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圆锥曲线的参数方程导学案


泸化中学课改 2010 级高二下期数学学案(编号:04)

主备人:周茂

第二章参数方程

§ 2-2-1 椭圆的参数方程学案
【使用课时】 课时 :2 【学习目标】 : 1. 知识与技能:了解椭圆的参数方程及参数的的意义 2. 过程与方法:能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程 3. 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识 【学习重点】 :椭圆参数方程的定义和方法 【学习方法】 :分组讨论学习法、探究式; 【学习过程】 : 一、课前准备 复习 1:圆的参数方程及参数的几何意义是什么? 圆 x2+y2=r2(r>0)的参数方程: 圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程: 其中参数的几何意义为: 复习 2:圆的参数方程是怎样推导出来的呢? 二、新课导学 学习探究 探究任务一:圆的参数方程 问题 1:你能仿此推导出椭圆的参数方程吗?

问题 2:你能仿此推导出椭圆

x2 y2 ? ? 1 的参数方程吗? b2 a 2

提问 3:把下列普通方程化为参数方程,把参数方程化为普通方程.

x2 y2 (1) ? ?1 4 9

y2 (2) x ? ?1 16
2

? x ? 3 cos? (3)? (?为参数) ? y ? 5 sin ?

? x ? 8 cos? ( 4) ? (?为参数) ? y ? 10 sin ?

1

泸化中学课改 2010 级高二下期数学学案(编号:04)

主备人:周茂

第二章参数方程

【典型例题】 【例 1】 :如下图,以原点为圆心,分别以 a,b(a>b>0)为半径作两个圆,点 B 是大 圆半径 OA 与小圆的交点,过点 A 作 AN⊥ox,垂足为 N,过点 B 作 BM⊥AN,垂足为 M,求当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 的轨迹参数方程.

x2 y2 反思: 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程为 a b

a,b, ? 的几何意义是什么? 知识点小结:
1.在椭圆的参数方程中,常数 a、b 分别是椭圆的 a>b) 2. ? 称为离心角,规定参数 ? 的取值范围是 3. 当焦点在 X 轴时椭圆的参数方程为: 知识归纳
名称 圆 参数方程 各元素的几何意义



. (其中

当焦点在 Y 轴时椭圆的参数方程为:

椭圆

2

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第二章参数方程

【例 2】 设 P 是椭圆 36 :

x ?

2

y
4

2

? 1 在第一象限部分的弧 AB 上的一点,求使四

边形 OAPB 的面积最大的点 P 的坐标。

x2 y2 例3.已知椭圆 ? ? 1 有一内接矩形 100 64 ABCD, 求矩形 ABCD 的最大面积 .

过关检测
1.写出椭圆

x2 y2 ? ? 1 的参数方程。 25 16
? x ? 2 cos?

(?为参数) 2.把椭圆的参数方程 ? 化成普通方程,并写出长半轴长和短半轴 ? y ? 8 sin ? 长。 ? x ? 3 cos? (?为参数) ? 3.椭圆 ? y ? 5 sin ? 的两个焦点坐标是(



A.(0,3), (0,?3)

B.(0,4), (0,?4)

C.(4,0), (?4,0)
3

D.(5,0), (?5,0)

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第二章参数方程

4.椭圆 ?

? x ? 3 cos? 的离心率是为 (?为参数) y ? 4 sin ? ? ? x ? 2 cos ?

.

5.椭圆的参数方程为 ? ? y ? sin ? 轴长为 ( ) 焦点坐标是 , (

( ? 是参数) ,则此椭圆的长轴长为(

) ,短

) 离心率是 , (

) 焦距是 , (

) 。

(?为参数)上一点且离心角为 6.O 是坐标原点,P 是椭圆 ? ? y ? 2 sin ? 所对应的
点坐标 。

? x ? 3 cos?

?

?
6
,则这个点

课外作业 ? x ? 3 cos? 1.把参数方程 ? 化成普通方程,并求焦点坐标,离心率。 (?为参数)

? y ? sin ?

? x ? 3 cos? 2. 已知椭圆 ? ? y ? 2 sin ?

( ? 为参数)

求 (1) ? ?

时对应的点 P 的坐标 6 (2)直线 OP 的倾斜角

?

3 A 点椭圆长轴一个端点,若椭圆上存在一点 P,使∠OPA=90°,其中 O 为 椭圆中心,求椭圆离心率 e 的取值范围。

4. 已知 A,B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右顶点和上顶点,动点 C 在该椭圆上运动,求 36 9
4

?ABC 的重心 G 的轨迹方程。

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第二章参数方程

§ 2-2-2 双曲线的参数方程学案
【使用课时】 课时 :1 【学习目标】 : 1. 知识与技能:了解双曲线的参数方程及参数的的意义 2. 过程与方法:能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程 3. 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识 【学习重点】 :双曲线数方程的定义和方法 【学习方法】 :分组讨论学习法、探究式; 【学习过程】 : 一、课前准备 复习 1:圆 x2+y2=r2(r>0)的参数方程: 圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程: 2 2 复习 2:椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程为 。

a2

b2

二、新课导学 学习探究

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 探 究 任 务 一 : 1. 双 曲 线 的 参 数 方 程 的 推 导 : 双 曲 线 a 参数方程

y
?

a

A )

B'

?M
A'

o B b

x

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双曲线

x2 y2 ? ? 1 的参数方程为 a2 b2
x ? 2 3 tan ? y ?6sec?

? x ? a sec? ? ? y ? b tan?

【例 1】 双曲线 :

{

(?为参数)的两焦点坐标是



【例 2】 :

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0)任意一点,O为原点, 例2、 a 2 b2 过点M 作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线交于 A, B两点。 如图,设M 为双曲线 探求平行四边形MAOB的面积,由此可以发现什么结论?

y A M O B x

过关检测

e ?e 1.方程{ y ? t ? ? t e e

x?

t

?t

(t 为参数)的图形是



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第二章参数方程

1 1 ? ? x ? 2 (a ? a ) ? 2. 已知某条曲线的参数方程为: ? 其中 a 是参数。则该曲线是( 1 1 ? y ? (a ? ) ? 2 a ?
A 线段 B 圆 C 双曲线的一部分 D 圆的一部分



3.求过 P(0,1)到双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 最小距离的直线方程。

4.设 P 为等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 上的一点, F1 , F2 为两个焦点,证明
F1 P ? F2 P ? OP
2

课外作业 1.已知参数方程

x?t?

1 t 1 y?t? t

(t 是参数, t >0)

化为普通方程,画出方程的曲线.

2.参数方程

x ? a sec ? y ? b tan ?

(? 是参数, ?

?
2

?? ?

?
2

) 表示什么曲线?,画出方程的曲线

x2 y 2 ? ? 1(b ? a ? 0)上有两点A, B与它的 a 2 b2 中心的连线互相垂直. 3.若双曲线 求证: 1 1 ? 为定值. 2 |OA| |OB|2

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第二章参数方程

§ 2-2-3 抛物线的参数方程学案
【使用课时】 课时 :1 【学习目标】 : 1. 知识与技能:了解抛物线的参数方程及参数的的意义 2. 过程与方法:了解参数方程求法 3. 对参数方程的知识提升到一定理论高度 【学习重点】 :抛物线数方程的定义和方法 【学习方法】 :分组讨论学习法、探究式; 【学习过程】 : 一、课前准备 复习 1:圆 x2+y2=r2(r>0)的参数方程: 圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程: 复习 2:椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程为 2 2
2 2



a

b

x2 y2 ? ? 1 的参数方程为 复习 2: 双曲线 a2 b2
二、新课导学 学习探究 探究任务一: 如图,一架救援飞机在离灾区地面 500m 高处以 100m/s 的速度作水平直线飞行。为使投 放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力) ,飞行员应如何确定投放时机呢?

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第二章参数方程

探究任务二:

设M (x,y)为抛物线上除顶点外的任意一点, 以射线OM为终边的角记作?。

y 因为点M (x,y)在?的终边上,根据三角函数定义可得 ? tan ? . x
2p ? ?x= tan 2? , ? 解出x,y得到抛物线(不包括顶点)的参数方程: (? 为参数) ? ? y ? 2p . ? tan? ?

如果令t ?

1 , t ? ( ?? , 0) ? (0, ?? ), 则有 tan ?

? x ? 2 pt 2 ( t为参数 ) ? ? y ? 2 pt 当t ? 0时,由参数方程表示的点正好就是抛物线 的顶点(0, 0)因此当t ? ( ?? , ?? )时,参数方程就表 示抛物线。参数t 表示抛物线上除顶点外的任意 一点与原点连线的斜率的倒数。
典型例题 例 1:

设炮弹发射角为 ? ,发射速度为 v 0 , (1)求子弹弹道曲线的参数方程(不计空气阻力) ? (2)若 Vo ? 100 m / s , ? ? ,当炮弹发出 2 秒时, 6 ① 求炮弹高度 ② 求出炮弹的射程

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第二章参数方程

例 2:设点 A,B 是抛物线 y =2px(p>0)上异于顶点的两动点,O 为原点,OA⊥OB, OM⊥AB,并与 AB 相交于点 M. (1)求点 M 的轨迹方程; (2)求△AOB 面积的最小值.

y o

A M

x
B

例 3:抛物线 y ? 4 x 的内接三角形的一个顶点在原点, 其重心恰是抛物线的焦
2

点,求内接三角形的周长。

例 4:在抛物线 y ? 4ax (a ? 0) 的顶点,引两互相垂直的两条弦 OA,OB,求
2

顶点 O 在 AB 上射影 H 的轨迹方程。

知识拓展:

1.关于参数几点说明: (1)参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。 (2)同一曲线选取的参数不同,曲线的参数方程形式也不一样 (3)在实际问题中要确定参数的取值范围
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第二章参数方程

2.参数方程的意义: 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式, 它借助于中间变量把曲线上 的动点的两个坐标间接地联系起来, 参数方程与变通方程同等地描述, 了解曲 线,参数方程实际上是一个方程组,其中 x , y 分别为曲线上点 M 的横坐标 和纵坐标。 3.参数方程求法 (1)建立直角坐标系,设曲线上任一点 P 坐标为 ( x, y ) (2)选取适当的参数 (3)根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点 P 坐标与参数的 函数式 (4)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 4.关于参数方程中参数的选取 选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简 单。 与运动有关的问题选取时间 t 做参数 与旋转的有关问题选取角 ? 做参数 或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。
小结:本课要求大家了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义,能选取适当的参数,求简 单曲线的参数方程,通过推到椭圆及双曲线的参数方程,体会求曲线的参数方程方法和 步 过关检测

? x ? cos 2 ? (? 为参数) 所表示的曲线为 1、参数方程 ? y ? sin ? ?





A、抛物线的一部分 C、双曲线的一部分

B、一条抛物线 D、一条双曲线 ( )

? x ? 2t 2 (t为参数) 表示的曲线不在 2、参数方程 ? ? y ? 4t

A、x 轴的上方 C、y 轴的右方

B、x 轴的下方 D、y 轴的左方

? x ? 2 pt (t为参数) 上异于原点的不同两点 M 1、M 2 所对应的参数分 3、若曲线 ? 2 ? y ? 2 pt

别是 t1、t2 ,则弦 M1M 2 所在直线的斜率是
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第二章参数方程

A、 t1 +t2

B、 t1 -t2

C、

1 t1 +t2

D、

1 t1 -t2

4、设点 M 为抛物线 y 2 ? 2 x 上的动点,给定点 M 0 (?1, 0) ,点 P 为线段 M 0 M 的 中点,则点 P 的轨迹方程为 . 1 5、连结原点 O 和抛物线 y ? x 2 上的动点 M,延长 OM 到 P 点,使|OM|=|MP|, 2 求 P 点的轨迹方程,并说明它是什么曲线。
课外作业

? x ? sin ? ? cos ? (? 为参数) 表示的曲线是 1、参数方程 ? ? y ? sin ? ?cos ?





A、x 轴的上方 C、y 轴的右方

B、x 轴的下方 D、y 轴的左方

2、已知点 A(1,2) ,过点(5,-2)的直线与抛物线 y 2 ? 4 x 交于另外两点 B、 C,那么, ? ABC 是 A、锐角三角形 C、直角三角形 ( ) B、钝角三角形 D、答案不确定

? ? ? x ?| cos ? sin | ? ? 2 2 (0 ? ? ? 2? ) 表示 3、参数方程 ? 1 ? y ? (1+sin?) ? ? 2
1 A、 双曲线的一支, 这支过点 (1, ) 2 1 C、 双曲线的一支, 这支过点 (?1, ) 2





1 B、 抛物线的一部分, 这部分过点 (1, ) 2 1 D、 抛物线的一部分, 这部分过点 (?1, ) 2

4、设 M 为抛物线 y 2 ? 2 x 上的动点,给定点 M 0 (?1, 0) ,点 P 分线段 M 0 M 的比 为 2:1,则点 P 的轨迹方程为 .

5、已知抛物线 y 2 ? 2 px 过顶点的两弦 OA ? OB ,求以 OA、OB 为直径的两圆的 另一交点 Q 的轨迹。

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