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2017届湖北省松滋市第一中学高三上学期第一次考试(9月月考)数学(文)试题

湖北省松滋市第一中学 2016-2017 学年高三年级上学期第一次考试数学 (文科)试题
★ 祝考试顺利 ★ 时间:120 分钟 分值 150 分_

第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? ( A、14 B、21 C、28 D、35 )

2.设集合 U ? {1, 2,3, 4,5}, A ? {1, 2,3}, B ? {2,5}, 则A ? (? U B) = A.{1,3} B.{2} C.{2,3} D.{3} ( )

3.抛物线 y 2 ? 12x 上与焦点的距离等于 8 的点的横坐标是 A、2 B、3 C、4 D、5

4.若实数 x , y 满足不等式组

? y ? x ? 1, ? ? y ? x ? 2, ? y ? 0, ?

则 z ? x ? 2 y 的最小值为

?
(A)

7 2 (B ) ? 2

( C) 1

5 (D) 2

5.已知椭圆 E:

x2 y2 + =1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点.若 AB a2 b2
) C.

的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( A.

x2 y2 + =1 45 36

B.

x2 y2 + =1 36 27

x2 y2 + =1 27 18

D.

x2 y2 + =1 9 18
)

6.已知 ?an ? 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105, a2 ? a4 ? a6 ? 99 ,则 a20 等于( A. -1 B. 1 C. 3 D. 7 ) .

7.在△ ABC 中,若 3a ? 2b sin A ,则 ?B ? (



1第

A.

? 3

B.

? 6

C.

? 2 或 ? 3 3

D.

? 5 或 ? 6 6


8. 已知等差数列 ?an ? 中, a7 ? a9 ? 16 , a4 ? 1 ,则 a12 的值是( A. 15 B. 30 C. 31 D. 64

9.已知偶函数 y ? f ( x) 在区间 (??, 0] 上是增函数,下列不等式一定成立的是 A.

f (3) ? f (?2)

B. f (?? ) ? f (3) D. f (a2 ? 2) ? f (a 2 ? 1) ) C. ? ? ?. ?

C. f (1) ? f ( 2 ) 10.不等式 2 x 2 ? x ? 1的解集为( A. ?? ,1? ? 2 ?

? 1 ?

B. ?0, ? 2

? 1? ? ?

? ?

1? ? ? ?1,??? 2?

D. ? ? ?,? ? ? ?1,??? 2

? ?

1? ?

11.已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 ? ( ) A.138 B.135 C.95 D.23

? y ? x ? 1, ? ? ? 12.已知平面区域 ? ? {( x, y ) ? y ? 0, ? , M ? {( x, y ) ? x ? 1, ? ? ?
P 落在区域 M 内的概率为 A.

? y ? ? | x | ?1, ? ? ? ,向区域 ? 内随机投一点 P,点 ? y ? 0, ?

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

第 II 卷(非选择题)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分) 13.在闭区间 [-1,1]上任取两个实数,则它们的和不大于 1 的概率是 。 .

14.若集合 M ? {( x, y) | x ? y ? 2}, N ? {( x, y) | x ? y ? 4} ,则集合 M ? N 的真子集个数为

15.b 克糖水中有 a 克糖(b>a>0) ,若再加入 m 克糖(m>0) ,则糖水更甜了,将这个事实用一个不等式 表示为 .



2第

?4 x ? 3 y ? 12 ? 0 ? , ? x , y ? R ? ,q : x 2 ? y 2 ? r 2 ? x , y ? R ,r ? 0? ,若非 q 是非 p 的充分不必要条 16.设 p : ?3 ? x ? 0 ? x ? 3 y ? 12 ?
件,那么 p 是 q
__________ ____

条件, r 的取值范围是 __________ ____

三.解答题:(本大题共 6 小题,请写出必要的文字说明和解答过程,共 70 分)
17. (本小题满分 12 分)

1 已知定义域为 (0 , ? ? ) 的函数 f ( x ) 满足:① x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;② f ( ) =1; ③对任意的正实数 x , y , 2
都 有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) . (1)求证: f ( ) ? ? f ( x ) ; (2)求证: f ( x ) 在定义域内为减函数; (3)求不等式 f (2) ? f (5 ? x) ? ?2 的解集. 18. (本题 12 分) 已知△ABC 中, sin A ? (sin B ? cos B) ? sin C ? 0 , sin B ? cos 2C ? 0 , 求:角 A、B、C 的大小。 19.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? x2 ? (3 ? a) x ? 2(1 ? a) (其中 a ? R ). (I)求 f (2) 的值; (II)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 . 20. (本题 12 分) (本小题满分 12 分) 如图 2,在直三棱柱 ABC- A1 B1C1 中,AB=1, AC ? AA1 ? 3 ,
?ABC ?

1 x

?
3.



3第

A1 B1

C1

A

B

图2

C

(Ⅰ)证明: AB ? A1C ; (Ⅱ)求二面角 A ? A1C ? B 的正弦值.

2 21. (本题 12 分) f ( x) ? ax ? bx ? c, 且f (1) ? ?

a ,3a ? 2c ? 2b, 求证: 2

(I) a ? 0且 ? 3 ?

b 3 ?? ; a 4

(Ⅱ)函数 f ( x) 在区间(0,2)内至少有一个零点; (III)设 x1 , x 2 是函数 f ( x) 的两个零点,则 2 ≤| x1 ? x2 |?

57 . 4

22. (本题 10 分)己知 a∈R,函数 f ( x) ? 2x3 ? 3(a ? 1) x2 ? 6ax (1)若 a=1,求曲线 y ? f ( x) 在点(2,f (2))处的切线方程; (2)若|a|>1,求 f ( x ) 在闭区间[0,|2a|]上的最小值.



4第

参考答案 1.C 【解析】 试题分析:∵ a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 12 ,∴ a4 ? 4 ,∴ a1 ? a2 ? ... ? a7 ? 7a4 ? 28 ,故选 C 考点:本题考查了等差数列的性质 点评:熟练掌握等差数列的性质是解决此类问题的关键,属基础题 2.A 【解析】 试题分析:因为 B ? {2,5} ,所以 CU B ? {1,3,4} ,所以 A ? (? U B)= {1,3}。 考点:集合的运算。 点评:本题直接考查集合的运算,属于基础题型。 3.D 【解析】:∵抛物线方程是 y =12x, ∴2p=12,可得
2 2

p =3,所以抛物线焦点为 F(3,0), 2

设抛物线 y =12x 上与焦点的距离等于 8 的点为 P(m,n)

则?

?

n 2 ? 12m 2 2 ? ?m ? 3? ? n ? 8

,解之得 ?

? m?5 ?n ? ?2 15

所以点 P(5,2 15 )或 P(5,-2 15 ),横坐标为 5 故选 D 4 .A 【解析】当直线 z ? x ? 2 y 经过直线 y=x+2 与直线 y+x=1 的交点

1 3 (? , ) 2 2 时,

7 Z 取得最小值,最小值为 2 . ?
5.D



5第

【解析】

? x12 y12 ? ?1 ? ? a 2 b2 试 题 分 析 : 由 题 意 c ? 3 , 设 A( x ,两式相减得 ) 代入椭圆中得, ? 2 1, y 1 ) , B (x 2 ,y 2 , 2 x y ? 2 ? 2 ?1 ? ? a 2 b2

y1 ? y2 b2 1 b2 x1 ? x2 b2 ?1 b2 x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 ? ,又 c ? 3 ,得 ? ? 0 , 即 , 所 以 得 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 a2 2 a2 b2 x1 ? x2 a2 y1 ? y2 a 1 a
a2 ? 18, b2 ? 9 ,故选 D.
考点:1.椭圆中 a , b, c 的关系; 2.点差法的应用. 6.B 【解析】根据已知条件和等差中项的性质可分别求得 a3 和 a4 的值,进而求得数列的公差,最后利用等差 数列的通项公式求得答案. 解 答 : 解 : 由 已 知 得 a1+a3+a5=3a3=105 , , , ( a4=33 -2 , ) ∴ × d=a4-a3=-2 17=1 . .

a2+a4+a6=3a4=99 ∴ ∴ 故选 B 7 . C. 【解析】 考点:正弦定理的应用. 分析:通过正弦定理求与题设的条件求出 sinB 的值,进而求出 B. 解:∵ 3 a=2bsinA ∴ a3=35 a20=a3+17d=35+

b a = sinA 3 2

∵根据正弦定理

a b = sinA sin B



6第



b b = sin B 3 2

3 2 ? 2? ∴B= 或 3 3
∴sinB= 故选 C 8.A 【解析】? a7 ? a9 ? a4 ? a12 ,? a12 ? 16 ? a4 ? 15. 故选 A 9.C 【解析】略 10.A 【解析】 试题分析:一元二次不等式解法,依据“大两边,小中间”解决.先十字相乘因式分解 ? x ?1?? 2x ? 1? ? 0 因为“小中间”所以解集为 ? ? ,1? 故答案为 A 考 点: 一元二次不等式 【答案】C 【 解 析 】 先 利 用 等 差 中 项 求 a3 ? 2, a4 ? 5, 得到公差d ? 3 , 然 后 结 合 求 和 公 式

? 1 ? ? 2 ?

S10 ?
12.C

(a1 ? a 10 ) ?10 ? 5(a1 ? a 10 ) ? 5(a3 ? 2d ? a 3 ?7d ) ? 5(2a 3 ?5d ) ? 95 。 2

3

2.5

2

A

1.5

D
1

0.5

B
4 3 2 1

0
0.5

C1

2

3

4

1



7第

【解析】此题考查几何概型概率的计算及线性规划 解:如图画出平面区域 ? 为图中 ?ABC , 平面区域 M 为图中 ?BCD , 由图知 A ( 1,2 ) , B ( -1,0 ) ,C ( 1,0 ) ,D( 0,1 ) , S ?C B A P=

? 2, S ?D C B

? 1 ,由几何概型概率的计算公式得点 P 落在区域 M 内的概率为

S ?BCD 1 ? . S ?ABC 2

答案:C.

7 13. 8
【解析】 试题分析:解:由题意知本题是一个等可能事件的概率∵试验发生包含的事件是在区间[-1,1]上任取两 个数 a 和 b,事件对应的集合是 Ω ={(a,b)|-1≤a≤1,-1≤b≤1},对应的面积是 sΩ =4,满足条件的 事件是 a+b≤1,事件对应的集合是 A={(a,b)|-1≤a≤1,-1≤b≤1,a+b≤1},对应的图形的面积是 sA=

7 7 7 ∴根据等可能事件的概率得到 P= 故答案为: 2 8 8

考点:几何概型 点评:本题考查等可能事件的概率,是一个几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、 的比值得到结果,是一个基础题 14.1 【解析】略 15.

a a?m ? b b?m

【解析】 考点:不等关系与不等式. 分析:根据“甜度”的定义,先表示出“甜度”为 度”:是

a 的 b 千克糖水中加入 m(m>0)千克糖时的“甜 b

a?m a ,再由“糖水会更甜”,可知此时糖水的“甜度”大于原来糖水的“甜度”,即 < b?m b

a?m . b?m
解:∵b 千克糖水中含 a 千克糖(0<a<b)时,糖水的“甜度”为

a , b



8第

∴若在该糖水中加入 m(c>0)千克糖,则此时的“甜度”是 又∵糖水会更甜, ∴

a?m , b?m

a a?m < b b?m a a?m < b b?m

故答案为: 16.

充分不必要, ? 0,

? 12 ? ? 5? ?

【解析】由非 q 是非 p 的充分不必要条件可知, p 是 q 的充分不必要条件。由题意得 p 对应的平面区域
2 2 2 应包含于 q 对应的平面区域,即 p 表示的区域内的所有的点在圆 x ? y ? r ? x, y ? R, r ? 0? 外,结合图

形可知 r 的取值范围是 ? 0,

? 12 ? ? 5? ?

17. (1)详见解析; (2)详见解析; (3) ?3,5? . 【解析】 试题分析:

1 ?1? (1)令 x ? y ? 1 ,即可求得 f (1) ? 0 ,令 y ? ,即可证得 f ? ? ? ? f ? x ? x

? x?

(2)利用单调性的定义即可证明; (3)根据(2)可求得 f (2) ? ?1 ,从而可得 f ?5 ? x ? ? f ? 2? ,再利用 f ( x ) 在定义域内为减函数,即 可求得其解集. 试题解析: (1)因为对任意 x, y ? ? 0, ??? ,都有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , 所以令 x ? y ? 1 ,则 f ?1?1? ? f ?1? ? f ?1? ,即 f ?1? ? 0 再令 y ?

1 ?1? ,则 f ?1? ? f ? x ? ? f ? ? ,所以 x ? x?

?1? f ? ? ? f ? x ? ? 0 ,即 ?x?

?1? f ? ? ? ? f ? x? ; ? x?

(2)设 x1, x2 ? ? 0, ??? ,且 x1 ? x2 ,则

?x ? x2 ? 1 ,所以 f ? 2 ? ? 0 x1 ? x1 ?

又f?


? x2 ? 1? ? ? ? f ? x2 ? ? ? f ? x2 ? ? x? ? ? x1 ?

?1? f ? ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? x1 ?
9第

[来源:]

所以 f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 所以 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是减函数; ( 3 ) 由 f ? ? ?1 , 得 f ?

?1? ?2?

?1 ?4

? ?1 1 ? ?1 ? ?1 ? ? f ? ? ? ? f ? ?? f ? ? ?2 2 ? ?2 ? ?2

?1? ? 1 ? 1 ? ? 2, 又 f ? ? ? ? f ? 4 ? , 所 以 ? ?4? ?

f ? 4? ? ?2
所以不等式 f (2) ? f (5 ? x) ? ?2 为 f ? 5 ? x ? ? ? f ? 2? ? 2 , 即 f ? 5 ? x ? ? f ? ? ? f ? 4 ? ? f ? ? 4 ? ? f ? 2 ? ,亦即 f ?5 ? x ? ? f ? 2? 因为 f ? x ? 是 ? 0, ?? ? 上的减函数, 所以 ?

?1? ?2?

?1 ?2

? ?

?5 ? x ? 0 ,解得 3 ? x ? 5 , ?5 ? x ? 2

所以不等式 f (2) ? f (5 ? x) ? ?2 的解集为 ?3,5? . 考点:抽象函数及其应用;函数单调性的证明及性质. 18. A ?

?
4

, B?

?
3

, C?

5? 12

【解析】 sin A ? (sin B ? cos B) ? sin C ? 0 得 sin A ? sin B ? sin A ? cos B ? sin C ? sin( A ? B) ∴ sin A ? sin B ? cos A ? sin B 则 A? ∵ sin B ? 0 ∴ tgA ? 1 又 0<A<π

?
4

, 即C ?

3? ?B 4 3? ? B) ? 0 4

由 sin B ? cos 2C ? 0 得 sin B ? cos 2(

即 sin B ? sin 2 B ? 0 亦即 sin B ? (1 ? 2 cos B) ? 0 ∴ cos B ?

1 ? 5? 得 B ? , 从而 C ? ′ 2 3 12

则所求的角 A ?
2

?
4

, B?

?
3

, C?

5? . 12

19.解:(I) f (2) ? 2 ? 2(3 ? a) ? 2(1 ? a) ? 0 ; (II)由(I)知方程 f ( x) ? 0 的两根为 x1 ? 2 , x2 ? 1 ? a ,从而 f ( x) ? ( x ? 2)[ x ? (1 ? a)] ,



10 第

而 x1 ? x2 ? 2 ?1 ? a ? a ? 1 , f ( x) ? 0 等价于 ( x ? 2)[ x ? (1 ? a)] ? 0 ,于是 当 a ? ?1 时, x1 ? x2 ,原不等式的解集为 (??, 2) ? (1 ? a, ??) ; 当 a ? ?1 时, x1 ? x2 ,原不等式的解集为 (??, 2) ? (2, ??) ; 当 a ? ?1 时, x1 ? x2 ,原不等式的解集为 (??,1 ? a) ? (2, ??) . 【解析】略 20.解: (Ⅰ)在△ABC 中, AB ? 1 , AC ? 3 , ∴ AB⊥AC,又 AA 1 ⊥AB,则 AB⊥平面 AA 1 C ∵A 1 C 在平面 ABC 内的射影为 AC,∴AB⊥A 1 C (Ⅱ)取 A1 C 中点 D,连 AD,BD ∵AA 1 = AC = 3 ∴ AD ? A1C ,且
AD ? 6 2 ,

?ABC ?

?
3

?????6 分

由三垂线定理得 BD⊥A 1 C ∴ ?BDA 为二面角 A ? A1C ? B 的平面角.
tan ?BDA ? AB 6 10 ? sin ?BDA ? AD 3 ,∴ 5



10 A AC B 1 ∴二面角 的正弦值为 5 .

?????12 分

【解析】略 21.见解析 【解析】解: (I)由 f (1) ? ? 由 3a ? 2c ? 2b 得 ?

a 3a a , 得 a ? b ? c ? ? ? c ? ? ? b ---------------⑴ 2 2 2

?3a ? 2c ? ? ? ?(2) ?3a ? ?3a ? 2b ,将(1)代入得: ? ?2c ? 2b ? ? ? ?(3) ?? 3a ? 2b ? 2b ?12a ? ?4b - - - - - (4) ,两式相加得: 9a ? 0 ,即 a ? 0 . ?? ?? 3a ? 4b - - - - - -(5)



11 第

b ? 12 ? ?4 ? ? b 3 b 3 ? a ? ? 3 ? ? ? ,故 a ? 0且 ? 3 ? ? ? ; ? a 4 a 4 ?? 3 ? 4 ? b ? a ?
2 (Ⅱ)由⑴有 f ( x) ? ax ? bx ?

3a ?b, 2

3 3 1 f (0) ? f (2) ? (? a ? b)( 4a ? 2b ? a ? b) ? ? (3a ? 2b)( 5a ? 2b) , 2 2 4 ? ?3 ?
1 b 3 ? ? , ? (3a ? 2b)( 5a ? 2b) ? 0 ,即 f (0) f (2) ? 0 , 4 a 4

? 函数 f ( x) 在区间(0,2)内至少有一个零点.
22 . (1) 6 x ? y ? 8 ? 0, (2) 当

a ? 1 时 , 函 数 y ? f ( x) 最 小 值 是 3a2 ? a3 ; 当 a ? ?1 时 , 函 数

y ? f ( x) 最小值是 3a ? 1.
【解析】 试 题分 析: (1) 由 导数 的几 何意 义可 知, 曲线 y ? f ( x) 在 点 (2 , f (2)) 处的 导数值 为切 线的 斜率 .

f ?( x) ? 6 x 2 ? 12 x ? 6 ? f ?(2) ? 24 ? 24 ? 6 ? 6
从而

,当 a

? 1 时,
6 x ? y ? 8 ? 0,

y ? f ( x) 在 (2, f (2)) 处的切线方程是 :

(2) 求函

数在闭区间上的最值,先要根据导数研究函数单调性,确定其走势,再比较端点及极值点的函数值的大小 确定最值 . 因为 ①当 a

f ?( x) ? 6 x 2 ? 6(a ? 1) x ? 6a ? 6[ x 2 ? (a ? 1) x ? a ] ? 6( x ? 1)( x ? a ) ,所以
时,

? 1 时,

y ? f ( x) 递增 , x ? (1, a) 时 , y ? f ( x) 递减,最小值是


f ( a ) ? 2a3 ? 3(a ? 1)a2 ? 6a2 ? 3a2 ? a3 ②
减, x ?[1,2 | a |] 时, 试题解析: (1)当 a

a ? ?1

时 ,

x ? (0,1)

时 ,

y ? f ( x)



y ? f ( x) 递增,所以最小值是 f (1) ? 3a ? 1 .

? 1 时,
1

所以

f ?( x) ? 6 x 2 ? 12 x ? 6 ? f ?(2) ? 24 ? 24 ? 6 ? 6

4 ..6

y ? f ( x) 在 (2, f (2)) 处的切线方程是: y ? 4 ? 6( x ? 2) ? 6x ? y ? 8 ? 0
页 12 第

(2)

f ?( x) ? 6 x 2 ? 6(a ? 1) x ? 6a ? 6[ x 2 ? (a ? 1) x ? a ] ? 6( x ? 1)( x ? a )
①当 a 所以当

.8

? 1时,

时,

y ? f ( x) 递增, x ? (1, a) 时, y ? f ( x) 递减

x ?[0,2 | a |] 时,且 2 | a |? 2 ,
时,

y ? f ( x) 递增, x ? (1, a) 时, y ? f ( x) 递减

..10

所以最小值是 ②当 时,

f (a ) ? 2a 3 ? 3(a ? 1)a 2 ? 6a 2 ? 3a 2 ? a 3
,在

a ? ?1 时 , 且 2 | a |? 2

x ?[0,2 | a |] 时 , x ? (0,1) 时 , y ? f ( x) 递 减 , x ?[1,2 | a |]

y ? f ( x) 递增,所以最小值是 f (1) ? 3a ? 1
? 1 时,函数 y ? f ( x) 最小值是 3a2 ? a3 ;
13

综上所述:当 a 当a

? ?1时,函数 y ? f ( x) 最小值是 3a ? 1

考点:利用导数求切线方程,利用导数求函数最值



13 第


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