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2014高考数学(理)(北师大版)复习方案:第二单元+函数、导数...


第二单元

函数、导数及其应用

第4讲 函数的概念及其表示 第5讲 函数的单调性与最值 第6讲 函数的奇偶性与周期性 第7讲 二次函数 第8讲 指数与对数的运算 第9讲 指数函数、对数函数、幂函数 第10讲 函数的图像与性质的综合 第11讲 函数与方程 第12讲 函数模型及其应用 第13讲 变化率与导数、导数的运算 第14讲 导数在研究函数中的应用 第15讲 导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式 第16讲 定积分与微积分基本定理

单元网络

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核心导语
一、函数 1.函数三要素——定义域、对应关系、值域. 2.函数表示方法——解析法、图像法、表格法. 3.函数性质——单调性、奇偶性、最值、周 期性. 4.基本初等函数(Ⅰ)——重点是定义、图像与 性质. 5.函数应用——函数零点、指数函数、对数函数、 分段函数模型的应用.关键是建立函数关系.

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核心导语
二、导数 1.基本问题——导数的概念、几何意义.导数的 运算,难点是商的导数公式、复合函数的求导法则. 2.导数研究函数性质——导数与函数单调性的关 系、导数与函数极值的关系,闭区间上图像连续的函数的 最值,实际应用题的最值. 三、定积分 基本问题——定积分的概念,运算性质,利用几何 意义求定积分,微积分基本定理及其在几何、物理中的应 用.

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使用建议
1.编写意图 由于函数与导数是高中数学最重要的知识板块之一, 在高考中占有突出的位置,因此在编写本部分时,重视了 下列几个方面:首先把函数与导数部分按照知识的发展顺 序化为12个讲次,每个讲次突出解决几个重要的考点,并 配备适量的变式练习和课时作业;其次重视了基础知识、 基本方法和基本技能的训练,根据一轮复习的特点,在选 题上以高考中的基本类型题目、各地模拟试题中的中等难 度试题、课本改编题目、有训练价值的传统经典题目为主, 设置这些题目的目的就是加强基础训练;

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使用建议

第三,突出了重点,在概念性的基础讲次、运算技能 要求较高的讲次、高考重点考查的讲次、数学思想方法要 求较高的讲次,适当增加了例题和变式训练的题量,并设 置AB作业;第四,为矫正学生常见的解题错误、规范学生 的解题过程、树立学生使用数学思想方法指导解题的思想 意识、鼓励学生创造性解题的积极性,在各个讲次特设 “易错究源”“答题模板”“思想方法”栏目之一.

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使用建议

2.教学建议 根据一轮复习的特点以及该部分的具体特点,提出如 下几点教学建议供教师参考. (1)重视基础知识、基本方法的复习:各个讲次设置的知 识梳理、疑难辨析栏目,要在学生自主解答的前提下,对 其中的重点内容进行强调,使学生熟练掌握基本知识和解 决问题的基本方法.

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使用建议
(2)强化基本技能的训练、着眼于能力的养成:在函 数、导数这种以概念、性质、公式为主要知识体系的板块 中,重要的基本技能就是运算的技能、画函数图像的技能, 主要的能力就是运算能力、逻辑推理能力,在复习中要在 例、习题的讲解中贯穿技能训练过程和能力养成过程,根 据实际情况,如果学生能够自主解答的问题就要放心大胆 地交给学生完成,教师的主要任务就是抓住技能训练点、 能力养成点,强化技能训练和能力养成.

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使用建议
(3)注重解题中数学思想方法的挖掘:数学思想出现 在解题的过程中,学生在解题中使用数学思想方法的大多 数情况是由以前的解题经验得出的,而不是自觉使用数学 思想指导解题、寻找解题的突破口的,在例题和习题教学 中要注意挖掘解题过程中使用的各种数学思想方法并强调 数学思想对解题的指导意义,引导学生体会如何使用数学 思想方法探究解题思路,逐步养成学生自觉使用数学思想 方法指导解决数学问题的思想意识.

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使用建议

3.课时安排 本单元共13讲,2个45分钟滚动基础训练卷,1个单元 能力检测卷,其中第13讲设置双面AB作业,包括测试卷讲 评,建议16课时左右完成复习任务.

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第4讲 函数的概念及其表示

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考试大纲
1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义 域和值域;了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方 法(如图像法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用.

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

—— 知 识 梳 理 —— 一、函数与映射 1.概念
函数 两集合 A,B 设A,B是两个 非空的数集 ____________ 映射 设A,B是两个 非空的集合 _______________

对应关系 f:A→B

如果按照某种确定的 如果按某一个确定的 对应关系f,使对于集 对应关系f,使对于集 任意 唯一确定 合A中的________ 一个 合A中的___________ 数x,在集合B中都有 一个元素x,在集合B 任意 唯一确定 ________ 的数f(x)和它 中都有____________ 对应 的元素y与之对应

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示
(续表)

函数
f:A→B 为从集合A 称____________ 到集合B的一个函数 y=f(x),x?A

映射
f:A→B 称对应_____________ 为从 集合A到集合B的一个映射 对应f:A→B

名称

记法

定义域 、________ 对应关系 、 2.构成函数的三要素是:________ 值域 ________ .

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

二、 函数的表示方法 列表法 解析法 1.基本表示方法:__________、___________、 图像法 . ________ 2.分段函数:在定义域的不同范围内函数具有不同 分段函数 .分段函数是一个函数, 的解析式,这类函数称为________ 并集 分段函数的定义域是各段定义域的________ ,值域是各段 值域的________ . 并集

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第 4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

3.求函数解析式的方法
方法
待定系数法 _____________

示例

f(x)=ax+b的图像过点(1,1),(4,2)

换元法 ___________ 配凑法 ___________

f (sinx)=2sin2x-cos2x

对称方程法

f(x)+2f(-x)=x+1

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

三、函数定义域的求法
类型 , n? N * x满足的条件
f(x)≥0 ________________

与[f(x)]0
logaf(x) logf(x)g(x) f(x)g(x)

________________ f(x)≠0
f(x)>0 ________________ f(x)>0,f(x)≠1,g(x)>0 _________________________ f(x)>0,f(x)≠1 ________________

tanf(x)
f(g(x)) (f(x)定 义域为[a,b]) 四则运算组成的函数 实际问题

_______________________
a≤g(x)≤b解集与g(x)定义域的 交集 ________
交集 各个函数定义域的________ 意义 使实际问题有________
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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

四、求函数值域的方法
方法 示例

公式法(配方法)
性质法 单调性法

y=x2+x-2
y=sinx,y=lgx

换元法
基本不等式法

y=sin2x+sinx+1

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

(续表) 方法 示例

反解自变量法

判别式法

数形结合法

第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

—— 疑 难 辨 析 ——
1.函数的概念与函数值的求解

x2-1 已知函数 f(x)=lg(x-1),g(x)= ,则 x+1
1 (1)f( 10+1)= ,g(f(11))=0.( ) 2 (2)h(x)=lg|x-1|与 f(x)相同, k(x)= (1-x)2 与 g(x)相同.( )

[答案] (1)√ (2)?

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

1 [解析] (1)f( 10+1)=lg( 10)= ,f(11)=lg10 2 =1,g(f(11))=g(1)=0. (2)h(x)与 f(x)定义域不同,不是同一个函数,k(x) 与 g(x)定义域不同,不是同一个函数.

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

2.函数的定义域、值域的求法 x+1 (1)[2012·广东卷改编] 函数 y= 的定义域为 x {x|x≠0}.( ) (2)若函数 f(2x-1)的定义域为{x|1≤x<3}, 则函数 f(x) 的定义域为{x|1≤x<5}.( ) (3)若函数 f(x)的定义域为{x|1≤x<3},则函数 f(2x- 1)的定义域为{x|1≤x<5}.( ) (4)函数 f(x)= x2+3+1 的值域是{y|y≥1}.( )

[答案] (1)? (2)√ (3)? (4)?

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

[解析] (1)x+1≥0,且 x≠0,得定义域为{x|x≥-1 且 x≠0}. (2)因为{x|1≤x<3},所以 1≤2x-1<5,令 t=2x-1, 则 1≤t<5,所以 f(t)也即 f(x)的定义域为{x|1≤x<5}. (3)令 t=2x-1,依题意有 1≤t<3,即 1≤2x-1<3, 得 1≤x<2,所以函数 f(2x-1)的定义域为{x|1≤x<2}. (4)因为 x2+3≥ 3, 所以函数 f(x)= x2+3+1 的值 域是{y|y≥ 3+1}.

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

3.简单的分段函数问题 2 ? ? 1-x (-1≤x≤1), f(x)=? 则 f(-x)= ? ?x+1(x>1或x<-1), 2 ? ? 1-x (-1≤x≤1) ? ( ) ? ?-x+1(x>1或x<-1). [答案] √
[解析] 当-1≤x≤1 时,f(-x)= 1-x2;当 x>1 或 x< - 1 , f ( - x) = - x + 1 , 所 以 f ( - x) = 2 ? ? 1-x (-1≤x≤1), ? ? ?-x+1(x>1或x<-1).

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第4讲
双 向 固 基 础

函数的概念及其表示

4.函数的解析式的求法 (1)f(x)=2x2+x-1,则 f(x+1)=2x2+3x.( ) (2)f( x-1)=x,则 f(x)=(x+1)2(x≥-1).( )
[答案] (1)? (2)√

[解析] (1)f(x+1)=2(x+1)2+(x+1)-1=2x2+5x+ 2. (2)令 t= x-1≥-1,则 x=(t+1)2≥0,所以 f(t)= (t+1)2,即 f(x)=(x+1)2(x≥-1).

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第4讲

函数的概念及其表示
考点 考频
选择(2) 选择(1) 填空(1) 选择(2) 填空(3)

示例(难度)
2012年江西T3(A), 2012年安徽T2(A) 2012年江西T2(A), 2012年江苏T5(A) 2012年江西T3(A), 2012年陕西T14(C), 2012年福建T15(C) 2012年江西T10(C), 2012年课程标准 T18(1)(B)

1.函数的概念与函数值 的求解 点 面 讲 考 向

2.函数的定义域、值域
3.简单分段函数及其应 用

4.求函数的解析式

选择(2) 解答(1)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2012年课标地区真题卷情况.
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第4讲

函数的概念及其表示

?

探究点一

函数的概念与函数值的求解

点 面 讲 考 向

例 1 (1)函数 y=f(x)的定义域为 D,当 a?D 时, 直线 x=a 与函数 y=f(x)的图像交点的个数是( ) A.0 B.1 C.0 或 1 D.1 个以上 2 ? ?x +1,x≤1, (2)[2012· 江西 卷 ] 若函 数 f(x) = ? 则 ? lg x , x >1 , ? f(f(10))=( ) A.lg101 B.2 C.1 D.0

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

思考流程 (1)分析:需要从函数定义考虑;推理: 根据函数定义中自变量与函数值的唯一确定对应关系可 得;结论:对照选项作出结论. (2)分析:需要从内到外依次进行计算;推理:计算 f(10)使用第二段解析式, 再使用第一段解析式即可; 结论: 具体计算后根据选项作出答案.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[答案] (1)B (2)B [解析] (1)根据函数概念,对于定义域内任何一个自 变量只有唯一的函数值与之对应,故直线 x=a 与函数 y= f(x)的图像有且只有一个交点. (2)考查分段函数的定义、 对数的运算、 分类讨论思想; 解题的突破口是根据自变量取值范围选择相应的解析式解 决问题.∵10>1,∴f(10)=lg10=1≤1,∴f(f(10))=f(1)= 12+1=2,故选 B.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[点评] 函数概念中要特别注意定义域中的任何一个 自变量只能对应唯一确定的一个函数值,这是函数图像与 一般曲线不同的地方;复合的函数值,要从内到外逐次进 行计算,在计算分段函数值时要根据自变量的范围确定使 用哪段的解析式.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

归纳总结 判断一个对应关系是否是函数关系,就看 这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个 自变量都有唯一确定的函数值”这个核心点.复合的函数 值,要从内到外逐次进行计算,在计算分段函数值时要根 据自变量的范围确定使用哪段的解析式.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

变式题 (1)如果函数 y=f(x)的值域是 M,m?M,则 函数 y=f(x)的图像与直线 y=m 的交点个数的情况是( ) A.没有交点 B.只有唯一一个交点 C.只有两个交点 D.至少有一个交点 (2)[2012·湖 北 八 校 二 模 ] 已 知 函 数 f(x) = ? ? ? log x-1?-2,|x|≤1, ? ? ?? 4 ? 1 ? 则 f(f(27))=( ) ,|x|>1, 1 ? 1+x ? 3 ? 1 A.0 B. C.4 D.-4 4
[答案] (1)D (2)A
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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[解析] (1)根据函数定义,多个自变量、甚至无穷个自 变量可以对应同一个函数值,因此函数 y=f(x)的图像与直 线 y=m(m?M)至少有一个交点. ?1? ? 1 ? 1 1 (2)f(27)= = ,f(f(27))=f?4?=?log44-1?-2= 4 ? ? ? ? 3 1+ 27 0.故选 A.

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第4讲

函数的概念及其表示

?

探究点二
例2

函数的定义域、值域的求法
(1)[2012· 江西卷] 下列函数中, 与函数 y= 1 3 x

点 面 讲 考 向

定义域相同的函数为( ) 1 lnx sinx x A.y= B.y= C.y=xe D.y= sinx x x (2)已知函数 f(2x+1)的定义域为(0,1),则函数 f(x)的定 义域为________.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:需要确定各个函数的定义域; 推理:根据分母不等于零、对数的真数大于零求解各个函 数的定义域;结论:根据推理与选项作出答案. (2)分析:需要求出函数 f(x)中的 x 的范围;推理:由 函数 f(2x+1)的定义域为(0, 1), 推出 2x+1 的范围; 结论: 2x+1 的范围即函数 f(x)的 x 的范围.

[答案] (1)D (2)(1,3)

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[解析] (1)考查函数的定义域、解不等式等;解 题的突破口为列出函数解析式所满足的条件,再通过解 1 不等式达到目的.函数 y= 的定义域为{x|x≠0}.y= 3 x 1 lnx 的定义域为 {x|x≠k π , k?Z} , y = 的定义域为 sinx x sinx x {x|x>0} , y = xe 的 定 义 域 为 R , y = 的定义域为 x {x|x≠0},故选 D. (2)∵函数 f(2x+1)的定义域为(0,1), ∴1<2x+1<3, ∴f(x)的定义域为(1,3).

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[点评] 求函数定义域一般要考虑如下几个方面:分 式的分母不等于零、偶次被开方式不小于零、对数的真数 大于零、正切函数的定义域等,如果函数是一些函数通过 四则运算结合而成的,那么它的定义域是各函数定义域的 交集,由实际问题列出的函数式的定义域问题,由自变量 的实际意义给出,复合函数的定义域求法综合考虑内外两 层函数的定义域.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

归纳总结 对于由解析式给出的函数,其定义域可 能有如下几种情况: ①若f(x)是整式,则其定义域为全体实数集. ②若是分式,则其定义域是使分母不为零的全体实数 组成的集合. ③若是偶次根式,则其定义域是使被开方数非负(即 不小于零)的实数的取值集合. ④如果函数是由一些函数通过四则运算结合而成的, 那么它的定义域是各函数定义域的交集. ⑤对数的真数大于零,指数函数和对数函数的底数大 于0且不等于1等.
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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

3x2 变式题 [2013·福建六校月考] 函数 f(x)= + 1-x lg(3x+1)的定义域是( ) ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? A.?-3,+∞? B.?-3,1? ? ? ? ? ? ? 1 1? ? 1? ? ? ? C.?-3,3? D.?-∞,-3? ? ? ? ? ?
[答案] B

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[解析]

1 x 满足 1-x>0 且 3x+1>0, 解得- <x<1. 3

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

2-sinx 例3 (1)函数 y= 的值域是( ) 2+sinx ?1 ? ? A.[-1,1] B.?3,3? ? ? ? C.[1,3] D.[1,+∞) (2)函数 y=x-2 x+2的值域是________.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:需要解出 sinx,使用正弦函数的 有界性;推理:用 y 表示 sinx,根据|sinx|≤1 得关于 y 的不 等式;结论:解不等式即得 y 的取值范围,即为所求函数 的值域. (2)分析:需要换元,把无理式化为有理式;推理:令 t= x+2,即把函数 y=x-2 x+2转化成关于 t 的二次函 数;结论:根据自变量 t 的取值范围确定这个函数的值域.

[答案] (1)B

(2)[-3,+∞)

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

2-sinx 2-2y [解析] (1)由 y= 解得 sinx= ,由 2+sinx y+1 ?2-2y? ? 2 |sinx|≤1 得? ? y+1 ?≤1,两边平方后整理,得 3y -10y+ ? ? ?1 ? 1 ? 3≤0,解得 ≤y≤3,故所给函数的值域为?3,3? ?. 3 ? ? (2)设 x+2=t,则 x=t2-2 且 t?[0,+∞),此时 y =t2-2t-2=(t-1)2-3≥-3, 当 t=1?[0, +∞)时取到 最小值,故其值域是[-3,+∞).

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[点评] 求函数的值域的方法很多,如反解自变量法 (例3(1))、换元法(例3(2))、基本函数值域法、判别式法、 基本不等式法、数形结合法等,但要注意一般函数的值域 可以使用导数的方法求解,因此这里我们只掌握几个特殊 的类型的函数值域求法即可.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

归纳总结 函数的值域是由函数的对应关系和函数 的定义域所唯一确定的,具有相同对应关系的函数如果定 义域不同,函数的值域也就可能不相同.求函数值域的方 法很多,主要有: ①根据函数的定义域和解析式直接确定法. ②对函数解析式是二次的函数使用配方法或者直接使 用求最值的方法.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

③对解析式是分式的函数采用分拆法. ④对函数解析式中含有整体代数式的采用换元法. ⑤对函数的解析式是分式,分子分母中至少有一个含 有自变量的平方项的采用判别式法. ⑥对自变量有界的采用反解自变量使用有界性的 方法. ⑦数形结合法等.

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第4讲

函数的概念及其表示
?3 4? ? , f(x)的值域是? ?8 9? ,则 ? ?

变式题
点 面 讲 考 向

已知函数

y=f(x)+

1-2f(x)的值域是________.
?7 7? ? , [答案] ? ?9 8? ? ?

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

3 4 1 1 [解析] ∵ ≤f(x)≤ , ∴ ≤ 1-2f(x)≤ , 令 8 9 3 2 ?1 1? ? t= 1-2f(x)?3≤t≤2? ?, ? ? ?1 1? 1 7 7 ? 2 则 y=- (t-1) +1?3≤t≤2? ,∴ ≤ y ≤ . ? 2 9 8 ? ?

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第4讲

函数的概念及其表示

?

探究点三

简单的分段函数及其应用

点 面 讲 考 向

例 4 (1)[2012 · 山 西 四 校 四 联 ] 函 数 f(x) = x ? ?2 ,x≤0, 1 ? 若 f(a)= ,则实数 a 的值是( ) 2 ? log x , x >0 , ? 2 A.-2 B. 2 1 C.-1 或 D.-1 或 2 2

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

(2)[2011·北京卷] 根据统计,一名工人组装第 x ? ? c ,x<A, ? x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为 f(x)=? ? c ,x≥A ? ? A (A,c 为常数). 已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟, 组装第 A 件产品用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是 ( ) A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:根据函数值求自变量只要解方 程即可;推理:分 a≤0,a>0 分别得出关于 a 的方程;结 论:解方程求出 a 值. (2)分析:欲求 c,A 之值只需得 c,A 的方程;推理: 组装第 A 件产品的时间符合第二段解析式, 组装第 4 件产 品只能适合第一段的解析式;结论:解方程组,根据方程 组的解确定答案.
[答案] (1)D (2)D

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

1 [解析] (1)当 a≤0 时,f(a)=2 = ,解得 a= 2 1 1 -1;当 a>0 时,f(a)=log2a= ,解得 a=22= 2. 2 ? ?f(4)= c =30, ? 4 ? ?c=60, (2) 由题意可知 ? 解得 ? 故 ? ?A=16, ?f(A)= c =15, ? A ? 应选 D.
a

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[点评] 在求解分段函数的函数值时,一定要注意根 据自变量的不同取值选取不同段的函数解析式.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

归纳总结 在给出了分段函数解析式的问题中,主 要有三个问题.一是求函数值,特别是求复合的函数值, 其方法是在不同的段上代入不同的解析式;二是研究这个 分段函数的单调性,方法是根据函数在各个段上的单调性, 整合为整个定义域上的单调性;三是求最值,其方法是求 出函数在各个段上的最值,这些最值中最大的是最大值, 最小的是最小值.

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第4讲

函数的概念及其表示

变式题 (1)[2013 ·惠州调研 ] 已知函数 f(x) = x ? ? ?1?? ?e ,x<0, ? ?? ? 则 f? f ? ? e ??=________. ? ? ? ?? ?lnx,x>0,
点 面 讲 考 向

(2)已知函数 f(x)= 域是________.

则 f(x)的值

1 5 3 3 [答案] (1) (2)[- ,-2]∪[- , ] e 2 2 2

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第4讲

函数的概念及其表示
x ? ?e ,x<0, f(x)=? 所以 ? ?lnx,x>0,

[解析]
点 面 讲 考 向

(1)因为函数

? ?1?? ? ?? f? f ? ? e ?? ? ? ??

? 1? 1 -1 ? ? =f?ln e?=f(-1)=e = . e ? ?

1 (2)当 x?[-2,-1)时,f(x)=x+ 在[-2,-1)上是 x 5 1 增函数,此时 f(x)?[- ,-2) ;当 x?[-1, )时, 2 2 1 1 1 f(x)=-2;当 x?[ ,2]时,f(x)=x- 在[ ,2]上是 2 x 2 3 3 5 增函数,此时 f(x)?[- , ].∴f(x)的值域为[- ,- 2 2 2 3 3 2]∪[- , ]. 2 2

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第4讲

函数的概念及其表示

?

探究点四
例 5

求函数的解析式
?2 ? ? x f? x-1? = 2 ,则 ? ? ?

点 面 讲 考 向

(1)已知

f(x)=________.

(2)设 y=f(x)是二次函数, 方程 f(x)=0 有两个相等的 实根,且 f′(x)=2x+2,则 f(x)的解析式为__________.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

2 思考流程 (1)分析:用换元法令 t= -1;推理:求 x 出 x 的表达式;结论:代入原函数解析式得出结论. (2)分析:用待定系数法,设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0); 推理:依据条件列出关于 a,b,c 的方程组;结论:解方 程求出 a,b,c 的值,得出解析式.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

2 [答案] (1)2 (2)f(x)=x2+2x+1 x+1 2 2 2 [解析] (1)令 t= -1,则 x= ,所以 f(t)=2 , x t+1 t+1 2 即 f(x)=2 . x +1 (2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则 f′(x)=2ax+b=2x+ 2,所以 a=1,b=2,f(x)=x2+2x+c. 又因为方程 f(x)=0 有两个相等的实根,所以 Δ=4- 4c=0,得 c=1,所以 f(x)=x2+2x+1.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[点评] (1)是用换元法求解析式,(2)是用待定系数 法求解析式.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

归纳总结 求函数解析式的常见题型: ①已知函数类型,用待定系数法求解析式. ②已知函数图像,用待定系数法求解析式,如果图像 是分段的,要用分段函数表示. ③已知f(x)求f[g(x)],或已知f[g(x)]求f(x),用换 元法、配凑法. ?1? ? ④若 f(x)与 f? ? x ?或 f(-x) 满足某个等式,可构造另一个 ? ? 等式,通过解方程组求解. ⑤应用题求解析式可用待定系数法求解. 求函数解析式一定要注意函数的定义域,否则极易出错.

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第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

(1)[2012· 安徽卷] 下列函数中, 不满足 ...f(2x) =2f(x)的是( ) A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x| C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x (2)已知 f(x)+2f(-x)=3x-2, 则 f(x)的解析式是( ) 2 A.f(x)=3x- 3 2 B.f(x)=-3x+ 3 2 C.f(x)=3x+ 3 2 D.f(x)=-3x- 3
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变式题

第4讲

函数的概念及其表示

点 面 讲 考 向

[答案] (1)C (2)D [解析] (1)本题考查函数的新定义,复合函数的性质. 方法一:因为 f(x)=kx 与 f(x)=k|x|均满足 f(2x)=2f(x), 所以 A, B, D 满足条件; 对于 C 项, 若 f(x)=x+1, 则 f(2x) =2x+1≠2f(x)=2x+2. 方法二:对于 A 项,f(2x)=2|x|,2f(x)=2|x|,可得 f(2x) =2f(x);对于 B 项,f(2x)=2x-2|x|,2f(x)=2x-2|x|,可得 f(2x)=2f(x);对于 C 项,f(2x)=2x+1,2f(x)=2x+2,可 得 f(2x)≠2f(x);对于 D 项,f(2x)=-2x,2f(x)=-2x,可 得 f(2x)=2f(x),故选 C 项. (2) 以 - x 代 x 后 所 得 等 式 与 原 等 式 组 成 方 程 组 ? ?f(x)+2f(-x)=3x-2, ? ? ?f(-x)+2f(x)=-3x-2, 2 解得 f(x)=-3x- .故选 D. 3
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第4讲

函数的概念及其表示

易错究源

3

忽视函数定义域致误
)

例 已知 2x2+y2=6x,则 x2+y2 的取值范围是( A.(-∞,9] B.[9,+∞) C.[0,9] D.(0,9]

多 元 提 能 力

[错解] A 根据已知 y2=6x-2x2,① 代入 x2+y2 得 x2+y2=-x2+6x,根据二次函数的性 质,当 x=3 时,函数 f(x)=-x2+6x 取得最大值 9.故 x2+ y2 的取值范围是(-∞,9].②

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第4讲

函数的概念及其表示

[错因] ①处:在得出 y2=6x-2x2 后,首先要根据 y2 ≥0 求出 x 的取值范围. ②处:求出的是在 x?R 的情况下的取值范围.
[正解] C 根据已知 y2=6x-2x2, 由于 y2≥0,故 6x-2x2≥0,解得 0≤x≤3, 把 y2=6x-2x2 代入 x2+y2 得 x2+y2=-x2+6x, 根据二次函数的性质,当 x=3 时,函数 f(x)=-x2+ 6x 取得最大值 9, 当 x=0 时,f(x)=-x2+6x 取得最小值 0,故函数的 值域是[0,9].正确选项 C.

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第4讲

函数的概念及其表示

自我检评 (1)函数 f(x)=x+ 2x-1的值域是( ) A.(-∞,+∞) B.[0,+∞) ?1 ? ? 1? ? ? ? C.?2,+∞? D.?-∞,2? ? ? ? ? ? (2)已知 f(cosx)=1-4cosx+sin2x, 则函数 f(x)的最大值 是( ) A.-3 B.5 C.6 D.8
多 元 提 能 力

[答案] (1)C (2)B

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第4讲

函数的概念及其表示

多 元 提 能 力

1 [解析] (1)方法一:函数的定义域是 x≥ ,且函数 y=x, 2 ?1? 1 ? y= 2x-1均为单调递增函数,故函数的最小值是 f? ?2? =2, ? ? ?1 ? ? 所以函数的值域是?2,+∞? ?. ? ? 1+u2 方法二:设 u= 2x-1,则 u≥0,且 x= , 2 1+u2 1 ∴f(u)=y= +u,即 y= (u+1)2, 2 2 ?1 ? ? 故得原函数 f(x)=x+ 2x-1的值域为?2,+∞? ?. ? ?

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第4讲

函数的概念及其表示

(2)f(cosx)=1-4cosx+sin2x=-cos2x-4cosx+2, 所以 f(x) =-x2-4x+2,x?[-1,1], 根据二次函数的性质,函数 f(x)在区间[-1,1]上单调递 减,所以函数 f(x)的最大值为 f(-1)=5.

多 元 提 能 力

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第4讲

函数的概念及其表示

【备选理由】 例1是根据两个函数值域之间的关系等价转化问题的 题目,与集合、逻辑知识结合,起综合复习作用;例2强 化复合函数与原来的函数的定义域之间的关系,目的是强 化函数概念,例3强化理解函数概念、函数的值域与定义 域的关系.

教 师 备 用 题
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函数的概念及其表示

例 1 f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对任意 x1? [-1,2],存在 x?[-1,2],使 g(x1)=f(x),则 a 的 取值范围是( ) ? ?1 ? 1? ? ? ? A.?0,2? B.?2,3? ? ? ? ? ? C.[3,+∞) D.(0,3]
[解析] A 函数 f(x)的值域是[-1,3],函数 g(x)的 值域是[2-a, 2+2a], 根据题意函数 g(x)的值域是函数 f(x) 1 值域的子集,故必须有 2-a≥-1 且 2+2a≤3,即 a≤ , 2 ? 1? ? 又 a>0,故 a 的取值范围是?0,2? ?. ? ?

教 师 备 用 题

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第4讲

函数的概念及其表示
? 函数 y=f(cosx)的定义域为? ?2kπ ?

π 2π ? ? 例2 - ,2kπ + ? 6 3 ? (k?Z),则函数 y=f(x)的定义域为________.
[答案]
? 1 ? ? ? - , 1 ? 2 ? ? ?

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函数的概念及其表示

[ 解 析 ] 由 于 函 数 y = f(cosx) 的 定 义 域 是 ? π 2π ? ? ? 2 k π - , 2 k π + ? ? (k?Z) , 所 以 u = cosx 的 值域 是 6 3 ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? - , 1 - , 1 ,所以函数 y = f ( x ) 的定义域是 ? 2 ? ? 2 ?. ? ? ? ?

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第4讲

函数的概念及其表示

例 3 [2011·湖南卷] 给定 k?N*,设函数 f:N*→ N*满足:对于任意大于 k 的正整数 n,f(n)=n-k. (1)设 k=1,则其中一个函数 f 在 n=1 处的函数值为 ________________; (2)设 k=4,且当 n≤4 时,2≤f(n)≤3,则不同的函 数 f 的个数为________.
[答案] (1)a(a 为正整数) (2)16

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第4讲

函数的概念及其表示

[解析] (1)由法则 f 是正整数到正整数的映射,因为 k =1,所以从 2 开始都是一一对应的,而 1 可以和任何一个 正整数对应,故 f 在 n=1 处的函数值为任意的 a(a 为正整 数); (2)因为 2≤f(n)≤3,所以根据映射的概念可得到:1, 2,3,4 只能是和 2 或者 3 对应,1 可以和 2 对应,也可以 和 3 对应,有 2 种对应方法,同理,2,3,4 都有两种对 应方法,由乘法原理,得不同函数 f 的个数等于 16.
教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第5讲 函数的单调性与最值

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考试大纲

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何 意义. 2.会运用函数图像理解和研究函数的性质.

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第5讲
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函数的单调性与最值

—— 知 识 梳 理 —— 一、函数的单调性及性质 1.定义:

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函数的单调性与最值
增函数 减函数

设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值x1,x2

定义

f(x1)<f(x2) _____________ ,那么就说

当x1<x2时,都有

f(x1)>f(x2) ______________ ,那么就说函

当x1<x2时,都有

函数f(x)在区间D上是增函数

数f(x)在区间D上是减函数

图像 描述

逐渐上升 自左向右看图像是________

逐渐下降 自左向右看图像是________
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第5讲
双 向 固 基 础

函数的单调性与最值

2.单调区间的定义:若函数y=f(x)在区间D上是 增函数 或________ 减函数 ,则称函数y=f(x)在这一区间上具有 ________ 区间D 叫做y=f(x)的单调区间. 单调性,________ 3.单调性的判断方法: (1)定义法(作差比较法和作商比较法):在区间D上, 函数值y随x的增大而增大,则函数在区间D上为________; 增函数 函数值 y随x的增大而减小,则函数在区间D上为 减函数 ________ . (2)图像法:在区间D上,如果函数的图像从左向右是 增函数 ;如果函数的图像 上升的,则函数在区间D上为________ 减函数 . 从左向右是下降的,则函数在区间D上为________

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第5讲
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函数的单调性与最值

(3)导数法:已知函数 y=f(x)在某区间 D 内可导,若 增函数 ;若 f ′ (x)>0 ,则函数 y = f(x) 为区间 D 上的 ________ 减函数 . f′(x)<0,则函数 y=f(x)为区间 D 上的________ (4)利用函数的运算性质:如果 f(x),g(x)为增函数, 1 则①f(x)+ g(x) 为增函数;② 为减函数 (f(x)>0);③ f(x) f(x)为增函数(f(x)≥0);④f(x)· g(x)为增函数 (f(x)>0, g(x)>0);⑤-f(x)为减函数.

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第5讲
双 向 固 基 础

函数的单调性与最值

(5)复合函数单调性的判断方法:“同增异减”,即 若 y=f(x)和 u=g(x)的单调性相同,则函数 y=f[g(x)]是 增函数 ,若 y=f(x)和 u=g(x)的单调性相反,则函数 y ________ 减函数 . =f[g(x)]是________ 4.简单性质:奇函数在其关于原点对称区间上的单 调性________ 偶函数在其关于原点对称区间上的单调性 相同 , 相反 . ________

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第5讲
双 向 固 基 础

函数的单调性与最值

二、函数的最值 1.最值的定义:对于函数f(x),假定其定义域为A, 则
f(x)≥f(x (1)若存在x0?A,使得对于任意x?A,恒有 ________ 0) 成立,则称f(x0)是函数f(x)的最小值; f(x)≤f(x0) (2)若存在x0?A,使得对于任意x?A,恒有________ 成立,则称f(x0)是函数f(x)的最大值.

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函数的单调性与最值

2.基本初等函数的值域 R (1)y=kx+b(k≠0)的值域为________ . (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当 a>0 时,值域为
4ac-b2 [ ,+∞) 4 a ________________;当

a<0 时,值域为

4ac-b2 (-∞, ] 4 a ________________.

k {y|y?R,y≠0} (3)y= (k≠0)的值域是_________________ . x (0,+∞) (4)y=ax(a>0,且 a≠1)的值域是_______________ . (5)y=logax(a>0,且 a≠1)的值域是_____________ . R [-1,1]; (6)y=sinx, y=cosx, y=tanx 的值域分别为________ [-1,1];________ R ________ .
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函数的单调性与最值

—— 疑 难 辨 析 ——
1.函数单调性的判断 1 (1)函数 f(x)= 在定义域上是减函数.( ) x (2)已知 f(x)= x,g(x)=-2x,则 y=f(x)-g(x)在定 义域上是增函数.( ) (3)若 f(x)为增函数,g(x)是增函数,则 f(x)g(x)也是增 函数.( )

[答案] (1)? (2)√ (3)?

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第5讲
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函数的单调性与最值

[解析] (1)函数的单调区间是函数定义域的子集,定 义域不一定是函数的单调区间. (2)y=f(x)-g(x)= x+2x 是定义域[0,+∞)上的增 函数. (3)举例,f(x)=x,g(x)=x-2 都是定义域 R 上的增 函数,但是 f(x)g(x)=x2-2x 在 R 上不是增函数.

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函数的单调性与最值

2.求函数的单调区间 (1)函数 y=|x+1|在[1,+∞)上是增函数,所以函数 的递增区间是[1,+∞).( ) (2)[2011·江苏卷改编] 函数 f(x)=log5(2x+1)的单 调增区间是(0,+∞).( )

[答案] (1)? (2)?

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函数的单调性与最值

[解析] (1)函数 y=|x+1|的递增区间是[-1,+∞), 虽然函数 y=|x+1|在[1,+∞)上是增函数,但[1,+∞) 不是该函数的递增区间. 1 (2)当 2x+1>0, 即 x>- 时, 函数递增, 所以函数 f(x) 2 1 =log5(2x+1)的单调增区间是(- ,+∞). 2

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函数的单调性与最值

3.抽象函数单调性 (1)函数 y=f(x)在 R 上是增函数,则函数 y=f(-x)在 R 上是减函数.( ) (2)函数 f(x)=-x2 在[0, +∞)上是减函数, 则 y=f(2x -3)在[0,+∞)上也是减函数.( )
[答案] (1)√ (2)?

[解析] (1)函数 y=f(x)与 y=f(-x)的图象关于 y 轴 对称,由对称性知,结论正确. ?3 ? ? 2 (2)y=f(2x-3)=-(2x-3) 的递减区间是?2,+∞? ?, ? ? ?3 ? ? 所以 y=f(2x-3)在?2,+∞? ?上是减函数. ? ?
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第5讲
双 向 固 基 础

函数的单调性与最值

4.函数的最值 (1)函数 f(x)=log2(3x+1)的最小值为 0.( 1-x2 (2)函数 y= 的最大值为 1.( ) 1+x2
[答案] (1)? (2)√

)

[解析] (1)3x>0 得 3x+1>1,所以 log2(3x+1)>log21 =0,即 f(x)>0,所以 0 不是最小值. 1-x2 1-y 2 (2)由 y= ≥0,解得-1<y≤1.所以 2,得 x = 1+x 1+y 函数的最大值为 1.

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第5讲

函数的单调性与最值
考点 考频
选择(3) 解答(1) 解答(5) 0 填空(1) 解答(5) 2012年辽宁T12(C), 2012年安徽T20(B), 2012年湖北T22(C)

示例(难度)
2012年陕西T2(A), 2012年广东T4(A) 2012年陕西T21(C) 2012年课程标准T21(C), 2012年北京T18(B), 2012年福建T20(C)

1.函数的单调性的判断 及其应用 点 面 讲 考 向 2.求函数的单调区间 3.抽象函数的单调性 4.函数的最值及其求法

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2012年课标地区真题卷情况.
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第5讲

函数的单调性与最值

?

探究点一

函数单调性的判断及应用

点 面 讲 考 向

例 1 (1)[2012?广东卷] 下列函数中,在区间(0, +∞)上为增函数的是( ) A.y=ln(x+2) B.y=- x+1 ?1? 1 ? ?x C.y=? ? D.y=x+ x ?2? (2)已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x-4) =-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ) A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

思考流程 (1)分析: 需要考虑基本函数的性质; 推理: 根据选项中的各个函数的性质进行;结论:结合选项选择 答案. (2)分析:需要推断函数 f(x)的性质;推理:根据函数 f(x)是奇函数、f(x-4)=-f(x)推证函数的周期性,把选项 中的函数值转化到区间[0,2]上后,再根据函数的单调性 作出大小判断;结论:结合选项得出答案.

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

[答案] (1)A (2)D [解析] (1)函数 y=ln(x+2)在区间(0,+∞)上为增函 数;函数 y=- x+1在区间(0,+∞)上为减函数;函数 y ?1?x 1 ? =? 在区间 (0 , +∞ ) 上为减函数; 函数 y = x + 在区间(0, ?2? x ? ? +∞)上为先减后增函数. (2)因为 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(x-8)=f(x), 所以函数是以 8 为周期的周期函数, 则 f(-25)=f(-1), f(80) =f(0),f(11)=f(3).又因为 f(x)在 R 上是奇函数,f(0)=0, 得 f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f(1),而由 f(x-4)= -f(x)得 f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1). 又因为 f(x) 在区间[0, 2]上是增函数, 所以 f(1)>f(0)=0, 所以-f(1)<0, 即 f(-25)<f(80)<f(11).
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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

[点评] 基本初等函数的性质是判断函数单调性的主 要方法之一,要熟练掌握常见函数(一次函数、二次函数、 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数)的单调性,这 些函数的单调性也是判断简单的复合函数单调性的基础 (见[变式](2));函数单调性的定义是等价关系,已知函 数在某个区间上单调时,可以根据自变量的大小确定函数 值的大小.

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

归纳总结 函数的单调性往往与函数的奇偶性和周期 性相互结合,具备奇偶性的函数在定义域关于坐标原点对 称的区间上其单调性具有特定的规律,周期函数在各个周 期内具有相同的单调性,在解题中要善于使用函数的单调 性与奇偶性、周期性之间的关系.

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

ax(x>1), ? ? 变式题 (1)若 f(x)=?? 是 R 上的单 a? ? ? 4- ?x+2(x≤1) ? 2? ?? ? 调递增函数,则实数 a 的取值范围为( ) A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8) (2)[2012· 上海卷] 已知函数 f(x)=e|x-a|(a 为常数). 若 f(x) 在区间 [1 ,+∞) 上是增函数 ,则 a 的取值范围是 ____________________.
[答案] (1)B (2)(-∞,1]

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函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

[解析] (1)函数 f(x)在 R 上为增函数,则 y=ax 在(1, ? a? ? +∞)上为增函数,函数 y=?4-2? ?x+2 在(-∞,1]上为增 ? ? ?a>1, ? ?4-a>0, ? ? a ? 2 4 - 函数,且 a≥? ? ?+2,因此? 2 ? ? ? ? a? ? ?a≥?4- ? +2 , 2? ? ? ? 解得 4≤a<8.故选 B. (2)令 t=|x-a|,则 t=|x-a|在区间[a,+∞)上单调递 增,而 y=et 为增函数,所以若函数 f(x)=e|x-a|在[1,+∞) 单调递增,则有 a≤1,所以 a 的取值范围是(-∞,1].

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第5讲

函数的单调性与最值

?

探究点二

求函数的单调区间

点 面 讲 考 向

例 2 求出下列函数的单调区间: (1)f(x)=|x2-4x+3|; (2)f(x)=log2(x2-1).

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)条件:带绝对值的二次函数;目标: 求出单调区间;方法:去掉绝对值,化为分段函数,作出 图像,观察得出单调区间. (2)条件: 二次函数与对数函数复合而成的函数; 目标: 求出单调区间;方法:求出函数定义域,在定义域内求出 y=x2-1 的单调区间,再根据复合函数的单调区间的求法 求出 f(x)的单调区间.

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

解:(1)先作出函数 y=x2-4x+3 的图像,由于绝对 值的作用,把 x 轴下方的部分翻折到上方,可得函数 y= |x2-4x+3|的图像.如图所示.

由图可知,f(x)在(-∞,1)和(2,3]上为减函数,在 [1,2]和(3,+∞)上为增函数,故 f(x)的增区间为[1,2], (3,+∞),减区间为(-∞,1),(2,3].

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第5讲

函数的单调性与最值

(2)函数的定义域为 x2-1>0,即{x|x>1 或 x<-1}. 令 u(x)=x2-1,图像如图所示.
点 面 讲 考 向

由图像可知,u(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(1, +∞)上是增函数. 而 f(u)=log2u 是增函数. 故 f(x)=log2(x2-1)的单调增区间是(1,+∞), 单调减区间是(-∞,-1).
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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

[点评] (1)是利用函数图像求单调区间,一般来说, 用定义不易判断单调性,而图像又较易作出时,可以用图 像法求单调区间;(2)是复合函数的单调性问题,将一个 函数“拆分”成几个简单函数,利用复合函数单调性的判 断规则判断.

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①复合函数y=f[g(x)]的单调规律是“同 则增,异则减”,即f(u)与u=g(x)若具有相同的单调性, 则f[g(x)]为增函数,若具有不同的单调性,则f[g(x)]必为 减函数.讨论复合函数单调性的步骤是: (i)求出复合函数的定义域. (ii)把复合函数分解成若干个常见的基本函数,并判定其单 调性.

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

②区分两个概念:“函数的单调区间”和“函数在某 区间上单调”,前者指函数具备单调性的“最大”的区间, 后者是前者“最大”区间的子集.如函数y=x2的单调递 增区间是(0,+∞),在(0,2)上递增,但不能说区间(0, 2)是该函数的递增区间. ③若函数在两个不同的区间上单调性相同,则这两个区间 要分开写,不能写成并集.例如,函数f(x)在区间(-1,0) 上是减函数,在(0,1)上是减函数,但在(-1,0)∪(0, 1)上却不一定是减函数.如函数f(x)=1.
x

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

变式题 (1)给定函数①y= x;②y=log0.5(x+1);③y =|x-1|;④y=2x+1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序 号是________. (2)[2012·安徽卷] 若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区 间是[3,+∞),则 a=________.

[答案] (1)②③ (2)-6

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函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

[解析] (1)y= x 在[0 ,+∞)上是增函数;y = log0.5(x+1)在(-1,+∞)上为减函数,所以在区间(0,1) 上为减函数;y=|x-1|在(-∞,1]为减函数,所以在区间 (0,1)上为减函数;y=2x+1 在 R 上为增函数.所以符合 条件的函数是②③. (2)容易作出函数 f(x)的图像(图略),可知函数 f(x)在 ? ? a ? a? ? ? ? ? ?-∞,-2?上单调递减,在?-2,+∞? 单调递增.又已 ? ? ? ? a 知函数 f(x)的单调递增区间是[3,+∞),所以- =3,解 2 得 a=-6.

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第5讲

函数的单调性与最值

?

探究点三

抽象函数的单调性

点 面 讲 考 向

例 3 定义在 R 上的函数 y=f(x), f(0)≠0, 当 x>0 时, f(x)>1,且对任意的 a,b?R,有 f(a+b)=f(a)· f(b). (1)证明:f(0)=1; (2)证明:对任意的 x?R,恒有 f(x)>0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)· f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围.

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

[思考流程] 条件:抽象函数 y=f(x)满足条件 f(a+b) =f(a)· f(b);目标:(1)f(0)=1;(2)证明对任意 x?R,恒有 f(x)>0;(3)证明:f(x)是 R 上的增函数;(4)求满足所给不 等式的 x 值;方法:(1)特殊值法;(2)先求出 f(0)=1,再 根据 f(a+b)=f(a)· f(b)证明 f(-x)>0;(3)按单调性定义证 明,要注意证明格式;(4)将 f(x)· f(2x-x2)转化为 f(x+2x- x2),又 f(0)=1,于是原不等式转化为 f(3x-x2)>f(0),再利 用单调性求解.

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

解:(1)证明:令 a=b=0,则 f(0)=f2(0). 又 f(0)≠0,所以 f(0)=1. (2)证明:当 x<0 时,-x>0, 所以 f(0)=f(x-x)=f(x)· f(-x)=1. 1 所以 f(-x)= >0.又 x≥0 时 f(x)≥1>0, f(x) 所以 x?R 时,恒有 f(x)>0.

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

(3)证明:设 x1<x2,则 x2-x1>0. 所以 f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)· f(x1). 因为 x2-x1>0,所以 f(x2-x1)>1. 又 f(x1)>0,所以 f(x2-x1)· f(x1)>f(x1). 所以 f(x2)>f(x1). 所以 f(x)是 R 上的增函数. (4)由 f(x)· f(2x-x2)>1, f(0)=1 得 f(3x-x2)>f(0). 又 f(x) 是 R 上的增函数,所以 3x-x2>0.所以 0<x<3.

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

[点评] 解本题的关键是灵活应用题目条件,尤其是(3) 中“f(x2)=f [(x2-x1)+x1]”是证明单调性的关键,这里体 现了向条件化归的策略.(3)也可以设x2=x1+t(t>0),f(x2) =f(x1+t)=f(x1)·f(t)>f(x1);或者设x1<x2,则==>1,又 f(x1)>0,f(x2)>0,故f(x2)>f(x1).

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①对于抽象函数的单调性的判断仍然要 紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条件,对 任意x1,x2在所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小,或 f(x1) 与1的大小.有时根据需要,需作适当的变形:如 f(x2) x1 x1=x2· 或x1=(x2+x1)-x2等. x2 ②若已知函数在区间 D 上递增,求参数的范围,求解的关 键是利用单调性将函数值的大小转化为自变量的大小关 系.

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第5讲

函数的单调性与最值

?

探究点四

函数的最值及其求法

点 面 讲 考 向

例 4 (1)对于每一个实数 x, f(x)是 y=2-x2 和 y=x 这两个函数中的较小者,则 f(x)的最大值是( ) A.2 B.1 C.0 D.-2 (2)若 φ(x),g(x)都是奇函数,f(x)=aφ(x)+bg(x)+2 在(0,+∞)上有最大值 5,则 f(x)在(-∞,0)上有( ) A.最小值-5 B.最大值-5 C.最小值-1 D.最大值-3

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

思考流程 (1)分析:需要把函数 f(x)的解析式求出;推 理:把函数 f(x)使用分段的方法表示出来,分别求出各段 的值域;结论:值域中的最大值即为所求的最大值. (2)分析:需要研究函数 f(x)的性质;推理:根据奇函 数的性质把函数在 (0,+∞)上的最大值转化为函数在 (- ∞,0)上的最小值;结论:结合选项得出答案.

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第5讲

函数的单调性与最值

[答案] (1)B (2)C

点 面 讲 考 向

?2-x2(x<-2), ? [解析] (1)f(x)=?x(-2≤x≤1), ?2-x2(x>1). ? 当 x<-2 时函数值域为(-∞,-2),当-2≤x≤1 时 函数值域为[-2,1],当 x>1 时函数值域为(-∞,1).故 函数 f(x)的值域为(-∞,1],所以函数 f(x)max=f(1)=1. (2)φ(x),g(x)为奇函数,所以 f(x)-2=aφ(x)+bg(x)为 奇函数. 又 f(x)有最大值 5,所以 f(x)-2 在(0,+∞)上有最大 值 3. 所以 f(x)-2 在(-∞, 0)上有最小值-3, 所以 f(x)在(- ∞,0)上有最小值-1.
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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

[点评] 函数的最值是函数在定义域上的整体性质, 求函数最值时要从整个定义域上进行,分段函数的最值是 各个段上函数值最大的一个值.

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

归纳总结 函数的最值是函数在其定义域上的整体性 质,即函数的值域中最大的一个函数值和最小的一个函数 值,当对一个函数的解析式进行了变形时,要注意这个变 形是否是等价变形,如果是不等价变形要注意这个变形对 函数最值的影响.

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第5讲

函数的单调性与最值

点 面 讲 考 向

变式题 (1)函数 y= x2-2x+3有( ) A.最小值 2 B.最小值 2 C.最大值 2 D.最大值 2 (2)若函数 y=(2m2-m-3)x+m 在区间[-1, 1]上的最 小值是 1,则实数 m 的值是________.

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第5讲

函数的单调性与最值

1+ 5 [答案] (1)B (2) 2或 2
点 面 讲 考 向

[解析] (1)y= (x-1)2+2,因为(x-1)2+2≥2,所 以 y≥ 2,故选 B. (2)一次函数在闭区间上必有最小值,当 2m2-m-3<0 时,最小值在 x=1 时取得,即 2m2-m-3+m=1, 解得 m = 2(m=- 2舍去);当 2m2-m-3>0 时,最小值在 x= 1+ 5 2 -1 时取得,即- (2m -m-3)+m=1,解得 m= 2 ? ? 1- 5 ? ? m = (舍去) ? ?. 2 ? ?

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第5讲

函数的单调性与最值

思想方法

2

函数中的新定义问题

多 元 提 能 力

例 [2011?四川卷] 函数 f(x)的定义域为 A,若 x1, x2?A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为单函数, 例如,函数 f(x)=2x+1(x?R)是单函数.下列命题: ①函数 f(x)=x2(x?R)是单函数; ②指数函数 f(x)=2x(x?R)是单函数; ③ 若 f(x) 为 单 函 数 , x1 , x2 ? A 且 x1 ≠ x2 , 则 f(x1)≠f(x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号)

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第5讲

函数的单调性与最值

[答案] ②③④
[解析] 本题主要考查对函数概念以及新定义概念的 理解.对于①,如-2,2?A,f(-2)=f(2),则①错误; 对于②,当 2x1=2x2 时,总有 x1=x2,故为单函数;对于 ③根据单函数的定义,函数即为一一映射确定的函数关 系,所以当函数自变量不相等时,则函数值不相等,即③ 正确;对于④,函数 f(x)在定义域上具有单调性,则函数 为一一映射确定的函数关系,所以④正确.

多 元 提 能 力

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第1讲

集合及其运算

多 元 提 能 力

[方法解读] 在解函数新定义问题时,应注意:(1)紧 扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问 题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这 是破解新定义型函数问题难点的关键所在;(2)用好化归 与转化思想,新定义问题最终都要转化为常规问题,如何 转化,这就要寻找“新”与“旧”之间的连接点;(3)用 好函数的性质,诸如函数的单调性、奇偶性、周期性等以 及新定义中的“新规定”.

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第5讲

函数的单调性与最值

自我检评 定义新运算“⊕”: 当 a≥b 时, a⊕b=a; 当 a<b 时, a⊕b=b2, 则函数 f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x), x?[- 2,2]的最大值等于( ) A.-1 B.1 C.6 D.12
多 元 提 能 力

[答案] C

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第5讲

函数的单调性与最值

[解析] 当-2≤x≤1 时, f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x)=1· x-2=x-2, 此时-4≤f(x)≤-1; 当 1<x≤2 时,f(x)=x2?x-2=x3-2, 此时-1<f(x)≤6.综上可知-4≤f(x)≤6, 所以 f(x)的最大值为 6.故选 C.
多 元 提 能 力

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第5讲

函数的单调性与最值

【备选理由】 高考对函数单调性的考查,往往不是单一的,而是 将单调性与奇偶性、周期性、解不等式等结合起来进行综 合考查.下面的例1将函数单调性与抽象函数、解不等式 相结合,考查函数单调性的应用;例2将函数单调性与奇 偶性、解不等式结合,考查单调性和奇偶性的应用;例3 考查单调性在抽象函数的函数值比较大小中的应用.作为 例题和练习的延伸,有一定的使用价值.
教 师 备 用 题
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第5讲

函数的单调性与最值

例 1 已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,且 f(1)=0, 函数 g(x)在(-∞, 1]上为增函数, 在[1, +∞)上为减函数, 且 g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x)g(x)≥0}=( ) A.{x|x≤0 或 1≤x≤4} B.{x|0≤x≤4} C.{x|x≤4} D.{x|0≤x≤1 或 x≥4}

[解析] A 由题,结合函数性质可得 x>1 时,f(x)>0; x<0 时,f(x)<0; x<0 或 x>4 时, g(x)<0; 0<x<4 时, g(x)>0, 故 f(x)g(x)≥0 的解集为{x|x≤0 或 1≤x≤4}.故选 A.

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第5讲

函数的单调性与最值

例 2 定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0, +∞)上是增函数, 1 若 f3=0,则适合不等式 flog 1 x>0 的 x 的取值范围是( ) 27 1 A.(3,+∞) B.(0,3) 1 C.(0,+∞) D.(0,3)∪(3,+∞)

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第5讲

函数的单调性与最值

[解析] D 因为定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞) ? 1 1 ? ? ? 1 1 上是增函数,且 f =0,则由 flog x>0,得?log x?>3,即 3 27 ? ? 27 1 1 1 1 1 log x> 或 log x<- ,解得 0<x< 或 x>3.故选 D. 3 3 3 27 27

教 师 备 用 题
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第5讲

函数的单调性与最值

例 3 已知函数 f(x)图像的两条对称轴 x=0 和 x=1, 且在 x?[-1,0]上 f(x)单调递增,设 a=f(3),b=f( 2), c=f(2),则 a,b,c 的大小关系是( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a

教 师 备 用 题
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第5讲

函数的单调性与最值

[解析] D 因为 f(x)在[-1,0]上单调递增,f(x)的图 像关于直线 x=0 对称,所以 f(x)在[0,1]上单调递减;又 f(x)的图像关于直线 x=1 对称,所以 f(x)在[1,2]上单调递 增.由对称性 f(3)=f(-1)=f(1)<f( 2)<f(2),即 a<b<c.

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第6讲 函数的奇偶性与周期性

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考试大纲

1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.掌握奇函数与偶函数图像的对称关系,并熟练地 利用对称性解决函数的综合问题. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、 应用简单函数的周期性.

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第6讲
双 向 固 基 础

函数的奇偶性与周期性

—— 知 识 梳 理 —— 一、函数奇偶性的定义
奇偶性 偶函数 定义 图像特点
y轴 关于___________ 对称

如果对于函数f(x)的定义域 内任意一个x,都有 f(-x)=f(x) ,那么函数 ____________ f(x)就叫做偶函数 如果对于函数f(x)的定义域 内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x) ,那么函数 ____________ f(x)就叫做奇函数

奇函数

原点 关于___________ 对称

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第6讲
双 向 固 基 础

函数的奇偶性与周期性

二、利用定义判断函数奇偶性的步骤 利用定义判断函数奇偶性的步骤如下: 定义域 ,并判断其是否关 第一步:首先确定函数的________ 原点 对称; 于________ f(x) f(-x) 的关系; 第二步:确定________ 与________ 第三步:作出相应结论:在定义域关于原点对称的条 件下,若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数; 若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.

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第6讲
双 向 固 基 础

函数的奇偶性与周期性

三、奇(偶)函数的简单性质 1.在定义域的公共部分内,两个奇函数之积(商)为 偶函数 ;两个偶函数之积(商)也是________ 偶函数 ;一奇一偶 ________ 奇函数 注:取商时应使分母不为 0). 函数之积(商)为________( 2.奇(偶)函数有关定义的等价形式 f(x) f(-x)=± f(x)?f(-x)?f(x)=0? =± 1(f(x)≠0). f(x) 3.若函数 y=f(x)是奇函数且 0 是定义域内的值,则 3.0 . f(0)=________ 4.f(x)为偶函数?f(-x)=f(x)=f(|x|).

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第6讲
双 向 固 基 础

函数的奇偶性与周期性

四、周期函数 非零常数T ,使得当x取定 对于函数f(x),如果存在一个__________ f(x+T)=f(x),那么函数f(x)是 义域内的每一个值时,都有___________ 周期函数,T是它的一个周期.若T是函数的一个周期,则 nT(n?N, n≠0) 也是函数的周期.如果在周期函数 f(x) 的 最小的正数 ,那么这个数就叫做f(x) 所有周期中存在一个____________ 的最小正周期.

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第6讲
双 向 固 基 础

函数的奇偶性与周期性

—— 疑 难 辨 析 ——
1.函数的奇偶性问题 (1)已知函数 f(x)=x2-2ax+1,则 ①a=0 时,f(x)为偶函数;( ) ②a≠0 时,f(x)为非奇非偶函数;( ) ③F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数.( ) (2)[2011·广东卷改编] 设 f(x)和 g(x)分别是 R 上的 偶函数和奇函数,则 ①f(x)± |g(x)|是偶函数;( ) ②|f(x)|± g(x)是奇函数.( )

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第6讲
双 向 固 基 础

函数的奇偶性与周期性

(3)[2011· 辽 宁 卷 改 编 ] 若 函 数 f(x) = x 为奇函数,则 a=2.( ) (x-2)(x+a) (4) 函数 y = lg|x| 在定义域上既是偶函数又是增函 数.( )

[答案] ①√ ②√ ③√ (2)①√ ②? (3)√ (4)?

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第6讲
双 向 固 基 础

函数的奇偶性与周期性

[解析] (1)①f(x)=x2+1 满足偶函数的定义,是偶函 数. ②a≠0 时, f(x)=x2-2ax+1 既不满足偶函数的定义, 又不满足奇函数的定义,是非奇非偶函数. ③F(x)=f(x)-f(-x)=-4ax.a≠0 时, F(x)是奇函数, a=0 时,既是奇函数又是偶函数.所以说“F(x)=f(x)- f(-x)是奇函数”是没有问题的. (2)①根据偶函数的定义可以判断结论正确. ②不满足奇函数的定义,也不满足偶函数的定义, 是非奇非偶函数. (3)利用奇函数定义可知正确. (4)y=lg|x|在定义域(-∞, 0)∪(0, +∞)上是偶函数, 只在(0,+∞)上是增函数.
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第6讲
双 向 固 基 础

函数的奇偶性与周期性

2.函数的周期性问题 (1)函数 f(x)在定义域上满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x) 是周期为 2a(a≠0)的周期函数.( ) (2)函数 f(x)为 R 上的奇函数, 且 f(x+2)=f(x), 则 f(2 014)=0.( )

[答案] (1)√ (2)√

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第6讲
双 向 固 基 础

函数的奇偶性与周期性

[解析] (1)f(x+2a)=-f(x+a)=f(x),所以结论成立. (2)依题意 f(0)=0,函数 f(x)是周期为 2 的周期函数, f(2 014)=f(0)=0.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性
考点 考频 选择(2) 填空(2) 选择(1) 填空(1) 解答(1) 选择(2) 示例(难度) 2012年天津T2(A), 2012年上海T9(B) 2012年陕西T2(A) 2012年江苏T10(B), 2012年上海T20(B) 2012年山东T8(B), 2012年福建T7(B)

1.函数的奇偶性的探究 及其应用 点 面 讲 考 向 2.函数的单调性与奇偶 性 3.函数的奇偶性与周期 性 4.函数性质的综合应用

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2012年课标地区真题卷情况.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

?

探究点一

函数的奇偶性的探究及其应用

点 面 讲 考 向

例 1 (1)[2011·广东卷] 设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ) A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 (2)若奇函数 f(x)是定义在(-1,1)上的增函数,则关 于 a 的不等式 f(a-2)+f(a2-4)<0 的解区间是________.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

思考流程 (1)分析:需要利用已知函数的奇偶性; 推理:根据函数奇偶性的定义、绝对值的性质进行推理; 结论:根据是否满足函数奇偶性定义作出选择. (2)分析:需要根据已知函数的性质进行转化;推理: 根据函数的奇偶性 f(a-2)+f(a2-4)<0?f(a-2)<f(4-a2), 再根据单调性和函数定义域把其转化为关于 a 的不等式 组;结论:解不等式组即得.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

[答案] (1)A (2)( 3,2)

点 面 讲 考 向

[解析] (1)奇函数绝对值后是偶函数,两个偶函数之 和是偶函数.选 A. (2)由已知得 f(a-2)<-f(a2-4),因为 f(x)是奇函数, 所以-f(a2-4)=f(4-a2),于是 f(a-2)<f(4-a2). 又 f(x) 是 定 义 在 ( - 1 , 1) 上 的 增 函 数 , 从 而 ?a-2<4-a2, ?-3<a<2, ? ? ?-1<a-2<1, 解 得 ?1<a<3, 即 3 ?-1<a2-4<1, ?- 5<a<- 3或 3<a< 5, ? ? <a<2, 即不等式的解集是( 3,2).

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函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

[点评] (1)判断函数奇偶性的基本方法就是定义,当 两个函数分别具备奇偶性时,有其通过运算组成的新函数 的奇偶性就可能发生变化,如一个奇函数经过平方运算后 就是一个偶函数,这类问题只要紧扣定义就不难解决;(2) 函数的奇偶性和单调性联合运用可以把抽象函数问题转化 为具体的问题,在一些抽象函数问题中有时需要先探究函 数的奇偶性,然后再利用奇偶性解决问题(见[变 式](2)).

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

归纳总结 函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性 质,即必须对定义域内的任意自变量的值满足奇偶函数的 定义,具备奇偶性的函数其定义域一定是关于坐标原点对 称的.定义域在R内的奇函数f(x),必有f(0)=0,但满足f(0) =0的函数f(x)未必是奇函数.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2013· 阜新模拟] 已知定义在 R 上的奇函 数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a -x+2(a>0 且 a≠1).若 g(2)=a,则 f(2)=( ) 15 A.2 B. 4 17 C. D.a2 4 ?2x,x<0, ? (2)[2012·郑州二模] 设函数 f(x)=?0,x=0, 且 ?g(x),x>0, ? f(x)为奇函数,则 g(3)=( ) 1 A.8 B. 8 1 C.-8 D.- 8
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函数的奇偶性与周期性

[答案] (1)B
点 面 讲 考 向

(2)D

[解析] (1)因为函数 f(x)为奇函数, 函数 g(x)为偶函数, 所以 f(2)+g(2)=a2-a-2+2①,f(-2)+g(-2)=a-2-a2 +2=-f(2)+g(2)②,可得 g(2)=2,所以 a=2.将 a=2 代 15 入①可得 f(2)= . 4 (2)由于 f(x)为奇函数, 故当 x>0 时, f(x)=-f(-x)=- 1 -x -x 2 ,所以 g(x)=-2 ,所以 g(3)=- . 8

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函数的奇偶性与周期性

?

探究点二

函数的单调性与奇偶性

点 面 讲 考 向

例2 (1)[2012· 陕西卷] 下列函数中, 既是奇函数又 是增函数的为( ) A.y=x+1 B.y=-x3 1 C.y= D.y=x|x| x (2)[2012· 保定八校联考] 对于函数: ①f(x)=|x+2|; ②f(x) =(x-2)2;③f(x)=cos(x-2). 有如下两个命题:命题甲:f(x+2)是偶函数; 命题乙:f(x)在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是 增函数. 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是( ) A.①② B.①③ C.② D.③
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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:先熟悉题中所给四个函数的类 型及性质;推理:用奇函数和增函数的概念对四个函数逐 一判断;结论:根据判断得出结果. (2)分析:先熟悉绝对值函数、二次函数、余弦函数的 性质;推理:依据题中要求逐一验证三个函数;结论:根 据验证得出结果.
[答案] (1)D (2)C

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

[解析] (1)本小题主要考查函数的单调性、奇偶性, 解题的突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图 像的对应关系.若函数为单调增函数,其图像为从左向 右依次上升;若函数为奇函数, 其图像关于原点对称.经 分析,A 选项函数的图像不关于原点对称,不是奇函数, 排除; B 选项函数的图像从左向右依次下降, 为单调减函 数,排除;C 选项函数的图像从左向右依次下降,为单调 减函数,排除;故选 D.其实对于选项 D,我们也可利用 x>0,x=0,x<0 分类讨论其解析式,然后画出图像,经 判断符合要求.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

(2)对于 f(x)=|x+2|,在(-∞,-2)上为减函数,f(x -2)为偶函数,所以①不符合题意;对于 f(x)=(x-2)2, 在(-∞,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,其图 像的对称轴为 x=2,向左平移 2 个单位为函数 f(x+2)的 图像,所以 f(x+2)是偶函数,所以②符合题意;对于 f(x) =cos(x-2),显然在(-∞,2)上不是减函数,所以③不 符合题意.故选 C.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

[点评] 将函数的单调性、奇偶性、周期性等性质放 在几个函数中进行综合考查,是近几年新课标地区高考中 对函数考查的新特点,本题涉及了一次函数、二次函数、 绝对值函数、幂函数、三角函数等.只要能够熟练掌握基 本初等函数的性质、图像特征,此类问题就很容易解 决.如下面的变式题.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①若函数f(x)为偶函数,则函数在y轴两 侧单调性相反;若函数f(x)为奇函数,则函数在原点两侧 的单调性相同. ②利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题转化 到只研究部分(一半)区间上的问题,是简化问题的一种途 径.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

变式题 [2012·大同调研] 已知定义域为 R 的函数 f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数 y=f(x+8)为偶函数, 则( ) A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)

[答案] D

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

[解析] 因为 y=f(x+8)为偶函数,将其图像向右 平移 8 个单位得函数 y=f(x)的图像, 该图像的对称轴为 x = 8. 又 f(x) 在 (8 , + ∞) 上 为 减 函 数 , 所 以 f(7) = f(9)>f(10).故选 D.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

?

探究点三

函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

例 3 (1)[2012·吉林质检] 设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且对任意 x?R 都有 f(x)=f(x+4), 当 x?[- 2,0)时,f(x)=2x,则 f(2 014)-f(2 013)的值为( ) 1 1 A.- B. 4 4 C.4 D.-4 (2)[2012· 浙江卷] 设函数 f(x)是定义在 R 上的周期 ?3? ? 为 2 的偶函数,当 x?[0,1]时,f(x)=x+1,则 f? ?2?= ? ? ________.

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函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

3 [答案] (1)B (2) 2 [解析] (1)由题可知函数的周期为 4, 故 f(2 014) -f(2 013)=f(2)-f(1).因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 1 1 -2 -1 f(2)=-f(-2)=-2 =- , f(1)=-f(-1)=-2 =- , 4 2 1 1 1 所以 f(2 014)-f(2 013)=- + = .故选 B. 4 2 4 (2)函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,且 ?3? ? 3? ? 3? ? ? ? ? ? 当 x?[0,1]时,f(x)=x+1,那么 f?2?=f?-2?=f?2-2? ?= ? ? ? ? ? ? ?1? 3 ? f? ?2?=2. ? ?

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函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

归纳总结 函数周期性问题应牢牢把握周期函数的 定义,并掌握一些常见的确定函数周期的条件. ①若 T为函数的一个周期,则 nT(n?Z且 n≠0)也是函数的 周期. ②若对任何x?D都有f(x+a)=-f(x),则f(x)是以2a为周期 的函数. 1 ③若对任何x?D都有f(x+a)=± (f(x)≠0),则f(x) f(x) 是以2a为周期的函数. ④若函数f(x)有两条对称轴x=a,x=b,则f(x)是以2|a-b| 为周期的函数.

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函数的奇偶性与周期性

?

探究点四

函数性质的综合应用

点 面 讲 考 向

例 4 (1)[2012·汕头模拟] 已知函数 f(x+1)是定 义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1,x2, 不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 恒成立, 则不等式 f(1-x)<0 的解集为( ) A.(1,+∞) B.(-∞,0) C.(0,+∞) D.(-∞,1) 4 (2)已知函数 y=f(x)是偶函数, 当 x>0 时, f(x)=x+ , x 且当 x?[-3,-1]时,n≤f(x)≤m 恒成立,则 m-n 的 最小值是________.
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函数的奇偶性与周期性

[答案] (1)B (2)1

点 面 讲 考 向

[解析] (1)f(x+1)是奇函数, 即其图像关于原点对称, 将 f(x+1)向右平移 1 个单位长度,得 f(x)的图像,故 f(x) 的图像关于点(1, 0)对称, 由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 恒成立, ? ? ?x1-x2>0, ?x1-x2<0, 知? 或? 得 f(x)为 R ? ? ?f(x1)-f(x2)<0 ?f(x1)-f(x2)>0, 上的减函数.又 f(1)=0,不等式 f(1-x)<0 即 f(1-x)<f(1), 有 1-x>1,故 x<0.故选 B. 4 (2)因为函数 f(x)=x+ 在(0,2)上为减函数,在[2,+ x ∞)上为增函数,则当 x?[1,3]时,4≤f(x)≤5.又函数 y= f(x)为偶函数,故当 x?[-3,-1]时,4≤f(x)≤5,则 m- n 的最小值是 1.
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函数的奇偶性与周期性

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①关于奇偶性、单调性、周期性的综合性 问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转 化为已知区间上的问题. ②掌握以下两个结论,会给解题带来方便: (i)f(x) 为偶函 数?f(x)=f(|x|).(ii)若奇函数在x=0处有意义,则f(0)=0.

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函数的奇偶性与周期性

易错究源 4


忽视定义域导致奇偶性判断错误
1-x 在定义域上是( 1+x )

函数 f(x)=(x+1)

多 元 提 能 力

A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.无法判断

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函数的奇偶性与周期性

[ 错 解 ]
2

B

f(x) = (x + 1)

1-x = 1+x

1-x (x+1) ? ,① 1+x = (1+x)(1-x)= 1-x2, 其定义域为[-1, 1], ② 且 f(-x)=f(x),所以函数 f(x)为偶函数.
多 元 提 能 力

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函数的奇偶性与周期性

[错因] ①处:表达式变形有误, 1-x 1-x 2 (x+1) ≠ (x+1) ? . 1+x 1+x ②处:因不等价变形导致定义域求错.
1-x x-1 [正解] C 要使函数有意义,必须 ≥0,即 ≤ 1+x x+1 0,解得-1<x≤1,定义域不关于原点对称,所以函数 f(x) 为非奇非偶函数.故选 C.

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函数的奇偶性与周期性

多 元 提 能 力

?x2-2x+5(x>0), ? 自我检评 (1)函数 f(x)=?0(x=0), 是R上 ?-x2-2x-5(x<0) ? 的( ) A.偶函数 B.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 k-2x (2)若函数 f(x)= x在定义域上为奇函数,则实数 1+k· 2 k=________.
[答案] (1)B (2)± 1

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函数的奇偶性与周期性

多 元 提 能 力

[解析] (1)当 x>0 时,-x<0,f(-x)=-(-x)2-2(-x) -5=-(x2-2x+5)=-f(x);当 x<0 时,-x>0,f(-x)=(- x)2-2(-x)+5=-(-x2-2x-5)=-f(x);当 x=0,-x=0, f(-x)=0=f(x)=-f(x). 综上知, 函数 f(x)为 R 上的奇函数. 故 选 B. (2)方法一:若定义域中包含 0,则 f(0)=0,解得 k=1; 若定义域中不包含 0, 则 k=-1, 验证得此时 f(x)也是奇函数. 方法二:由 f(-x)+f(x)=0 恒成立,解得 k=± 1.

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

【备选理由】 下面的三个题目,都是函数性质的综合应用问题,有 一定的难度.第1题是抽象函数问题,根据已知等式推得 函数的奇偶性和单调性,再比较函数值的大小;第2题由 函数的奇偶性推得函数的周期,再求函数值;第3题则是 函数的奇偶性、周期性、单调性结合的问题.作为前面例 题的补充,给学有余力的学生提供几道提高解题能力的题 目.
教 师 备 用 题
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函数的奇偶性与周期性

例 1 定义在(-1,1)上的函数 f(x)满足 f(x)-f(y)= x-y 1 1 f( );当 x?(-1,0)时,f(x)>0,若 P=f( )+f( ),Q 5 11 1-xy 1 =f( ),R=f(0),则 P,Q,R 的大小关系为( ) 2 A.R>Q>P B.R>P>Q C.P>R>Q D.Q>P>R
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函数的奇偶性与周期性

教 师 备 用 题

[解析] B 令 x=y=0,则可得 f(0)=0,令 x=0, x-y 则-f(y)=f(-y), 即 f(x)为奇函数. 令 0<y<x<1, 则 >0, 1-xy x-y 所以 f(x)-f(y)=f( )<0,即 x?(0,1)时,f(x)递减.又 1-xy 1 1 + 5 11 1 1 1 1 2 2 P=f( )+f( )=f( )-f(- )=f( )=f( ),因为 0< 5 11 5 11 1 1 7 7 1+ · 5 11 1 2 1 < ,所以 f(0)>f( )>f( ),所以 R>P>Q,故选 B. 2 7 2

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第6讲

函数的奇偶性与周期性

例 2 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, g(x)是定义在 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),则 f(2 013)+f(2 015)的值为 ( ) A.-1 B.1 C.0 D.无法计算

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函数的奇偶性与周期性

[解析] C 由题意,得 g(-x)=f(-x-1), 又∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, g(x)是定义在 R 上的 奇函数,∴g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x), ∴f(x-1)=-f(x+1), ∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4), ∴f(x)的周期为 4, ∴f(2 013)=f(1),f(2 015)=f(3)=f(-1). 又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0, ∴f(2 013)+f(2 015)=0.
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函数的奇偶性与周期性

例 3 设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=- f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π )的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图像与 x 轴所围成图形 的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调增(或减)区间.

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函数的奇偶性与周期性

解:(1)由 f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, 所以 f(π )=f(-1?4+π )=f(π -4)=-f(4-π )=- (4-π )=π -4.

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函数的奇偶性与周期性

(2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x), 得 f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x), 故函数 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称. 又 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图像关于原点成中心 对称,则当-4≤x≤4 时,f(x)的图像与 x 轴围成的图形如 ?1 ? ? 图所示,设其面积为 S,则 S=4S△OAB=4??2?2?1? ?=4. ? ?
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函数的奇偶性与周期性

教 师 备 用 题
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第6讲

函数的奇偶性与周期性

(3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k?Z), 单调递减区间[4k+1,4k+3](k?Z).

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第7 讲

二次函数

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考试大纲

1.掌握二次函数的图像与性质(单调性、对称性、顶 点、最值). 2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次 函数、一元二次方程的联系. 3.了解二次函数的广泛应用.

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第7讲
双 向 固 基 础

二次函数

—— 知 识 梳 理 —— 一、二次函数的图像与性质
y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)

图像

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第7讲
双 向 固 基 础

二次函数
(续表)

对称轴方程

b x=-2a
? b 4ac-b2? ?- , ? 2 a 4 a ? ? ? b ? ?- ,+∞? ? 2a ? ? b? ?-∞,- ? 2a? ? ? b? ?-∞,- ? 2a? ? ? b ? ?- ,+∞? ? 2a ?

顶点坐标

增区间 性 质 单 调 性 减区间

最值

最小值

最大值

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第7讲
双 向 固 基 础

二次函数

二、二次函数解析式的求法
名称 表达式 示例

一般式

y=ax2+bx+c

图像过点(0,1),(1,3),(2,7)

顶点式

y=a(x-h)2+k

图像顶点(-1,1),过点(0,2)

零点式

y=a(x-x1)(x-x2)

零点1,2,过点(0,2)

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第7讲
双 向 固 基 础

二次函数

—— 疑 难 辨 析 ——
1.二次函数的图像问题 (1)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像恒过定点(0, c).( ) (2)如果二次函数图像与 x 轴有两个不同的交点,则 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像被 x 轴截得的线段 b2-4ac 的长度为 .( ) a

[答案] (1)√ (2)?

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第7讲
双 向 固 基 础

二次函数

[解析] (1)当 x=0 时,y=c. (2)设 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴的交点坐标为(x1, 0),(x2,0),则 x1,x2 为方程 ax2+bx+c=0 的两个实根, b c 故 x1 +x2=- ,x1x2= ,所以二次函数 y =ax2 +bx + a a c(a≠0) 的 图像 被 x 轴截得 的线段 的长度 为 |x1 - x2| = 2 ? b? b -4ac c ? ?2 2 (x1+x2) -4x1x2= ?-a? -4? = . a |a| ? ?

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二次函数

2.二次函数的性质中的问题 (1)二次函数 y=x2+mx+1 在[1, +∞)单调递增的充 要条件是 m≥-2.( ) (2)若二次函数 f(x)满足 f(2-x)=f(x),则该二次函数 在 x=1 处取得最大值.( ) (3)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0,x?[m,n])的最值 在顶点处取得.( )

[答案] (1)√ (2)? (3)?

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二次函数

[ 解 析 ] (1) 二 次 函 数 y = x2 + mx + 1 在 区 间 ? m ? ? ? - ,+∞ ? 2 ?上单调递增,在[1,+∞)上单调递增的充要 ? ? m 条件是- ≤1,即 m≥-2. 2 (2)二次函数 f(x)满足 f(2-x)=f(x),则该函数图像关 于直线 x=1 对称, 此时该函数在 x=1 处取得最大值或者 最小值,不一定是最大值.

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双 向 固 基 础

二次函数

(3)若顶点的横坐标在给定的区间上,则当 a>0 时, 在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点 处取得;当 a<0 时,在顶点处取得最大值,最小值在距 离对称轴较远的端点处取得; 若顶点的横坐标不在给定的区间上,则当 a>0 时, 最小值在距离对称轴较近的端点处取得,最大值在距离 对称轴较远的端点处取得;当 a<0 时,最大值在距离对 称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端 点处取得.

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双 向 固 基 础

二次函数

3.二次函数的解析式问题 (1)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像过点(0,0) 的充要条件是 c=0.( ) (2)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的两个零点可以确 定函数的解析式.( )
[答案] (1)√ (2)?
[解析] (1)若二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像 过点(0,0),则 0=c;反之,若 c=0,则点(0,0)适合函 数解析式. (2)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件,两 个零点不能确定函数解析式.

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二次函数
考点 考频 解答(1) 填空(3) 示例(难度) 2012年江西T16(A) 2012年陕西T13(A), 2012年山东T12(C) 2012年山东T8(B), 2012年江苏T13(B), 2012年陕西T21(C)

1.二次函数解析式 点 面 讲 考 向 2.二次函数图像与性 质

3.二次函数的综合应 用

选择(1) 填空(1) 解答(1)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2012年课标地区真题卷情况.
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二次函数

?

探究点一

二次函数解析式的求法

点 面 讲 考 向

1 2 例 1 (1)若二次函数 y=- x +(m-1)x+n 的图像 2 经过 A(-1,2),B(4,-3)两点,则该二次函数的对称 轴方程是( ) 1 1 A.x=-1 B.x=1 C.x=- D.x= 2 2 (2)若二次函数的图像与 x 轴交于点 A(-3, 0), 对称 轴是 x=1,顶点到 x 轴的距离为 2,则该二次函数的解 析式是____________________________.

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第7讲

二次函数

点 面 讲 考 向

思考流程 (1)分析:需要求出 m,n;推理:将已知 点的坐标代入函数解析式得方程组,解方程组求出 m,n, 得出函数解析式;结论:根据二次函数对称轴方程的公式 写出结论. (2)分析:需要确定二次函数解析式中的三个系数;推 理:根据已知的三个条件可得关于二次函数系数的三个方 程;结论:解方程组即得二次函数解析式中的三个系数.

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二次函数

[答案] (1)D
点 面 讲 考 向

1 2 1 15 1 2 1 15 (2)y= x - x- 或 y=- x + x+ 8 4 8 8 4 8

[解析] (1)因为二次函数图像过点(-1,2)和(4,- 3), 1 ? ?- -(m-1)+n=2, 所以? 2 ? ?-8+4(m-1)+n=-3, 5 3 ? ? ?-(m-1)+n= , ?m= , 2 解得? 2 即? ? ? ?4(m-1)+n=5, ?n=3. 1 2 1 所以 y=- x + x+3,该二次函数的对称轴方程是 x 2 2 1 = . 2
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第7讲

二次函数

(2)设所求解析式为 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由已知 得
点 面 讲 考 向

?9a-3b+c=0, ? ?- b =1, ? 2a ??4ac-b2? ? ?? ? 4a ?=2, ?? ? ?9a-3b+c=0, ? ?- b =1, ? 2a ?4ac-b2 ? =-2, ? 4a



?9a-3b+c=0, ? ?- b =1, ? 2a ?4ac-b2 ? =2 ? 4a



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二次函数

点 面 讲 考 向

1 1 ? ? ?a= , ?a=- , 8 ? 8 ? ? ? 1 1 解得?b=-4,或?b=4, ? ? ? ? 15 15 c=- c= . ? ? 8 8 ? ? 1 1 15 1 1 所以,所求解析式为 y= x2- x- 或 y=- x2+ x 8 4 8 8 4 15 + . 8

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第7讲

二次函数

点 面 讲 考 向

[点评] 求解二次函数解析式的关键是把刻画二次函 数的三个系数求出,基本方法是待定系数法,即根据已知 条件得出关于二次函数三个系数的方程组,通过解方程组 得出.

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二次函数

点 面 讲 考 向

归纳总结 求解二次函数解析式时要根据已知条件灵 活选用三种不同的形式.

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二次函数

点 面 讲 考 向

变式题 某汽车运输公司购买了一批新型大客车投入 营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润 y(十万元)与营 运年数 x(x?N*)满足二次函数关系如图 2-7-1,为了使营 运的年平均利润最大,则每辆客车应营运( ) A.6 年 B.7 年 C.8 年 D.9 年

图 2-7-1
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二次函数

[答案] B
[解析] 由函数图像知 y=-(x-8)2+15(x?N*), -(x-8)2+15 -x2+16x-49 年平均利润为 y= = x x ? 49? ? =-?x+ x ? ?+16≥-14+16=2, ? ? 当且仅当 x=7 时,其营运的年平均利润最大,为 20 万元.

点 面 讲 考 向

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二次函数

?

探究点二

二次函数图像与性质的应用

点 面 讲 考 向

例2 可能是(

(1)设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像 )

图 2-7-2 (2)已知函数 f(x)=x2-2tx+1,在区间[2,5]上单调且有 最大值为 8,则实数 t 的值为________.
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第7讲

二次函数

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:需要根据 a,b,c 的符号确定 二次函数图像的开口方向和对称轴位置;推理:由于二次 函数的开口方向由 a 的正负确定,因此分 a>0,a<0 求解; 结论:结合选项中函数图像的对称轴,以及函数图像与 y 轴的交点进行逐个判断得出结论. (2)分析:需要根据 t 值的不同取值分别求解;推理: 当函数在已知区间单调递增时,函数在 x=5 取最大值,当 函数在已知区间单调递减时, 函数在 x=2 取最大值; 结论: 根据最大值得出方程解出符合要求的 t 值.
9 [答案] (1)D (2) 5

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第7讲

二次函数

点 面 讲 考 向

(1)若 a>0,则 bc>0,根据选项 C,D, b c<0, 此时只有 b<0, 二次函数的对称轴方程是 x=- >0, 2a 选项 D 有可能; 若 a<0, 根据选项 A, c<0, 此时只能 b>0, b 二次函数的对称轴方程是 x=- >0,与选项 A 不符合, 2a 根据选项 B,c>0,此时只能 b<0,此时二次函数的对称 b 轴方程 x=- <0,与选项 B 不符合.故选 D. 2a

[解析]

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二次函数

点 面 讲 考 向

(2)函数 f(x)=x2-2tx+1 图像的对称轴是直线 x=t, 函数在区间[2,5]上单调,故 t≤2 或者 t≥5. 若 t≤2, 则函数 f(x)在区间[2, 5]上是增加的, 故 f(x)max 9 =f(5)=25-10t+1=8,解得 t= ;若 t≥5,函数 f(x)在 5 区间[2,5]上是减少的,此时 f(x)max=f(2)=4-4t+1=8, 3 解得 t=- ,与 t≥5 矛盾. 4 9 综上所述,只能是 t= . 5

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第7讲

二次函数

点 面 讲 考 向

[点评] (1)解答根据函数图像判断一些结论的题目时, 要根据函数图像上的特殊的点,函数图像上反映出的函数 性质进行判断,必要时要根据不同的情况进行分类讨 论.(2)当二次函数在一个闭区间内单调时,只要这个二 次函数的对称轴不在这个区间内部即可(可以在区间的端 点),当函数在一个闭区间上单调时,这个函数的最大值 和最小值就是区间的两个端点值.

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第7讲

二次函数

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①分析二次函数的图像,主要有两个要 点,一个是看二次项系数的符号,它确定二次函数图像的 开口方向,二是看对称轴和最值,它确定二次函数的具体 位置.函数图像判断类试题要会根据图像上的一些特殊点 进行判断,如函数图像与正半轴的交点、函数图像的最高 点与最低点等. ②求闭区间上的二次函数最值时,二次函数的对称轴位置 是分类求解的标准,可以分为二次函数的对称轴在已知区 间的左侧、区间内、区间的右侧.

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二次函数

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2013·河北重点中学联考] 定义在(1,+ ∞)上的函数 f(x)满足:①f(2x)=cf(x)(c 为正常数 );②当 2≤x≤4 时, f(x)=1-(x-3)2.若函数 f(x)的图像上所有极大 值对应的点均落在同一条直线上,则 c 等于( ) A.1 B.2 C.2 或 4 D.1 或 2 (2)若 f(x)=-4x2+4ax-4a-a2 在区间[0,1]内有最大 值-5,则 a=________.

5 [答案] (1)D (2)-5 或 4

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二次函数
1 (1)由已知可得, 当 1<x≤2 时, f(x)= f(2x) c

[解析]
点 面 讲 考 向

1 = [1-(2x-3)2]; c 当 2≤x≤4 时, f(x)=1-(x-3)2; 当 4≤x≤8 时, f(x) ? ? x? ?x ? ? 2?. ? ? ? ? =cf?2?=c?1-?2-3? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1- ?3 1? c ? ? 由题意可知三点?2,c?,(3,1),(6,c)共线,则 3 ? ? 2 c-1 = ,解得 c=1 或 c=2. 3

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第7讲

二次函数

点 面 讲 考 向

a a (2)f(x)的对称轴方程为 x= .当 <0,即 a<0 时,[0, 2 2 1]是 f(x)的递减区间,则 f(x)max=f(0)=-4a-a2=-5, a 得 a=1 或 a=-5,而 a<0,即 a=-5;当 >1,即 a>2 2 时,[0,1]是 f(x)的递增区间,则 f(x)max=f(1)=-4-a2 a =-5, 得 a=1 或 a=-1, 而 a>2, 即 a 不存在; 当 0≤ 2 ?a? 5 ? ≤1,即 0≤a≤2 时,f(x)max=f? =- 4 a =- 5 , a = .所 ?2? 4 ? ? 5 以 a=-5 或 . 4

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第7讲

二次函数

?

探究点三

二次函数的综合应用

点 面 讲 考 向

例 3 已知某商品的价格上涨 x%,销售的数量就减 少 mx%,其中 m 为正的常数. 1 (1)当 m= 时,该商品的价格上涨多少,就能使销 2 售的总金额最大? (2)如果适当地涨价,能使销售总金额增加,求 m 的 取值范围.

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第7讲

二次函数

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)条件:商品的价格上涨 x%,销售的数 1 量就减少 x%;目标:求销售的总金额最大;方法:列出 2 销售总金额关于 x 的函数,求 x 为何值时函数值最大. (2) 条件:商品的价格上涨 x% ,销售的数量就减少 mx%;目标:求 m 的取值范围,使 x>0 时,函数存在单调 递增区间;方法:在函数的定义域内存在单调递增区间的 m 范围即为所求.

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第7讲

二次函数

点 面 讲 考 向

解:(1)设商品现在定价 a 元,卖出的数量为 b 个. 由题设:当价格上涨 x%时,销售总额为 y=a(1+ x%)· b(1-mx%), ab 即 y= [-mx2+100(1-m)x+10 000],根据已 10 000 100 知 x≥0 且 mx<100,即 0≤x< . m 1 ab 取 m= 得 y= [-(x-50)2+22 500],当 x=50 2 20 000 9 时,ymax= ab,即该商品的价格上涨 50%时,销售总金 8 额最大.

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第7讲

二次函数

点 面 讲 考 向

ab (2)二次函数 y= [-mx2+100(1-m)x+ 10 000 ? 50(1-m)? ? ? 10 000] , 在 ?-∞, 上递增,在 ? m ? ? ?50(1-m) ? ? ? 适当地涨价能使销售总金额 ,+∞ ? ?上递减, m ? ? ? 100? ? 增加,即在?0, m ? ?内存在一个区间,使函数 y 在此区间 ? ? 50(1-m) 上是增函数,所以 >0,解得 0<m<1,即所求 m m 的取值范围是(0,1).

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第7讲

二次函数

点 面 讲 考 向

[点评] 二次函数在实际问题中具有广泛的应用,求 解这类问题的关键是列出实际问题的函数关系式,然后根 据问题的要求使用二次函数的性质得出数学结果,再把数 学结果翻译为对实际问题的解释.

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第7讲

二次函数

点 面 讲 考 向

归纳总结 二次函数的实际应用问题中要注意实际 问题对函数定义域的限制.

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第7讲

二次函数

点 面 讲 考 向

变式题 [2013·南昌一中、南昌十中联考] 某租赁 公司拥有汽车 100 辆, 当每辆车的月租金为 3 000 元时, 可 全部租出,当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车 将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未 租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆 车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收 益最大?最大月收益是多少?

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第7讲

二次函数

点 面 讲 考 向

解: (1)当每辆车月租金为 3 600 元时, 未租出的车 3 600-3 000 辆数为 =12,所以这时租出了 88 辆车. 50 (2)设每辆车的月租金定为 x 元,则公司月收益 ? x-3 000 x-3 000? ? ? f(x)=?100- ?50, ?(x-150)- 50 50 ? ? 2 x 1 整理得 f(x)=- +162x-21 000=- (x-4 050)2 50 50 +307 050, ∴当 x=4 050 时,f(x)最大,最大值为 f(4 050)= 307 050 元.

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第7讲

二次函数

思想方法3

函数思想在一元二次方程根的分布中的应用

多 元 提 能 力

例 若关于 x 的方程 22x+2xa+a+1=0 有实根, 则实 数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) B.(-∞,2-2 2] C.[-1,2-2 2] D.(-1,2-2 2]

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第7讲

二次函数

多 元 提 能 力

[解析] B 设 t=2x(t>0), 则原方程可变为 t2+at+a+1=0,① 原方程有实根,即方程①有正根. 令 f(t)=t2+at+a+1. (1)方程①有两个正实根 t1,t2, 2 Δ = a -4(a+1)≥0, ? ? ? a 则?-2>0, 解得-1<a≤2-2 2; ? ? ?f(0)=a+1>0, (2)方程①有一个正实根和一个负实根, 则 f(0)=a+1<0,解得 a<-1; (3)方程有一个根为 0 时,a=-1,此时另外一个根 是 t=1,符合要求. 综上 a≤2-2 2.
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第1讲

集合及其运算

[方法解读] 函数思想是重要的数学思想方法之 一.在方程问题中,把方程函数化后,可借助函数的图像 与性质分析方程问题,得出方程问题的函数解法,这是函 数思想在方程问题中应用的主要方面之一.在一元二次方 程实数根的分布中把方程函数化后,就是根据二次函数的 图像与x轴的交点的位置得出参数的不等式的.
多 元 提 能 力

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第7讲

二次函数

自我检评 (1)若方程 x2-2x+lg(2a2-a)=0 有一个正 根和一个负根,则实数 a 的取值范围是________. (2)若关于 x 的方程 x2+(m2-1)x+m-2=0 的一个根 比-1 小,另一个根比 1 大,则参数 m 的取值范围是 ________.
多 元 提 能 力

[答案]

? 1 ? ?1 ? ? ? ? (1)?-2,0?∪?2,1? ? ? ? ? ?

(2)-2<m<0

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第7讲

二次函数

多 元 提 能 力

[解析] (1)令 f(x)=x2-2x+lg(2a2-a),原方程有一正一 负 两 根 , 则 f(0)<0 , 即 lg(2a2 - a)<0 , ∴0<2a2 - a<1 , ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ∴a??-2,0?∪?2,1? ?. ? ? ? ? (2)令 f(x)=x2+(m2-1)x+m-2, 2 ? ?f(-1)<0, ? ?m -m>0, ∴? ∴? 2 ? ? ?f(1)<0, ?m +m-2<0, ? ?m<0或m>1, ∴? ∴-2<m<0. ? - 2< m <1 , ?

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第7讲

二次函数

【备选理由】 虽然二次函数不是高考考试大纲要求的内容,但二次 函数在高中数学中的重要地位是毋庸置疑的,下面的两个 例题可以作为综合提高学生解决二次函数问题的能力之 用.

教 师 备 用 题
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第7讲

二次函数

3 2 1 例 1 已知函数 f(x)=ax- x 的最大值不大于 ,又 2 6 ?1 1? 1 ? ? 当 x??4,2?时,f(x)≥ ,求 a 的值. 8 ? ?

教 师 备 用 题
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第7讲

二次函数

教 师 备 用 题

a? 3? 1 2 1 ? ?2 1 2 解:f(x)=- ?x-3? + a ,f(x)max= a ≤ ,得 2? 6 6 6 ? a -1≤a≤1,函数 f(x)图像的对称轴方程为 x= . 3 ?1 1? 3 1 ? ? , 当-1≤a< 时,f(x)在?4 2?上单调递减,而 f(x)≥ , 4 8 ? ? ?1? a 3 1 3 ? ? 即 f(x)min=f?2?= - ≥ ,得 a≥1,与-1≤a< 矛盾,即 4 ? ? 2 8 8 不存在这样的 a 值; 3 a 当 ≤a≤1 时, 函数 f(x)图像的对称轴方程为 x= , 此 4 3 ?1 1? 1 a 1 1 ? ? 时 ≤ ≤ , 结合图像知区间?4,2?的端点 离对称轴的距离 4 3 3 2 ? ? ?1? a 3 1 3 ? ? 大,故 f(x)min=f?2?= - ≥ ,a≥1,而 ≤a≤1,得 a=1, 4 ? ? 2 8 8 所以 a=1.
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第7讲

二次函数

例 2 设关于 x 的一元二次方程 ax2+x+1=0(a>0)有两 个实根 x1,x2. (1)求(1+x1)(1+x2)的值; (2)求证:x1<-1,且 x2<-1; ? x1 ? 1 (3)如果x ??10,10?,试求 a 的最大值. ? ? 2

教 师 备 用 题
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第7讲

二次函数

1 1 解:(1)(1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2=1- + = a a 1. (2) 证明:令 f(x) = ax2 + x + 1 ,由 Δ = 1 - 4a≥0 得 1 0<2a≤ , 2 1 ∴抛物线 f(x)的对称轴方程为 x=- ≤-2<-1. 2a 又 f(-1)=a>0,所以 f(x)图像与 x 轴的交点都在点 (-1,0)的左侧, 故 x1<-1,且 x2<-1.
教 师 备 用 题
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第7讲

二次函数

1 x2 (3)由(1),x1= -1=- . 1+x2 1+x2 ?1 ? 10? x1 1 1 ? ? ? ?1 =- ??10,10?,所以- ??11,11 ? ?. x2 x2 ? 1+x2 ? ? ? ?? ? 1+x2 1? 1 ?? ? 1?2 1 ∴a= =- 2 =-??-x ?- ? + , x1x2 x2 2? 4 2? ?? 1 1 1 故当- = 时,a 取得最大值为 . x2 2 4
教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第8 讲

指数与对数的运算

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考试大纲

1.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义, 掌握幂的运算. 2.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式 能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简 化运算中的作用.

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第8讲 指数与对数的运算
双 向 固 基 础

—— 知 识 梳 理 —— 一、根式
概念

方根 ,其中n>1,n?N* 如果xn=a,那么x叫做a的n次______
n

n 次 方 根

奇数 时,a的n次方根是x= 当n是______

a

性质

当n是______ 偶数 时,正数的n次方根是x=± n a ; 没有意义 负数的偶次方根___________ 0的任何次方根都是0,记作
n 0 =0
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第8讲
双 向 固 基 础

指数与对数的运算
(续表)
n

概念

式子

根式 ,其中n叫做根指数,a叫做 a 叫做______ 被开方数
? ? ? ? ?

根 式
性质

n n ? ? a 当n为任意正整数时, a? =_____________ n a 当n为奇数时, an=____________
?a(a≥0), ? n n ?-a(a<0) 当n为偶数时, a =|a|=________________

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第8讲
双 向 固 基 础

指数与对数的运算

二、分数指数幂
正数的正分数指数幂: an
m
m a =________

n

概 正数的负分数指数幂: a 1 念
= ______ am
n



m n

1 = m a n

(a>0,m,n?N*, 且n>1)

没有意义 0 0的正分数指数幂等于________ ;0的负分数指数幂__________
r·as=ar+s(a>0,r,s?Q) a 运 算 (ar)s=ars(a>0,r,s?Q) 性 质 (ab)r=arbr(a>0,b>0,r?Q)

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第8讲
双 向 固 基 础

指数与对数的运算

三、无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a>0 , α 是无理数 ) 是一个确定的实 数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.

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第8讲 指数与对数的运算
双 向 固 基 础

四、对数
概念

如果ax=N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的 对数 ____________ ,记作:x=logaN.其中a叫做底数,N叫做真 数,logaN叫做对数式 底数的限制a>0,且a≠1
对数式与指数式的互化:ax=N? logaN=x ________________

性质

对数 负数和零没有______
0 1的对数是______ :loga1=______ 零

1 底数的对数是______ :logaa=1

对数恒等式:alogaN=______ N
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第8讲
双 向 固 基 础 运 算 性 质

指数与对数的运算
(续表) loga(M·N)=
logaM+logaN ____________________

M loga N =
logaM-logaN ____________________ nlogaM logaMn=____________( n?R)

a>0,且a≠1, M>0,N>0

换 公式 底 公 式 推论

logab= logcb (a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0) logca n 1 log b a m logambn=_____________ ;logab= logba

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第8讲
双 向 固 基 础

指数与对数的运算

—— 疑 难 辨 析 ——
1.关于根式 5 (1) (-2)5=-2.( 4 (2) (-10)4=-10.( 4 (3) (a-b)4=a-b.(

) ) )

[答案] (1)√ (2)? (3)?

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第8讲
双 向 固 基 础

指数与对数的运算

[解析] (1) (-2)5=-2. 4 (2) (-10)4=|-10|=10. ? 4 ?a-b(a≥b), 4 (3) (a-b) =|a-b|=? ? ?b-a(a<b).

5

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第8讲
双 向 固 基 础

指数与对数的运算

2.关于分数指数幂 1 2 (1)(-1) =(-1) .( ) 3 6 5 3 3 (2) (-2) =2 .( ) 5 ? ?1 1? 0 1 ? 1 ? ? -2 ? ? 0.75 - (3)(0.064) - - ?- ÷ 16 + ? ?2 3? = 3 2 2 ? ? ? ? 5 .( 2 )

[答案] (1)?

(2)?

(3)√

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第8讲
双 向 固 基 础

指数与对数的运算

1 3 2 6 [解析] (1)(-1) = -1=-1;(-1) = (-1)2 3 6 = 1=1. 5 3 5 3 3 (2) (-2) =- 2 =-2 . 5 ?1 1? 1 ? 1 ? ? ? -2 -1 ? ?0 0.75 - (3)(0.064)- -?- ÷ 16 + = (0.4) ?2 3? 3 ? 2 2? ? ? ? 5 2 3 -(2 2) ÷2 +1= . 2 6

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第8讲
双 向 固 基 础

指数与对数的运算

3.对数中的问题 (1)lg(lne)=0.( ) (2)若 lgx=1,则 x=10.( ) (3)log23?log35?log52=1.( ) (4)若 logaM2=logaN2,则 M=N.(
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)?

)

[解析] (1)lg(lne)=lg1=0. (2)底数的对数等于 1. (3) 根 据 对 数 的 换 底 公 式 , log23 ? log35 ? log52 = lg3 lg5 lg2 ? ? =1. lg2 lg3 lg5 (4)若 M,N 为非零的相反数时不满足,如 M=2,N =-2,满足 logaM2=logaN2,但 M≠N.
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第8讲

指数与对数的运算
考点 1.根式的运算 考频 0 选择(1) 解答(1) 0 2012年全国T9(B) 2012年安徽T4(A) 示例(难度)

点 面 讲 考 向

2.指数幂的运算 3.对数的运算 4.换底公式的应用

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2012年课标地区真题卷情况.
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第8讲

指数与对数的运算

?

探究点一

根式的运算
3
3

点 面 讲 考 向

例 1 (1) 3-2 2+ (1- 2) + (1- 2)4 =( ) A. 2-1 B.1- 2 C.2 2 D.1 3 5 (2)当- ≤x≤ 时, 4x2+12x+9+ 4x2-20x+25 2 2 =________.

4

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

思考流程 (1)分析:需要去掉根号;推理:根据根式 的意义逐个把根号去掉;结论:合并计算即得结果. (2)分析:需要去掉根号;推理:根据变量 x 的范围和 根式的意义把根号去掉;结论:合并去掉根号后的式子即 得.

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第8讲

指数与对数的运算

[答案] (1)A (2)8

点 面 讲 考 向

[ 解析 ] (1) 原式= ( 2-1)2+ (1 - 2) + |1 - 2| =( 2-1)+(1- 2)+( 2-1)= 2-1. 3 5 (2)∵- ≤x≤ ,∴2x+3≥0,2x-5≤0, 2 2 原式= (2x+3)2+ (2x-5)2= |2x +3|+ |2x -5| =(2x+3)-(2x-5)=8.

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

n 严格按照当n为奇数时, an =a;当n为偶数 ? ?a(a≥0), n n 时, a =|a|=? 进行化简计算,这条规律是进行 ? ?-a(a<0) 根式运算的根本依据.

[点评]

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①在进行根式化简时要注意分类讨论思 想的运用,对于带有嵌套的根式要本着由内到外的原则将 其化为分数指数幂进行运算. ②要注意体会代数变换公式在运算中的作用,如(a+b)3= a3+b3+3ab(a+b)等.

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

变式题 ________.

(x-2) +

2

3

(x-2)3 化 简 的 结 果 是

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第8讲

指数与对数的运算
? ?2(x-2),x≥2, ? ? ?0,x<2
2

[答案]
点 面 讲 考 向

[ 解析] (x-2) + (x-2)3= |x -2|+(x -2)= ? ?2(x-2),x≥2, ? ? ?0,x<2.

3

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第8讲

指数与对数的运算

?

探究点二
例 2

指数幂的运算
? 1 ? 4 3 ? 7? 0 0.25 (1)1.5 - ??-6? + 8 ? 2 + ( 2 ? 3)6 - 3 ? ?

点 面 讲 考 向

? 2?2 ? ? - ? 3?3=________. ? ?

(2)

a 5

3

3 ?
2

5 4

b3 =________. a3

b

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:需要逐次各项求值;推理:按 照指数幂的运算法则计算其中的指数幂的值;结论:按照 先指数运算、再乘除运算、最后加减运算的顺序进行计算 即可得出结果. (2)分析:需要把根式转化为分数指数幂;推理:把根 式转化为指数幂、 根据指数幂的运算法则计算 a, b 的指数; 结论:按照乘法运算法则得出结果.
4

[答案] (1)110

(2)a a

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第8讲

指数与对数的运算
?2? 1 3 1 1 16 ? ? (1)原式=?3?3 ?1+2 ?2 +(2 ?3 ) 4 4 3 2 ? ?

[ 解析]
点 面 讲 考 向

?2?1 ? -? ?3?3=2+4?27=110. ? ?

(2) 4

a 5

3

3 ?

5 4

b3 a3

b2

3 3 3 2 5 =a - ?b - =a = 2 12 15 10 4

a a.

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

[点评] 本例是利用分数指数幂的运算性质求值题, 思路是利用分数指数幂的运算性质进行化简,直至求出最 简结果,为避免出现错误,在进行计算时一步一步地运用 性质,不要进行跳步计算.

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

归纳总结 在指数式的运算中注意各级运算的先后 顺序,即先进行指数运算、再进行乘除运算、最后进行加 减运算.

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第8讲

指数与对数的运算
? 1 ? 4 ? 7?0 3 变式题 (1)(0.064)- -?-8? +[(-2) ]- +16-0.75+ 3 ? ? 3

|-0.01|2=________.
点 面 讲 考 向
-2 2 x + x -2 - (2)已知 x2+x 2=3,则 =( 3 3 x +x- -3 2 2 A.1 B.2 C.3 D.4

1

1

1

)

143 [答案] (1) (2)C 80

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第8讲

指数与对数的运算

[解析] (1)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1= 10 1 1 1 143 -1+ + + = . 4 16 8 10 80
点 面 讲 考 向

(2)∵x2+x 2=3,∴(x2+x 2)2=9,
- -

1

1

1

1

∴x+2+x-1=9,∴x+x-1=7, ∴(x+x-1)2=49,∴x2+x-2=47. 又∵x2+x 2=(x2+x 2)· (x-1+x-1)=3· (7-1)=18,
- -

3

3

1

1

x2+x-2-2 47-2 ∴ = =3. 3 3 18-3 x +x- -3 2 2

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第8讲

指数与对数的运算

?

探究点三

对数的运算
)

点 面 讲 考 向

例 3 (1)lg25+lg2?lg50+(lg2)2=( A.1 B.2 C.3 D.4 (2)( 3+ 2)2log( 3- 2) 5=( ) 1 A.1 B. 2 1 1 C. D. 4 5

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:需要恒等变换后使用对数运算 性质; 推理: 根据对数的运算性质把 25, 50 的对数化为 2, 10 的对数;结论:把转化后的结果整合即可. (2)分析:需要恒等变换后使用对数运算性质;推理: 利用对数的性质和 3+ 2, 3- 2互为倒数;结论:根 据对数恒等式得出结果.

[答案] (1)B (2)D

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

[解析] (1)原式=2lg5+lg2?(1+lg5)+(lg2)2=2lg5 +lg2(1+lg5+lg2)=2lg5+2lg2=2. (2)原式=( 3+ 2)2log( 3- 2) 5=( 3+ 2)log( 3- 1 1 2)5=( 3+ 2)log( 3+ 2) = . 5 5

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第8讲

指数与对数的运算

[点评] 根据对数的运算性质对给出的对数式进行化 简计算是一类重要题目类型,解决问题的基本思路是根据
点 面 讲 考 向

题目的特点采用合理的变换.在常用对数的计算中往往有 10 ,210 一些数的变形,如5= = ,50=5?10等,这样做 5 2 的目的是利用对数的运算性质对计算式进行重组,使之出
现更便于运用对数运算性质的对数式.

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

归纳总结 注意正确使用对数的运算性质,防止出 现如下错误: loga(MN)=logaM· logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0).

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第8讲

指数与对数的运算

变式题
点 面 讲 考 向

lg23-lg9+1(lg 27+lg8-lg 1000) (1) lg0.3?lg1.2 B.-1 3 D.- 2
2

=(

) A.1 3 C. 2

1 (2) (log25) -4log25+4+log2 =________. 5
[答案] (1)D (2)-2

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

[解析] (1)原式= ?3 3? ? 2 lg 3-2lg3+1?2lg3+3lg2-2? ? ? ? (lg3-1)· (lg3+2lg2-1) 3 (1-lg3)·(lg3+2lg2-1) 2 3 = =- . 2 (lg3-1)· (lg3+2lg2-1) (2)原式=|log25 -2|+ log25 -1 =log25 -2 -log25 =- 2.

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第8讲

指数与对数的运算

?

探究点四

换底公式的应用
a b

点 面 讲 考 向

1 2 例 4 (1)若 4 =5 =100,则 + =( ) a b 1 A. B.1 2 3 C. D.2 2 (2)若 log147=a,14b=5,则 a,b 表示 log3528= ________.

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:先利用已知将 a,b 表示出来; 推理:把指数式转化为对数式;结论:根据对数换底公式 和对数运算性质得结果. (2)分析:需先对已知进行变形;推理:把已知的指数 式化为对数式,把 28,35 使用 14,7 的乘除运算表达; 结论:使用换底公式得出结果.
2-a [答案] (1)B (2) a+b

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指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

1 1 [解析] (1)log4100=a, log5100=b, 即 =log1004, = a b 2 1 2 log1005, =log10025, + =log1004+log10025=1. b a b log1428 b (2)∵14 = 5 , ∴log145 = b , ∴log3528 = = log1435 142 log14 2-a 7 = . log145+log147 a+b

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第8讲

指数与对数的运算

[点评] 当指数的取值范围扩展到有理数后,对数运
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算就是指数运算的逆运算.因此,当一个题目中同时出现 指数式和对数式时,一般需要把问题转化,转化后根据换 底公式和对数的运算性质把未知转化为已知.

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第8讲

指数与对数的运算

点 面 讲 考 向

归纳总结 在指数式与对数式混合的问题中要根据 具体情况把指数式与对数式相互转化.使用对数的换底公 式时要根据具体情况进行数式的变换,达到使用已知条件 的目的.

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指数与对数的运算

(
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变式题 (1)计算 log225?log32 2?log59 的结果为 ) A.3 B.4 C.5 D.6 (2)(log23+log89)(log34+log98+log32)=________.
15 [答案] (1)D (2) 2

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指数与对数的运算

3 lg2 lg25 lg2 2 lg9 2lg5 2 2lg3 [解析] (1)原式= ? ? = ? ? lg2 lg3 lg5 lg2 lg3 lg5
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=6. (2) 原式= (log23 + log2332)(log322 + log3223 + log32) = ?5 ??9 ? 15 ? ?? ? log 3 log 2 . 2 ?? 3 ?= ?3 2 ? ??2 ?

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第8讲

指数与对数的运算

易错究源

5

如何避免指数、对数运算中的错误
)

例 若 a>1, b>0, 且 ab+a-b=2 2, 则 ab-a-b=( A. 6 B.2 或-2 C.-2 D.2
多 元 提 能 力

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指数与对数的运算

[错解] B ab+a-b=2 2,两端平方得 a2b+2+a-2b =8,即 a2b+a-2b=6. (ab-a-b)2=a2b-2+a-2b=4, 由此得 ab-a-b=± 2.
[错因] 在最后的开方求解时忽视了符号讨论,实际 上由于 a>1,b>0,从而 ab>a-b,即 ab-a-b>0,开方时要 取正值.
多 元 提 能 力

[正解] D (ab+a-b)2=8?a2b+a-2b=6, ∴(ab-a-b)2=a2b+a-2b-2=4. 又 ab>a-b(a>1,b>0), ∴ab-a-b=2.

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指数与对数的运算

多 元 提 能 力

自我检评(1)化简 ( 5-3) + 果是( ) A.2 5-6 B.2 5 C.6-2 5 D.0 (2)若 logmn?log3m=2,则 n=( A.m3 B.m2 C.9 D.8
[答案] (1)D (2)C

2

11

( 5-3)11的结

)

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指数与对数的运算

[解析] (1) ( 5-3) + ( 5-3)11=3- 5+ 5 -3=0. lgn lgm lgn (2)logmn= ,log3m= ,则 =2,即 log3n=2,则 lgm lg3 lg3 n=9.
多 元 提 能 力

2

11

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第8讲

指数与对数的运算

【备选理由】 指数运算和对数运算中也有一些技巧较高的问题,解 答这类问题需要综合运用指数和对数的运算法则和性质, 以及对数式的变换能力,下面的两个例题就是以此为目的 选取的,可以供提高学生的运算能力训练之用.

教 师 备 用 题
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第8讲

指数与对数的运算

例 1 化简: 3 3 (1) 5+2 13+ 5-2 13; 3 2 7 3 2 7 (2) 1+ + 1- . 3 3 3 3

教 师 备 用 题
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第8讲

指数与对数的运算

解:(1)设 x= 5+2 13+ 5-2 13, 3 3 3 3 则 x = ( 5+2 13) +3 (5+2 13)2(5-2 13) 3 3 2 +3 (5+2 13)(5-2 13) +( 5-2 13)3 3 3 =10-9( 5+2 13+ 5-2 13)=10-9x, ∴x3+9x-10=0,即(x-1)(x2+x+10)=0, ∵x2+x+10>0,∴x=1,即原式=1.

3

3

教 师 备 用 题
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第8讲

指数与对数的运算

2 7 3 2 7 (2)设 1+ + 1- =x,由公式(a+b)3= 3 3 3 3 a3+b3+3ab(a+b)得: 3 ? 2 7?? 2 7? ? ? ? ? 2 7 2 7 ? ? ? ? ?? ? +?1- +3· ? x 1+ 1- ?1+3 ? ? ? ? ? ?? 3 3 3 3 3 3 3 ? ? ? ? ? ?? ? =x3,即 x3+x-2=0,分解因式得(x-1)(x2+x+2)=0, ∵x2+x+2>0,∴x-1=0,即 x=1,∴原式等于 1.

3

教 师 备 用 题
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指数与对数的运算

例 2 设 a,b,c 为正数,且满足 a2+b2=c2. ? ? b+c? a-c? ? ? ? ? (1)求证:log2?1+ + log 1 + 2 ? ? ?=1; a b ? ? ? ? ? b+c? 2 ? ? (2)设 log4?1+ ?=1,log8(a+b-c)=3,求 a,b,c a ? ? 的值.

教 师 备 用 题
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指数与对数的运算
? ? b+c? a-c? ? ? ? ? 解:(1)证明:左=log2?1+ ? 1 + ? a ? b ? ? ? ? ?

教 师 备 用 题

(a+b)2-c2 (a+b)2-(a2+b2) = log2 = log2 = ab ab log22=1=右. a+b+c (2)由 log4 =1,得-3a+b+c=0,① a 2 由 log8(a+b-c)= ,得 a+b-c=4,② 3 由题设 a2+b2=c2③,①+②得 b-a=2,④ 由①得 c=3a-b,代入③得 a(4a-3b)=0. 因为 a>0,所以 4a-3b=0,⑤ 由④⑤得 a=6,b=8,则 c=10.

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第9 讲

指数函数、对数函数、 幂函数

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考试大纲
1.指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景. (2) 理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌 握指数函数图像通过的特殊点. (3)知道指数函数是一类重要的函数模型. 2.对数函数 (1)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握 对数函数图像通过的特殊点. (2)知道对数函数是一类重要的函数模型. (3) 了解指数函数 y = ax 与对数函数 y = logax 互为反函数 (a>0且a≠1).
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考试大纲
3.幂函数 (1)了解幂函数的概念. 1 1 2 3 (2)结合函数y=x,y=x ,y=x ,y= ,y=x2 x 的图像,了解它们的变化情况.

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第9讲
双 向 固 基 础

指数函数、对数函数、幂函数

—— 知 识 梳 理 —— 一、指数函数的概念、图像与性质
概念
指数 函数 函数y=ax(a>0,a≠1)叫做________

底数

a>1

0<a<1

图像

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第9讲
双 向 固 基 础

指数函数、对数函数、幂函数
(续表)

定义域 值域

R _______________ (0,+∞) _______________

(0,1) 过定点____________ ,即x=0时,y=1 性质 增 函数 在R上是____

减 函数 在R上是____

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双 向 固 基 础

指数函数、对数函数、幂函数

二、对数函数的概念、图像与性质
概念 底数
对数 函数 函数y=logax(a>0,a≠1)叫做________

a>1

0<a<1

图像

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指数函数、对数函数、幂函数
(续表)

定义域
值域

(0,+∞) ________
R ________ (1,0) ,即x=1时,y=0 过定点________

性质
增 函数 在R上是____ 减 函数 在R上是____

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指数函数、对数函数、幂函数

三、幂函数的概念、图像与性质
概念
xα α?R)的函数称为幂函数,其中α为常 形如y=______( 数

图像 (α=-1, , 1, 2,3)

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双 向 固 基 础

指数函数、对数函数、幂函数
(续表)
(1,1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图像都过点________ [0,+∞)

α>0时,幂函数的图像通过原点,并且在区间________上是增函数
性 质

减 函数.在第一象 α<0时,幂函数的图像在区间(0,+∞)上是____ 限内,当x从 右边趋向原点时,图像在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于 +∞时, 图像在x轴上方无限地逼近x轴正半轴

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双 向 固 基 础

指数函数、对数函数、幂函数

四、反函数 1.概念 当一个函数的自变量和因变量成一一对应时,可以把 这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个 函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数 互为反函数. 2 . 指 数 函 数 y = ax(a>0 , a≠1) 与 对 数 函 数 y = logax(a>0,a≠1)互为反函数,由于在反函数中是交换了 x, y 的位置,故互为反函数的两个函数的定义域和值域互换, 即原函数的值域是其反函数的定义域,原函数的定义域是 其反函数的值域.

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双 向 固 基 础

指数函数、对数函数、幂函数

—— 疑 难 辨 析 ——
1.指数函数问题 (1)函数 y=2· 3x,y=2x+2 都是指数函数.( ) (2)函数 f(x)=2x-2+3 的图像过点(3,3).( ) (3)①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx 的图像如图 2-9-1,则底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b.( )

图 2-9-1
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双 向 固 基 础

指数函数、对数函数、幂函数

[答案] (1)? (2)? (3)√
[解析] (1)根据指数函数的定义可知不对. (2)当 x=3 时,y=5≠3,故函数 f(x)=2x-2+3 的图 像不过点(3,3). (3)在图中作直线 x=1,与它们图像交点的纵坐标即 为它们各自底数的值,即 c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b. 即无论在 y 轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.

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指数函数、对数函数、幂函数

2.对数函数问题 x (1)函数 y=2log2x,y=log5 是对数函数.( 5 (2)log20.3<log0.20.3.( )
a

)

(3)函数 y=logax 与 y=log1x(a>0,且 a≠1)的图像关 于 x 轴对称.( )

[答案] (1)?

(2)√

(3)√

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双 向 固 基 础

指数函数、对数函数、幂函数

[解析] (1)根据对数函数的定义都不是对数函数,而 只能称其为对数型函数. (2)由于 log20.3<log21=0,而 log0.20.3>log0.21=0,∴ log20.3<log0.20.3. (3)根据对数的换底公式和对数的运算性质 y=log1x
a

=loga-1x=-logax, 这样函数 y=logax 与 y=log1x 的图像
a

上任意的相同自变量对应着互为相反数的 y 值,这样的 两个函数的图像关于 x 轴对称.

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双 向 固 基 础

指数函数、对数函数、幂函数

3.幂函数问题 (1)当 α=0 时函数 y=xα 的图像是一条直线.( ) (2)幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点.( ) (3)若幂函数 y=xα 是奇函数,则 y=xα 是定义域上的 增函数.( ) (4)幂函数的图像不可能出现在第四象限.( )
[答案] (1)? (2)? (3)? (4)√ [解析] (1)当 α=0 时函数 y=xα 的图像是一条直线 (去掉点(0,1)). (2)如幂函数 y=x-1 的图像不过点(0,0). (3)如幂函数 y=x-1 在定义域上不是增函数. (4)当 x>0 时,xα >0,故幂函数的图像不可能出现在 第四象限.
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指数函数、对数函数、幂函数
考点 考频
选择(3) 选择(3) 填空(2)

示例(难度)
2012年课程标准T12(C), 2012年山东T3(A), 2012年福建T9(A) 2012年课程标准T12(C), 2012年广东T4(A), 2012年湖南T8(C)

1.指数函数的图像与性 质及应用 点 面 讲 考 向 2.对数函数的图像与性 质及应用 3.幂函数的图像与性质 及应用 4.三种函数的综合应用

选择(1)
0

2012年陕西T2(A)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2012年课标地区真题卷情况.
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指数函数、对数函数、幂函数

?

探究点一

指数函数的图像与性质及应用
x

点 面 讲 考 向

1 例 1 (1)[2012·四川卷] 函数 y=a - (a>0,且 a a ≠1)的图像可能是( )

图 2-9-2

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

(2)[2012·天津六校联考] 设 y=f(x)在(-∞,1]上 有 定 义 , 对 于 给 定 的 实 数 K , 定 义 fK(x) = ? ?f(x),f(x)≤K, ? 给出函数 f(x)=2x+1-4x, 若对于任 ? K , f ( x ) > K , ? 意 x?(-∞,1],恒有 fK(x)=f(x),则( ) A.K 的最大值为 0 B.K 的最小值为 0 C.K 的最大值为 1 D.K 的最小值为 1

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

思考流程 (1)分析:需要根据 a 的不同取值研究函 数图像的可能情况;推理:根据函数图像在 y 轴上的截距、 指数函数的单调性,分底数 a>1 和 0<a<1 分别判断函数图 像的可能形状;结论:结合选项作出答案. (2)分析:需要把新定义转化为熟悉的问题;推理:根 据新定义、指数函数的性质把问题转化为二次函数在一个 区间上的最值;结论:求出最值,结合选项作出答案.

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

[答案] (1)D (2)D [解析] (1)若 a>1,则 f(x)为增函数,排除 C、D, 1 而 0< <1,图像与 y 轴的交点应该在(0,1)内,A、B 也 a 不符合,故 a>1 不合题意. 1 若 0<a<1,则 f(x)为减函数,排除 A、B,此时 >1, a 故图像与 y 轴的交点应该在负半轴,排除 C,选 D. (2)根据给出的定义,fK(x)的含义是在函数 y=f(x),y =K 中取小.对任意的 x?(-∞,1]恒有 fK(x)=f(x),等价 于对任意的 x?(-∞, 1]恒有 f(x)≤K, 等价于函数 f(x)在(- ∞,1]上的最大值小于或者等于 K.令 t=2x?(0,2],则函 数 f(x)=2x+1-4x,即为函数 φ(t)=-t2+ 2t =-(t-1)2 + 1≤1,故函数 f(x)在(-∞,1]上的最大值为 1,即 K≥1. 所以 K 有最小值 1.
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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

[点评] (1)函数图像判断类试题的关键之一就是抓住 函数图像上的特殊点,如本题中令y=0,解得x=-1,即 无论a为何值,函数图像过定点(-1,0),结合选项只有D 中的图像可能;(2)转化是解决数学问题的重要手段,本 题中的定义实际上就是对任意的x?(-∞,1]恒有f(x)≤K, 进一步转化为函数f(x)在(-∞,1]上的最大值小于或者等 于K,然后通过换元法再次把问题转化为我们熟悉的二次 函数问题.

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①函数图像分析类试题要注意函数的性质、 函数图像上特殊点的应用.从函数的性质方面可以分析函 数图像的变化趋势,从特殊点的位置可以确定可能的函数 图像或者否定一些函数图像,在函数图像分析中要注意正 反方法的使用. ②指数函数最重要的性质是它的单调性,在底数确定时直 接使用指数函数的性质,在底数不确定时要注意对底数进 行分类讨论.

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

变式题 (1)设函数 f(x)定义在实数集上,它的图像关 于直线 x=1 对称,且当 x≥1 时,f(x)=3x-1,则有( ) ?1? ?3? ?2? ? ? ? ? ? A.f? ?3?<f?2?<f?3? ? ? ? ? ? ? ?2? ?3? ?1? ? ? ? ? ? B.f? ?3?<f?2?<f?3? ? ? ? ? ? ? ?2? ?1? ?3? ? ? ? ? ? C.f? ?3?<f?3?<f?2? ? ? ? ? ? ? ?3? ?2? ?1? ? ? ? ? ? D.f? ?2?<f?3?<f?3? ? ? ? ? ? ?

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指数函数、对数函数、幂函数
? ?b(a≤b), a*b=? 则 ? a ( a > b ), ?

(2)[2012·咸阳三模] 定义运算 函数 f(x)=e-x*ex 的图像是(
点 面 讲 考 向
图 2-9-3

)

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指数函数、对数函数、幂函数

[答案] (1)B (2)D
[解析] (1)利用对称性,三点到直线 x=1 的距离越远 函数值越大. -x ? ?e ,x≤0, (2)根据定义, f(x)=? x 故为选项 D 中的图像. ? ?e ,x>0,

点 面 讲 考 向

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指数函数、对数函数、幂函数

?

探究点二

对数函数的图像与性质及应用

点 面 讲 考 向

例2 (1)在同一平面直角坐标系中,函数 y=f(x)的图 像与 y=ex 的图像关于直线 y=x 对称.而函数 y=f(x)的图像 与 y=g(x)的图像关于 y 轴对称,若 g(m)=-1,则 m 的值是 ( ) 1 1 A.e B. C.-e D.- e e (2)[2012· 江苏 卷 ] 函 数 f(x) = 1-2 log6x 的 定 义域 为 ________.

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:需要求出函数 g(x)的解析式;推 理:根据函数图像的对称性可知函数 y=f(x),y=ex 互为反 函数,得出函数 y=f(x)的解析式,再根据函数图像的对称 关系得出函数 y=g(x)的解析式;结论:根据 g(m)=-1 得 出关于 m 的方程解之即得. (2)分析:需要解一个对数不等式;推理:根据二次根 式的性质、对数函数的性质得出关于 x 的不等式;结论: 不等式的解集即为所求.
[答案] (1)D (2)(0, 6]

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

[ 解析] (1)根据指数函数与对数函数互为反函 数,得 f(x)=lnx,由于函数 y=f(x)与 y=g(x)的图像关于 y 轴对称, 可得 g(x)=f(-x)=ln(-x), g(m)=-1, 即 ln(- 1 -1 m)=-1,解得 m=-e =- . e (2)根据二次根式和对数函数有意义的条件,得 ? x>0, ? x>0, ? ? ? x >0 , ? ? ?? ?0<x≤ 6. 1?? 1 ? x ≤6 = 6 ?1-2log6x≥0 ?log6x≤ 2 ? 2 ? ?

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

[点评] (1)底数相同的指数函数、对数函数互为反函 数,存在反函数的两个函数互为反函数的充要条件是其图 像关于直线y=x对称;(2)在解对数不等式时一定不要忽 视了对数的真数大于0,如果底数上含有自变量,则底数 大于0且不等于1(见变式(2)).

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

归纳总结 在解决与对数函数有关的问题时一定要 注意其定义域,一是真数大于0,二是底数大于0且不等于 1.

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

变式题 (1)已知函数 f(x)=|lgx|, 若 0<a<b, 且 f(a)=f(b), 则 2a+b 的取值范围是( ) A.(2 2,+∞) B.[2 2,+∞) C.(3,+∞) D.[3,+∞) (2)函数 f(x)=log2x-1 3x-2的定义域是________.
?2 ? ? (2)?3,1? ?∪(1,+∞) ? ?

[答案] (1)B

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

[解析] (1)由于函数 f(x)在区间(0,1)单调递减, 在区间(1,+∞)单调递增,在 0<a<b,且 f(a)=f(b)时, 只能 0<a<1,b>1,故 f(a)=|lga|=-lga,f(b)=|lgb|=lgb, 由 f(a)=f(b),得-lga=lgb,即 lg(ab)=0,故 ab=1.2a 2 +b≥2 2ab=2 2, 当且仅当 2a=b, 即 a= , b= 2时 2 取等号. ?2x-1>0, ? ?2 ? 2 ? (2)由?2x-1≠1,得 x> , 且 x≠1, 即定义域为?3,1? ? 3 ? ? ?3x-2>0, ? ∪(1,+∞).

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指数函数、对数函数、幂函数

?

探究点三

幂函数的图像与性质及应用
4

点 面 讲 考 向

例3 析式是(

幂函数 f(x)的图像过点(3, 27),则 f(x)的解 ) 4 5 5 3 A.f(x)= x B.f(x)= x 4 3 4 3 C.f(x)=- x D.f(x)= x

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指数函数、对数函数、幂函数

[思考流程] 分析:需要确定幂函数的幂指数;推理: 把已知点的坐标代入幂函数的解析式;结论:确定其幂指 数 α 的值.
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指数函数、对数函数、幂函数

[答案] D
点 面 讲 考 向

[解析] 设 f(x)=x ,由图像过点(3, 27),得 3α = 3 3 4 27=34,α= . 4

α

4

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

归纳总结 幂函数是底数是自变量、幂指数是常数 的函数,在涉及与指数有关的函数时要注意辨别这个函数 是不是幂函数,在此基础上使用幂函数的性质进行解题.

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

变式题 [2013·黄冈中学月考] 图 2-9-4 为幂 函数 y=xn 在第一象限的图像,则 c1,c2,c3,c4 的大小关 系为________________.

图 2-9-4
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指数函数、对数函数、幂函数

[答案] c3<c4<c2<c1
点 面 讲 考 向

[解析] 观察图形可知, c1>0, c2>0, 且 c1>1, 而 0<c2<1, c3<0,c4<0,且 c3<c4.

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指数函数、对数函数、幂函数

?

探究点四
1

三种函数的综合应用

例 4 (1)[2012·全国卷] 已知 x=lnπ ,y=log52,
点 面 讲 考 向

z=e 2,则(



)

A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x (2)若 a=0.80.5,b=0.90.5,c=0.9-0.5,则 a,b,c 的大小关系是______________.

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指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:需要大致确定各个值的大小; 推理:根据对数函数、指数函数的性质得出 x,y,z 的大 致范围即可确定其大小关系;结论:结合选项作出答案. (2)分析:需要两两比较大小;推理:首先根据幂函数 性质比较 a,b 的大小,其次再根据指数函数性质比较 b, c;结论:根据上述比较作出判断.

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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

[答案] (1)D (2)a<b<c
点 面 讲 考 向

[解析] (1)本题主要考查对数与指数的大小比较,解 题的突破口为寻找中间量作比较. 1 1 x=lnπ >lne=1,0<log52<log42=log442= ,1=e0> 2 1 1 1 1 - e 2= > = ,∴y<z<x,故选 D. e 4 2 (2)∵y=x0.5 在(0,+∞)上单调递增,且 0.8<0.9, ∴0.80.5<0.90.5, 即 a<b; 再根据指数函数 y=0.9x 在(- ∞, +∞)上单调递减, 得 0.90.5<0.9-0.5, 即 b<c.所以 a<b<c.

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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

[点评] 使用函数性质比较一些数值的大小要解决两 个问题.(1)构造指数函数、对数函数、幂函数,如果是 指数式时,若底数相同则构造指数函数、若指数相同则构 造幂函数;(2)善于把所求的数值通过逐步缩小范围的方 法把其限定在某个区间之内,通过不同区间内数值大小关 系判断所要解决的数值大小问题.

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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

归纳总结 在使用指数函数、对数函数、幂函数的 性质比较数值大小时要会根据实际情况构造函数、寻找中 间值.

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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

变式题
点 面 讲 考 向

(1)[2013·安徽示范高中联考] 设

?2? ? a=? ?3? ? ?

1 ?1?2 ?1?1 ? ? ? , c = 3,b=? 3 ?3? ?3?3,则 a,b,c 的大小关系是(
? ? ? ?

)

A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.b>c>a (2)[2011·天津卷] 已知 a=5log23.4,b=5log43.6,c
?1? ? =? ?5?log30.3,则( ? ?

)

A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b
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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

[答案] (1)A (2)C

[解析] (1)由于指数函数
点 面 讲 考 向

?1?x ? y=? ?3? 在 ? ?

R 是单调减函数,

1 所以 b<c; 由于幂函数 y=x 在 R 是单调增函数, 所以 a>c. 3 综合上述结论可得 a>c>b. 10 (2)令 m=log23.4,n=log43.6,l=log3 ,在同一坐 3 标系下作出三个函数的图像,由图像可得 m>l>n,

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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

点 面 讲 考 向

又∵y=5x 为单调递增函数,∴a>c>b.

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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

易错究源


6

函数的性质使用不当致误

多 元 提 能 力

定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x),f(x- 1 x 2)=f(x+2),且当 x?(-1,0)时,f(x)=2 + ,则 f(log220) 5 =( ) 4 A.1 B. 5 4 C.-1 D.- 5

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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

[错解] A f(x-2)=f(x+2)?f(x)=f(x-4), 所以 f(log220)=f(log220-4)=f(4-log220)① ? 4? 4 1 ? =f?log25? = 2log 2 + =1.选 A. ? 5 5 ? ?
[错因] ①处忽视了 4<log220<5(对数函数性质),并误 用函数的奇偶性.
多 元 提 能 力

[ 正 解 ] C f(x - 2) = f(x + 2) ? f(x) = f(x - 4) , 4<log220<5,所以 f(log220)=f(log220-4)=-f(4-log220) ? ? 4? 4 1? ? ? ? =-f?log25?=-?2log25+5? ?=-1.正确选项为 C. ? ? ? ?

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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

多 元 提 能 力

自我检评 (1)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 1 ? 3 ? ? ? 其最小正周期为 3,且 x??-2,0?时,f(x)=log2(1-x), ? ? 则 f(2 013)+f(2 014)=( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 (2)已知 a=log0.70.9,b=log1.10.7,c=1.10.9,则 a,b, c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b

[答案]

(1)A (2)C

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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

[解析] (1)f(2 013)+f(2 014)=f(0)+f(1)=-f(-1)=1. (2)以 0, 1 为标准进行比较即可. b=log1.10.7<log1.11=0, 0=log0.71<log0.70.9<log0.70.7=1,故 0<a<1,c=1.10.9>1.10= 1.所以 b<a<c.

多 元 提 能 力

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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

【备选理由】 高考中指数函数、对数函数、幂函数往往是与函数的 奇偶性、不等式的解、函数与方程、不等式等问题综合进 行考查的,在正文中为突出各个探究点的主体,我们没有 过多综合,下面的例1是函数奇偶性与对数函数的综合, 例2从函数方程的观点考查指数函数与对数函数,例3从函 数图像入手,看似对数函数问题最后要化为指数函数进行 解决,这三个题目都具有一定的综合性,可以作为本讲相 应探究点的补充,也可作为本讲总结之用.
教 师 备 用 题
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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

例 1 已知奇函数 f(x)的定义域为 R,当 x>0 时,f(x) =lgx,则不等式 xf(x)≤0 的解集为( ) A.[-1,0)∪(0,1] B.[-1,1] C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-1]∪{0}∪[1,+∞)

教 师 备 用 题
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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

[解析] B 当 x>0 时,由 xf(x)≤0 得 f(x)≤0,即 lgx ≤0=lg1,即 0<x≤1;当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-lg(- x),由 xf(x)≤0 得 f(x)≥0,即-lg(-x)≥0,即 lg(-x)≤0 =lg1,即 0<-x≤1,即-1≤x<0; 由于函数是奇函数, 定义在 R 上, 故 x=0 时, f(x)=0, 故 x=0 也适合不等式. 综上知不等式的解集是[-1,1].正确选项是 B.

教 师 备 用 题
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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

例 2 已知 x1 是方程 x+lgx=3 的根,x2 是方程 x+10x =3 的根,那么 x1+x2 的值为( ) A.6 B.3 C.2 D.1

教 师 备 用 题
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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

[解析] B ∵lgx=3-x,10x=3-x,令 y1=lgx,y2 =3-x,y3=10x,在同一坐标系中作出它们的简图,如图.

教 师 备 用 题
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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

∵x1 是方程 x+lgx=3 的解, x2 是方程 x+10x=3 的解, ∴x1,x2 分别对应图中 B,A 两点的横坐标. ∵函数 y=lgx 与 y=10x 的图像关于 y=x 对称,∴线 段 AB 的中点 C 在直线 y=x 上. ? ?y=x, 3 ? ∴由 解得 x= .∴x1+x2=3,故选 B. 2 ? ?y=3-x,

教 师 备 用 题
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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

例 2 [2012·湖南卷] 已知两条直线 l1:y=m 和 l2:y 8 = (m>0),l1 与函数 y=|log2x|的图像从左至右相交于 2m+1 点 A,B,l2 与函数 y=|log2x|的图像从左至右相交于点 C, D.记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a, b.当 m 变 b 化时, 的最小值为( ) a A.16 2 B.8 2 3 3 C.8 4 D.4 4
教 师 备 用 题
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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数

教 师 备 用 题

[解析] B 考查函数的图像变换、基本不等式和对数 方程,以及数形结合和函数与方程思想,综合程度高,难 度也较大,关键是转化为关于 m 的代数式最值问题. 线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a,b,由 已 知 可 求 出 ABCD 四 点 的 横 坐 标 得 a = |xA - xC| = ? - ? 8 ? 8 ? b ? m ? ? m ? ?2 -2-2m+1? , b = |xB - xD| = ?2 -22m+1? ,所以 a = ? ? ? ? ? 8 ? ? m ? ?2 -22m+1? 8 ? ? ? ?=2m+2m+1, 8 ? -m ? 2 - 2 - ? 2m+1? ? ?

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第9讲

指数函数、对数函数、幂函数
? 1? 8 ? t = m + = ?m+2? ? + 2m+1 ? ?



1 - ≥ 1 2 m+ 2

4

2

1 1 - =4 - , 1 2 2 m+ 2 b 8 1 =2m+ ≥24- =8 2,所以最小值为 8 2. a 2 2m+1

? 1? ? ? m + ? 2? ? ?

4

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第10讲 函数的图像与性质的 综合

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考试大纲

会运用函数图像理解和研究函数的性质.

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第10讲
双 向 固 基 础

函数的图像与性质的综合

—— 知 识 梳 理 —— 一、函数图像的作图方法
通过在坐标系中画出函数图像上的一些点, 用平滑曲线连接这些点画出函数图像的方法

方法

描 点 法

确定函数定义域,化简函数解析式 步骤
研究函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、 有界性等) 描点连线,得出函数图像

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第10讲 函数的图像与性质的综合
双 向 固 基 础 (续表)



y=f(x)图像
y=f(x+a) ____________ 图像

变 换 法

平 移 变 换



y=f(x)图像 ____________ 图像 y=f(x-a) y=f(x)图像
y=f(x)+h 图像 ____________





y=f(x)图像
y=f(x)-h 图像 ____________

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第10讲 函数的图像与性质的综合
双 向 固 基 础 (续表) x轴 y=f(x)图像 ____________ 图像 y=-f(x) y=f(x)图像
y=f(-x) 图像 __________

y轴 变 换 法 对 称 变 换

直线y=x

y=f(x)图像 y=f(x)反函数图像 y=f(x)图像
y=-f(-x) 图像 ____________

坐标原点

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第10讲 函数的图像与性质的综合
双 向 固 基 础 x轴 (续表)

y=f(x)图像
y=|f(x)| ____________ 图像

变 换 法

翻 折 变 换
y轴

y=f(x)图像
y=f(|x|) ____________ 图像

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第10讲 函数的图像与性质的综合
双 向 固 基 础 沿 x轴
y=f(ax) ____________ 图像

(续表)

y=f(x)图像

变 换 法

伸 缩 变 换

y=f(x)图像
沿y轴
y=af(x) ____________ 图像

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第10讲
双 向 固 基 础

函数的图像与性质的综合

二、函数图像的识别 1.确定函数的定义域、值域. 2.确定函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等). 3.确定函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、过的 定点等). 4.综合分析得出函数图像的可能形状.

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第10讲
双 向 固 基 础

函数的图像与性质的综合

三、函数图像的应用 1.研究函数性质 在已知函数图像后,函数图像上表达出了函数的全部 性质,可以根据函数图像得出函数性质. 2.数形结合解题 在与函数有关的问题中,画出函数图像,数形结合寻找解 题思路.

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第10讲
双 向 固 基 础

函数的图像与性质的综合

—— 疑 难 辨 析 ——
1.函数图像画法问题 (1)作函数 y=2x+1 的图像时,只要画出两个点(0, ? 1 ? ? 1),?-2,0? ?,通过这两点的直线就是函数 y=2x+1 的图 ? ? 像.( ) (2)作函数 y=x3 的图像时,通过计算发现点(-1,- 1),(0,0),(1,1)均在函数图像上,上述三点又在同一 条直线上,则过上述三点的直线就是函数 y = x3 的图 像.( )

[答案] (1)√ (2)?

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第10讲
双 向 固 基 础

函数的图像与性质的综合

[解析] (1)由于一次函数的图像是直线,而不同的两 点确定唯一一条直线,故作一次函数图像时只要画出图 像上的两个点即可. (2)三个点(-1,-1),(0,0),(1,1)只是函数图像 上三个特殊的点, 全面了解函数 y=x3 还要作出其他的点 以及参考函数的性质.

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第10讲
双 向 固 基 础

函数的图像与性质的综合

2.函数图像变换问题 (1)把函数 y =f(2x)的图像向右平移三个单位得到函 数 y=f(2x-3)的图像.( ) (2)函数 y=f(x+a)与 y=f(b-x)的图像关于直线 x= a+b 对称.( ) 2 (3)函数 y=f(x)的图像关于 y 轴对称,函数 y=f(x)的 图像与函数 y=f(-x)的图像关于 y 轴对称,这两种说法 是相同的.( )

[答案] (1)?

(2)?

(3)?

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第10讲
双 向 固 基 础

函数的图像与性质的综合

[解析] (1)在所有的函数图像变换中,变换的是其中 的 x,y.把函数 y=f(2x)的图像向右平移三个单位后得到 的是函数 y=f[2(x-3)]=f(2x-6)的图像. (2)若函数 f(x)满足 f(x+a)=f(b-x),则函数 f(x)的图 a+b 像关于直线 x= 对称; 2 函数 y = f(x + a)与 y = f(b - x)的图像关于直线 x = b-a 对称. 2 (3)不一致,前者是本身的对称,而后者是两个函数 图像间的对称.

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第10讲
双 向 固 基 础

函数的图像与性质的综合
3.函数图像识别与应用问题 (1)函数 y=x3的图像可能是图 2-10-1 中 A 中的图
4

像.(

)

图 2-10-1 (2)若 x?{x|log2x=2-x},则 x2>x>1.( )

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第10讲
双 向 固 基 础

函数的图像与性质的综合

[答案] (1)√ (2)√
3 [解析] (1)y=x3= x4为定义域是(-∞,+∞)上的 偶函数,又当 x>1 时 x3>x,故函数 y=x3的图像可能是 A 中的图像. (2)设 y1=log2x,y2=2-x,在同一坐标系中作出其 简图,如图.由图知,交点的横坐标 x>1,则有 x2>x>1.
4 4 4

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第10讲
双 向 固 基 础

函数的图像与性质的综合

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第10讲

函数的图像与性质的综合
考点 考频 填空(1) 示例(难度) 2012年山东T12(C)

1.函数图像的画法及应 用 点 面 讲 考 向

2.函数图像的变换
3.函数图像的识别

填空(1)
选择(2)

2012年山东T11(C)
2012年课程标准T10(B), 2012年山东T9(B) 2012年江西T10(C), 2012年福建T10(C), 2012年天津T14(C)

4.函数的图像与性质的 综合

选择(3) 填空(1)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2012年课标地区真题卷情况.
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第10讲

函数的图像与性质的综合

?

探究点一

函数图像的画法及应用

点 面 讲 考 向

x+2 例 1 (1)函数 y= ,y=|lgx|,y=2x+2 的图像分 x-1 别对应图 2-10-2 中的序号是________________.

图 2-10-2

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

|x2-1| (2)[2012· 天津卷] 已知函数 y= 的图像与函数 x-1 y=kx-2 的图像恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是 ________.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

思考流程 (1)分析: 需要研究各个函数的图像; 推理: 变换函数解析式、根据函数图像的变换方法,通过基本初 等函数的图像变化得出;结论:结合给出的图像填写对应 的编号. |x2-1| (2)分析:需要数形结合;推理:化简函数 y= 解 x-1 析式,画出函数图像,数形结合找出两个函数图像恰有两 个交点时实数 k 满足的条件;结论:根据实数 k 满足的条 件得出其取值范围.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

[答案] (1)③①② (2)(0,1)∪(1,4)

点 面 讲 考 向

x+2 3 3 [解析] (1)y= = +1,由函数 y= 图像平移 x x-1 x-1 得到,为序号③中的图像;函数 y=|lgx|的图像由函数 y= lgx 图像沿 x 轴翻折得到,为序号①中的图像;y=2x+2 的 图像由函数 y=2x 左移 2 个单位得到,为序号②中的图像. (2)本题考查函数的表示及图像应用,考查应用意识, 偏难. |x2-1| ? ?-(x+1),-1≤x<1, y= =? 在同一坐标系 x -1 ? x + 1 , x < - 1 或 x >1 , ? |x2-1| 内画出 y=kx-2 与 y= 的图像如图, x -1

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

结合图像,当直线 y=kx-2 斜率从 0 增到 1 时,与 y |x2-1| = 在 x 轴下方的图像有两公共点; 当斜率从 1 增到 4 x-1 |x2-1| 时,与 y= 的图像在 x 轴上下方各有一个公共点. x-1
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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

[点评] (1)根据已知的基本初等函数的图像,通过各 种变换得出复杂函数的图像是作出函数图像的主要方法, 要熟悉知识梳理中列出的十二种函数图像变换的适用条件; (2)当函数解析式较为复杂时,首先确定函数的定义域, 然后在定义域内化简函数的解析式,再根据化简后的函数 解析式作函数图像.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

归纳总结 适当变换函数的解析式可以使问题更加明 确,在函数解析式明确的情况下,按照函数图像变换的基 本方法进行.当试题中涉及的变换是几种变换的复合时, 要遵循由内到外的顺序进行,如根据函数y=f(x)的图像得 到函数y=|f(x-2)|的图像时,第一步先平移得到函数y= f(x-2)的图像,再沿x轴翻折得到函数y=|f(x-2)|的图 像.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

变式题 (1)下面六个幂函数的图像如图 2-10-3 所 示,①y=x2;②y=x3;③y=x3;④y=x-2;⑤y=x-3;⑥y
点 面 讲 考 向
3 1 2 1

=x 2.



图 2-10-3 则按照函数解析式的序号其对应的图像顺次是 ________________.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

? ?|lgx|,0<x≤10, (2)已知函数 f(x)=? 1 若 a,b,c 互不相 - x+6,x>10. ? ? 2 等,且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc 的取值范围是( ) A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24)

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第10讲

函数的图像与性质的综合

[答案] (1)A,F,E,C,D,B (2)C
[解析] (1)①y=x2定义域为[0,+∞),非奇非偶函数,
点 面 讲 考 向
3

在[0,+∞)上为增函数,对应图 A; ②y=x3定义域为 R,奇函数,在 R 上为增函数,对应 图 F; ③y=x3定义域为 R, 偶函数, 在[0, +∞)上为增函数, 对应图 E;
2 1

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

④y=x-2 定义域为{x|x?R 且 x≠0},偶函数,在[0, +∞)上为减函数,对应图 C; ⑤y=x-3 定义域为{x|x?R 且 x≠0},奇函数,在[0, +∞)上为减函数,对应图 D; ⑥y=x 2定义域为(0,+∞),非奇非偶函数,在(0, +∞)上为减函数,对应图 B. (2)作出函数图像如下,∵a,b,c 不相等,∴不妨设 a<b<c,f(a)=f(b)=f(c)=t,所以 y=t 与 f(x)的图像有三个 交点,如图所示,c 的取值范围为(10,12),∵a,b 是 y= 1 |lgx|与 y=t 的两个交点的横坐标,∴|lga|=|lgb|,∴a= , b ab=1,∴abc 的取值范围为(10,12).
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1

第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

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第10讲

函数的图像与性质的综合

?

探究点二
例2

函数图像的变换

点 面 讲 考 向

(1)把函数 y=lgx 的图像向左平移 2 个单位,再 1 把各个点的横坐标缩小到原来的 ,再把各点的纵坐标扩大 2 到原来的 2 倍,则得到的函数图像的解析式是 ______________. (2)函数 y=f(3-x)与函数 y=f(1+x)的图像关于直线 x= a 对称,则 a=________.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:需要根据变换次序逐步求解; 推理:根据函数图像变换后对应的函数解析式逐次求解; 结论:得出变换后函数图像对应的解析式. (2)分析:需要求出 a 满足的方程;推理:求出函数 y =f(3-x)图象关于直线 x=a 对称的函数图像对应的函数解 析式;结论:与函数 y=f(1+x)的解析式比较可得 a 值.

[答案] (1)y=2lg(2x+2)

(2)1

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

[解析] (1)函数 y=lgx 的图像向左平移 2 个单位 后所得图像对应的解析式为 y=lg(x+2),再把各个点的 1 横坐标缩小到原来的 所得图像对应的解析式为 y=lg(2x 2 +2), 再把各点的纵坐标扩大到原来的 2 倍后所得图像对 应的解析式为 y=2lg(2x+2). (2)函数 y=f(3-x)的图像关于直线 x=a 对称的图像 对应的函数解析式是 y=f[3-(2a-x)]=f(3-2a+x), 与y =f(1+x)比较得 3-2a=1,解得 a=1.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

[点评] (1)在根据函数图像的各种变换求解函数解析 式时,一定要注意变换的先后顺序,不同的顺序可能产生 不同的结果;(2)如果函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)或者f(x) =f(2a-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称,反 之如果函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称也可得出f(a+ x)=f(a-x)或者f(x)=f(2a-x),但这只是函数y=f(x)图像 本身的对称性,与函数y=f(a-x)和y=f(a+x)的对称性是 不同的,实际上这两个函数图像关于直线x=0对称,不是 关于直线x=a对称.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

归纳总结 函数图像变换的常见错误有二,一个是 左右平移的方向错误,这里的规则是“左加右减”,第二 个是在平移变换与伸缩变换复合的变换中在先平移后伸缩、 先伸缩后平移的变换中忽视变换系数对平移单位的影 响.注意区分函数图像本身的对称性、两个不同的函数图 像之间的对称性,它们是不相同的.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

变式题 (1)用 min{a, b}表示 a, b 两数中的最小值. 若 1 函数 f(x)=min{|x|,|x+t|}的图像关于直线 x=- 对称,则 2 t 的值为( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1 (2)已知图像变换: ①关于 y 轴对称; ②关于 x 轴对称; 1 ③右移 1 个单位;④左移 1 个单位;⑤右移 个单位;⑥左 2 1 移 个单位;⑦横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变;⑧ 2 横坐标缩短为原来的一半, 纵坐标不变. 由 y=ex 的图像经 过上述某些变换可得 y=e1-2x 的图像,这些变换依次可以 是__________________(请填上变换的序号).

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第10讲

函数的图像与性质的综合

[ 答 案 ] (1)D ④①⑧(填一组即可)
[解析]
点 面 讲 考 向

(2)①⑧⑤ 或 ①③⑧ 或 ④⑧① 或

t (1)画出图形,知对称轴方程为 x=- = 2

1 - ,因此 t=1,选 D. 2 (2)方法一: 函数 y=ex 的图像关于 y 轴对称得到函数 y=e-x 的图像,然后横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不 1 变得 y=e-2x 的图像,最后向右平移 个单位得函数 y=e1 2 -2x 的图像. 方法二:函数 y=ex 的图像关于 y 轴对称得到函数 y =e-x 的图像,然后右移 1 个单位得函数 y=e1-x 的图像, 最后横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变得到 y=e1-2x 的图像.
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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

方法三:函数 y=ex 的图像向左平移 1 个单位得 y= ex+1 的图像,然后横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变 得函数 y=e1+2x 的图像,最后关于 y 轴对称得 y=e1-2x 的 图像. 方法四:函数 y=ex 的图像向左平移 1 个单位得 y= ex+1 的图像,然后关于 y 轴对称得 y=e1-x 的图像,最后 横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变得函数 y=e1 -2x 的图像.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

?

探究点三

函数图像的识别

点 面 讲 考 向

例 3 (1)[2012 ·课程标准卷] 已知函数 f(x)= 1 ,则 y=f(x)的图像大致为( ) ln(x+1)-x

图 2-10-4

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

图 2-10-5 (2)[2012·江西卷] 如图 2-10-5,已知正四棱锥 S-ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱 SC 上一动点, 过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、 下两部分, 记 SE=x(0<x<1),截面下面部分的体积为 V(x),则函数 y=V(x)的图像大致为( )

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

图 2-10-6

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)方法一:分析:需要研究函数的一般 性质;推理:从函数的整体性质考虑,函数的定义域、值 域、单调性;结论:结合选项图像作出判断. 方法二:分析:需要研究函数的特殊性质;推理:从 1 特殊点的函数值考虑,x=0,x= -1 等;结论:结合选 e 项中的图像进行筛选. (2)分析:要确定图像需建立 V 关于 x 的函数解析式; 1 1 推理:分 0<x< 和 ≤x<1 考查函数解析式;结论:据解析 2 2 式判断图像.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

[答案] (1)B

(2)A

点 面 讲 考 向

[解析] (1)方法一:函数 f(x)满足 x+1>0,ln(x+ 1)-x≠0,即 x>-1 且 ln(x+1)-x≠0,设 g(x)=ln(x+1) -x 1 -x,则 g′(x)= -1 = ,由于 x+1>0,显然当- x+1 x +1 1<x<0 时,g′(x)>0,当 x>0 时 g′(x)<0,故函数 g(x)在 x =0 处取得极大值,也是最大值,故 g(x)≤g(0)=0,当且 仅当 x=0 时 g(x)=0, 故函数 f(x)的定义域是(-1, 0)∪(0, +∞),且函数 g(x)在(-1,0)∪(0,+∞)的值域为(-∞, 0),故函数 f(x)的值域也是(-∞,0),且在 x=0 附近函 数值无限小,观察各个选项中的函数图像,只有选项 B 中的图像符合要求.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

方法二:(特殊值检验法)x=0 时,函数无意义,排除 ?1 ? ? 1 1 ? ? ? ?1 选项 D 中的图像, x= -1 时, g?e-1?=ln -?e-1? ?=- e e ? ? ? ? 1 <0,排除选项 A,C 中的图像,故只能是选项 B 中的图 e 1 像.注:这里选取特殊值 x= -1?(-1,0),这个值可 e 以直接检验选项 A,C,这种取特值的技巧在解题中很有 用处

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

(2)设 AC,BD 交于 O,当 E 为 SC 中点时,∵SB= SD=BC=CD,∴SE⊥BE,SE⊥DE,∴SE⊥平面 BDE. 1 当 x= 时,截面为三角形 EBD. 2

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

2 1 又∵SA=SC=1,AC= 2,SO= . 当 ≤x<1 时, 2 2 1 设截面交 CD 于 H ,交 CB 于 I ,∴V(x) = VE - CHI = 3 ?1 ? 2 1 ? 2? 2 3 ?( 2 - 2 x ) (1 - x ) = (1 - x ) ;当 0< x < 时,设 ?2 ? 2 3 2 ? ? 截面交 SD 于 F,交 SB 于 G,交 AD 于 H,交 AB 于 I, 连接 SH, SI, 由于 S 五边形 EFHIG=S 三角形 EFG+S 矩形 FHIG= 2x2 +2 2x(1-2x)= 2 2x -3 2x2 ,V(x)=VS -CDHIB- VS - 2 1 2 (1-2x )- ( 2 2x -3 2x2)x= 2x3- 2x2+ EFHIG= 6 3 2 ,故选 A. 6

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

[点评] 根据函数的解析式识别函数图像,要从定义 域、值域、单调性、奇偶性等方面入手,结合给出的函数 图像进行全面分析,有时可结合部分特殊函数值,进行辅 助推断,这是解决函数图像识别类试题的基本方法.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

归纳总结 根据函数解析式确定函数图像类试题的 基本解法有两个.一个是根据函数的特殊性质,如函数图 像经过的特殊点(零点、与y轴的交点、经过的定点等)、 特殊性质(在某个范围内值的正负、大小等),通过与给出 的函数图像的比较得出结果;二是研究函数的一般性质, 如函数的单调性、奇偶性、周期性、极值点、最值、零点 等,根据一般性质推断出函数图像的大致形态得出结果.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2012·河南豫北、豫东十所名校联考] ?1? ? 2 函数 y=ln? 与 y =- x +1在同一平面直角坐标系内的大 ?x ? ? ? 致图像为( )

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

图 2-10-7

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

(

cos6x (2)[2012 · 山东 卷 ] 函 数 y = x -x 的图 像大致 为 2 -2 )

图 2-10-8

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第10讲

函数的图像与性质的综合

[答案] (1)C (2)D
[解析]
点 面 讲 考 向
?1? ? (1)函数 y=ln? 函数是偶函数, ? x?=-ln|x|, ? ?

且在 x>0 时,函数单调递减,排除选项 A,B;函数 y= - x2+1中 y≤-1,排除选项 D 中的图像,只能是选项 C 中的图像. cos6x (2)由函数 y= x -x为奇函数,排除选项 A,当 x 2 -2 无限大时,y 趋向于 0,排除选项 C,当 x 从正数趋向于 0 时,y 趋向于正无穷大,故选 D.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

?

探究点四

函数图像与函数性质的综合

点 面 讲 考 向

例 4 [2012·潍坊二模] 已知函数 f(x)的图像向左 平 移 1 个 单 位 后 关 于 y 轴 对 称 , 当 x2>x1>1 时 , ? 1? ? ? ? ? ?f(x )-f(x )?(x -x )<0 恒成立,设 a=f - 2 1 ? ? 2 1 ? 2?,b= ? ? f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为( ) A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

思考流程 分析:需要知道函数 f(x)的性质;推理: 根据函数 f(x)图像平移后的对称性推断函数 f(x)图像的对称 性,根据 x2>x1>1 时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 恒成立推断函 数的单调性.结论:根据函数图像的对称性把求解的函数 值转化到函数的单调区间上,利用单调性得出结果.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

[答案] D

点 面 讲 考 向

[解析] 由于函数 f(x)的图像向左平移 1 个单位后得 到的图像关于 y 轴对称,故函数 y=f(x)的图像本身关于直 ? 1? ?5? ? ? ? 线 x=1 对称,所以 a=f?-2?=f? ?2?.当 x2>x1>1 时,[f(x2)- ? ? ? ? f(x1)](x2-x1)<0 恒成立,等价于函数 f(x)在(1,+∞)上单调 递减,所以 b>a>c.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

点 面 讲 考 向

[点评] 函数的图像与性质不是相互孤立的,如果已 知函数图像的某种特征则可以得到函数的解析式满足的某 种关系,反之从函数解析式满足的某种关系也可以得出函 数图像的某种特征.在解决函数图像与性质的综合类试题 时要从这两个方面进行分析思考.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

归纳总结 注意函数的图像与函数的性质之间的对应 关系,注意把这种对应关系应用于解题中.
点 面 讲 考 向

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第10讲

函数的图像与性质的综合

变式题 [2011·陕西卷] 设函数 f(x)(x?R)满足 f(- x)=f(x),f(x+2)=f(x),则 y=f(x)的图像可能是( )
点 面 讲 考 向

图 2-10-9

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第10讲

函数的图像与性质的综合

[答案]

B

点 面 讲 考 向

[解析] 由 f(-x)=f(x)得 y=f(x)是偶函数, 所以函数 y =f(x)的图像关于 y 轴对称,可知 B,D 符合;由 f(x+2) =f(x)得 y=f(x)是周期为 2 的周期函数,选项 D 的图像的 最小正周期是 4,不符合,选项 B 的图像的最小正周期是 2,符合,故选 B.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

答题模板

1

如何解答函数综合性问题

-2x+b 例 已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求实数 a,b 的值; (2)若对任意的 t?R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒 成立,求实数 k 的取值范围.
多 元 提 能 力

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第10讲

函数的图像与性质的综合

多 元 提 能 力

解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数, 所以对任意 x?R 恒有 f(-x)=-f(x), -2-x+b -2x+b 即 -x+1 =- x+1 , 2 +a 2 +a -1+b· 2x -2x+b 即 =- x+1 ,3 分 2+a· 2x 2 +a 整理得(2b-a)· 22x+(2ab-4)· 2x+(2b-a)=0, 上式对任意 x 恒成立的充要条件是 2b-a=0 且 2ab -4=0, 解得 a=± 2,5 分 但函数的定义域为 R,2x+1+a≠0, 所以只有 a=2,此时 b=1.6 分

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第10讲

函数的图像与性质的综合

多 元 提 能 力

1-2x 1 1 (2)由(1)知 f(x)= =- + , 易知 f(x)在(- x+1 x 2 2+2 2 +1 ∞,+∞)上为减函数.7 分 又因 f(x)是奇函数,从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),9 分 因为 f(x)为减函数, 所以由上式推得 t2-2t>k-2t2, 即对一切 t?R 有 3t2-2t-k>0,11 分 1 从而判别式 Δ=4+12k<0?k<- .12 分 3

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第1讲

集合及其运算

[方法解读] 函数类综合试题往往是函数解析式、函 数性质、不等式、方程等相互交织在一起的问题,解题的 关键点是求出函数的解析式,研究透彻函数的性质,再根 据函数性质、函数图像等寻找解决问题的思路.本题中也 可以根据f(0)=0,即=0,得b=1,再根据f(1)=-f(-1) 得出a=2.
多 元 提 能 力

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第10讲

函数的图像与性质的综合

自我检评 设 a,b?R,且 a≠2,定义在区间(-b, 1+ax b)内的函数 f(x)=lg 是奇函数. 1+2x (1)求 b 的取值范围; (2)判断并用定义证明函数 f(x)的单调性.
多 元 提 能 力

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第10讲

函数的图像与性质的综合

多 元 提 能 力

1-ax 1+ax 1-a2x2 解:(1)f(-x)+ f(x)=lg + lg =lg =0 , 1-2x 1+2x 1-4x2 1-a2x2 ∴ 2 =1, 1-4x ∴(a2-4)x2=0,∵x2 不恒为 0, 1-2x 2 ∴a =4,又 a≠2,故 a=-2,∴f(x)=lg . 1+2x ? 1 1? 1-2x 1 1 ? - , 由 >0 ,得- <x< ,由题意 ( -b ,b) ? ? ? 2 2? , 2 2 1+2x ? ? 1 ∴0<b≤ . 2

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第10讲

函数的图像与性质的综合

多 元 提 能 力

(2)函数 f(x)在(-b,b)上为减函数.证明如下: 1-2x1 1-2x2 设 - b<x1<x2<b , 则 - = 1+2x1 1+2x2 4(x2-x1) , (1+2x1)(1+2x2) ∵-b<x1<x2<b, ∴x2-x1>0, 1+2x1>1-2b≥0, 1+2x2>1 4(x2-x1) 1-2x1 1-2x2 - 2b≥0 ,∴ >0 ,∴ > , (1+2x1)(1+2x2) 1+2x1 1+2x2 1-2x1 1-2x2 ∴lg >lg ,即 f(x1)>f(x2), 1+2x1 1+2x2 ∴f(x)在(-b,b)上为减函数.

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第10讲

函数的图像与性质的综合

【备选理由】 图像是函数的主要表示方法之一,同时函数图像也表 达函数的全部性质,下面的例1是把实际问题中含有的函 数关系通过图像表达出来,例2是已知函数解析式找出这 个函数的图像,这两个例题从不同侧面表达了函数及其图 像的关系.可以把其分散在相应的探究点中,也可作为本 讲总结之用.

教 师 备 用 题
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第10讲

函数的图像与性质的综合

例 1 液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始 时,漏斗盛满液体,经过 3 分钟漏完.已知圆柱中液面上 升的速度是一个常量,H 是圆锥形漏斗中液面下落的距 离,则 H 与下落时间 t(分)的函数关系表示的图像只可能 是( )

教 师 备 用 题
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第10讲

函数的图像与性质的综合

教 师 备 用 题
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第10讲

函数的图像与性质的综合

[解析] B 由于圆锥形漏斗容器上宽下窄,且漏水的 速度不变,故选 B.

教 师 备 用 题
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第10讲

函数的图像与性质的综合

例 2 [2013·安徽示范高中联考] 函数 f(x)=x2-2|x|的 图像为( )

教 师 备 用 题
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第10讲

函数的图像与性质的综合

[解析] C f(x)是偶函数, 图像关于 y 轴对称, 排除 B, D,又当 x=0 时,y=-1,选 C.

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第11讲

函数与方程

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考试大纲
1.结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根 的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 2.根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程 的近似解.

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第11讲
双 向 固 基 础

函数与方程

—— 知 识 梳 理 —— 一、函数零点的定义 f(x)=0 成立的实数 x 叫 对于函数 y = f(x)(x?D) ,把使 ________ 做函数y=f(x)(x?D)的零点. 二、几个等价关系 x轴 有 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图像与________ 交点?函数y=f(x)有________ . 零点 三、函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y = f(x) 在区间 [a, b]上的图像是连续不断的一 f(a)·f(b)<0,那么函数 y = f(x) 在区间 条曲线,并且有 ____________ f(c)=0 ,这 (a,b) 内有零点,即存在c?(a,b),使得________ ________ c 个________ 也就是f(x)=0的根.
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第11讲
双 向 固 基 础

函数与方程

四、二次函数的零点
Δ>0 Δ= 0 Δ<0

二次函数 y=ax2+bx +c (a>0)的图 像

与x轴的交 点 零点个数

(x1,0),(x2,0) ________________ 两个 ________________

(x1,0) ______________

无交点

一个 ______________

0 ________
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第11讲 函数与方程
双 向 固 基 础

五、二分法 f(a)· f(b)<0 的 1 .对于在区间 [a , b] 上连续不断且 ____________ 函数 y = f(x) ,通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间 一分为二,使区间的两个端点逐步逼近 ________ ________ 零点 ,进而得 到零点近似值的方法叫做二分法. 2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤: f(a)· f(b)<0 ,给定 第一步,确定区间 [a , b] ,验证 ___________ 精确度ε. 第二步,求区间(a,b)的中点c.

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第11讲 函数与方程
双 向 固 基 础

第三步,计算________ f(c) ; ①若________ f(c)=0 ,则c就是函数的零点; f(a)· f(c)<0 ,则令b=c(此时零点x0?(a,c)); ②若___________ f(c)·f(b)<0 ,则令a=c(此时零点x0?(c,b)). ③若____________ 第四步,判断是否达到精确度 ε;即若|a-b|<ε,则得到零 点近似值a(或b);否,重复第二、三、四步.

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第11讲
双 向 固 基 础

函数与方程

—— 疑 难 辨 析 ——
1.函数的零点的几个问题 (1) 函 数 y = f(x) 在 区 间 (a , b) 内 存 在 零 点 , 则 f(a)· f(b)<0.( ) (2)若图像连续不断的函数 y=f(x)在区间(a, b)上单调 且 f(a)· f(b)<0,则函数 y=f(x)在区间(a,b)上存在唯一零 点.( ) (3)函数的零点就是函数图像与 x 轴的交点.( )

[答案] (1)? (2)√ (3)?

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第11讲
双 向 固 基 础

函数与方程

[解析] (1)函数 y=f(x)在区间(a,b)内存在零点不一 定有 f(a)· f(b)<0,也可能 f(a)· f(b)>0 或 f(a)· f(b)=0.如函数 f(x)=x2-1 在区间(-2,2)内存在零点,但 f(-2)· f(2)>0; 函数 f(x)=x2-x 在区间(0,2)内存在零点,但 f(0)· f(2)= 0. (2)根据零点存在定理可知函数 y=f(x)在区间(a,b) 内存在零点,再根据单调性可得零点唯一. (3)函数零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标.

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第11讲
双 向 固 基 础

函数与方程

2.二次函数的零点的判断问题 (1) 二次函数 f(x) = ax2 + bx + c(a≠0) 存在一个正零 点、一个负零点的充要条件是 ac<0.( ) (2)二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的两个零点分别 ?f(m)>0, ? 在区间(m,n),(n,p)的充要条件是?f(n)<0, ( ) ?f(p)>0. ?

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第11讲
双 向 固 基 础

函数与方程

(3)若二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在闭区间[m, ?af(m)≥0, ? ?af(n)≥0, n]内存在两个不同的零点,则?b2-4ac>0, ( ) ? ?m≤- b ≤n. 2a ?

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第11讲
双 向 固 基 础

函数与方程

[答案] (1)√

(2)?

(3)√

[ 解析 ] (1) 数形结合知二次函数 f(x) = ax2 + bx + c(a≠0) 存 在 一 个 正 零 点 、 一 个 负 零 点 的 充 要 条 件 是 af(0)<0,即 ac<0. (2)数形结合知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的两 个 零 点 分 别 在 区 间 (m , n) , (n , p) 的 充 要 条 件 是 ?af(m)>0, ? ?af(n)<0, ?af(p)>0. ? (3)数形结合可知结论正确.

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第11讲
双 向 固 基 础

函数与方程

3.二分法求方程的近似解的基本问题 (1)二分法求方程的近似解是一种无限逼近的数学思 想.( ) (2)如果方程在区间[a,b]内有解,使用二分法求解 n b-a 次后,得到的近似解的精确度是 n .( ) 2 [答案] (1)√ (2)√
[解析] (1)根据二分法的具体方法可知是无限逼近 的数学思想. (2)根据对分区间的方法可知进行 n 次对分后,区间 b-a 的长度是 n ,区间内任意一个数值作为方程的近似解, 2 b-a 这个数值与方程的精确解的误差都不超过 n . 2
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第11讲

函数与方程
考点 考频 示例(难度)

点 面 讲 考 向

1.函数零点个数的求 解与判断

选择(1) 填空(1) 解答(2) 0
0

2012年天津T4(A), 2012年辽宁T11(C), 2012年陕西T21(C)

2.二次函数零点问题
3.二分法求方程的近 似解

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2012年课标地区真题卷情况.
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第11讲

函数与方程

?

探究点一

函数零点个数的求解与判断

点 面 讲 考 向

例 1 (1)[2012·天津卷] 函数 f(x)=2x+x3-2 在 区间(0,1)内的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)[2012· 东北三校一模] 设 f(x)是定义在 R 上的偶 函数,且 f(2+x)=f(2-x),当 x?[-2,0)时,f(x)= ? 2? ? ?x ? 2 ? -1,若在区间(-2,6)内的关于 x 的方程 f(x) ? ? -loga(x+2)=0(a>0 且 a≠1)恰有 4 个不同的实数根, 则 实数 a 的取值范围是( ) ?1 ? ? A.?4,1? ? B.(1,4) C.(1,8) D.(8,+∞) ? ?

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第11讲

函数与方程

点 面 讲 考 向

思考流程 (1) 分析:需要知道函数 f(x) 的性质和 f(0)f(1)的符号;推理:判断函数的单调性,使用函数在开 区间内零点的存在定理进行判断;结论:得出函数零点的 个数. (2)分析:需要知道函数 f(x)的周期性;推理:推断函 数的周期性,根据奇偶性与周期性拓展函数图像,数形结 合得出 a 满足的不等式;结论:解不等式得出所求范围.

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第11讲

函数与方程

[答案] (1)B (2)D

点 面 讲 考 向

[解析] (1)因为函数 f(x)=2x+x3-2 的导数为 f′(x)= 2xln2+3x2≥0,所以函数 f(x)=2x+x3-2 单调递增.又 f(0) =1-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,根据零点的存在定 理可知在区间(0,1)内函数的零点个数为 1 个,选 B.

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第11讲

函数与方程

点 面 讲 考 向

(2)由 f(2+x)=f(2-x)得 f(4+x)=f(-x),再根据函数 f(x)是偶函数得 f(4+x)=f(x),故函数 f(x)是周期为 4 的函 ? 2? ?x 数.由于函数在[-2,0)上的解析式为 f(x)=? ? 2 ? -1,所 ? ? ? 2? ?-x 以函数在[0,2)上的解析式为 f(x)=? -1,作出函数 ? 2 ? ? ? 在[-2, 2)上的图像, 根据周期性把函数图像拓展到区间(- 2,6)上,再画出函数 y=loga(x+2)的图像.显然在 0<a<1 时,两个函数图像只有一个交点,不符合要求;当 a>1 时, 要使两个函数的图像有 4 个公共点,只要 f(6)>loga(6+2) ? 2? ?-(6-4) 即可,即? -1>loga8,即 loga8<1,即 a>8. ? 2 ? ? ?

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第11讲

函数与方程

点 面 讲 考 向

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第11讲

函数与方程

点 面 讲 考 向

[点评] 函数的零点、方程的根,都可以转化为函数 图像与x轴的交点 ,数形结合法是解决函数零点、方程根 的分布,零点个数、方程根的个数的一个有效方法.在解 决函数零点问题时,既要注意利用函数的图像,也要注意 根据函数的零点存在定理、函数的性质等进行相关的计算, 把数与形紧密结合起来.

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第11讲

函数与方程

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①判断函数零点个数可以根据数形结合 的方法转化为判断两个函数图像交点的个数. ②解决函数零点问题要注意定量计算与定性判断相结 合的方法. ③当函数在某个区间上单调时,这个函数在这个区间 上最多只有一个零点,而且这个零点一定是函数的变号零 点,在这个零点两侧函数值的符号相异.

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第11讲

函数与方程
? ?x+1,x≤0, f(x)=? 则函数 ? ?log2x,x>0,

变式题 (1)已知函数
点 面 讲 考 向

y=

f[f(x)+1]的零点个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 (2)[2012· 衡水中学调研] 当直线 y=kx 与曲线 y=e|lnx| -|x-2|有 3 个公共点时,实数 k 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)

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第11讲

函数与方程

[答案] (1)C (2)A
[解析] (1)f(x)=0 时,x=-1 或 x=1,故 f[f(x)+1] =0 时, f(x)+1=-1 或 1.当 f(x)+1=-1, 即 f(x)=-2 时, 1 解得 x=-3 或 x= ;当 f(x)+1=1,即 f(x)=0 时,解得 x 4 =-1 或 x=1.故函数 y=f[f(x)+1]有 4 个不同的零点. ? ?1+x-2,0<x<1, ?x |lnx| (2)y=e -|x-2|=?2x-2,1≤x<2, 画出这个函数 ? ? ?2,x≥2, 的图像以及函数 y=kx 的图像,如图.如果两个函数图像 有 3 个公共点,则直线的斜率必须介于 0,1 之间.

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第11讲

函数与方程

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第11讲

函数与方程

?

探究点二

二次函数的零点问题

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例 2 已知二次函数 f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)在 区间(-1,1)内存在零点,试求实数 a 的取值范围.

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第11讲

函数与方程

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[思考流程] 条件:f(x)在区间(-1,1)内存在零点;目 标:求实数 a 的取值范围;方法:方法一:根据数形结合 思想列出各种情况下实数 a 满足的不等式解之;方法二: 直接求出方程 f(x)=0 的根, 得出实数 a 满足的不等式解之.

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第11讲

函数与方程

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解 : 方 法 一 : (1) 若 存 在 两 个 零 点 , 则 ?Δ =[2(1-a)]2+12a(a+2)>0, ? ?-1<a-1<1, 3 ? 即 ?f(-1)=3-2(1-a)-a(a+2)>0, ? ?f(1)=3+2(1-a)-a(a+2)>0, 2 4 a ? ? +4a+1>0, ?-2<a<4, ? 2 1 - a >0, ? 2 ? ?a +4a-5<0. 1 解得-1<a<1 且 a≠- . 2
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第11讲

函数与方程

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(2)若只存在一个零点. ① 若 是 变 号 零 点 , 根 据 零 点 存 在 定 理 , 有 f( - 1)f(1)<0, 即[3+2(1-a)-a(a+2)][3-2(1-a)-a(a+2)]<0, 整理得(a+5)(a+1)(a-1)2<0,解得-5<a<-1. ②若是不变号零点,则根据 Δ=[2(1-a)]2+12a(a+ a-1 1 1 2)=0,解得 a=- ,此时满足-1< <1,故 a=- . 2 3 2

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函数与方程

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(3)若 x=-1 或 x=1 之一为其零点. 当 f(-1)=0 时, a=± 1.若 a=1,则 f(x)=0 的另一个零点是 x=1,此时不 1 符合要求;若 a=-1,则 f(x)=0 的另一个零点是- , 3 符合要求;当 f(1)=0 时,a=1 或-5.若 a=1,则 f(x)=0 的另一个零点是 x=-1,此时不符合要求;若 a=-5, 则 f(x)=0 的另一个零点是-5,不符合要求.故 a=-1. 综上所述,所求的 a 的取值范围是(-5,1). a+2 方法二: f(x)=0 的根 x1=a, x2=- .只要-1<x1<1 3 或者-1<x2<1,即满足要求, 即-1<a<1 或-5<a<1. 所以所求的 a 的取值范围是(-5,1).
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第11讲

函数与方程

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[点评] 二次函数在一个开区间内存在零点的情况是 较为复杂的,特别是在一个开区间内存在一个零点的情况, 其中含有三种可能.(1)一个不变号零点;(2)区间端点不 是函数零点,在该区间内函数存在一个变号零点;(3)区 间端点是函数零点,在区间内存在一个零点.上述几种情 况只使用函数零点的存在定理是不够的,还要结合函数、 方程的知识进行综合分析.当函数的零点能够具体求出时, 这类问题的解法相对简单,在本题中方法一是解决问题的 通法、方法二为特殊化方法.

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第11讲

函数与方程

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归纳总结 二次函数在区间内的零点受区间端点的 函数值、对称轴的位置和判别式的制约,解题时可结合函 数图像列出这些条件.当二次函数在一个区间上存在一个 零点时,不要忽视了这个零点可能就是不变号零点.

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第11讲

函数与方程

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变式题 设 f(x)=3ax2+2bx+c, 若 a+b+c=0, f(0)>0, f(1)>0,求证: b (1)a>0 且-2< <-1; a (2)函数 y=f(x)在(0,1)内有两个零点.

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第11讲

函数与方程

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证明:(1)因为 f(0)>0,f(1)>0, 所以 c>0,3a+2b+c>0. 由条件 a+b+c=0,消去 b,得 a>c>0; 由条件 a+b+c=0,消去 c,得 a+b<0,2a+b>0. b 故-2< <-1. a (2) 抛 物 线 f(x) = 3ax2 + 2bx + c 的 顶 点 坐 标 为 2 ? b 3ac-b ? ? ? - , ? 3a ?, 3 a ? ? b 1 1 b 2 在-2< <-1 的两边乘以- ,得 <- < . a 3 3 3a 3 2 2 ? ? a + c -ac b ? - 又因为 f(0)>0,f(1)>0,而 f? =- <0, ? 3a? 3 a ? ? ? ? ? b? b ? ? ? 所以方程 f(x)=0 在区间?0,-3a?与?-3a,1? ?内分别有一 ? ? ? ? 实根.故函数 y=f(x)在(0,1)内有两个零点.
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函数与方程

?

探究点三

二分法求方程的近似解

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1 例 3 用二分法求方程 lnx= 在[1,2]上的近似解, x 取中点 c=1.5,则下一个有根区间是__________.

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第11讲

函数与方程

[思考流程] 分析:需要构造函数和确定各个点的函 数值;推理:计算三个点 x=1,1.5,2 的函数值;结论: 根据零点存在定理判断下一个有根的区间.
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函数与方程

[答案] [1.5,2]
1 [解析] 令 f(x)=lnx- , x 1 2 f(1)=-1<0, f(2)=ln2- =ln >ln1=0, f(1.5)=ln1.5 2 e 2 1 - = (ln1.53-2). 3 3 1 1 3 2 3 3 因为 1.5 =3.375, e >4>1.5 , 故 f(1.5)= (ln1.5 -2)< 3 3 (lne2-2)=0,f(1.5)f(2)<0,下一个有根区间是[1.5,2].

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函数与方程

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[点评] 用二分法求方程近似解时,每一次取中点后, 下一个有根区间的判断原则是:若中点函数值为零,则这 个中点就是方程的解,若中点函数值不等于零,则下一个 有根区间是和这个中点函数值异号的区间.

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第11讲

函数与方程

归纳总结

二分法求函数的零点的基本依据是函数

零点的存在定理,在解决问题的过程中要自始至终用这个
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定理不断判断函数的零点所在的区间,每次区间长度变为
原来的一半,在经过n次取中点后,如果n满足 则就可以以此时区间的端点值当作函数近似的零点.
|a-b| <ε, n 2

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函数与方程

变式题 若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零 点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
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f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984 f(1.437 f(1.375)≈- f(1.406 25)≈-0.054 5)≈0.162 0.260 那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为( ) A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5

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第11讲

函数与方程

[答案] C

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[ 解 析 ] 由 于 f(1.406 25)≈ - 0.054<0 , f(1.437 5)≈0.162>0,精确到 0.1,所以函数正数零点为 x=1.406 25≈1.4,故选 C.

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第11讲

函数与方程

思想方法

4

数形结合思想在函数零点问题中的应用

多 元 提 能 力

例 已 知 以 T = 4 为 周 期 的 函 数 f(x) = 2 ? ?m 1-x ,x?(-1,1], ? 其中 m>0.若方程 3f(x)=x 恰有 ? ?1-|x-2|,x?(1,3], 5 个实数解,则 m 的取值范围为( ) ? 15 8? ? 15 ? ? ? ? ? A.? , ? B.? , 7? 3? ? 3 ? 3 ? ?4 8? ?4 ? ? ? ? C.?3,3? D.?3, 7? ? ? ? ? ?

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第1讲

集合及其运算

[分析] 作出函数f(x)在一个周期(-1,3]上的图像, 根据周期性拓展函数图像,再作出函数y=的图像,数形 结合找出两个函数图像有5个公共点时实数m满足的不等 式,解之即得.

多 元 提 能 力

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第11讲

函数与方程

多 元 提 能 力

[解析] B 因为当 x?(-1,1]时,将函数化为方程 2 y x2+ 2=1(y≥0),实质上为一个半椭圆,其图像如图 2- m 11-1 所示,同时在坐标系中作出当 x?(1,3]的图像,再 x 根据周期性作出函数其他部分的图像, 由图易知直线 y= 3 2 y 与第二个半椭圆(x-4)2+ 2=1(y≥0)相交,而与第三个半 m y2 2 椭圆(x-8) + 2=1(y≥0)无公共点时,方程恰有 5 个实数 m 2 x y 解, 将 y= 代入(x-4)2+ 2=1(y≥0)得(9m2+1)x2-72m2x 3 m +135m2=0.令 t=9m2(t>0),则(t+1)x2-8tx+15t=0. 由 Δ=(8t)2-4?15t(t+1)>0,得 t>15,由 9m2>15,且 15 m>0 得 m> . 3
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第11讲

函数与方程

2 x y 同理因为 y= 与第三个半椭圆 (x-8)2+ 2 =1(y≥0) 3 m 无公共点,由 Δ<0 可计算得 m< 7, ? 15 ? ? ? 综上知 m?? , 7?. ? 3 ?

多 元 提 能 力

图 2-11-1

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第11讲

函数与方程

多 元 提 能 力

πx 1 自我检评 (1)函数 f(x)=3cos -log x 的零点的个 2 2 数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 (2)已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x-4)=- f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程 f(x)=m(m>0)在 区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2 +x3+x4=________.

[答案] (1)D (2)-8

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第11讲

函数与方程

π [解析] (1)把函数的零点个数转化为函数 y=3cos x 与 y 2 =log1x 的交点个数,在同一个坐标系中画出这两个函数的图
2

多 元 提 能 力

像,根据函数图像并结合数据分析.两函数图像如图.函数 π y=3cos x 的最小正周期是 4,在 x=8 时,y=log18=-3, 2 2 结合函数图像可知两个函数的图像只能有 5 个交点,即函数 πx f(x)=3cos -log1x 有 5 个零点. 2 2

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第11讲

函数与方程

多 元 提 能 力

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第11讲

函数与方程

多 元 提 能 力

(2)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x-4)=- f(x),所以 f(x-4)=f(-x),所以函数图像关于直线 x=2 对称 且 f(0)=0.由 f(x-4)=-f(x)知 f(x-8)=f(x),所以函数是以 8 为周期的周期函数.又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数,所 以 f(x)在区间[-2, 0]上也是增函数. 如图所示, 那么方程 f(x) =m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4, 不妨设 x1<x2<x3<x4,由对称性知 x1+x2=-12,x3+x4=4, 所以 x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

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第11讲
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