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《方程的根与函数的零点》上课导学案


《方程的根与函数的零点》导学案
一、学习目标 1.结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的 零点与方程的根的关系。 2.理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法。 二、学习重点、难点 重点:了解函数零点的概念,体会方程的根与函数零点之间的联系,掌握函数零点存 在性的判断. 难点:准确认识零点的概念,能利用判定定理判断零点的存在或确定零点。 三、学习过程 (一)课前思考

问题 1:求下列方程的根.
(1) 3 x ? (2) x 2 (3) ln
2 ? 0;

? 5x ? 6 ? 0



x ? 2x ? 6 ? 0 .

观察下表(一),求出表中一元二次方程的实数根,画出相应的二次函数图象的简图,并写 出函数图象与 x 轴交点的坐标。 方 函 程 数
x
2

? 2x ? 3 ? 0
2

x

2

? 2x ? 1 ? 0
2

x

2

? 2x ? 3 ? 0
2

y ? x

? 2x ? 3

y ? x

? 2x ? 1

y ? x

? 2x ? 3

函 图

数 象

方程的实数根 图象与轴的交 点

问题 2: 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程 a x 2
第 1 页 共 4 页

? bx ? c ? 0(a ? 0)

及相应的二次函数 立?
? ? b ? 4ac
2

y ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) 的图象与 x
2

轴交点的关系,上述结论是否仍然成

? ? 0

? ? 0

? ? 0

方程
ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

的实数根

函数
y ? ax ? bx ? c (a ? 0)
2

的图象

图象与 x 轴的交点

问题 3: 能否推广到更一般的情况?
对于方程
f (x) ? 0

实数根的问题研究可以转化 为与之对应的函数 y 转

? f (x)

的图象与 x 轴的

交点问题的研究. 思考并得出结论: (二)课堂学习 1. 函数零点的定义: _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ 2.方程的根与函数零点的关系:

例1

判断下列函数是否有零点
x

(1) y ? 2

( 2 ) y ? lo g 2 x

(3) y ?

1 x

解题小结:__________________________________________________________________
第 2 页 共 4 页

动手探究:

问题 4:函数 y

? f (x)

在某个区间上是否一定有零点?怎样的条件下,函数 y

? f (x)

一定有

零点? (1)观察二次函数
f (x) ? x
2

? 2 x ? 3 的图象:

1 ○ 在区间 [ ? 2 ,1] 上有零点______; f ( ? 2 ) ? _______, f (1) ? _______, f ( ? 2 ) · f (1 ) _____ 0 (< 或>). 2 ○ 在区间 [ 2 , 4 ] 上有零点______; f ( 2 ) · f ( 4 ) ____ 0 (<或>).

思考:函数满足什么条件,在区间 ? a , b ? 上一定有零点? 探究结论:_______________________________________________________ 3.零点存在性定理:

例2

求函数 f ? x ? ?

ln x ? 2 x ? 6

零点的个数.

归纳总结:___________________________________________________________

思考:还有什么方法可以解决这个问题? 反思小结: 1.你通过本节课的学习,有什么收获?

第 3 页 共 4 页

2.对于本节课学习的内容你还有什么疑问? __________________________________________________________________________

(三)课后作业 1、课本 P8 8 课本 P8 8 练习 习题 3.1 2 # (1)、(2)、 (3)、(4); 组 # 2 .

A

2、课后探究:已知 f(x)=|x2-2x-3|-a,求 a 取何值时能分别满足下列条件: ①有 2 个零点;②3 个零点;③4 个零点.

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