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高中数学第1章导数及其应用1


第1章 1.5 定积分(选学) 1.5.1 曲边梯形的面积 学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法. 2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点 曲边梯形的面积 思考1 如何计算下列两图形的面积? 答案 ①直接利用梯形面积公式求解. ②转化为三角形和梯形求解. 答案 思考2 如图,为求由抛物线y=x2与直线x=1, y=0所围成的平面图形的面积S,图形与 我们熟悉的“直边图形”有什么区别? 答案 已知图形是由直线 x=1,y=0及y=x2所围成的,可称为 曲边梯形,曲边梯形的一条边为曲线段,而“直边图形”的所 有边都是直线段. 答案 梳理 (1)曲边梯形:由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形 称为曲边梯形(如图①所示). (2)求曲边梯形面积的方法 将已知区间[a,b]等分成n个小区间,当分点非常多(n很大)时,可以认为f(x)在小 区间上几乎没有变化(或变化非常小),从而可以取小区间内 任意一点xi 对应的函 数值 f(xi) 作为小矩形一边的长.于是,可用 f(xi)Δx 来近似表示小曲边梯形的面 积,这样,和式 f(x1)Δx+f(x2)Δx+…+f(xn)Δx 表示了曲边梯形面积的近似值.(如 图②所示) (3)求曲边梯形面积的步骤:①分割.②以直代曲.③作和.④逼近. 题型探究 类型一 求曲边梯形的面积 例1 求由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x(x-1)围成的图形面积. 解答 反思与感悟 求曲边梯形的面积 (1)思想:以直代曲. (2)步骤:分割→以直代曲→作和→逼近. (3)关键:以直代曲. (4)结果:分割越细,面积越精确. (5)求和时可用到一些常见的求和公式,如 n?n+1? 1+2+3+…+n= 2 ; n?n+1??2n+1? 1 +2 +3 +…+n = ; 6 2 2 2 2 ?n?n+1??2 ?. 1 +2 +3 +…+n =? 2 ? ? 3 3 3 3 跟踪训练1 求由抛物线y=x2与直线y=4所围成的曲边梯形的面积. 解答 类型二 求变速运动的路程 例2 当汽车以速度v做匀速直线运动时,经过时间t所行驶的路程s=vt.如 果汽车做变速直线运动,在时刻t的速度为v(t)=t2+2(单位:km/h),那么 它在1≤t≤2(单位:h)这段时间行驶的路程是多少? 解答 引申探究 本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高,试求出行驶路程, 比较两次求出的结果是否一样? 解答 反思与感悟 求变速直线运动路程的问题,方法和步骤类似于求曲边梯形的面积, 用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为:分割、以直代曲、 作和、逼近.应特别注意变速直线运动的时间区间. 跟踪训练 2 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,设汽车在时刻 t 的速 度为 v(t) =- t2 + 5(t 的单位: h , v 的单位: km/h) ,试计算这辆汽车在 0≤t≤2这段时间内汽车行驶的路程s(单位:km). 解答 当堂训练 2 1.把区间[1,3] n等分,所得n个小区间的长度均为___. n 2 解析 区间[1,3]的长度为2,故n等分后,每个小区间的长度均为 . n 1 2 3 4 5 解析 答案 2.若1 N的力能使弹簧伸长2 cm,则使弹簧伸长12 cm时,克服弹力所做 0.3

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