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返璞归真,函数为本——2014年华约自主招生数学试题评析


霁霎誊粼翠析
返璞归真,函数为本
——2014年华约自主招生数学试题评析
⑧江苏省常熟市中学查正开

2014年6月

阳春三月,清风拂面,一年一度的全国各重点高校 的自主招生选拔考试已落下帷幕.综观2014年全国重点 高校组成的“三大联盟(北约、华约、卓越)”的自主招生 试卷,“华约联盟”所推出的一套自主招生数学试题,一 改它以往总以竞赛数学或高等数学知识、方法和技巧为 主的风格特色,而是采取面向全体学生,用高中数学的 主干内容为载体,以高考数学的思想和方法为核心,强

评注:本题以高中数学的基础——集合为载体检测
学生的分析推理能力.尽管涉及的知识只是简单的集合 和加减运算而已.但要准确地完成解答需要有一定的分
析和推理能力.试题绵里藏针,有较好的区分度.

第2题乒乓球比赛,五局三胜制.任一局甲胜的概


率是p(p>÷),甲赢得比赛的概率是q,求p为多少时,q一
二/

化对函数概念号|生质和函数思想与应用能力的考查,返
璞归真、推陈出新、清新自然、璀璨夺目.全套试卷共有 七道大题,除第一题满分10分外,其他六道题满分均为 15分,全卷总计100分.试题贴近考生,层次分明,难度适 中.注重对高中数学主干知识和主要数学方法的考查, 有效地起到了选拔优秀学生的功效,赢得了广大师生和 社会各界的一致好评.下文笔者将给出这份优美试题的 解答和简要评析,供读者参考.

p取得最大值. 分析:根据五局三胜制的比赛规则,甲赢得比赛共 有三种情形.分类讨论得出甲赢得比赛的概率为q,再利 用导数求出q—p的最大值. 解:若比赛三局甲赢得比赛,则甲需三局全胜,其概 率为p3; 若比赛四局甲赢得比赛,则前面三局中甲两胜一 负,第四局甲胜,其概率为c如3(1-p); 若比赛五局甲赢得比赛,则前面四局中甲两胜两负, 第五局甲胜,其概率为c缅3(1-p)j 因此甲赢得比赛的概率为q邓3+c矛3(1-p)+c扣3(1一
P)2.

第1题已知扎%‰‰戈;为正整数,任取其中四个
数,其和组成的集合为{44,45,46,471,求这五个数.

分析:五个数中任取其中四个数相加有五种隋形,现
已知其和有四个值,因此可知这五个数中有且只有两个 数相同,从而找到问题的突破. 解法1:令执+戈:+戈。+戈。+戈5--M,则任取其中四个数,其

所以q_p邓3+c矛3(1-p)+c和3(1-p)2_p=印5 1却5+


和组成的集合为{M一扎M一%M叫。,M一‰M一戈;1.由题设
可知{M叫。,M叫:,M一物,M一戈。,M一戈;)_{44,45,46,47),所以

1、

1印3-p(p>÷).

这五个数中有且只有两个数相同,不妨设肘嘣。--44,朋嘣2_ 45,M嘣3--46,M嘣4--47,M嘣5甜,则226=44+44+45+46+
47<.M-x1+M叫2+M叫3+M叫4+M叫5--4M--182私≤44+45+ 46+47+47=229.因为M为正整数,所以M=57,A--46,所以 这五个数分别为13,12,11,10,11. 解法2:五个数任取四个应该可以得到c;个不同的 和,现条件中只有四个不同的和,故必有两个和的值相 同.而这五个和的值之和为4(21+戈:慨。慨。慨;),是4的倍 数,所以这个相同的和值只可能是46,从而有戈。+戈:慨。+
/ /


设厂(p):印s一1却a+1印s印旧>了1 1,则厂,(p):3印a

6印3+3印2—1=30【p2(p2_劲+1)一菊1__30【p2(p一1)2一菊1__

-52+4一为别分数个五这故,7:6———=,蚁哒丑T姒万力U刿3一=


3。b2叩一士恬叩+..上X/30x/30/,,/30 1/. 又因为p∈(i1,1),所以p2印,故p2印一了杀<。? 7(P)--0,即p2-p+圭--0,解得p=
\ \

13,57—45--12,57—46=11,57—47--10,57—46=11,且口
10,11,11,12,13.

下1_+、/1

所以令f

x/30

4:≥±—l嘉1.

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寸’拿擞?7高中版

万方数据

2014年6月


考卷解析

热霎

又因为p∈(丢,?),所以取p=i1+\/j一了杀,易

所U,y=g f-1(戈))为y--f(g(戈))的反函数. (2)因G(戈)的反函数是F(x),故G(F(x))=G(G。1(戈))= 戈,则厂(戈)_-f(G(F(x))).又因为G(戈)_-f。1(戈),所以 G(F(戈))_-f。1(一F(x)),代入得f(x)_-f(G(F(戈)))=

知当p∈㈠≥+\/j一★)时川小帅∈ 》\/j一去,?时㈤m 所以当p=i1+、/j一了嘉时以p)有唯一极大值,
也是最大值.
评注:本题是一个以概率为载体.利用分类思想.通

。,I。厂。1(一F(x)))=一以戈)=-A叫).
所以八戈)为奇函数. 评注:本题考查函数与反函数的有关概念与性质.检 测学生的代数推理与抽象证明能力,而这正是高等数学 的必备基础.
第5题

已知椭圆等+iyZ与圆x2+y2=b z,过椭圆上一

过建立目标函数,借助导数来解答的一个应用问题.能 全面检测学生思维的敏捷性和灵活性.有效考查学生运 算与推理的缜密性和应用函数的解题意识. 点M作圆的两条切线,切点分别为P,Q,直线PQ与戈,Y轴 分别交于点E,F,求S△肼的最小值.

第3题函掰㈤=誓(cosx-si赫in卜孑1_
2asitrv+b(血>0)的最大值为1,最小值为一4,求a,6的值. 解析:易知厂(戈):—1—(cos‰一sin‰)一2血sin+6:一sin‰一


解法1:设M(acosO,bsinO)(0“0,2'rr)),直线Pp为
点尬关于圆戈2彤2_62的切点弦,其方程为(acosO)x+(bsinO)y=

62'从而戈萨志,舻—南,于是5△萨丢I戈EI,IXFI--磊‰
≥尘.



2嬲ir“+6+』.


当且仅当M(±旦丢血,±旦丢6)时,上述等号成立.
故所求S△肼的最小值为!.

令f=si似,则问题等价于g(f)--_t2_2m+6+{在
[一1,1]上的最大值和最小值分别为1和一4. ①当对称轴t=-a≤一1,即a≥1时,则g(f)在[一1,1]E



解法2:设P(‰如)是椭圆上一点,则等+罢(戈蜘≠
0),其切点弦PQ的方程为戈∥彤∥=6j当戈=0时,y=竺;当y=
Yo

) = 2o + 6 一
=一

1 2




o=




递减,所以
g 1 2o + 6






解得
,o斗









②当对称轴一1<-a<0,即0<血<1时,则


g(一血)=矛+6+÷--1,


。Hvj^,x=石b2,所以5一翥. 因为萼+吾彤掣删5一蒜≤篙=等.
当且仅当戈。:±二!≥血m:±二_生6时取等号.
故所求S△肼的最小值为!. 评注:本题以几何中最基本的图形——直线、圆、椭
圆和三角形面积为载体的解析几何问题.考查学生运用

消去b得矿+2血一4=0,解得血=一1±

jg(1)=一2血+6一÷=一4,



、/5盛(0,1),舍去.

综上①②可知,n=三,6=一1即为所求.


评注:本题是以三角函数为载体.考查学生有关三 角函数变换和二次函数的性质,检测学生的分类意识和 讨论运算能力,回归到高考要求.
第4题

函数或不等式(均值不等式、柯西不等式等)求最值的能力.
第6题

已知数列{%)满足:al=O,‰。=印“岣%

(1)证明顾承戈))的反函数为产莎1眇。1(戈));

(1)若q=1,求%; (2)若Ipl<l,Iql<l,求证:数列{%)有界.

(2)F(戈)欹一戈),G(戈)可。1(戈),若G(戈)的反函数是
F(x),证明及戈)为奇函数.

解析:(1)当q--1时,%—吗F印“,则盱铂=(舻1场d(n≥2).
由累加法得n乒%一血持_1+血柚一%_2+…+啦一al+a1(n≥2),

证明:(1)由反函数定义可知y欢g(戈))的反函数为

则%邓+劲2+印3+..?+(n一1岫d(n≥2)①.

戈砜g(y)),姆’。1(戈)_-f。1抓g(z)))=g(y),从而旷1(L厂。1(戈))
=纩1(g(y))=弘

(i)当p:l时,%:掣;当n:l时舰:o也适合;
高中版寸’孑擞?7
49

万方数据

霁霎誊粼翠析
(ii)当p≠1时,pa。--p2+劲3+..?+(n一1加“②, 由①一②得%_p%邓印2印3+..?印n l(n一1加“,
所以%= 显然成立;
,,

20]4年6月

当戈2<n时,由基本不等式e。≥l+x(x∈R)和贝努利不
4,i


旦玉j}=::旦一(n一1)p“一(n一1)p。。一印。印
——-,p2l, 尘掣舻1,

等式(1+p)“≥1+印(p≥ 1),得n

||

1-兰1?ei 。/
刀/

n≥

当n--1时,al=0也适合

mf f1-兰1.f1+兰11 n:nfl 等1 n≥nf 1一n?等1_n叫z,不 || 刀/| 刀//| n2/ \ n2/
等式也成立. 所以原不等式成立.

于是%=

—(n-1)pn+—l_Tipn_l_p,。≠1


(1_p)2

证法3:令厂(戈)=戈2+n(1-兰)ne。,则f 7(戈)=
\ n/

(2)由l‰1I=lnp“+qcIJ≤l印“I+lqa,.J<.nlpl“+1%l, 所以l血棚H%l≤np卜于是1%l—l血柚l≤(n一1)pld(n≥2).

戈f2一f 1一二1_1—1eml.
|| 刀/ /

故l刮≤bl+2p12+…+(n一1)bld=』!二』;学.
而(n一1)]pP+l-n]p[“≤(n一1)tpt“一nlpl=一tpt“<0,

由累加法得听盱铂+%1一%+…+盱吼+吼(n≥2),

(1)当n--1时,及戈)=戈2+(1-x)e。,厂7(戈)=戈(2一e。) 当戈∈(一∞,0)时,7(戈)<0;当戈∈(0,ln2)时,7(戈b

o;当戈∈(1n2,1)时,7(戈)<o.故当n--1时,有戈≤1“戈)。。= 抓0)以1))--1,贝抓戈)≥‘八o)=m
(2)当n i>2时,令g(戈)=f 1一_:_1 \
n/

于是当n≥2时,有kl<可当杀,显然吼_0也成立,于
是吗有界.
评注:本题以递推数列和数列的有界性为背景.重点 考查学生掌握数列的通项和数列求和的技能.这是高考 数学的重点.同时也是高等数学学习的基础.
第7题


nJem,贝0 97(戈)=

生f1一兰1嘞m
\ n/

由于戈≤n时,f 1一兰卜2e。≥o恒成立,故当戈≤1时,


n/

已知n∈N+,戈≤n,求证:n—nf 1一兰旧ne≤戈j

97(戈)≥0;当1≤戈≤n时,97(戈)≤0,于是知g(戈)在(一∞,1) 上单调递增,在(1,n)上单调递减,所以g(戈)一苇(1)=
1 1

证法1:谤(戈)=戈2+n(1-兰)ne。一n,
\ n/

(1一二Pe≤(1一÷)e<2.因此,当戈∈(一∞,0)时。厂7@)<
n{ £{

则厂,(戈):2x+n

。|

f 1一兰1 f 1一兰卜?em: 刀/| 刀/
nem—n

o;当戈∈(o,n)时:厂7@bo,所以有,b)≥及o)=m

综合(1)(2)得,当戈≤n时,(戈)≥n,即戈‰(1-兰)ne。≥n,


戈l【 2一f1-兰1一?em. \ J
n/

n/

所以原不等式成立. 评注:本题是全卷的压轴题.其背景是数学分析中 的高等不等式.若利用贝努利不等式(1印)“≥1+印⑦≥



令g(戈):2一f 1一兰1n lex,则g,(戈):盟f 1一兰1一叠




n/





n/

因为戈≤n时,f\ 1-兰1略mi>0,所以当戈≤1时,∥(戈)≤ n/


一1)(证法1)或高等数学的一个重要极限lim(1+二1“=e(证法 m\
n/

0;当1≤戈≤n日寸,g’0戈)≥0.

2)解答此题则难度不是太大,若全部用中学数学的高考 知识来证明本题需要有较高的技巧. 从以上对试题的解答与评析中可以看出,2014年的 华约自主招生试题平实温和、清新自然.尽管难度不是 很大,但内涵丰富、绵里藏针,要做出准确规范完整的解 答需要考生具有熟练的推理运算、扎实的解题功底和较 高的数学素养,因此,试题具有较好的区分度.全套试卷 贴近中学教学实际,理性回归高考,以函数为本,对函数 这一数学之魂的有关知识和思想作了重点检测和考查 (除第1题和第5题外其余各题都涉及函数知识和思想), 而这正是后继高等数学学习的必备和基石,故试题又具 有较高的信度和效度,有效地达到了高校对优秀学生的

于是知g(戈)在(一∞,1)上单调递减,在(1,n)上单调

递增,所以g(戈)≥g(1):2—1一』1一?e.

又因为n=1时,g(1)=2>o,n≥2时,2≤(in了)一=

(?+i1



l<e'得:e1<(?一去)d≤i1,则2一(?一去)de>o.

所以g(戈):2一f 1-兰1一?em叵大于o.

证法2:原不等式等价于n叫2≤n((1一熹)?e÷卜
当戈2≥n时,上述不等式左边非正,右边非负,不等式
50

自主选拔,是一份堪称经典的自主招生试题.圃

中’拿擞?7高中版

万方数据

返璞归真,函数为本——2014年华约自主招生数学试题评析
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 查正开 江苏省常熟市中学 中学数学 Middle School Mathematics 2014(11)

引用本文格式:查正开 返璞归真,函数为本——2014年华约自主招生数学试题评析[期刊论文]-中学数学 2014(11)


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