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辽宁省葫芦岛市第一高级中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文


q p a q p ::0x? ?x 2??a3

2015~2016 学年度上学期省期中考试 高二数学(文)试题
考试时间:120 分钟 满分:150 分 说明:本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为主观题,按要求答在 试卷相应位置上. 第Ⅰ卷(选择题 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题每小题 5 分,计 60 分) 1.已知命题 p : “ ?x ? R, e x ? x ? 1 ? 0 ”,则 ?p 为 ( A. ?x ? R, e x ? x ? 1 ? 0 C. ?x ? R, e x ? x ? 1 ? 0 2.抛物线 y ? ?4 x 2 的焦点坐标是 ( A. (?1, 0) B. (?2, 0) )

B. ?x ? R, e x ? x ? 1 ? 0 D. ?x ? R, e x ? x ?1 ? 0 ) C.. (0, ? )

1 8

D. (0. ?

1 ) 16

3.若 a ? R ,则“ a 2 ? a ”是“ a ? 1 ”的( A.充分不必要
2 2

)条件 C.充要 ) D. D.既不充分也不必要

B.必要不充分

4.椭圆 A. ?

x y 4 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为 ( 5 9 4?k
B. 21 C. ?

19 25

19 或 21 25
C. [5, ??)

19 或 ? 21 25
) D. (5, ??)

5.设条件,条件,其中为正常数.若是的必要不充分条件,则的取值范围 ( A. (0,5] 6. 已知双曲线 x2 ? 的最小值为 ( A. ?4 B.. (0,5)

???? ???? ? y2 P ? 1 的左顶点为 A 1 ? PF2 1 ,右焦点为 F2 , 为双曲线右支上一点,则 PA 8
) B. ?
81 16

C.1

D.0

7. 已知对 k ? R ,直线 y ? kx ? 1 ? 0 与椭圆 ( ) A. (1, 2] B. [1, 2) )

x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点,则实数 m 的取值范围是 2 m

C. ?1,2? ? ? 2, ???

D. (2, ??)

8. 下列命题错误的是 (

-1-

2 2 A.命题“若 x ? 1 ,则 ?1 ? x ? 1 ”的逆否命题是“若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x ? 1 ”

B.若 p :

1 1 ? 0 ,则 ?p : ?0 x ?1 x ?1
2

2 C.命题 p;存在 x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ? p;任意 x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0

D.“ am ? bm ”是“ a ? b ”的充分不必要条件
2 2

9.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 且倾斜角为 60 的直线 l 与抛物线在第一、四象限分
?

别交于 A, B 两点,则 A.5

AF BF

的值为 ( C.3

) D.2

B.4

10. 椭圆 ax 2 ? by 2 ? 1与直线 y ? 1 ? x 交于 A, B 两点,过原点与线段 AB 的中点的直线斜率

a 3 ,则 的植为 ( ) b 2 2 3 9 3 A. B. 27 2


C.

2 3 3

D.

3 2

11.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知 F1 , F2 是一对相关曲线的焦点, P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当 ?F 1 PF2 ? 60? 时,这 一对相关曲线中椭圆的离心率为 ( A. ) C.

3 3

B.

3 2

2 2

D.

1 2

12.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,过 F2 的直线交双曲线 a 2 b2 的右支于 P, Q 两点,若 PF 1 ? F 1F 2 ,且 3 PF 2 ? 2 QF 2 ,则该双曲线的离心率为
( )

A.

4 3

B.

7 5

C. 2

D.

10 3

第Ⅱ卷(非选择题 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸对应横线上. 13. 若“ m ? a ”是“方程 x ? x ? m ? 0 有实数根”的充分条件,则实数 a 的取值范围是
2

14. 已知两定点 B(?3, 0) , C (3, 0) , ?ABC 的周长等于 16,则顶点

-2-

A 的轨迹方程为

.

15. 如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 2 米后,水面宽________米. 16.已知 A, D 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点和上顶点,点 P 是线段 AD 上的任 a 2 b2

意一点,点 F1 , F2 分别是椭圆的左,右焦点,且 PF1 ? PF2 的最大值是 1 ,最小值是 ? 椭圆的标准方程 .

???? ???? ?

11 ,则 5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应在答题纸对应区域内写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 设命题 p : ?x ? [0,

?
2

2 ], cos 2 x ? 2 cos x ? a ? 0 ; 命题 q : ?x ? R , 使得 x ? 2ax ? 8 ? 6a ? 0 ,

如果命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)
2 2 设 p : 实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ; q : 实数 x 满足 ?

2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 2 ? ?x ? 2x ? 8 ? 0

(1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 19.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 4 x2 ? y 2 ? 1 及直线 l : y ? x ? m . (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦长及此时直线 l 的方程. 20.(本小题满分 12 分) 设 A, B 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右顶点,双曲线的实轴长为 4 3 ,焦点 a 2 b2

到渐近线的距离为 3 . (1)求双曲线的方程; (2) 已知直线 y ?

3 x ? 2 与双曲线的右支交于 M , N 两点, 且在双曲线的右支上存在点 D , 3

-3-

使 OM ? ON ? tOD ,求 t 的值及点 D 的坐标. 21. (本小题满分 12 分)

???? ? ????

????

x2 y 2 3 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率是 . a b 2
(1)若点 P(2,1) 在椭圆上,求椭圆的方程; (2)若存在过点 A(1, 0) 的直线 l ,使点 C (2, 0) 关于直线 l 的对称点在椭圆上,求椭圆的焦距 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分) 已知过点 (2, 0) 的直线 l1 交抛物线 C : y 2 ? 2 px 于 A, B 两点,直线 l2 : x ? ?2 交 x 轴于点 Q . (1)设直线 QA, QB 的斜率分别为 k1 , k2 ,求 k1 ? k2 的值; ( 2 )点 P 为抛物线 C 上异于 A, B 的任意一点,直线 PA, PB交直线 l2 于 M , N 两点,

???? ? ???? OM ? ON ? 2 ,求抛物线 C 的方程.

-4-

2015-2016 学年度上学期期中考试数学文答案 一、选择题 1~5 CDBCA 二、填空题 13、 a ? 6~10 ACBCD 11、12 AB

1 ; 4

14、

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) ; 25 16

15、 4 2 ;

16、

x2 ? y 2 ? 1. 4

三、解答题

? x ? [0, 17 解: 设 t ? cos x ,

?
2

2 ],? t ? [0,1] , t 成立, ? t ?[0,1] 则有 ?t ? [0,1] , 使 a ?t ? 2

时, t 2 ? 2t ?[0,3] ,? p 为真时 a ? [0,3] ????????????3 分

? q 为真时 ??x ? R, x2 ? 2ax ? 8 ? 6a ? 0 成立, ? ? ? 0 ,即 a2 ? 6 a ? 8 ? 0,?a ?[2, 4]

a ? [2, 4] ?????????6 分
? p ? q 为真, p ? q 为假,? p, q 一个真一个假
当 p 真 q 假时, a ? [0, 2) ,当 p 假 q 真时, a ? (3, 4]

? 实数 a 的取值范围是 [0, 2) ? (3, 4] ?????????????????????10 分
2 18 解: (1)解 x ? 4 x ? 3 ? 0 得 1 ? x ? 3 ,? p 为真时 1 ? x ? 3

2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 解? 2 得 2 ? x ? 3 ,? q 为真时 2 ? x ? 3 ? ?x ? 2x ? 8 ? 0

? p ? q 为真,? 实数 x 的取值范围是 (2,3) ???????????????6 分
( 2 )由( 1 )知 q 为真时 A ? ?x | 2 ? x ? 3? ,? p 是 q 的必要不充分条件, ? p 为真时有

B ? ?x | a ? x ? 3a, a ? 0?

?a ? 2 ? 且 A ? B , ? ?3a ? 3 , ? 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ?a ? 0 ?

(1, 2] ???????12 分

?4 x 2 ? y 2 ? 1 2 2 2 19 解: (1)由 ? 得: 5x ? 2mx ? m ? 1 ? 0 , ? ? 4(5 ? 4m ) ?y ? x ? m
若直线与椭圆有公共点,则 ? ? 0,??

5 5 ?m? 2 2

? 实数 m 的取值范围为 [?

5 5 , ] ???????????????????6 分 2 2
-5-

(2)设直线被椭圆截得的弦长为 t ,则 t ?

2 2 2 4(5 ? 4m2) = 5 ? 4m 2 5 5 2 10 5
, 此 时 直 线 方 程 为

? 当 m?0 时 , t 取 最 大 值 为

y ? x ???????????????12 分 b 20 解: (1)双曲线的渐近方程为 y ? ? x ,焦点为 F (?c, 0) , a

? 焦点到渐近线的距离为
又 2a ? 4 3,?a ? 2 3 ,

bc a 2 ? b2

?b? 3

双曲线的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ????????????????4 分 12 3

(2)设点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), D( x0 , y0 )

? 3 y? x?2 ? 3 ? 3 2 由? 得:x ? 16 3x ? 84 ? 0 , ? x1 ? x2 ? 16 3, y1 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 12 2 2 3 x y ? ? ?1 ? ?12 3
? 16 3 x0 ? ? ???? ? ???? ???? ? t ,又点 D( x , y ) 在双 ? OM ? ON ? tOD ,?t ( x0, y0 ) ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,有 ? 0 0 ? y ? 12 0 ? t ?
16 3 2 12 2 ( ) ( ) ? t ? t ? 1 ,解得 t 2 ? 16 ,? 点 D 在双曲线的右支上, ? t ? 0 ,? t ? 4 曲线上, 12 3
此时点 D(4 3,3) ???????????12 分 21 解:(1)e= 3 = 2 1- 2? a=2b,c= 3b?

b2 a

x 2 y2 2+ 2=1, 4b b

∵点 P(2,1)在椭圆上, ∴ 2 1 x y 2 + =1.????????????4 分 2+ 2=1? b =2? 4b b 8 2
2 2 2 2

(2)依题意, 直线 l 的斜率存在且不为 0, 如图, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 设点 C(2,0) 关于直线 l 的对称点为 C′(x0,y0),

-6-

y ?x +2-1?, =k? ? ?2 ? 2 ? ? 则? y ? ?x -2·k=-1
0 0 0 0

2 x= ? ? k +1, ?? 2k y= ? ? k +1.
0 2 0 2

若点 C′(x0,y0)在椭圆 2+ 2=1 上,则 4b b

x2

y2

? 2 2 ?2 ?k +1? ? ?
4b
2



? 22k ?2 ?k +1? ? ?
b2

4k 2 ? 1 = 1? b k + (2b - 4)k + (b - 1) = 0. ? b ? 2 , 设 (k ? 1)2
2 4 2 2 2

2

t?

1 4 2 3 2 ,? k ? 0 ,? t ? ( 0 , 1b )2 ? ?3t 2 ? 4t ? t ? (0,1), ? b 2 ?(0, ] ,? b ? (0, ,则 ] k ?1 3 3
2

又由已知得椭圆的焦距为 2c=2 3b? 0<2c≤4. 故 椭 圆 的 焦 距 的 取 值 范 围 是

(0,4].????????????????????????12 分

22 解: (1)设直线 l1 的方程为: x ? my ? 2 ,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 联立方程组 ? 所

? x ? my ? 2 ? y ? 2 px
2

,得 y 2 ? 2 pmy ? 4 p ? 0 ,所以 y1 ? y2 ? 2 pm, y1 ? y2 ? ?4 p 以

k1 ? k2 ?

y1 y y y 2my y ? 4( y ? y ) ?8mp ? 8mp ? ? ? ? ? ?0 x1 ? 2 x2 ? 2 my1 ? 4 my2 ? 4 (my1 ? 4)(my2 ? 4) (my1 ? 4)(my2 ? 4)

2

??????????????????????????4 分 (2)设点 P( x0 , y0 ) ,直线 PA : y ? y1 ?

y1 ? y0 ?4 p ? y1 y0 , ( x ? x1 ), 当 x ? ?2 时, yM ? x1 ? x0 y1 ? y0

同理 yN ?

?4 p ? y2 y0 ,??????????????????????8 分 y2 ? y0

? 因 为 O M

???? ? ???? ?4 p ? y1 y 0 ?4 p ? y y 2 0 O? N 2 , 所 经 4 ? yM yN ? 2 , 即 ? ? ?2 , y1 ? y 0 y ?2y 0

2 1 16 p 2 ? 8 p 2 my0 ? 4 py0 ? ?2 ,所以 p ? , 2 2 ?4 p ? 2 pmy0 ? y0

所以抛物线 C 的方程为 y ? x ??????????????????????12 分
2

-7-


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