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3.4.1 基本不等式复习


萧振高中高二数学导学案

主备:陈才旭

复备:

审核:

日期:

2016-9-22

3.4.1
班级:______

基本不等式复习(两课时)
授课日期:________ 顺序编号:_______

姓名:_________

学习目标 1、能熟练地运用基本不等式求最值; 2、能够将一些简单的实际问题建立成不等式求最值的数学模型来求解; 3、培养学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性. 重点:熟练地运用基本不等式求最值 难点:熟练地运用基本不等式求最值 学习过程 一、课前准备 2 2 1.如果 a,b∈R,那么 a +b ≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”号). a+b 2.若 a,b 都为正数,那么 ≥ ab(当且仅当 a=b 时,等号成立),称上述不等式为基本不等式, 2 a+b 其中 称为 a,b 的算术平均数, ab 称为 a,b 的几何平均数. 2 3.基本不等式的常用推论 a+b?2 a2+b2 (1)ab≤? ≤ (a,b∈R); 2 ? 2 ? 1 1 (2)当 x>0 时,x+ ≥2;当 x<0 时,x+ ≤-2.

x

x



x?

1 ? 2】 x

b a b a a b a b 2 2 2 (4)a +b +c ≥ab+bc+ca,(a,b,c∈R). a+b a2+b2 2ab 【做一做】已知 a>0,b>0,则 , ab, , 中最小的是( 2 2 a+b
(3)当 ab>0 时, + ≥2;当 ab<0 时, + ≤-2. 2ab D. 2 2 a+b 二、新课导学 【例 1 】过点 P(2 , 1) 的直线 l 分别交 x 轴、 y 轴的正半轴于 A 、 B 两点,求 ( 1 )使 ?AOB 得面积最小的直线 l 的方程。 ( O 为原点) A. B. ab C. ( 2 )使 ( 3 )使

)

a+b

a2+b2

PA ? PB 最小的直线 l 的方程 .
OA ? OB 最小的直线 l 的方程 .

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2016-9-22

跟踪训练: ( 1 )已知

x, y ? R? ,且 x ? 4 y ? 1,求 xy的最大值。

( 2 )已知

x, y ? R? , xy=1,求 x+y 的最小值。

【条件不等式的基本不等式】 ★类型一(已知 x ? 0, y ? 0 ,且 axy ? bx ? cy ? d ? 0 ,求 xy与Ax ? By 的最值) 【例 2】已知 x ? 0, y ? 0 ,且 xy ? 2 x ? y ? 3 求 ? xy 的最小值。 ? 2 x ? y 的最小值。

跟踪训练: (1)(2010 年浙江高考)已知 x ? 0, y ? 0 ,且 xy ? 2 x ? y ? 6 ,则 xy 的最小值为________。

(2)(2010 年重庆高考)已知 x ? 0, y ? 0 ,且 2 x ? y ? 2 xy ? 8 ,则 x ? 2 y 的最小值为________。

★类型二(已知 x ? 0, y ? 0 ,且? ax ? by ? c ,求 【例 3】 (1)已知 x ? 0, y ? 0 ,2x+y=6,则 (2)已知 x ? 0, y ? 0 ,

A B A B ? 的最值,或? ? ? c ,求 ax ? by 的最值) x y x y

1 1 ? 的最小值为___________. x y

1 9 ? ? 4 ,则 x+y 的最小值为_______________. x y

跟踪训练: ( 1 ) ( 2 0 1 2 年 浙 江 高 考 ) 若 实 数 a, b ? 0 , 且 有 a ? 3b ? 5ab , 求 3a ? 4b 的 最 小 值 。

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(2)已知 x ? 0, y ? 0 ,且 x+2y=3,求 u

?

2 3 ? 的最小值。 x y

ax2 ? by2 ? cxy ? d ,求 Ax ? By 的最值) 2 2 【例 4】 (2011 年浙江高考理科)已知 x ? R, y ? R, 且4 x ? y ? xy ? 1,求 2x+y 的最大值。
★类型三(已知 x ? 0, y ? 0

跟踪训练: (2011 年浙江高考文科)已知 x ? R, y ? R, 且x

2

? y 2 ? xy ? 1 ,求 x+y 的最大值。

学习小结 1. 最值定理:设 x ? 0, y ? 0 , (1)若 xy ? P (定值) ,则 x ? y 有最_____值为_______; (2)若 x ? y ? S (定值) ,则 xy 有最_____值为_______ 2.基本不等式求最值的三条件为__________、__________、__________。 3.基本不等式解决问题的常用方法:1。凑项 2。凑系数 3.整体代换 学习评价 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.(2005 年福建)下列结论正确的是 ( ) A.当错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。的最小值为 2 D.当错误!未找到引用源。无最大值 2.若 a ? b ? 1 , P ? A、 R ? P ? Q

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b ,则( ? lg a ? lg b ? , R ? lg 2 2 B、 P ? Q ? R C、 Q ? P ? R D、 P ? R ? Q
a? b 2
,y= a ? b ,则 x、y 的关系是( C.x> 2 y
1? ? ? ? ?a b? b



3.已知 a、b 是不相等的正数,x= A.x>y

) D.不能确定 )

B.y>x

4.设 a ? b ? 0, a ? b ? 1 且 x ? loga b, y ? log? 1 A. y ? x ? z B. z ? y ? x

ab, z ? log 1 a 则 x, y, z 之间的大小关系(
D. x ? y ? z

C. y ? z ? x

5.已知 x, y ? R? 且 x+y=4, 求 ②,又因为

1 1 1 2 ? 某学生给出如下解法: 由 x+y=4 得, 即 4 ? 2 xy ①, ? 的最小值。 x y xy 2
2 ④,即所求最小值为 2 ⑤。请指出这位同学错误

1 2 1 2 2 ? ?2 ③,由②③得 ? ? x y x y xy

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的原因 ___________________________。 6(1)如果正数 a , b 满足 ab ? a ? 2b ? 3 ,求 ab 的取值范围。 (2)已知 a , b 均 为正数,且有 2a ? 3b ? 4 ,求

1 1 ? 的最小值。 a b

课后作业 1.(20 12 年福建)下列不等式一定成立的是(

) B. sin x ? D. )

1 2 A. lg( x ? ) ? lg x ( x ? 0) 4
C. x
2

1 ? 2( x ? k ? , k ? Z ) sin x

? 1 ? 2 | x | ( x ? R)

1 ? 1( x ? R ) x ?1
2
2

2.设 a>1,b>1 且 ab-(a+b)=1,那么( A.a+b 有最小值 2( 2+1)

B.a+b 有最大值( 2+1)

C.ab 有最大值 2+1 D.ab 有最小值 2( 2+1) 5 x2-4x+5 3.已知 x≥ ,则 f(x)= 有( ) 2 2x-4 5 5 A.最大值 B.最小值 C.最大值 1 D.最小值 1 2 4 1 a 4.已知不等式(x+y)( + )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为______________ x y 2 5.若不等式 x +ax+1≥0 对一切 x∈(0,1]恒成立,则 a 的最小值为____________ 6.函数 y=loga(x+3)-1 (a>0,a≠1)的图象恒过点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0, 1 2 则 + 的最小值为________.

m n

7.设正数 x,y 满足 x+ y≤a· x+y恒成立,则 a 的最小值是______. x ≤a 恒成立,则 a 的取值范围为________ x2+3x+1 1 1 n 9.a>b>c,n∈N 且 + ≥ ,求 n 的最大值. a-b b-c a-c 8.若对任意 x>0,

10.若关于 x 的方程 4 ? a ? 2 ? a ? 1 ? 0 有实数解,求实数 a 的取值范围。
x x

★【课后反思】学完本节课,你在知识、方法等方面有什么收获与感受?请写下来! 学生课后作业批改日期:________

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