当前位置:首页 >> 数学 >>

人教版必修四数学知识的归纳


01 任意角和弧度制 1.任意角的概念 〖概念〗角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,设一条射线 的端点是 O,它从起始位置 OA 按逆时针方向旋转到终止位置 OB,则形成了一个角 α,点 O 是角的顶点, 射线 OA、OB 分别是角 α 的始边和终边。

〖分类〗 1、正角:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角;

如图,∠α=450°. 2、负角:按顺时针方向旋转形成的角叫做负角;

如图,∠α=-630° . 3、零角:如果一条射线没有任何旋转,我们称它形成了一个零角。

〖代数表示〗为了简便起见,在不引起混淆的前提下,“角 α”或“∠α”可以简记作“α”。如果 α 是零角,那么 α=0°. 〖几何表示〗如图所示

详解: 〖概念总结〗角度正负的记忆:逆正,顺负,不动零。 〖概念辨析〗 1、要正确理解正角、负角、零角的概念,既要注意旋转量,也要注意旋转方向。 2、表示角时,应注意箭头的方向不可丢掉,因为箭头的方向代表角的正负。

〖相关知识〗 终边相同的角,象限角,坐标轴上的角,任意角与实数集。 2.终边相同的角 〖定义〗 所有与角 α 终边相同的角, 连同角 α 在内, 可构成一个集合 即任一与角 α 终边相同的角,都可以表示成角 α 与整数个周角的和 。 〖几何表示〗如图所示 ,

详解: 〖概念辨析〗 (1)相等的角,终边一定相同,终边相同的角不一定相等。 (2)k 是整数,α 是任意角,终边相同的角有无数多个,它们相差 360° 的整数倍。 〖相关知识〗 任意角的概念,象限角,坐标轴上的角,任意角与实数集。 实例: 〖正例〗

如图,-315° 、45° 、405° 的终边都为 OA,它们是终边相同的角。 〖反例〗

如图,45° 的终边为 OA,225° 的终边为 OB,它们不是终边相同的角。

3.象限角 〖定义〗把角放在直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边放在 x 轴的正半轴上,角的终边 落在第几象限就将该角叫做第几象限角。如果角的终边落在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限。 〖代数表示〗 终边在第一象限的角的集合: {β|n·360°<β<n·360°+90° ,n∈Z} 终边在第二象限的角的集合: {β|n· 360° +90° <β<n·360°+180° ,n∈Z} 终边在第三象限的角的集合: {β|n· 360° +180°<β<n·360°+270° ,n∈Z} 终边在第四象限的角的集合: {β|n· 360° +270° <β<n·360°+360° ,n∈Z} 〖几何表示〗

详解: 〖记忆方法〗记忆方法、口诀 〖概念辨析〗 如果角的顶点不与坐标原点重合,或者角的始边不与 x 轴非负半轴重合,则不能判断角在哪 一象限,也就是说它不能称作象限角。 〖相关知识〗 坐标轴上的角 实例: 〖正例〗

° ° ° 如图,124 为第二象限角,210 为第三象限角,-45 为第四象限角。 〖反例〗

° ° 如图,90 、270 都不在任何象限,它们都不是象限角。 〖例题〗

例 1、设 α 为第一象限角,试问 解:因为 α 为第一象限角,

为第几象限角?

所以

所以

所以当 k 为偶数时,

在第一象限;

当 k 为奇数时,

在第三象限,

因此,

是第一或第三象限角。

例 2、设 α 为第二象限角,试问:-α、π-α、π+α 分别是第几象限的角? 解:因为 α 为第二象限角,

所以

① 因为 k 是整数,所以-α 为第三象限角。

② 所以 π-α 为第一象限角。

③ 所以 π+α 为第四象限角。 4.坐标轴上的角 〖定义〗在直角坐标系内,角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,那么角的终边落 在坐标轴上,我们就说这个角是坐标轴上的角。 〖代数表示〗符号或字母表示 与 x 轴正半轴终边相同的角的集合为 {β|β=k?360°,k∈Z} 与 x 轴负半轴终边相同的角的集合为 {β|β=180?+k?360°,k∈Z} 与 y 轴正半轴终边相同的角的集合为 {β|β=90°+k?360°,k∈Z} 与 y 轴负半轴终边相同的角的集合为 {β|β=270°+k?360°,k∈Z} 终边在 x 轴上的角的集合为 {β|β=n?180°,n∈Z} 终边在 y 轴上的角的集合为{β|β=90°+n?180°,n∈Z} 终边在坐标轴上的角的集合为 {β|β=n?90°,n∈Z} 〖几何表示〗

详解: 〖相关知识〗 象限角 实例: 〖正例〗

如图,90 〖反例〗

° 是终边在 y 轴正半轴的角 ° 、270 是终边在 y 轴负半轴的角。

° ° ° 如图,124 为第二象限角,210 为第三象限角,-45 为第四象限角,他们都不是终边在坐标轴上的角。 5.弧度制 〖定义〗 弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制。 把长度等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)叫做 1 弧度。它是定值,其大小与所在圆的半径大小无关。记作 rad,读作“弧度”。 〖代数表示〗rad 〖几何表示〗

如图,∠AOB 的大小即为 1rad. 详解: 〖概念辨析〗 1、一定大小的圆心角 α 所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的,与半径的大小无关。 2、一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是 0.

3、如果半径为 r 的圆心角 α 所对弧长为 l,那么角的弧度数的绝对值是 边的旋转方向决定。 〖相关知识〗角度与弧度之间的转化 实例:

.这里 α 的正负由角 α 的终

〖特例〗因为圆的周长为 2π r,所以有 6.角度与弧度之间的转化

〖推导〗因为圆的周长为 2π r,所以有

〖具体公式〗 ①将角度化为弧度.

②将弧度化为角度.

③弧度制与角度制的换算公式:

α rad=( 详解:

)° , n° =n

(rad)。

〖记忆方法〗记住

即可

〖概念辨析〗今后用弧度制表示角时,“弧度”二字或“rad”通常略去不写,而只写该角所对应的弧度数。例 如,角 实例: 必须熟记的特殊角的弧度制 就表示 α 是 2rad 的角。

7.弧长公式

弧长公式:l=αR=



其中 α 是弧度数,n 是角度数。 详解:

〖辨析〗注意弧长公式中应用的是圆心角 α 弧度数的绝对值,且 〖相关知识〗扇形的面积公式,角度与弧度之间的转化,弧度制

.

8.扇形的面积公式

,其中 α 是弧度数,n 是角度数。

详解: 〖记忆方法〗扇形面积公式可类比三角形面积公式记忆,l 为三角形的底边,r 为高。

〖辨析〗注意面积公式中应用的是圆心角 α 弧度数的绝对值,且 〖相关知识〗弧长公式,角度与弧度之间的转化,弧度制 实例: 〖例题〗 例:已知扇形 的圆心角为 4 弧度,其面积为 2 平方厘米,求扇形周长。

.

解:设

的长为 l,



因为 设扇形的圆心角

,所以



的弧度数为 α,





由①②解得 扇形周长为



02 任意角的三角函数 1.任意角的三角函数的定义一 〖定义〗

如图,设

是一个任意角,它的终边上任意一点

,它与原点的距离是

,那么角

的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别记作:

正弦:

;余弦:



正切:

;余切:



正割:

;余割:

.

这六个函数统称为三角函数。 详解: 〖概念辨析〗 不是 sin 与 α 的乘积,它是一个整体,是一个确定的比值,是三角函数记号,其他五

个三角函数也应同样理解。 实例: 〖特例〗要熟记的特殊角的三角函数 表一:

表二:

〖例题〗

例:已知角

的终边经过点

,求

的三角函数值.

解:因为



所以 于是







2.任意角的三角函数的定义二 〖定义〗

如图,设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么: (1)y 叫做 α 的正弦,记作 sinα,即 sinα=y; (2)x 叫做 α 的余弦,记作 cosα,即 cosα=x;

(3)

叫做 α 的正切,记作 tanα,即 tanα=

(x≠0)。

所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将 它们统称为三角函数。 详解: 〖记忆方法〗纵正,横余,比切(纵正弦,横余弦,比正切) 〖概念辨析〗 不是 sin 与 α 的乘积,它是一个整体,是一个确定的比值,是三角函数记号,其他五

个三角函数也应同样理解。 〖相关知识〗三角函数的定义域,三角函数值在各象限的符号 实例: 〖特例〗要熟记的特殊角的三角函数 表一:

表二:

〖例题〗利用三角函数的定义求

的三个三角函数值。

解:如图,在直角坐标系中,作∠AOB=

.

易知∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为

,所以

3.三角函数值在各象限的符号

详解: 〖记忆方法〗一全正,二正弦,三正切,四余弦 〖概念辨析〗 在第一象限内,所有的三角函数值都为正值; 在第二象限内,正弦函数值为正值; 在第三象限内,正切函数值为正值; 在第四象限内,余弦函数值为正值。 〖相关知识〗任意角的三角函数的定义 实例:

〖例题〗确定下列三角函数值的符号:(1)sin 156° ,(2) (1)



(2)

4.三角函数的定义域和值域

详解: 〖概念辨析〗 1、确定三角函数的定义域时,应抓住分母等于零时比值无意义这一关键,结合三角函数的定义,可以得到 三角函数的定义域和值域。 2、特别要引起注意的是正切函数的定义域 〖相关知识〗任意角的三角函数的定义 5.同角三角函数的基本关系式 〖代数表示〗 1.平方关系

2.商数关系



〖几何表示〗

如图,在 RT△OMP 中,有 详解: 〖记忆方法〗记忆方法、口诀 〖概念辨析〗



公式

(平方关系)和

(商数关系)称为同角三角函数的基本关系式。

这里的同角有两层含义:一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使得函数有意义的前提下)关系式都成立。 〖相关知识〗任意角的三角函数的定义 实例: 〖例题〗

已知

,且

为第三象限角,求



的值.

解:

为第三象限角

〖应用〗 (1)“ ”代换法:即

。如

。 (2) 和积转化法: 同角正余弦间的和与积关系与转化的方法。如



(3)弦切转化法:同角正弦与余弦的商可以转化为正切函数式的方法,即 如



(4)已知角的某一三角函数值, 可以求其余的三角函数值, 即“知一求二”法。 在这过程中常常用到“平方关系”: 。计算时往往要开平方,要注意根据角所在的象限确定函数值的符号,若角所在象 限不确定,则要就角可能所在的象限进行分类讨论。 03 三角函数的诱导公式 1.诱导公式成因 〖形成〗

任意角

的终边与角

的终边具有某种对称关系。

角 角 角

的终边与角 的终边与角 的终边与角

终边关于 y 轴对称,正弦值相等,其余值互为相反数; 终边关于 x 轴对称,余弦值相等,其余值互为相反数; 终边关于原点对称,正切值相等,其余值互为相反数;



的终边与角

终边关于直线 y=x 对称,互余角的正余弦值相等

详解: 〖概念辨析〗诱导公式本质上是对称性的应用。 〖相关知识〗诱导公式 2.诱导公式一 〖公式〗: ; ;

; 详解:

〖记忆方法〗 符号看象限—— 加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号。 〖相关知识〗终边相同的角 实例: 〖例题〗 例:利用公式求三角函数 cos420° 的值;

,

,

的三角函数值等于 α 的同名函数值, 前面

解:cos420° =cos(360° +60° )=cos60° 3.诱导公式二 〖公式〗 ; ;



详解:

〖记忆方法〗 符号看象限—— 加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号。 〖相关知识〗诱导公式成因 实例: 〖例题〗

,

,

的三角函数值等于 α 的同名函数值, 前面

例:利用公式求三角函数 sin

的值;

解:sin

4.诱导公式三 〖公式〗 ; ;



详解:

〖记忆方法〗 符号看象限—— 加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号。 〖相关知识〗诱导公式成因 实例: 〖例题〗

,

,

的三角函数值等于 α 的同名函数值, 前面

例:利用公式求三角函数 sin(

)的值;

解:sin(

)

(注释:



(注释:



5.诱导公式四 〖公式〗 ; ;



详解:

〖记忆方法〗 符号看象限—— 加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号。 〖相关知识〗诱导公式成因 实例: 〖例题〗

,

,

的三角函数值等于 α 的同名函数值, 前面

例:利用公式求三角函数 tan 解:

的值;

6.诱导公式五 〖公式〗





详解:

〖记忆方法〗符号看象限——

的正弦(余弦)函数值,分别等于 α 的余弦(正弦)函数值,前面加

上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号。 〖相关知识〗诱导公式成因 实例: 〖例题〗 〖例题〗

例: 已知 sin( 解:

+

)=-

,计算:cos(



);

7.诱导公式六 〖公式〗





详解:

〖记忆方法〗符号看象限——

的正弦(余弦)函数值,分别等于 α 的余弦(正弦)函数值,前面加

上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号。 〖相关知识〗诱导公式成因 实例: 〖例题〗

例: 已知 sin( 解:

+

)=-

,计算:sin(

+

);

sin(

+

)=

,当

为第一象限。

sin(

+

)=-

,当

为第二象限。

8.诱导公式应用步骤 〖步骤〗利用诱导公式把任意角的三角函数化为锐角三角函数的基本步骤是: 任意角的三角函数→正角的三角函数→ 的三角函数→锐角三角函数。

〖图示〗

详解: 〖记忆方法〗先正再缩,终化锐——先把角转化为正角,然后把角的范围缩小到 解决。 〖相关知识〗诱导公式成因 实例: 〖例题〗 ,最终化为锐角

例:用诱导公式求三角函数 sin(

)的值.

解:

04 三角函数的图像与性质 1.五点法 〖定义〗正弦函数的图象在[0,2π]上有五个起关键作用的点,只要描出这五个点,函数 y=sinx 在[0,2π] 上的图象的形状就基本上确定了,我们称之为“五点法”。

这五点是:









,可分别称之为始点、最高点、拐点、最

低点、终点。

详解: 〖概念辨析〗 1、观察正弦曲线,余弦曲线可知,在区间 点,在确定函数的图象形状起到关键作用。 2、在精确度要求不太高时,我们常常先描出这五个点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就得到在相应 区间内正弦函数、余弦函数的简图, 〖相关知识〗正弦曲线 实例: 〖例题〗 画出下列函数 解:列表: 的简图 上,以上五个点分别是最高点,最低点以及与 x 轴的交

,

: 描点作图

2.正弦曲线 〖形成〗用正弦线画函数 y=sinx,x∈[0,2π]的精确图象:

〖定义〗我们只要将 y=sinx,x∈[0,2π]的图象向左、向右平行移动(每次 2π 个单位长度),就得到正

弦函数的图象如下图所示:

正弦函数的图象叫做正弦曲线。 详解: 〖相关知识〗余弦曲线 3.余弦曲线 〖形成〗用余弦线画函数 y=cosx,x∈[0,2π]的精确图象:

〖定义〗我们只要将 y=cosx,x∈[0,2π]的图象向左、向右平行移动(每次 2π 个单位长度),就得到余 弦函数的图象如下图所示

余弦函数的图象叫做余弦曲线。 详解: 〖概念辨析〗 能否利用正弦曲线做出余弦函数的图象呢?

由诱导公式有 象。 〖相关知识〗正弦曲线 4.周期函数 〖定义〗对于函数

,因此,将正弦函数的图象左移

个单位,即得到余弦函数的图

,如果存在一个非零常数 T,使得 x 取定义域内的任意值时,都有

那么函数

叫做周期函数。

其中非零常数 T 叫做这个函数的一个周期。 如果 T 中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫做这个函数的最小正周期。 详解: 〖概念辨析〗 (1)对于函数 (其中 ),如果存在非零常数 T,使得 对定义

域内的任何值都成立,那么这个函数的一个周期是

,而不是 T。

(2)所有的周期函数未必都有最小正周期,例如常数函数就不存在最小正周期。 〖相关知识〗正弦函数的图象,余弦函数的图象 实例: 〖特例〗 1、正弦、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最小正周期是 2π。

2、正切函数也是周期函数, 〖常用结论〗 1.一般地, 如果 T( 期。 2.若 因为 )是函数

都是它的周期,最小正周期是 π。

的一个周期, 那么

也是函数

的一个周

则 2T 是函数 f(x)的一个周期。

3.若

,则 2T 是函数 f(x)的一个周期。

因为

4.形如



的函数,周期为

;形如

的函数,周期减半,即

;形如

的函数,周期为

〖例题〗

例:求下列函数的周期:



∈R;

解:周期

(注释:根据公式



5.正弦函数、余弦函数的性质 正弦函数的性质如下:

余弦函数的性质如下:

详解:

〖概念辨析〗 1、函数的性质是三角函数部分的重要内容,是解决三角函数有关问题的重要依据,记忆时,要结合三角函 数的图象。 2、正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函数。另外,说“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的, 因为在第一象限,即使是终边相同的角,它们也可以相差 的整数倍。

〖相关知识〗正弦函数的图象,余弦函数的图象,正切函数的性质 实例: 〖例题〗 例:利用函数的单调性比较下面两个三角函数值的大小: sin103°15′与 sin 164°30′;

解:因为函数

在区间

的范围内是单调递减的,又因为

,所以

6.正切曲线

〖形成〗用正切线画函数 y=tanx,

的精确图象:

〖定义〗我们只要将 y=tanx, 正切函数的图象如下图所示

的图象向左、向右平行移动(每次 π 个单位长度),就得到

正切函数的图象叫做正切曲线。

详解:

〖概念辨析〗 由图可以看出, 正切曲线是被相互平行的直线 成的。 〖相关知识〗正切函数的性质 7.正切函数的性质 正切函数的性质:

所隔开的无穷多支曲线组

详解: 〖概念辨析〗

1.正切函数 单调递增函数,正切函数无单调减区间。

是单调递增函数,但不能说函数在其定义域内是

3.判断函数奇偶性时,必须先检验定义域是否关于原点对称,如果是,再验证 ,进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数必是非奇非偶函数。 〖相关知识〗正切曲线,正弦函数、余弦函数的性质 实例: 〖例题〗 例:根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的 解:根据正切函数的图像如下图: 的集合: ;

是否等于



由图可看出要使 因为函数 的图像是在每个区间是单调递增的,

不等式

成立的 x 的集合是

05 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像 1.“五点法”画函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 〖画法〗一般地,对函数 ,其“五点法”列表为:

接着描点画图即可。 详解: 〖概念辨析〗注意 〖相关知识〗五点法 实例: 〖例题〗

例:画出函数 解:列表:

在长度为一个周期的闭区间上的简图

: 描点作图

2.函数 y=Asin(ωx+φ)的性质 〖形成〗

详解: 〖概念辨析〗 1、函数 y=Asin(ωx+φ)的性质本质上是由 y=sinx 的性质推导而来的,所以要重点掌握 y=sinx 的性质; 2、特别注意,若 ,要利用诱导公式把它变为 ,便于函数性质的研究。

〖相关知识〗函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 实例: 〖例题〗

例:求函数



∈[0,

]的单调递减区间.

解:令



函数

的单调递减区间为



















所以函数

的单调递减区间为



3.由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象求解析式的步骤 〖步骤〗

①看图,求出 ②由

、周期 T;





, 求出 A、B 和 ; ;

③由题设条件,或特殊值、特殊点求得

从而求得函数 详解: 〖概念辨析〗关键是找特殊点代入。 〖相关知识〗五点法 实例: 〖例题〗 例:函数

的解析式。

的一个周期内的图象如图,试确定

的函数解析式.

解法一:

由图象知,振幅

,又



.由点

,令

,得

.

. 解法二:

待定系数法由图象知,

,又图象过点





根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第一点和第五点),有

解得

. 4.相位变换(平移变换) 〖定义〗 函数 的图象,可以看作是把 的图象上各点向左 或向右

平移 位由 x 变为 详解:

个单位而得到的。这种由

的图象变换为

的图象的变换,使相

,匀们称它为相位变换,它实质上是一种左右平移变换。

〖记忆方法〗左加右减 〖相关知识〗由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 实例: 〖例题〗

例: 为了得到函数 长度.

的图象, 只需把正弦曲线上所有的点向___平行移动___个单位

解:向右平行移动

个单位长度

5.周期变换(横向伸缩) 〖定义〗 函数 的图象,可以看作是把 的图象上各点的横坐标都缩短

或伸长

到原来的

倍(纵坐标不变)而得到的,由

的图象变换为

的图象,其周期由 详解:

变为

.这种变换叫做周期变换,它实质上是横向的伸缩。

〖相关知识〗由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 实例: 〖例题〗

例:为了得到函数 纵坐标不变

的图象,只需把余弦曲线上所有的点的横坐标伸长到原来的____倍,

解:由 6.振幅变换 〖定义〗 函数

知,把余弦曲线上所有的点的横坐标伸长到原来的

倍,纵坐标不变;

的图象,可以看作是把

的图象上各点的纵坐标都伸长

或缩短 是纵向的伸缩。 详解:

到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的。这种变换叫做振幅变换,它实质上

〖相关知识〗由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 实例: 〖例题〗即题目

例:为了得到函数 横坐标不变

的图象,只需把余弦曲线上所有的点的纵坐标缩短到原来的___,

解:纵坐标缩短到原来的

倍,横坐标不变

7.用变换方法画函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 Ⅰ、先平移后伸缩: 其程序如下: y=sinx 的图象

y=sin(x+φ)的图象

y=sin(ωx+φ)的图象

y=Asin(ωx+φ)的图象。 Ⅱ、先伸缩后平移: 其程序如下: y=sinx 的图象

y=Asinx 的图象

y=Asin(ωx)的图象

y=Asin(ωx+φ)的图象。 详解: 〖辨析〗先伸缩再平移和先平移再伸缩本质的不同是平移的量不同了。 〖相关知识〗振幅变换、周期变换、平移变换 实例: 〖特例〗

如上图,就是把 〖例题〗

变为

的过程

例:要得到函数

的图象,只需将函数

的图象(



A.向右平移 C. 向左平移

个单位 个单位

B.向左平移 D.向右平移

个单位 个单位

解:

∴只需将 故选 A. 8.简谐运动的物理量 〖定义〗 当函数

的图象向右平移

个单位即可得到

的图象。

表示一个振动量时,

A 称为振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;

称为周期,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;

称为频率,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数; 称为相位; 时的相位 φ 称为初相。 详解: 〖相关知识〗振幅变换、周期变换、平移变换 实例: 〖例题〗 例:一根为 Lcm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,组成一个单摆,小球摆动时,离开平衡位置的位

移 s(单位:cm)与时间 t(单位:s)的函数关系是 (1)求小球摆动的周期和频率;



(2)已知 g=980cm/s2,要使小球摆动的周期恰好是 1 秒,线的长度 l 应当是多少? 解:(1)



(2) 06 三角函数模型的简单应用 1.三角函数周期性的应用

.

利用三角函数周期,能够建立三角函数模型解决一些简单的实际应用,其基本步骤有以下四步: 第一步:阅读理解,审清题意 读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上,分析出已知什么、 求什么,从中提炼出相应的数学问题。 第二步:搜集整理数据,建立数学模型 根据搜集到的数据,找出变化规律,运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式,在此 基础上将实际问题转化为一个三角函数问题,实际问题的数学化,即建立三角函数模型。 第三步:利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答,求得结果。 第四步:将所得结论转译成实际问题的答案。 详解: 在处理曲线拟合与预测的问题时,通常需要以下几个步骤: 1 根据原始数据、表格,绘出散点图 ⑵通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线和曲线 ⑶根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式 ⑷利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据。 07 平面向量的实际背景及基本概念 1.向量和数量 〖定义〗数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小,没有方向的量(如年龄、 身高、长度、面积等),称为数量。

〖代数表示〗书写用

,坐标表示

〖几何表示〗可以用有向线段表示,如图:

表示向量 详解: 〖概念辨析〗向量不能比较大小,数量是一个代数量,可以比较大小。 向量与物理中的矢量具有区别又有联系:如:力矢量不仅与大小、方向有关,而且还与作用点有关;数学 上的向量仅与大小、方向有关,与起始位置无关. 2.有向线段 〖定义〗带有方向的线段叫做有向线段。 有向线段包括三个要素:起点、方向、长度。 〖代数表示〗 〖几何表示〗如图

详解: 〖概念辨析〗 1、知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定;

2、线段 AB 的长度叫做有向线段 3.向量的模

的长度,记作



〖定义〗向量的模即向量的大小,记作





〖代数表示〗若 4.单位向量

,则

〖定义〗长度等于 1 个单位的向量。 详解: 〖概念辨析〗关键为长度为 1 个单位。

5.零向量

〖定义〗长度为 0 的向量,即 详解: 〖概念辨析〗



1、由于零向量是特殊的向量,方向看作是任意的,规定零向量与任意方向的向量平行,即 2、书写时,一定要记得加箭号,否则就成数字 0 了。 6.相等向量 〖定义〗相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 〖代数表示〗 〖几何表示〗 ,

.

详解: 〖概念辨析〗 两个向量只有当它们的模相等, 同时方向相同时, 才能称它们相等。 相等的向量可以认为是“同 一”向量。 7.共线向量 〖定义〗共线向量(平行向量):方向相同或相反的非零向量, 〖代数表示〗 〖几何表示〗如图

详解: 〖概念辨析〗 1、向量是可以平移的,任意一组共线向量都可以移到同一直线上。 2、共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在的直线可以平行, 也可以重合,其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义,实际上,共线向量有以下四种情况: a、方向相同且模相等;

b、方向相同且模不等; c、方向相反且模相等; d、方向相反且模不等。 3、共线向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共线向量。 08 平面向量的线性运算 1.向量的加法 〖定义〗向量的加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法。 〖代数表示〗

若 则 〖几何表示〗 三角形法则:



平行四边形法则:

详解: 〖记忆方法〗 三角形法则:首尾相连,指向终点 平行四边形法则:首首相连,指向对角 〖概念辨析〗 1.两个向量的和仍是一个向量。 2.当两个非零向量 与 不共线时, 的方向与 、 的方向都不相同,且

. 实例:

〖特例〗 ①围成一周顺次始终相接的向量的和为 0. 如图所示,

② ③当两向量平行时,平行四边形法则不适用,可用三角形法则。

④向量 ⑤向量 则向量

与 与

同向,则向量 反向,且 与 方向相同(或

与 ,

(或

)方向相同,且



方向相反),且



⑥一般地,我们有常见结论: 〖例题〗 例 1、如图,已知 、 ,用向量加法的三角形法则作出

.

+

解:如图

例 2、如图,已知



,用向量加法的平行四边形法则作出

+

解:如图

2.向量加法的运算律 〖运算律〗

①加法交换律:

②加法结合律: 〖几何表示〗 ①加法交换律

②加法结合律

实例: 〖例题〗根据图示填空: (1)a+b=_________; (2)c+d=_________; (3)a+b+d=_________; (4)c+d+e=_________.

解:(1) (2) (3) (4) 3.相反向量 〖定义〗我们规定,与





长度相等,方向相反的向量,叫做

的相反向量,记作

.

〖代数表示〗 〖几何表示〗

的相反向量是

详解: 〖记忆方法〗长度相等,方向相反 实例: 〖特例〗我们规定,零向量的相反向量还是零向量。 4.向量的减法 〖定义〗概念的定义 〖代数表示〗

若 则 〖几何表示〗



如图,已知向量 可以表示为从向量 角形法则。 详解:

,在平面内任取一点 的终点指向向量

,作



,则

,即向量

的终点的向量,这就是向量减法的几何意义,也就是向量减法的三

〖记忆方法〗首首相连,指向被减

〖概念辨析〗 实例:





〖例题〗如图,已知



,求作



解:

5.向量数乘运算及其几何意义 〖定义〗我们规定实数 向规定如下: 与向量 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 。它的长度与方

⑴ ⑵当 时,

; 的方向与 的方向相同;当 时, 的方向与 的方向相反;当 时,

,方向不定。

〖代数表示〗若 〖几何表示〗



为实数,则

详解: 〖记忆方法〗正同,负反 〖概念辨析〗 1、向量与实数的积还是个向量; 2、实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算。 实例:

〖例题〗任画一向量 e,分别求作向量 a=4e,b=-4e.

解:已知



6.向量数乘运算运算律 〖运算律〗设 为实数,那么

⑴对实数的结合律: ⑵对实数加法的分配律:

; ;

⑶对向量加法的分配律: 〖几何表示〗



实例: 〖例题〗把下题中的向量 b 表示为实数与向量 的积:

解: 7.向量共线定理

〖定理〗如果向量 〖代数表示〗设 〖几何表示〗

与 ,

共线,那么有且只有一个实数 其中 , 与

,使 共线

。 .

详解: 〖记忆方法〗坐标交叉相乘相等 实例: 〖例题〗 例 1:判断下题中的向量 与 是否共线:

解:由

所以



共线 , 若向量 与向量 共线,则 λ=_______.

例 2:设向量

解:∵ ∴ ∵向量 ∴ ∴



与向量

共线,

8.平面向量的线性运算 〖定义〗向量的线性运算又称向量的初等运算。 向量的加法、减法、实数与向量相乘,其运算结果都是向量。 向量的加减法实质是向量的平移。 实数乘向量的实质是向量的伸缩。 09 平面向量的基本定理及坐标表示 1.平面向量基本定理

〖定理〗如果 实数 ,使

是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 。

,有且只有一对

〖几何表示〗

详解: 〖概念辨析〗由平面向量基本定理可知,平面内任一向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的 和,并且这种分解是唯一的。 2.基底

〖定义〗我们把平面向量基本定理中用来表示平面内任一向量的两个不共线的向量 平面内所有向量的一组基底。 详解: 〖概念辨析〗 1. 基底是两个不共线的向量



叫做表示这一

2. 基底的选择是不唯一的。 平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组 基底的条件 3.同一平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,所以基底的选择不惟一,由于 因此 不能作为基底。 与任何向量都共线,

〖相关知识〗平面向量基本定理 3.向量的夹角

〖定义〗如图,已知两个非零向量 叫做向量 与 的夹角。

和 b,作



,则

夹角的范围:两非零向量夹角的范围在区间 〖代数表示〗

内。

〖几何表示〗

详解: 〖记忆方法〗首首相连,所成即角。 〖概念辨析〗注意用来表示向量的两条有向线段的起点要放一起。 实例: 〖特例〗 1、当 2、如果 与 时, 与 同向;当 ,则说向量 与 时, 与 反向。 。

的夹角是

垂直,记作

4.向量的正交分解 〖向量的正交分解〗若不共线的两个向量相互垂直,由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量 ,均

可以分解为两个互相垂直的向量 垂直的向量,叫做把向量正交分解。



,使

。这样把一个向量分解为两个互相

正交分解是向量分解中非常重要的一种,它构建了平面向量及其运算的坐标表示。 〖几何表示〗

5.平面向量的坐标表示 〖形成〗

如图,在平面直角坐标系 平面内的一个向量

中,分别取与

轴、

轴方向相同的两个单位向量 ,使得



作为基底。对于 。

,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数

这样,平面内的任一向量

都可由

唯一确定,我们把有序数对

叫做向量

的坐标,记作



其中 显然,

叫做



轴上的坐标, , ,

叫做



轴上的坐标,式子 。

叫做向量的坐标表示。

〖代数表示〗 〖几何表示〗

详解: 〖概念辨析〗

1、向量 2、向量

与有序实数对

一一对应。

的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系。如

图, 为

是表示向量

的有向线段,若点 。

的坐标分别为



,则向量

的坐标

3、若把坐标原点作为表示向量 坐标 唯一确定,即点

的有向线段的起点,则向量 的坐标。即 ,其中

的坐标就由表示向量

的有向线段的终点

的坐标就是向量

。 。

4、若



,则

即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 5、线段的中点坐标:





,则线段

的中点坐标为



即线段的中点坐标等于线段两端点坐标的平均值。 实例:

〖例题〗已知 解:∵ ∴ 6.平面向量的坐标运算 ,

, ,

,求

的坐标.



已知向量





则 同理



。 详解: 〖记忆方法〗对应坐标相加减 〖概念辨析〗 1、两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)。 2、实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 3、一个向量的坐标等于此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。 实例: 〖例题〗 已知向量 a、b 的坐标,求 a+b,a-b 的坐标: =(2,3),b=(-2,-3); 解:已知 a+b =(2,3),b=(-2,-3) (注释:两向量相加对应横纵坐标相加) (注释:两向量相减对应横纵坐标相减)

a-b 7.平面向量共线的坐标表示

设向量



,其中

,则

, 消去 即 详解: 〖记忆方法〗交叉相乘相等 实例: 〖例题〗 判断下列向量是否平行: ,得 ( 。 )的充要条件是 ,或





解∵

,∴向量



平行

10 平面向量的数量积 1.平面向量的数量积

〖定义〗已知两个非零向量 即 其中 是向量 与



,我们把数量 。

叫做



的数量积(或内积)。记作



的夹角,向量夹角的范围是



〖坐标运算〗设向量 详解: 〖概念辨析〗 ⑴零向量与任一向量的数量积为



,则

,即



⑵符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替。 ⑶



时,

,从而





时,

,从而



当 实例: 〖例题〗

时,

,从而



已知 解:p· q=



,p 和 q 的夹角是 60° ,求 p· q.

=

=

10 平面向量的数量积 2.平面向量的数量积几何意义

向量的数量积的几何意义为数量积 〖几何表示〗

等于

的长度与



方向上投影

的乘积。

1、

2、

3、

详解:

〖概念辨析〗

向量



上的投影为

,也可以写成

,θ 为向量



的夹角。向量



上的投影不是

向量而是数量,它的符号取决于 θ 角的度数。 3.平面向量数量积的性质 设 、 为两个非零向量, 为它们的夹角, 是与向量 同向的单位向量,则

⑴ ⑵ ;



⑶当 当 与



同向时, 反向时,

; ;

特别地





⑷ ⑸ 详解: 〖概念辨析〗 1、注意当

; 。

时,由

不能推出

一定是零向量,这是因为任一与 ,则 或

垂直的非零向量

,都有

,所以在代数中我们常用的“若 2、对比: (1)当向量 a 与 b 垂直时,

”在向量的数量积中不适用。

有 可简记为“对应相乘和为 0” (2)当向量 a 与 b 共线时,



有 可简记为“交叉相乘差为 0”



4.平面向量数量积的运算律 已知向量 ⑴ ⑵( ⑶( + )· = )· = , , 和实数 ,则向量的数量积满足下列运算律:

(交换律); ( · )= · · ( )(数乘结合律);

· +

(分配律)。

5.向量模的坐标表示

若向量 如果表示向量

,则

,或 、

。 ,则

的有向线段的起点和终点的坐标分别为

, 6.向量垂直的坐标表示



设向量 则



, 。

7.平面向量的夹角公式





都是非零向量,









的夹角,则根据向量数量积的定

义可知,

。 利用这一关系,可求两向量的夹角,此公式称为向量的夹角公式,它的实质是平面向量数量积公式的变形 应用。 实例: 〖例题〗







· b=-54

,求

与 b 的夹角



解:由向量数量积公式可有

(注释:向量数量积公式的变形 从而 =135°

)

11 平面向量应用举例 1.平面几何中的向量方法 向量在平面几何中的应用主要表现在平面几何问题的证明以及平面几何问题中的有关计算和几何图形形状 的判断。 用向量法解决平面几何问题的“三步曲”是: 1 建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题。 2 通过向量运算,研究几何元素之间的关系。 3 把运算结果“翻译”成几何. 详解: 向量集数形于一身,既有代数的抽象性又有几何的直观性,因此用向量的方法是几何研究的一个有力工具。 而“三步曲”给出了利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想。在解决平面几何问题时,将几何问题转 化为向量问题是问题的关键。对于具体问题,是选用基向量法还是选用向量的坐标法是难点,利用向量的 坐标法有时会给解决问题带来方便,在用向量解决证明时,一定要把向量结论转化为几何问题。 向量在解析几何中的应用,主要涉及直线中平行、垂直和求直线方程的问题,解题时一般是利用求轨迹的 方法,先在直线上设一动点 2.向量在物理中的应用举例 1.向量与力 向量是既有大小又有方向的量,它们可以有共同的起点,也可以没有公共的起点,但是物理中的力,一般 是既有大小,又有方向,且作用于同一点,用向量知识解决力的问题,往往是把向量平移到同一作用点上。 2.向量与速度、加速度与位移 速度、加速度与位移的合成和分解实质上就是向量的加减运算,而运动的叠加也可用向量的合成。 向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决向量问题,最后在获得物理结果。 用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘向量,有时也可以借 助坐标来求解。 3.向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是向量的数量积。 ,再根据条件建立关系。

力的做功设计两个向量及这两个向量的夹角,即 也可以为零。 12 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

,功是一个实数,它可正可负,

1.两角和与差的余弦公式 〖公式〗

; ; 详解: 〖记忆方法〗同名乘,符号异(指公式右边连接的符号和公式左边的相反) 〖相关知识〗两角和与差的正弦公式 实例: 〖例题〗

例:利用公式

证明:

解:

(注释:公式



(注释:



2.两角和与差的正弦公式 〖公式〗

; ; 详解: 〖记忆方法〗异名乘,符号同(指公式右边连接的符号和公式左边的相同) 〖相关知识〗两角和与差的余弦公式 实例:

〖例题〗

例:利用公式 解:

证明:

(注释:公式



(注释:



3.两角和与差的正切公式 〖公式〗



; 详解: 〖记忆方法〗上同,下异(指公式右边分子的符号与公式左边的相同,分母的符号与公式左边的相反)。

〖公式辨析〗公式









需满足),



需满足),

时成立,否则不成立。





,或

的值不存在时,不能使用公式

,处理有关问题时应改用诱导

公式或其他方法来解。 实例: 〖例题〗

例:利用和(差)角公式求 tan

的值

解:原式

(注释:利用诱导公式,先转化为较小的角)

(注释:用特殊角表示所要求的角)

(注释:公式



(注释:



点拨:先化简再求值, 4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 〖公式〗 ;



是常见的变形方法

以上这三个公式都叫做倍角公式。倍角公式给出了 α 与 2α 的三角函数的关系。 详解: 对于“二倍角”应该有广义上的理解, “倍”是相对而言的, 是描述两个数量之间关系的, 如 8α 是 4α 的二倍角; 6α 是 3α 的二倍角…这里蕴含着换元思想。 实例:

〖例题〗

已知 解:



,求





的值.



(注释:

是第三象限角,正弦值为负)

(注释:公式



(注释:公式



点拨:本题关键在于 13 简单的三角恒等变换 1.半角公式 〖公式〗

可知为二倍角关系





详解:

〖概念辨析〗新课标对该公式已经不要求记忆 〖相关知识〗二倍角公式 实例: 〖例题〗

例:已知 (1)求 (2)求 β.

, 的值。



解:(1)由





于是

(2)由



又∵



∴ 由 得

所以

2.积化和差、和差化积公式 〖公式〗 1.积化和差公式:







2.和差化积公式:







特别地,

详解: 〖概念辨析〗新课标对该公式已经不要求记忆 〖相关知识〗两角和与差的三角函数公式 3.万能公式 〖公式〗





详解: 〖概念辨析〗新课标对该部分公式已经不要求记忆 〖相关知识〗即两角和差公式 4.三角函数的最值问题



型可化为

,其中

, ⑵形如





⑶形如 ⑷ ,

转化为求二次函数的最值(配方法); 同时出现(换元法);

⑸形如 实例: 〖例题〗

型的函数的最值(利用三角函数的有界性)。

例:求函数 解:

的最大值与最小值。

由于函数 最小值为 故当



中的最大值为

时,y 取得最大值 10;当

,y 取得最小值 6。


赞助商链接
相关文章:
新课标人教A版高中数学必修4知识点总结
新课标人教A版高中数学必修4知识点总结 - 高中数学必修 4 知识点总结 第一章:三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与...
高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结(全)
高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结(全) - 必修四常考公式及高频考点 第一部分 三角函数与三角恒等变换 考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法...
高中数学人教版必修4知识点总结
高中数学人教版必修4知识点总结 - 高中数学必修 4 知识点 6、 半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l , 则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? 7、弧度...
人教版数学高中必修4_知识点整理
人教版数学高中必修4_知识点整理 - 高中数学必修 4 知识点 ?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何...
高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结(全)
高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结(全) - 必修四常考公式及高频考点 第一部分 三角函数与三角恒等变换 考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法...
高中数学必修四知识点汇总
高中数学必修四知识点汇总_数学_高中教育_教育专区。知识点总结,典型例题分析 ...人教版高中数学知识点总... 13页 2下载券 高中数学必修四 任意角... 8页 ...
高中数学必修4知识点总结归纳
高中数学人教版必修4知识... 6页 免费 高中数学必修5知识点总结... 5页 免费 高中数学必修3知识点总结... 5页 免费 高中数学必修4知识点总结... 2页 免费...
新课标人教A版高中数学必修4知识点总结
新课标人教A版高中数学必修4知识点总结 - 高中数学必修 4 知识点总结 第一章:三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与...
人教版A版高中数学必修4_三角函数知识点例题
人教版A版高中数学必修4_三角函数知识点例题_数学_高中教育_教育专区。人教版A版高中数学必修4_三角函数知识点例题三角函数知识点总结 ?正角:按逆时针方向旋转形成...
人教版高中数学必修四知识点归纳总结
人教版高中数学必修四知识点归纳总结 - 人教版高中数学必修四知识点归纳总结 1.1.1 任意角 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点...
更多相关文章: