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《2.2.1椭圆及其标准方程》ppt课件

2.2 椭 圆 2.2.1 椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义是什么?如何求椭圆的标准 问题 方程? 引航 2.椭圆的标准方程是什么?它具有什么特 征? 1.椭圆的定义 常数 大于 (1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于_____( |F1F2|)的点的轨迹. (2)焦点:两个定点F1,F2. (3)焦距:两焦点间的距离|F1F2|. 2a 常数)且2a__|F > 1F2|. (4)几何表示:|MF1|+|MF2|=___( 2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 y2 x 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b ________________ 标准方程 x 2 y2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b ________________ 图 形 焦点坐标 (-c,0),(c,0) _____________ (0,-c),(0,c) _____________ a,b,c的 关系 a2=b2+c2 ________ 1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)椭圆的两种标准方程中,虽然焦点位置不同,但都有 a2=b2+c2.( ) (2)平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的集合是 椭圆.( ) ) (3)椭圆的特殊形式是圆.( 【解析】(1)正确.无论在哪种标准方程中,一定都有a2=b2+c2. (2)错误.只有常数大于|F1F2|时,点的集合才是椭圆. (3)错误.椭圆与圆的概念不同,没有特殊情况. 答案:(1)√ (2)〓 (3)〓 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)a=5,c=3,焦点在x轴上的椭圆标准方程为 (2)方程4x2+9y2=1的焦点坐标为 2 2 y x (3)椭圆的方程为 ? ? 1,则a= 9 4 . . ,b= , c= . 【解析】(1)由a2=b2+c2,得b2=52-32=42=16, 2 2 x y 所以椭圆的方程为 ? ? 1. 25 16 2 2 答案:x ? y ? 1 25 16 2 2 1 1 5 x y 2 2 (2)由4x +9y =1,得 所以 c? ? ? . ? ? 1, 1 1 4 9 6 4 9 所以焦点坐标为 (? 5 ,0). 6 答案:(? 5 ,0) 6 2 2 y x 2 2 2 (3)由 ? ? 1, 所以a =9,b =4,c =5. 9 4 所以a=3,b=2,c= 5 答案:3 2 5 【要点探究】 知识点 1 椭圆的定义 1.对椭圆定义的三点说明 (1)椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视. (2)定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. (3)常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这 是判断一曲线是否为椭圆的限制条件. 2.椭圆定义的两个应用 (1)若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则动点M的轨迹是椭圆. (2)若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a. 【知识拓展】椭圆的焦点三角形 2 2 x y 设M为椭圆 2 ? 2 ? 1 上任意一点 a b (不在x轴上).F1,F2为焦点,则 △MF1F2为椭圆的焦点三角形. 【微思考】 在椭圆的定义中,动点M到两定点F1,F2的距离之和等于常数(2a) 且2a>|F1F2|,若2a=|F1F2|,则M的轨迹是什么?若2a<|F1F2|,则M 的轨迹是什么? 提示:当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2; 当2a<|F1F2|时,点M的轨迹不存在. 【即时练】 2 2 x y 1.椭圆 ? ? 1 的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上, 9 4 若|PF1|=4,则|PF2|=________. 2 2 x y 2.已知椭圆 ? ? 1 的两焦点为F1,F2,弦AB过点F1,则 25 16 △ABF2的周长为_________. 【解析】1.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=6, 所以|PF2|=6-|PF1|=6-4=2. 答案:2 2.由椭圆的定义知2a=10, △ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2| =|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20. 答案:20 知识点 2 椭圆的标准方程 对椭圆标准方程的三点认识 (1)标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或 y轴上. (2)标准方程的代数特征:方程右边为1,左边是关于 平方和,并且分母为不相等的正值. x y 与 的 a b (3)a,b,c三个量的关系:椭圆的标准方程中, a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一 半,可借助图形帮助记忆.a,b,c(都是正数) 恰是构成一个直角三角形的三条边,a是斜边,所以a>b,a>c,且 a2=b2+c2.(如图所示) 【微思考】 (1)在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗? 提示:不一定,只要a>b,a>c即可,b,c大小关系不定. (2)根据椭圆方程,如何确定焦点位置? 提示:把方程化为标准形式,x2,y2的分母哪个大,焦点就在相应 的轴上. 【即时练】 椭圆25x2+16y2=400的焦点坐标为 【解析】把方程化为标准式: x 2 y2 ? ? 1, 可知焦点在y轴上, 16 25 ,焦距为_______. 则a2=25,b2=16,所以c2=25-16=9, 则c=3,所以焦点为(0,〒3),焦距为2c=6. 答案:(0,〒3) 6 【题型示范】 类型一 求椭圆的标准方程 【典例1】 2 2 x y (1)(2014·邵阳高二检测)过点(-3,2)且与 ? ? 1 有相同 9 4 焦点的椭圆的方程是( x 2 y2 A. ? ?1 15 10 x 2 y2 C. ? ?1 10 15 ) x2 y2 B. ? ?

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