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江苏省无锡市2015届高三上学期期末考试数学试题带答案

江苏省无锡市 2015 届高三上学期期末考试数学试题 一、填空题 1.已知复数 z 满足 (1 - i ) z = 1 + i ,则 z 的模为 2. 已 知 集 合 . A = {x | x = 2k - 1 ,k . Z} , B = {x | - 1 #x 3} , 则 AI B = 3.已知角 a 的终边经过点 P (x, - 6) ,且 t an a = - 3 ,则 x 的值为 5 . 4.根据如图所示的流程图,则输出的结果为 . 5.将 2 本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书 相邻的概率为 . , 9 的平均数为 10 ,则该组样本数据的方差 6.若一组样本数据 8, x, 10, 11 为 . 7.已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y = 的离心率为 . 1 x ,则该双曲线 3 8. 三 棱 锥 P - A B C 中 , D , E 分 别 为 P B, P C的 中 点 , 记 三 棱 锥 D - A BE 的 体 积 为 V1 , P - ABC 的 体 积 为 V2 , 则 V1 = V2 9. 将 函 数 y = . 3 c ox s+ s( x i nx ? ) 的 图 像 向 左 平 移 个 m (m > 0) 单位长度后,所得的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值 是 . 10. 已 知 菱 形 ABCD 的 边 长 为 2 , ? BAD 120o , 点 E , F 分 别 在 边 B C, D C 上 , . . r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu .若 AE ? BF BE = l BC , CF= l CD 11.已知正实数 a, b 满足 9a + b = 1,则 2 2 - 1,则 l = ab 的最大值为 3a + b 12.已知数列 {an } 的首项 a1 = 1,前 n 项和为 Sn ,且满足 2an + 1 + Sn = 2 n 则满足 ( ? * ), 1001 S2n 11 的 n 的最大值为 < < 1000 Sn 10 1 . 13.已知点 A (0, 2) 位圆 M : x 2 + y2 - 2ax - 2ay = 0(a > 0) 外一点,圆 M 上存在点 T 使得 ? MAT 45o ,则实数 a 的取值范围是 . 3 ?1 ? a ? 1 14. 已 知 函 数 y = f ( )x 是 定 义 域 为 ? 的 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 , ì 1 2 ? ? x , # 0x 2 ? ? 2 4 7a ? f x + af ( x ) + = 0, a f (x ) = í , 若关于 x 的方程 轾 ( ) x 犏 臌 ? 骣 16 1 3 ? ÷ - ? ÷ ? ? ÷ - 4, x > 2 ? ? 桫 2 ? ? 仅有 8 个不同实数根,则实数 a 的取值范围是 . 二、解答题 15.(本小题满分 14 分) 已知向量 a = ( sin x, ) , b = ( cos x, - 1) . ? 有且 r 3 r 4 p ) 的值; 4 r r r 轾p (2)设函数 f (x ) = 2( a + b) b ,当 x ? 犏 0, 时,求 f (x ) 的值域. 犏 臌2 (1)当 时,求 t an( x - 16. (本小题满分 14 分) 如图,过四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 形木块上底面内的一点 P 和下底面 的对角线 BD 将木块锯开,得到截面 BDEF . (1)请在木块的上表面作出过 P 的锯线 EF ,并说明理由; (2) 若该四棱柱的底面为菱形,四边形时矩形 BB1D1D ,试证明:平面 BDEF ^ 平面 AC1CA1 . 2 17. (本小题满分 14 分) 某公司生产的某批产品的销售量 P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用 x 万元满足 P = x+ 2 (其中 0 # x 4 a, a 为正常数).已知生产该批产品还要投入成本 6( P + 1 ) P 万元(不包含促销费用) ,产品的销售价格定为 (4 + 20 ) 元/件. P (1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (2)当促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大? 18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C : x2 y2 + = 1 的上顶点为 A ,直线 l : y = kx + m 交椭圆于 P , Q 两点, 4 2 设直线 AP , AQ 的斜率分别为 k1, k2 . (1)若 m = 0 时,求 k1 ×k2 的值; (2)若 k1 ?k2 - 1 时,证明直线 l : y = kx + m 过定点. 3 19. (本小题满分 16 分) 在数列 {an }、 {bn }中,已知 a1 = 0, a2 = 1, b1 = 1,b2 = 1 ,数列 {an } 的前 n 项和 2 为 Sn ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,且满足 Sn + Sn + 1 = n 2 , 2Tn + 2 = 3Tn + 1 - Tn , 其中 n 为正整数. (1)求数列 {an }、 {bn }的通项公式; (2)问是否存在正整数 m , n ,使 Tn + 1 - m > 1 + bm + 2 成立?若存在,求出所有符合条 Tn - m 件的有序实数对 (m, n ) ,若不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 16 分) 2 2 设函数 f (x) = x ln x- ax + b 在点 x 0, f (x 0 ) 处的切线方程为 y = - x + b . ( ) (1)求实数 a 及 x0 的值; (2)求证:对任意实数 ,函数 f (x ) 有且仅有两个零点.

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