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2015年高考数学(苏教版,理)一轮题库:第3章 第1讲 导数的概念与运算


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第三章 导数及其应用 第 1 讲 导数的概念与运算 一、填空题 1.函数 f(x)=(x+2a)(x-a)2 的导数为________. 解析 f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2). 答案 3(x2-a2) a 2.已知直线 ax-by-2=0 与曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线互相垂直,则 为________. b a a 1 解析 y′=(x3)′=3x2,k=3,由题意,3× =-1,所以 =- . b b 3 1 答案 - 3 3.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+x2,则 f′(1)=________. 解析 f′(x)=2f′(1)+2x,令 x=1,得 f′(1)=2f′(1)+2,∴f′(1)=-2. 答案 -2 4.若函数 f(x)=excos x,则此函数图象在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为________(填锐角、直角或钝角). 解析 f′(x)=excos x-exsin x,因为函数图象在点(1,f(1))处的切线斜率 k=f′(1)=e(cos 1-sin 1)<0, 所以切线的倾斜角是钝角. 答案 钝角 5.已知各项均为正数的等比数列{an};满足 a1a7=4,a6=8,函数 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10 的导 1? 数为 f′(x),则 f′? ?2?=________. 解析
2 6 ? ?a1a7=a1q =4, 1? 1 1 - 设{an}公比为 q,则由? 得 q=2,a1= ,所以 an=2n 3,f′? =a1+2a2× + 5 2 ? ? 4 2 ?a6=a1q =8, ?

1?2 1 1 1 1 55 ?1?9 1 3a3×? ?2? +…+10a10×?2? =4+2×4+3×4+…+10×4=(1+2+3+…+10)×4= 4 . 答案 55 4

6.若点 P 是曲线 y=x2-ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值是________. 1 1 解析 设 P(t,t2-ln t),由 y′=2x- ,得 k=2t- =1(t>0),解得 t=1.所以过点 P(1,1)的切线方程为 x t y=x,它与 y=x-2 的距离 d= 答案 2 2 = 2即为所求. 2

ln x 7.函数 f(x)= 在点(x0,f(x0))处的切线平行于 x 轴,则 f(x0)等于________. x 解析 与 x 轴平行的切线,其斜率为 0,[来
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1 · x -ln x0 x0 0 所以 f′(x0)= x2 0 = 1-ln x0 1 =0,故 x0=e,∴f(x0)= . 2 x0 e 1 e

答案

8.已知函数 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=2x-1,则函数 g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方 程为________. 解析 由 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=2x-1,得 f′(2)=2,f(2)=3, 于是由 g(x)=x2+f(x),得 g′(x)=2x+f′(x), 从而 g(2)=22+f(2)=7,g′(2)=2×2+f′(2)=6, 所以 y=g(x)在点(2,g(2))处的切线方程为 y-7=6(x-2),即 6x-y-5=0. 答案 6x-y-5=0 9.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的导函数为 f′(x),且 f′(0)>0,对于任意实数 x,有 f(x)≥0,则 f?1? 的最小值为________. f′?0? 解析 f′(x)=2ax+b,f′(0)=b>0,
2 ? ?Δ=b -4ac≤0, b2 又? 所以 ac≥ ,所以 c>0, 4 ?a>0, ?

a+b+c b+2 ac 2b f?1? 所以 = ≥ ≥ =2. b b b f′?0? 答案 2 10.与直线 2x-6y+1=0 垂直,且与曲线 f(x)=x3+3x2-1 相切的直线方程是________.
2 解析 设切点的坐标为(x0,x3 0+3x0-1),则由切线与直线 2x-6y+1=0 垂直,可得切线的斜率为-3,

又 f′(x)=3x2+6x,故 3x2 0+6x0=-3,解得 x0=-1,于是切点坐标为(-1,1),从而得切线的方程为 3x+y+2=0. 答案 3x+y+2=0 二、解答题 11.已知函数 f(x)= x,g(x)=aln x,a∈R,若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线, 求 a 的值及该切线的方程. 解 f′(x)= 1 a ,g′(x)= (x>0), x 2 x

x=aln x, ? ? e 由已知得? 1 解得 a= ,x=e2. a 2 = , ? ?2 x x 1 1 因为两曲线交点坐标为(e2,e),切线的斜率为 k=f′(e2)= ,所以切线方程为 y-e= (x-e2),即 x 2e 2e
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-2ey+e =0. ln x 12.已知函数 y=f(x)= . x 1 (1)求函数 y=f(x)的图象在 x= 处的切线方程; e (2)求函数 y=f(x)的最大值. 解 1-ln x (1)因为 f′(x)= , x2

1? 2 ?1?=-e, 所以 k=f′? = 2e . 又 f e ? ? ? e? 1 所以 y=f(x)在 x= 处的切线方程为 e 1 x- ?,即 2e2x-y-3e=0. y+e=2e2? ? e? (2)令 f′(x)=0,得 x=e. 因为当 x∈(0,e)时,f′(x)>0, 当 x∈(e,+∞)时,f′(x)<0, 所以 f(x)在(0,e)上为增函数,在(e,+∞)上为减函数, 1 所以 f(x)max=f(e)= . e 13.已知曲线 y=x3+x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l⊥l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程. 解 (1)由 y=x3+x-2,得 y′=3x2+1,

由已知令 3x2+1=4,解之得 x=± 1. 当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限,∴切点 P0 的坐标为(-1,-4). (2)∵直线 l⊥l1,l1 的斜率为 4, 1 ∴直线 l 的斜率为- . 4 ∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为(-1,-4), 1 ∴直线 l 的方程为 y+4=- (x+1), 4 即 x+4y+17=0. π 14.已知在函数 f(x)=mx3-x 的图象上,以 N(1,n)为切点的切线的倾斜角为 . 4 (1)求 m,n 的值; (2)是否存在最小的正整数 k,使得不等式 f(x)≤k-2 013 对于 x∈[-1,3]恒成立?如果存在,请求出最 小的正整数 k,如果不存在,请说明理由.
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π 2 (1)依题意,得 f′(1)=tan ,即 3m-1=1,m= . 4 3

1 因为 f(1)=n,所以 n=- . 3 2 (2)令 f′(x)=2x2-1=0,得 x=± . 2 当-1<x<- 当- 当 2 时,f′(x)=2x2-1>0; 2

2 2 <x< 时,f′(x)=2x2-1<0; 2 2

2 <x<3 时,f′(x)=2x2-1>0. 2

1 2 2 2 2 又 f(-1)= ,f?- ?= ,f? ?=- ,f(3)=15, 3 ? 2? 3 3 ?2? 因此,当 x∈[-1,3]时,- 2 ≤f(x)≤15. 3

要使得不等式 f(x)≤k-2 013 对于 x∈[-1,3]恒成立,则 k≥15+2 013=2 028. 所以,存在最小的正整数 k=2 028,使得不等式 f(x)≤k-2 013 对于 x∈[-1,3]恒成立.

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