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谢鹏作. “被轻视”的向量法


???????????????????????????????? 解题方法与技巧

Z H O N G X U E J I A O X U E C A N K A O       

“被 轻 视 ”的 向 量 法
) 甘肃玉门一中 ( 7 3 5 2 1 1   谢鹏作

它    向量是近代数学中重要 和 基 本 的 数 学 概 念 之 一 , 是沟 通 代 数、 几 何 与 三 角 函 数 的 一 种 工 具, 有着极其丰 富的实际背景 , 但在解题中人 们 常 常 忽 视 对 其 形 式 的 变 通, 从 而 轻 视 了 它 的 可 贵 价 值. 本文将紧紧抓住向量这 一解 题 工 具, 浅 谈 它 在 中 学 数 学 中 所 扮 演 的 角 色, 以便 引起人们对向量法的重视 . 一、 利用向量求函数值域 求函数值域是中学数学 中 的 常 见 问 题 , 而向量的引 入, 使部分问题变得简单直观 .

由| m·n m n 5( x-4) +1 2( |≤| | | |知| |≤ y-3)
2 2 2 2 ( ) ) , 即| x-4 +( ×槡 5 +1 2 5 x+1 2 6 |≤ y-3 y-5 槡

4×1 3=5 2. 即 4≤5 ∴-5 2≤5 x+1 2 6≤5 2, x+1 2 0 8. y-5 y≤1 最大值为 1 ∴5 x+1 2 0 8. y 的最小值为 4, 三、 利用向量证明不等式 利用向量不 等 式 证 明 代 数 不 等 式 是 不 等 式 证 明 的 常用方法 , 关键是抓住不等式所蕴含的向量背景 .
2 2 【 】 、 例3 求 证 :槡 b、 c d 为 非 零 实 数, a + b +   设 a、 2 2 2 2 ( ) , 并探求等号成立的条 c +d a- c -( b-d) ≥ 槡 槡

x +4 槡 【 】 例1 的值域 .   求函数 y= x+8 3 m | , ,则 y = | 解: 设 m= ( x, 2) n= ( 3, 4) = m n m 1 | | = . ?m, ?m, m n c o s n? | n c o s n? | | | | |



件. , , , , 解: 设 m= ( 则 m -n= ( a, b) n= ( c d) a-c b-

d) .
2 2 2 2 由| m|+| n m -n a + b + 槡 c +d |≥| |得 槡 ≥

?→ =m= ( ?→ =n= ( ) , ) 如图 1, 记OM x, 2 ON 3, 4 .
由点 M 是 直 线 y =2( x≠ - 8) 上 的 动 点, 当点 M 在直 3
y

4

N M x

( )- ( a- c b-d) , 槡





a b ) , 当且仅当 m= 即 = <0 时取等号 . n( λ λ<0 c d
四、 利用向量解线性规划问题 在可行区域内求函数最 值 的 线 性 规 划 问 题 , 可利用 使规划问题变得更加直观 . 向量数量积的几何意义 , 6 x-y+1≥0 烄 【 】 , 例 4  x y 满 足 约 束 条 件 x+3 求 z= y-6≤0 , 烅 ,

?m, 线上 运 动 时 , n? 的 取 值 集 π π 合 是 [ 0, ) ∪ ( , π- 2 2 a r c c o s 3] , 5 3 ,) ( ,] 0 ∪ 01 . 5


3

图1

?m, 即c o s n? 的取值集合是 [ -

1 1 ∴y 的取值集合是 ( -∞ , - ] +∞ ) . ∪[ , 3 5 ∴ 函数值域为 ( -∞ , - 1] [ 1, +∞ ) . ∪ 3 5

x-2 y-1≤0, 烆
3 x+2 y 的最值 .

?→ , 解: 设可行 区 域 内 任 意 一 点 P ( 记O x, P= ( x, y) ?→ , ) , O Q= ( 3, 2 y) ?→ ?→ ?→ ?→ ?→ ∴ z=3 x+2 P ·O Q =| O P| O Q| c o s?O P, | y= O ?→ O Q? , ?→ ?→ 即求O P在 O Q 方向上投影的最值 . ?→ ?→ ?→ ?O 如 图 2, 在点 C 处| 在点 B 处 O P c o s P, O Q? 最大 , |
最小 .

二、 利用向量求最值问题 构造向量 , 使其模长和数 量 积 都 有 对 应 的 代 数 表 达 式, 然后根据向量不等式来解决最值问题 . 【 】 例2 求5 x +y -8 x-6 1≤0, x+  已 知: y+2
2 2

1 2 y 的最值 .
2 2 解: ∵x +y -8 x-6 1≤0, y+2 2 2 ) ) 即( x-4 +( ≤4. y-3

) , ) , 设 m= ( x-4, n= ( 5, 1 2 y-3

x-2 x=3, y-1=0, 烄 由烄 得 烅 烅 x+3 y-6=0 烆 y=1. 烆

: E-m a i l z x x c k l k 6 3. c o m @1 j

9 1  

  中学教学参考

解题方法与技巧 ?????????????????????????????????????

“三 角 形 中 位 线 ”的 妙 用
) 河北蔚县城第四中学 ( 0 7 5 7 0 0   康润萍
乐 于 探 究, 勤于动手是新课标大力倡导    主 动 参 与, 教 师 作 为 一 名 新 课 程 的 实 践 者, 在教学中 的学 习 方 式, 更要落实这一新理念 . 在讲授了 “ 三角形中位 线 ” 的课后探究后, 我感受颇 在 课 堂 上 学 生 的 思 维 一 次 又 一 次 被 激 活, 真正是把 深. 教师只起到了引导的作用 . 课堂交给了学生 , [ ] 探究 1 判定四边形 A B C D 四边中点围成的四边 形的形状 .
A E G B F C M D

] 探究 3 若A B=C D, M、 N 分别为AD 、 B C 的中点 ,    [ , , 与 交 于 点 与 交 于 点 判 断 ∠1 与 B A NM P NM C D Q ∠2 的关系 .
P
1 Q

A M B

2



N

C

[ ] 探究 4 在 △A B C 中, D、 E 分别是 A B、 A C 上的点 , 且B 直 线 MN 与 D=C E. M、 N 分 别 是B E、 C D 的 中 点, 请判断 △A A B、 A C 分别交于点 P 、 Q, P Q 的形状 .


[ ] 探究 2 一组对边相等的四边形 A B C D 中, A B= C D, M、 N、 P 分别为 AD 、 B C、 B D 的中点 .
A P






D P M N

E Q C



① 判定 △PMN 的形状 ; , , 则 ∠PMN =     B D=2 0 ° D C=7 0 ° ② 若 ∠A ∠B  度.

N

C

这四个探究 在 编 排 顺 序 上 循 序 渐 进 , 步 步 深 入, 但 — —运 用 三 角 形 的 中 位 线 的 性 它们有一 个 共 同 的 特 性 — 质定理解题 . ( 责任编辑   金   铃 )

櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁櫁 ) y 过点 F 的直 线 交 轨 迹 C 于 A 、 交 直 线l 6 x-y+1=0, 2 B 两 点,    ( 由 得 ? → ? → ? → ? → , , 于点 M , 已知MA= 求 x-2 A F MB = B F + y-1=0 λ λ λ λ 1 2 1 2 的值 . 6x-y+1=0 ? ? ? ? → → → → 3 ( ) 解: 由Q 1 P·Q F=F P·F Q, 烄 Q ( 3,2) x=- , A x-2y-1=0 1 1 ? → ? → ? → 即F Q·( P Q+P F) =0, C 烅 x 7 ? → ? → ? → ?→ ( ) ( 即 P Q - P F P Q + P F) =0, y=- . 1 1 烆 x+3y-6=0 B 2 2   ? → ? → ? → ?→ 即| ∴P Q -P F =0, P Q P F |=| |. ∴z m a x =3×3+2×1= 图2 由抛物线定义可知 : 点 P 的 轨 迹C 是 抛 物 线, 方程 9 1 4 2 3 2 z =- . 1 1, - =- m i n 为 y =4 x. 1 1 1 1 1 1 ?→ = ?→ ?→ = ?→ ( ) 易知λ 2 ∵MA F, MB F, 0, λ λ λ 五、 利用向量求解析几何问题 1A 2B 1 2< ? ? → → 解析几何就是用坐标的 方 法 研 究 图 形 , 而向量也引 λ MA A F 1| | | | ∴ ?→ =- .     ① ?→ λ 2| MB B F | | |



入了坐标 , 因此可以用向量的 坐 标 运 算 解 决 解 析 几 何 中

的证 明 与 计 算, 利 用 向 量 中 公 式 的 特 点, 可避免复杂的 运算 . 【 】 例5 已 知 F( 1,   如图 3, ) , : 直 线l 0 x= -1, P 是平面上 的动 点 , 过 P 作 直 线l 的 垂 线 ,
l y

过点 A、 垂 足 分 别 记 为 S、 B 分 别 作 准 线l 的 垂 线 ,

T.

?→ ?→ ?→ MA A S A F | | | | | 则| = ?→ = ?→ .     ② ? → MB B T B F | | | | | |


?→ ?→ ?→ 垂 足 为 Q, 且Q P ·Q F =F P· ?→ F Q.
( ) 求动点 P 的 轨 迹C 的 1 方程 ;
-1

?→ ?→ λ A F A F | | | 由 ①② 可得 - 1| = ?→ , ? → λ 2| B F B F | | |
x



1

λ 1 即λ ∴- =1, . λ 1+ 2 =0 λ 2
( 责任编辑   金   铃 )

图3

9 2  

中学教学参考 ( 上旬 )2 0 1 1. 1 总第 7 3期


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