Sn=n; 当 a≠1 时,令 bn=aan+12=a (a>0) ,则 bn+1=a 所以
2n 2n+2 2n 2 2



bn ? 1 a 2 * = 2 n =a (n∈N ) , a bn
2n?2

a 2 (1 ? a 2 n ) 故{bn}为等比数列,所以{bn}的前 n 项和 Sn= 。 1? a2 6 21 40 n-1 27 9. (1) an=- n+ ;bn=( ) (2) 5 5 3 5
解析: (1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q,则

an=3+(n-1)d,bn=qn-1。

?S 3b3 ? (9 ? 3d )q 2 ? 960, 依题意有 ? ?S 2 b2 ? (6 ? d )q ? 64, 6 ? d ?? , ? ?d ? 2, ? 5 解得 ? (舍去)或 ? ?q ? 8 ?q ? 40 , ? 3 ? 6 6 21 40 n-1 故 an=3+(n-1)×(- )=- n+ ,bn=( ) 。 5 5 5 3 3 2 18 3 27 (2)Sn=- n + n=- (n-3)2+ , 5 5 5 5 27 ∴当 n=3 时,Sn 有最大值为 。 5

3


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