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6.1平面向量及其线性运算

6.1 平面向量及其线性运算
学习目标:
1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、 理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几 何表示.4.掌握向量加法、 减法的运算, 并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义, 理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

基础知识梳理:
1.向量的有关概念 (1)向量的定义:既有______又有______的量叫做向量. (2)表示方法:用 来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向 → → 表示向量的方向.用字母 a,b,…或用AB,BC,…表示. (3)模:向量的______叫向量的模,记作________或_______. (4)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作 0;零向量的方向是________. (5)单位向量: 长度为____单位长度的向量叫做单位向量. 与 a 平行的单位向量 e=________. (6)平行向量:方向______或______的______向量;平行向量又叫____________,任一组平 行向量都可以移到同一直线上.规定:0 与任一向量______. (7)相等向量:长度______且方向______的向量. 2.向量的加法运算及其几何意义 → → → (1)已知非零向量 a,b,在平面内任取一点 A,作AB=a,BC=b,则向量AC 叫做 a 与 b → → 的 ,记作 ,即 =AB+BC= ,这种求向量和的 方法叫做向量加法的 . → (2)以同一点 O 为起点的两个已知向量 a,b 为邻边作 OACB,则以 O 为起点的对角线OA就 是 a 与 b 的和,这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 . (3)加法运算律 a+b=________ (交换律); (a+b)+c=____________(结合律). 3.向量的减法及其几何意义 (1)相反向量:与 a____________、____________的向量,叫做 a 的相反向量,记作______. (2)向量的减法 ①定义 a-b=a+________,即减去一个向量相当于加上这个向量的____________. → → → → ②如图,AB=a, ,AD=b,则AC= ,DB=____________. 4.向量数乘运算及其几何意义 (1)定义:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作______,它的长度与方向 规定如下: ①|λ a|=______; ②当 λ >0 时,λ a 与 a 的方向______;当 λ <0 时,λ a 与 a 的方向______;当 λ =0 时, λ a=______. (2)运算律:设 λ ,μ 是两个实数,则 ①λ (μ a)=________.(结合律) ②(λ +μ )a=________.(第一分配律) ③λ (a+b)=__________.(第二分配律) (3)两个向量共线定理:向量 b 与 a (a≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ ,使 b= λ a. 5.重要结论 → 1 → → → PG= (PA+PB+PC)?G 为△ABC 的________; 3 → → → PA+PB+PC=0?P 为△ABC 的________.

预习效果检测:
→ 1. (2010· 四川) 设点 M 是线段 BC 的中点, 点 A 在直线 BC 外, BC=16,AB ? AC = AB ? AC , → 则|AM|等于 ( ) A.8 B.4 C.2 D.1 2.下列四个命题: ①对于实数 m 和向量 a,b,恒有 m(a-b)=ma-mb; ②对于实数 m 和向量 a,b (m∈R),若 ma=mb,则 a=b; ③若 ma=na (m,n∈R,a≠0),则 m=n; ④若 a=b,b=c,则 a=c, 其中正确命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 → → → → → 3.在 ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则MN等于 ( ) 1 1 1 1 1 3 3 A.- a+ b B.- a+ b C.a+ b D.- a+ b 4 4 2 2 2 4 4 → → → → → 4.(2010·湖北)已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0.若存在实数 m 使得AB+AC=m,成 立,则 m 等于 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 → → 5.(2009·安徽)在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若AC=λ AE+ → μ AF,其中 λ 、μ ∈R,则 λ +μ =______.

预习小结:

题型一 平面向量的有关概念辨析 例 1、 ①有向线段就是向量,向量就是有向线段; ②向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③向量→ AB与向量→ CD共线,则 A、B、C、D 四点共线; ④如果 a∥b,b∥c,那么 a∥c. 以上命题中正确的个数为 ( A.1 B.2 C.3 ) D.0

变式迁移 1 下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号). ①|a|=|b|?a=b; ②若 a=b,b=c,则 a=c; ③|a|=0?a=0; ④若 A、B、C、D 是不共线的四点,则→ AB=→ DC?四边形 ABCD 是平行四边形.

6.1 平面向量及其线性运算
题型二 向量的线性运算 例 2(2011·开封模拟)已知任意平面四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、BC 的中 1 点.求证:→ EF= (→ AB+→ DC). 2

变式迁移 2(2011·深圳模拟)如图所示,若四边形 ABCD 是一个等腰梯形,AB ∥DC,M、N 分别是 DC、AB 的中点,已知→ AB=a,→ AD=b,→ DC=c,试用 a、b、c 表示→ BC,→ MN,→ DN+→ CN.

题型三

共线向量问题

→ → 例 3 如图所示,平行四边形 ABCD 中,AD=b,AB=a,M 为 AB 中点,N 为 BD 靠 近 B 的三等分点,求证:M、N、C 三点共线.

变式迁移 3 设两个非零向量 e1 和 e2 不共线. (1)如果→ AB=e -e ,→ BC=3e +2e ,→ CD=-8e -2e ,求证:A、C、D 三点共线;
1 2 1 2 1 2

(2)如果→ AB=e1+e2,→ BC=2e1-3e2,→ CD=2e1-ke2,且 A、C、D 三点共线,求 k 的值.

当堂检测
1.若 O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ( ) → → → → → → → → → → → → A.EF=OF+OE B.EF=OF-OE C.EF=-OF+OE D. EF=-OF-OE 2.(2011·杭州模拟)设 a,b 是任意的两个向量,λ ∈R,给出下面四个结论: ①若 a 与 b 共线,则 b=λ a; ②若 b=-λ a,则 a 与 b 共线; ③若 a=λ b,则 a 与 b 共线; ④当 b≠0 时,a 与 b 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ =λ 1,使得 a=λ 1b. 其中正确的结论有 ( ) A.①② B.①③ C.①③④ D.②③④ → → → → → 3.在△ABC 中,AB=c,AC=b,若点 D 满足BD=2DC,则AD等于 ( ) 2 1 5 2 2 1 1 2 A. b+ c B. c- b C. b- c D. b+ c 3 3 3 3 3 3 3 3 → → → 1→ → 4. 在 △ ABC 中 , 已 知 D 是 AB 边 上 一 点 , AD = 2 DB , CD = CA + λ CB , 则 λ 等 于 3 ( ) 2 1 1 2 A. B. C.- D.- 3 3 3 3 → → → 5.(2009·湖南)如下图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若AD=xAB+yAC,则 x =______,y=__________.

→ → → → 6. O 是平面上一点,A,B,C 是平面上不共线三点,动点 P 满足OP=OA+λ (AB+AC),λ = 1 → → → 时,则PA·(PB+PC)的值为________. 2 7.在△ABC 中,

AD

1 AE 1 → → → BE 与 CD 交于点 P,且AB=a,AC=b,用 a,b 表示AP. ? , ? , AB 3 AC 4

8. (2011·黄山模拟)已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点. → → → (1)求GA+GB+GO; 1 1 → → → → (2)若 PQ 过△ABO 的重心 G,且,OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,求证: + =3.

m n


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