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平面向量教学设计


平面向量教学设计
【教材分析】 本节是人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学(必修 4)的第二章总复习内容,主 要是平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量在三角函数中的应用、向 量在解析几何中的应用。教材从学生熟悉的物理背景入手,从特殊到一般,从具体到抽象, 比较系统地介绍了向量的概念、向量的线性运算、向量的数乘运算以及向量的运用。向量是 沟通代数、几何与三角函数的一种工具,为后续研究三角函数、解三角形等奠定了基础。 【学情分析】 在目前小班化形势下, 学生已经分组并要求进行捆绑评价。 知识方面学生已经学习完了 高中所有课程,对向量有一定的认识,已经具备将向量与其他知识结合的能力。 【教学环境分析】 根据本节内容以小题为主的特点,选择多媒体教室环境,方便展示,提高课堂效率。 【教学目标】 知识目标:熟练掌握平面向量的坐标运算;能灵活将向量运用在三角函数、解析几何中。 能力目标:数形结合和问题转化能力思想。 情感目标:体验数学中的美感,体验自主学习的成就感,提高学习探究的兴趣。 【教学重点】平面向量的坐标运算;平面向量在三角函数、解析几何中的运用 【教学难点】平面向量基本定理的运用 【教学过程】 1、教师布置并批改导学案(导学案附在后面) 。 学生完成并上交导学案(完成 1-15 题) ,准备展示用的白板。 2、课堂教学过程。 一、导入新课: 教师活动: 1、评价导学案完成情况。为优秀小组、优秀个人进行加分和鼓励。 2、幻灯片展示平面向量的基本概念、线性运算、数乘运算、坐标运算等。 二、新课讲解 (一)平面向量基本定理及坐标表示 1.已知向量 a=(-1,2),b=(3,m),m∈R,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的 ( )

A.充要条件 C.必要不充分条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

2.已知 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于 1 3 A.- a+ b 2 2 3 1 C.- a- b 2 2 1 3 B. a- b 2 2 3 1 D.- a+ b 2 2

3.如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,OP=xOA+yOB,且BP=2 PA,则 2 1 A.x= ,y= 3 3 1 3 C.x= ,y= 4 4 1 2 B.x= ,y= 3 3 3 1 D.x= ,y= 4 4











)

4.如图,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中

→ → → → 点,已知AM=c,AN=d,试用 c,d 表示AB,AD.
5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设向量 p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若 p∥q,则角 C 的大小为 A.30° B.60° C.90° ( D.120° )

6.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,0),B(0,1),C 为坐标平面内第一象限内一点且

→ → → π ∠AOC= ,且|OC|=2,若OC=λ OA+μ OB,则 λ+μ=( 4
A.2 2 B. 2 C.2 D.4 2

)

学生活动:由三个小组分别用小白板讲解第 3、4、6 题。 教师活动:给出六个题的答案,引导学生对比第 3、4、6 题,体会平面向量基底法。 【设计意图】回顾平面向量基本定理,练习解决平面向量相关问题的方法之一——基底法 (二)平面向量的数量积 7.(2014· 新课标全国Ⅱ卷)设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a· b=( A.1 B.2 C.3 D.5 )

8. (2014· 重庆卷)已知向量 a 与 b 的夹角为 60°, 且 a=(-2, -6), |b|= 10, 则 a· b=________. π 9.已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 ,若向量 b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则 b1·b2= 3 ________. 10.已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c=ta+(1-t)b.若 b· c=0,则 t=________. 11. (2014· 重庆卷)已知向量 a=(k, 3), b=(1, 4), c=(2, 1), 且(2a-3b)⊥c, 则实数 k=( )

9 A.- 2

B.0

C.3

15 D. 2

→ 1 → → → → 12. (2014〃 新课标全国Ⅰ卷)已知 A, B, C 为圆 O 上的三点, 若AO= (AB+AC), 则AB与AC 2
的夹角为________. 13.已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则DE·CB的值为__________; DE·DC的最大值为________. 14.如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点, → → → → 点 F 在 CD 上,若AB·AF= 2,则AE·BF的值是 A. 2 C.0 B.2 D.1 )









15.在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠BAD=60°,E 是 BC 的中点,则

→ → AC·AE=________.
教师活动:点拨解决平面向量相关问题的第二种方法——坐标法。题目中有垂直关系时,考 虑用坐标法,如 11、12 题。 【设计意图】回顾平面向量的数乘运算;练习坐标法。用平面向量解决平面几何问题时,在 便于建立直角坐标系的情况下建立平面直角坐标系, 可以使向量的运算更简便一些. 在解决 这类问题时,共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用. 16.在△ABC 中,设AC2-AB2=2AM·BC,那么动点 M 的轨迹必通过△ABC 的 ( A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心









)

→ → → → → → 17.(人教 A 必修 4 P120B8 改编)在△ABC 中,若OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点 O 是
△ABC 的________(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”). 18.已知 O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个动点,若动点 P 满足OP= OA+λ(AB+AC),λ ∈(0,+∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的______心. 教师活动:讲解第 16 题。 学生活动:小组合作完成第 17、18 题,并展示。 【设计意图】通过平面向量的运算与解析几何的结合,探索点的轨迹。 (三)平面向量在三角函数中的应用









A A? 19.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知向量 m=? ?sin 2 ,cos 2 ?,n A A 2 → → cos ,-cos ?,且 2m· =? n + | m | = ,AB·AC=1. 2 2? ? 2 (1)求角 A 的大小; (2)求△ABC 的面积 S. 学生活动:由一名学生板书,其他学生快速完成。 教师活动:点评、纠正学生的板书,表扬其优点和不足。 【设计意图】强化平面向量坐标运算,回顾三角恒等变化、三角形面积计算公式。培养学生 熟练解决向量与三角函数的综合问题。 三角函数、 解三角形与平面向量的结合主要体现在以 下两个方面:(1)以三角函数式作为向量的坐标,由两个向量共线、垂直、求模或求数量积 获得三角函数解析式;(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形,然后利用正、 余弦定理解决问题. (四)向量在解析几何中的应用 20.已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上一动点,作 PQ⊥l,垂足为 Q,

→ 1→ → 1→ 且?PC+ PQ?·?PC- PQ?=0. 2 ? ? 2 ? ?
(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 EF 为圆 N:x2+(y-1)2=1 的任一条直径,求PE·PF的最值. 学生活动:自主完成第一问。 教师活动:引导学生完成第二问。 【设计意图】培养学生运用向量解决解析几何的能力。向量在解析几何中的作用:(1)载体 作用,向量在解析几何问题中出现,多用于“包装” ,解决此类问题时关键是利用向量的意 义、运算脱去“向量外衣” ,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、 夹角、轨迹、最值等问题;(2)工具作用,利用 a⊥b?a〃b=0;a∥b?a=λb(b≠0),可 解决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平 行问题是一种比较可行的方法. 三、课时小结 学生活动:解决向量问题的两个方法:基底法和坐标法;利用向量解决三角函数、解三角形 的一般模式。 教师活动:适当补充。





五、布置作业(导学案拓展与提升部分)

→ → → →2 21.在△ABC 中,(BC+BA)· AC=|AC| ,则△ABC 的形状一定是
A.等边三角形 C.直角三角形 B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

(

)

x x 2x ? ? ? 22.已知向量 m=? ? 3sin 4,1?,n=?cos 4,cos 4?. (1)若 m· n=1,求 cos? 2π ? ? 3 -x?的值;

(2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cos B =bcos C,求函数 f(A)的取值范围.

→ 1 → → → → → 23.△ABC 外接圆的半径等于 1,其圆心 O 满足AO= (AB+AC),|AO|=|AC|,则向量BA在 2
BC方向上的投影等于 A.- 3 2 B.



( 3 2

) 3 C. 2 D.3

24.如图所示,已知点 F(1,0),直线 l:x=-1,P 为平面上的一动点,过 P 作直线 l 的垂

→ → → → 线,垂足为点 Q,且QP·QF=FP·FQ.

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A,B 两点,交直线 l 于点 M.已知MA=λ1AF,MB=λ2BF, 求λ 1+λ2 的值. 【设计意图】21、22、23 为必做, 24 为选作。既巩固新知识又为学有余力的学生留出 自由发展的空间,不甘落后的同学也会主动探究。 五、板书设计:









平面向量 (1)基底法 (2)坐标法 第 16 题板书 19 题学生板书

20 题板书

六、教学反思: 1、 导学案的设计充分考虑到大部分学生的可操作性, 一是学案中涉及的问题紧扣教材内容, 简单易行;二是题型归类,学生通过做几个一类题容易归纳出该类题的解题方法;三是设计 拓展练习,使得较优秀的学生也有所收获。 2、利用基底法解决向量的相关问题是学生的一个难点,综合向量的各种概念和运算。 3、三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化,学生容易忽略角的范围对变 形过程的影响.


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