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高中数学模拟试卷4


数学试卷(理)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1. 复数 (1 ? i ) 的值是
2

A. 2i B. ?2i C. 1 D. ?1 2. 若不等式 | x ? 1| ? a 成立的充分条件是 0 ? x ? 4 ,则实数 a 的取值范围是 A. a ? 3 B. a ? 3 C. a ? 1 D. a ? 1 3. 设地球半径为 R,若甲地在北纬 45? ,东经 120? ,乙地在北纬 45? ,西经 150? ,则甲、 乙两地的球面距离为

2 ? ? ?R C. D. R R 4 3 2 ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? 4. 已知 a ? b ? c ? 0,| a | ? 1,| b | ? 2 ,| c | ? 2 ,则 a ? b ? b ? c ? c ? a 的值
A. B. 为 A. 7 B.

? R 6

7 2

C. ?7

D. ?

7 2

5. 已知点 P( x,y ) 在经过 A(3,0),B(1,1)两点的直线上,那么 2 x ? 4 y 的最小值 是 A. 16 B. 2 2 C. 4 2 D. 不存在 6. 如图所示, ?OAB 是边长为 2 的等边三角形,直线 x ? t 截这个三角形位于此直线左 方的图形面积为 y(见图中阴影部分)则函数 y ? f (t ) 的大致图形为

x ?1 ? 2 7. 若 f ( x ) ? 2 tan x ? ,则 f ( ) 的值是 x x 12 sin cos 2 2 4 A. ? B. 8 C. 4 3 D. ?4 3 3 3 2 sin 2

-1-

8. 已知 f ( x ) ? 2 x ? 6 x ? m (m 为常数)在 [ ?2 , 2] 上有最大值 3,那么此函数在
3 2

[ ?2 , 2] 上的最小值为
A. ?5 B. ?11 C. ?29 D. ?37 9. 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 在 [0, ? ?) 是增函数,且 f (1) ? f (lg x) ,则 x 的取值范 围是 A. ( ??, ? 1) ?(1, ? ?) C. ( B. (0,

1 ) ?(10, ? ?) 10

1 ,1) ?(1,10) 10

D. (10, ? ?)

10. 过圆锥曲线 C 的一个焦点 F 的直线 l 交曲线 C 于 A、B 两点,且以 AB 为直径的圆与 F 相应的准线相交,则曲线 C 为 A. 双曲线 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 以上都有可能 二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分。把答案填在题中的横线上。 11. 随机变量 ? 的分布列如图

?
p

1 0.2

2 0.5

3 m

,则 ? 的数学期望是_______

12. 表示下图中阴影部分的二元一次不等式组为______________

13. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,E、F、G、H 分别是棱 请写出一个与 A1O 垂直的正方体的截面___________. (截 A1 A、B1 B、C1C、D1 D 的中点, 面以给定的字母标识,不必写出全部符合条件的截面) 14. 已 知 在 ?ABC 中 , AB? AC ? 0,S ?ABC ?

? ?

? ? 15 ,| AB| ? 3,| AC| ? 5 , 则 4

?BAC ? ________度。
?x 2 ( x ? 0) ? 15. 已知函数 f ( x ) ? ? ,若 f ( f ( x0 )) ? 2 ,则 x 0 的值是________。 ?2 cos x (0 ? x ? ? ) ? 0 1 2 n 16. 已知 {a n } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则 a1Cn ? a 2 Cn ? a 3 Cn ???an ?1Cn 等
于_____________(用含 n 的代数式表示)

-2-

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 76 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 y ? sin x ? 2 sin x cos x ? 3 cos x( x ? R) ,求:
2 2

(1)当 x 为何值时,函数有最大值,并求出最大值;

(2)将函数的图象按向量 a ? ( ?

?

?
8

, ? 2) 平移后得到的函数的解析式。

-3-

18. (本小题满分 12 分) 某校有 5 名学生报名参加义务献血活动,这 5 人中血型为 A 型,O 型的学生各 2 名, 血型为 B 型的学生 1 名,已知这 5 名学生中每人符合献血条件的概率均是

2 。 3

(1)若从这 5 名学生中选出 2 名学生,求所选 2 人血型为 O 型或 A 型的概率;

(2)求这 5 名学生中至少有 2 名学生符合献血条件的概率。

-4-

19. (本小题满分 12 分) 已知四边形 ABCD 中, ?BAD ? ?BDC ? 90? ,AB ? AD ? 2 2 ,BC ? 5 ,将

?ABD 沿对角线 BD 折起,折起后,点 A 的位置记为 A' ,使平面 A' BD? 平面 BCD。 (1)求证:平面 A' BC? 平面 A' DC ;

(2)求二面角 A'? BC ? D 的正切值;

(3)求三棱锥 A'? BCD 的体积。

-5-

20. (本小题满分 12 分) 已知曲线 C:xy ? 2 kx ? k ? 0 与直线 l:x ? y ? 8 ? 0 有唯一的公共点, 数列 {an } 的
2

首项 a1 ? 2 k ,点 (a n ?1 ,a n ) 恒在曲线 C 上 (n ? 2) ,数列 {bn } 满足关系式 bn ? (1)判断数列 {bn } 是等差数列还是等比数列,并证明你的结论;

1 an ? 2

(2)求 lim a n 的值。
n ??

-6-

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) ? (1 ? x ) ? ln(1 ? x )
2 2

(1)求 f ( x ) 的单调区间;

(2)若关于 x 的方程 f ( x ) ? x ? x ? a 在 [0,2] 上恰有两个不同的实数根,求实数
2

a 的取值范围。

-7-

22. (本小题满分 14 分) 如图,F 是抛物线 y ? 2 Px 的焦点,点 A(4,2)为抛物线内一定点,点 P 为抛物线
2

上一动点, | PA|?| PF | 的最小值为 8。 (1)求抛物线方程;

(2)若 O 为坐标原点,问是否存在点 M,使过点 M 的动直线与抛物线交于 B,C 两 点,且 OB? OC ? 0 ,若存在,求动点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。

? ?

-8-

【试题答案】 一. 选择题:(每小题 5 分,满分 50 分) 1. B 2. A 3. C 4. D 5. C 6. D 7. B 8. D 9. B 10. A

二. 填空题:(每小题 4 分,满分 24 分) 11. 2.1;

? y ? ?1 ? 12. ? x ? 0 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
13. GDB(或 AFC1H 或 ED1B1) 14. 150 ?

3? 4 n 16. 3
15.

三. 解答题:(共 6 个小题,满分 76 分) 17.(本题满分 12 分) 解: (1) y ? sin x ? 2 sin x cos x ? 3 cos x
2 2

?

1 3 (1 ? cos 2 x) ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 2 ? sin 2x ? cos 2x ? 2

? 2 sin(2 x ?
∴ 当 2x ?

?

?
4

? 2k? ?

?

4

) ? 2 (4 分)
即 x ? k? ?

?
8

2

时( k ? ? )(6 分)

y 取最大值 2 ? 2
(2) P 设 (x, 是函数 y ? y) ( x? , y ? )

2 sin(2 x ?

?
4

) ? 2 图象上任意一点平移后的对应点为 P?

? ? ? ? ? x? ? x ? ?x ? x? ? 由平移公式得 ? 8 ?? 8 (9 分) ? y? ? y ? 2 ? y ? y? ? 2 ? ?
∴ y? ? 2 ?

] ? 2 ,即 y ? ? 2 cos 2 x ? (11 分) 4 即平移后得到的函数解析式为 y ? 2 cos 2 x (12 分) 8 )?
18.(本小题满分 12 分) 解: (1)从这 5 名学生中选出 2 名学生的方法共有 C 5 种(2 分) 所选 2 人的血型为 O 型或 A 型的情况共有 C 4 种(4 分) 故所求概率为
2 C4 3 ? (6 分) C 52 5
2
2

2 sin[2( x? ?

?

?

-9-

(2)至少有 2 人符合献血条件的对立事件是至多 1 人符合献血条件(8 分)
0 1 则所求概率为 1 ? C5 ? ( ) 5 ? C5 ? ( ) 4 ? ( ) ?

1 3

1 3

2 3

232 (12 分) 243

19.(本题满分 12 分) (1)证明:∵ 平面 A?BD ? 平面 BCD ,且 CD ? BD ∴ CD ? 平面 A?BD ∴ CD ? A?B (2 分) 又 ∵ A?B ? A?D ∴ A?B ? 平面 A?CD (3 分) ∵ A?B ? 平面 A?BC ∴ 平面 A?BC ? 平面 A?DC (4 分)

(2)解:作 A?E ? BD 于 E,∵ 平面 A?BD ? 平面 BCD ∴ A?E ? 平面 BCD(5 分) 作 EF⊥BC 于 F,连 A?F ,则 A?F ? BC (6 分) ∴ ?A?FE 为二面角 A? ? BC ? D 的平面角(7 分) ∵ A?B ? A?D ? 2 2 ?BA?D ? 90? ∴ A?E ? 2 ∵ BC=5 ∴ ?BDC ? 90? ∴ CD=3 在 Rt?BEF 中,∵ BE=2 BD=4

∴ EF ? BE sin ?DBC ? 2 ?

3 6 ? 5 5

在 Rt?A?EF 中, tan ?A?FE ? (3)解:∵ V A?? BCD 分) 20.(本小题满分 12 分) 解:

5 (9 分) 3 1 1 1 ? VC ? A?BD ? ? S ?A?BD ? CD ? ? ? 2 2 ? 2 2 ? 3 ? 4 (12 3 3 2

? xy ? 2k x ? k 2 ? 0 ? x 2 ? (8 ? 2k ) x ? k 2 ? 0 (1)依题意 ? ?x ? y ? 8 ? 0 1 ? ? (8 ? 2k ) 2 ? 4k 2 ? 0 ∴ k ? 2 , a1 ? 4 , b1 ? (4 分) 2 又点( a n ?1 , a n )在曲线 C 上,∴ a n ?1 a n ? 4a n ?1 ? 4 ? 0 (5 分) 4 (n ? 2) (6 分) 所以 a n ?1 ? 4 ? an 1 1 1 1 1 ? ? ? ? (8 分) ∵ bn ? bn ?1 ? 4 a n ? 2 a n ?1 ? 2 a n ? 2 2 ?2 4 ? an 1 1 ∴ 数列 {bn } 是首项为 b1 ? ,公差为 的等差数列(9 分) 2 2 1 1 n ∴ bn ? ? (n ? 1) ? (10 分) 2 2 2
- 10 -

2(n ? 1) (11 分) n 2(n ? 1) ∴ lim a n ? lim ? 2 (12 分) n ?? n ?? n
(2)∵ a n ? 21.(本小题满分 14 分) 解: (1) f (x) 的定义域为( ? ? , ? 1) ? (1, ? ? )

2 2 x( x ? 2) (2 分) ? x ?1 x ?1 由 f ?( x) ? 0 得 ? 2 ? x ? ?1 或 x ? 0 (3 分) 由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?2 或 ? 1 ? x ? 0 (4 分) 所以 f (x) 在( ? 2 , ? 1)和(0, ? ? )内为增函数,在( ? ? , ? 2 )和( ? 1 ,0) f ?( x) ? 2( x ? 1) ?
内为减函数(6 分) (2)方程 f ( x) ? x ? x ? a
2

即 x ? a ? 1 ? ln(1 ? x) ? 0 (7 分)
2 2

令 g ( x) ? x ? a ? 1 ? ln(1 ? x) 则 g ?( x) ? 1 ?

2 x ?1 (8 分) ? x ?1 x ?1 由 g ?( x) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? 1 由 g ?( x) ? 0 得 ? 1 ? x ? 1 ∴ g (x) 在 [0 , 1] 递减,在 [1 , 2] 递增(10 分)
所以 f ( x) ? x ? x ? a ,即 g ( x) ? 0 在 [0 , 2] 上恰有两个不同的实根是
2

? g ( 0) ? 1 ? a ? 0 ? ? g (1) ? 2 ? a ? 2 ln 2 ? 0 (13 分) ? g ( 2) ? 3 ? a ? 2 ln 3 ? 0 ?
解得 2 ? 2 ln 2 ? a ? 3 ? 2 ln 3 (14 分) 22.(本小题满分 14 分) 解:(1)由抛物线性质知

P P ∴ ?4 ? 4 ? 8 ,即 P ? 8 (2 分) 2 2 2 ∴ 抛物线方程为 y ? 16 x (3 分) (2)设过定点 M 的直线方程为 y ? kx ? b (4 分) 显然 k ? 0 , b ? 0 ,直线交抛物线于点 B,C ∵ OB ? OC ? 0 ∴ OB⊥OC(5 分) 设 B( x1 , y1 ) , C ( x 2 , 2 ) ∴ x1 ? x2 ? y1 ? y 2 ? 0 ①(6 分) y (| PA | ? | PF |) 最小值 ?
把 y ? kx ? b 代入 y ? 16 x 得 k x ? 2(kb ? 8) x ? b ? 0
2 2 2 2

b2 2(kb ? 8) x1 ? x 2 ? 2 ③(8 分) ② k k2 2 2 ∵ y1 y 2 ? (kx1 ? b)( kx2 ? b) ? k x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b ④ 16b 将②③代入④得 y1 y 2 ? ⑤(9 分) k 16b b 2 ? 2 ?0 将③⑤代入①得 ∴ b ? ?16k (10 分) k k
∴ x1 ? x 2 ? ?
- 11 -

∴ 动直线方程为 y ? kx ? 16k ,即 y ? k ( x ? 16) (11 分) 此动直线必过定点(16,0)(12 分) 当 K BC 不存在时, 直线 x ? 16 交抛物线于 B (16,? 16 ) C , (16, 仍使 OB ? OC ? 0 16) (13 分) ∴ 存在定点 M(16,0)满足条件(14 分)

- 12 -


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