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必修一同步2.1.2第1课时指数函数及其性质


第二章
一、选择题 1.下列函数,

2.1

2.1.2

第一课时指数函数及其性质
基础巩固

①y=x ;②y=(-2) ;③y=2 其中,指数函数的个数是( A.1 C.3 [答案] A

2

x

x+1

;④y=(a-1) (a>1,且 a≠2).

x

) B.2 D.4

2.函数 y= 1-3 的定义域是( A.[0,+∞) C.[1,+∞) [答案] B

x

) B.(-∞,0] D.(-∞,+∞)

[解析] 1-3 ≥0,3 ≤1,∴x≤0,故选 B. 3.函数 f(x)=3 A.(0,+∞) 1 C.( ,9] 9 [答案] C 1 x [解析] 因为 1<x≤5,所以-2<x-3≤2.而函数 f(x)=3 是单调递增的,于是有 < 9
x-3

x

x

(1<x≤5)的值域是(

) B.(0,9) 1 D.( ,27) 3

f(x)≤32=9,即所求函数的值域为( ,9],故选 C.
4.若点(a,9)在函数 y=3 的图象上,则 tan A.0 C.1 [答案] D [解析] ∵3 =9,∴a=2,∴tan
a x

1 9

a·180°
6

的值为(

)

B.

3 3

D. 3

a·180°
6

=tan60°= 3,故选 D. )

xax 5.函数 y= (0<a<1)的图象的大致形状是( |x|

[答案] D [解析] 当 x>0 时,y=a (0<a<1),故可排除 A、B 项;当 x<0 时,y=-a 与 y=
x x

ax(0<a<1,x<0)的图象关于 x 轴对称,故选 D.
6.(2015·山东梁山一中高一期中质量检测)函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值的 和为 3,则 a 等于( A. 1 2 ) B.2 D. 1 4
x

C.4 [答案] B

[解析] 当 a>1 时,ymin=a =1;ymax=a =a, 由 1+a=3,所以 a=2. 当 0<a<1 时,ymax=a =1,ymin=a =a. 由 1+a=3,所以 a=2 矛盾,综上所述,有 a=2. 二、填空题 7.函数 y= a -1(a>0,且 a≠1)的定义域是(-∞,0],则实数 a 的取值范围为 ________. [答案] (0,1) [解析] 由 a -1≥0,得 a ≥1. ∵函数的定义域是(-∞,0],∴a ≥1 的解集为(-∞,0],∴0<a<1.
?2 ,x>0, ? 8.已知函数 f(x)=? ? ?x+1,x≤0.
x x x x x
0 1

0

1

若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于________.

[答案] -3 [解析] 由已知,得 f(1)=2;又当 x>0 时,f(x)=2 >1,而 f(a)+f(1)=0,
x

∴f(a)=-2,且 a<0, ∴a+1=-2,解得 a=-3. 三、解答题 9.求下列函数的值域: 1 (1)y=2- ;(2)y=5
1-x

x

.

1 1 [解析] (1)∵- ≠0,∴y=2- ≠1.

x

x

∴y>0 且 y≠1,∴所求函数的值域是(0,1)∪(1,+∞). (2)∵ 1-x≥0,∴y=5
1-x

≥5 =1.

0

∴所求函数的值域是[1,+∞). 10.函数 f(x)=k·a (k,a 为常数,a>0 且 a≠1)的图象过点 A(0,1),B(3,8). (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=
-x

f?x?-1 ,试判断函数 g(x)的奇偶性,并给出证明. f?x?+1
? ?k=1, ?k·a =8, ?
-3

[解析] (1)由已知得? 1 ∴k=1,a= , 2 ∴f(x)=2 .
x

(2)函数 g(x)为奇函数. 2 -1 证明:g(x)= x ,其定义域为 R, 2 +1 2 -1 1-2 2 -1 又 g(x)= -x = =-g(x), x=- x 2 +1 1+2 2 +1 ∴函数 g(x)为奇函数. 能力提升 一、选择题 1.若函数 y=(1-2a) 是实数集 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围为( 1 A.( ,+∞) 2 1 C.(-∞, ) 2 [答案] B 1 1 x 2.指数函数 y=a (a∈{ , ,2,3})的图象如下图,则分别对应于图象①②③④的 a 3 2 B.(-∞,0) 1 1 D.(- , ) 2 2
x
-x

x

x

x

)

的值为(

)

1 1 A. , ,2,3 3 2 1 1 C.3,2, , 2 3 [答案] B

1 1 B. , ,3,2 2 3 1 1 D.2,3, , 3 2

2 3.(2015·河北衡水中学期中)若函数 f(x)=a- x 是奇函数,则 a 的值为( 2 +1 A.0 C.1 [答案] C 2 [解析] ∵f(0)=a- 0 =a-1=0,∴a=1,故选 C. 2 +1 B.-1 D.2

)

4. (2015·湖北教学合作体期末)已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的图象如图 下图所示,则函数 g(x)=a +b 的图象是(
x

)

[答案] A [解析] 由题图可知 0<a<1,b<-1,则 g(x)是一个减函数,可排除 C,D,再根据

g(0)=1+b<0,可排除 B,故选 A.
二、填空题 5.指数函数 y=f(x)的图象经过点(2,4),那么 f(2)·f(4)=________ [答案] 64 [解析] 由已知函数图象过(2,4),令 y=a ,得 a =4,∴a=2,∴f(2)·f(4)=2 ×2
x
2 2 4

=64.
??2a-1?x+7a-2?x<1?, ? 6.(2015·云南玉溪一中期中)已知函数 f(x)=? x ?a ?x≥1? ?



(-∞,+∞)上单调递减,则实数 a 的取值范围是________. 3 1 [答案] [ , ) 8 2 2a-1<0, ? ? [解析] 由题意知?0<a<1, ? ?9a-3≥a, 三、解答题 7.(2015·长春高一检测)已知函数 f(x)=a 且 a≠1. (1)求 a 的值; (2)求函数 y=f(x)(x≥0)的值域. [解析] (1)∵函数 f(x)=a
x-1 x -1

3 1 解得 ≤a< . 8 2

1 (x≥0)的图象经过点(2, ),其中 a>0 2

1 1 1 2-1 (x≥0)的图象经过点(2, ),∴ =a ,∴a= . 2 2 2

1 x-1 1 x (2)由(1)知 f(x)=( ) =2·( ) , 2 2 1 x 1 0 ∵x≥0,∴0<( ) ≤( ) =1, 2 2 1 x ∴0<2·( ) ≤2, 2 ∴函数 y=f(x)(x≥0)的值域为(0,2]. 8. (能力挑战题)已知函数 y=a (a>0 且 a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 20, 记 f(x)=
x

ax
x

a +2

.

(1)求 a 的值; (2)证明 f(x)+f(1-x)=1; 1 2 3 2014 (3)求 f( )+f( )+f( )+…+f( )的值. 2015 2015 2015 2015 [解析] (1)函数 y=a (a>0 且 a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 20, ∴a+a =20,得 a=4 或 a=-5(舍去). 4 (2)由(1)知 f(x)= x , 4 +2
x
2

x

4 4 4 4 4 4 2 ∴ f(x)+ f(1- x) = x + 1-x = x + = x + = x + x = x 4 +2 4 +2 4 +2 4 4 +2 2·4 +4 4 +2 4 +2 x+2 4 1. 1 2014 (3)由(2)知 f( )+f( )=1, 2015 2015

x

1-x

x

4 x 4

x

x

f( f(

2 2014 )+f( )=1,…, 2015 2015 1007 1008 )+f( )=1, 2015 2015 1 2 3 2014 1 2014 2 ) + f( ) + f( ) +…+ f( ) = [f( ) + f( )] + [f( )+ 2015 2015 2015 2015 2015 2015 2015

∴ f(

f(

2013 1007 1008 )]+…+[f( )+f( )]=1+1+…+1=1007. 2015 2015 2015


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