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高二文科数学培优训练——不等式

高二文科数学培优训练——不等式
1、已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是 8-x ∵x+2y+2xy=8,∴y= >0,∴-1<x<8, 2x+2 8-x 9 ∴x+2y=x+2· =(x+1)+ -2≥2 2x+2 x+1 9 ?x+1? · -2=4,此时 x=2,y=1,故选 B. x+1


解析:∵x>0,y>0,x+2y+2xy=8, ?x+2y?2 ∴8-(x+2y)=x· 2y≤ ,(当且仅当 x=2y 时等号成立). 4 即:(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0, 解得:x+2y≤-8 或 x+2y≥4,又 x+2y>0,∴x+2y≥4,即 x+2y 的最小值为 4. 2.若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是 1 1 3? + =1. 答案 5 ∵x>0,y>0,由 x+3y=5xy 得 ? 5? y x ? 1 3? 1?3x 12y? 13 1?3x 12y? 13 1 1 ∴3x+4y= (3x+4y)? ?y+ x?=5? y +4+9+ x ?= 5 +5? y + x ?≥ 5 +5×2 5 =2y 时取等号),∴3x+4y 的最小值为 5. 3.对一切实数 x,不等式 x2+a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 -x2-1 1? 解析 由题意 a|x|≥-x2-1,∴a≥ =-? ?|x|+|x|?(x≠0). |x| 1? ∵-? ?|x|+|x|?≤-2,∴a≥-2.当 x=0 时,a∈R ,综上,a≥-2,
1 1 4、已知两正数 x,y 满足 x+y=1,则 z= ( x ? )( y ? ) 的最小值为 x y


3x 12y · =5(当且仅当 x y x





解析: z ? ( x ? )( y ? ) = xy ?

1 x

1 y

1 ( x ? y ) 2 ? 2 xy 2 1 y x ? ? xy ? 2 ,令 t ? xy ? ? = xy ? ? xy x y xy xy xy

则 0 ? t ? xy ? (

2 ? 1? 2 x? y 2 1 ) ? ,由 f (t ) ? t ? 在 ? 0, ? 上单调递减,故当 t= 1 时, f (t ) ? t ? 有最小值 33 ,所 t ? 4? t 2 4 4 4

以当 x ? y ?

1 25 时 z 有最小值 . 2 4

5.若存在实数 x 使|x-a|+|x-1|≤3 成立,则实数 a 的取值范围是________. 解析 |a-1|≤|x-a|+|x-1|≤3,解得:-2≤a≤4. x2 x3 6.设 x,y 为实数,满足 3≤xy2≤8,4≤ ≤9,则 4的最大值是________. y y 5 A2 x2 5 解析:设 A=xy2,B= ,则 x= AB2,y= , y B

x3 5 B10 B2 1 1 1 92 ∴ 4= 5 = .∵4≤B≤9,而 ≤ ≤ ,∴最大值是 =27.答案:27 y A A 8 A 3 3 7.设 a>b>c>0,则 2a2+ 1 1 + -10ac+25c2 的最小值是________. ab a?a-b?

1 1 解析:令 f(c)=25c2-10ac+2a2+ + ab a?a-b? a 1 1 1 1 当 c= 时,f(c)min=a2+ + =a(a-b)+ +ab+ ≥4, 5 ab a?a-b? ab a?a-b? (当且仅当 a(a-b)=1 且 ab=1 即 a= 2,b= 答案:4 8 、 已 知 二 次 函 数 f ? x ? ? ax ? 2x ? c ? x ? R ? 的 值 域 为 ?0, ??? , 则
2

2 2 ,c= 时取等号.) 2 5

a ?1 c ?1 ? 的最小值 c a



. 解析:由函数 f ? x ? ? ax ? 2x ? c ? x ? R ? 的值域为 ?0, ??? ,可得 a ? 0,
2

4ac ? 4 ? 0, 4a

? a ? 0, ac ? 1 , ?

a ?1 c ?1 ,故 ? ? a 2 ? c 2 ? a ? c ? 2ac ? 2 ac ? 4 (当且仅当 a ? c 时,等号成立) c a

a ?1 c ?1 的最小值是 4. ? c a 9、设 x,y 为实数,若 4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最大值是________
3 法一 ∵4x2+y2+xy=1,∴(2x+y)2-3xy=1,即(2x+y)2- · 2xy=1, 2 3 ?2x+y?2 8 2 10 10 ∴(2x+y)2- · ≤1,解之得(2x+y)2≤ ,即 2x+y≤ .等号当且仅当 2x=y>0,即 x= ,y= 2? 2 ? 5 5 10 10 时成立. 5 法二 令 t=2x+y,则 y=t-2x,代入 4x2+y2+xy=1,得 6x2-3tx+t2-1=0,由于 x 是实数,故 Δ=9t2 8 2 10 2 10 2 10 -24(t2-1)≥0,解得 t2≤ ,即- ≤t≤ ,即 t 的最大值也就是 2x+y 的最大值,为 . 5 5 5 5 10.已知 a 和 b 是任意非零实数. (Ⅰ)求

2a ? b ? 2a ? b a

的最小值;

(Ⅱ)若不等式 2a ? b ? 2a ? b ? a ( 2 ? x ? 2 ? x ) 恒成立,求实数 x 的取值范围. 解:(I)?| 2a ? b | ? | 2a ? b |?| 2a ? b ? 2a ? b |? 4 | a | 对于任意非零实数 a 和 b 恒成立, 当且仅当 (2a ? b)(2a ? b) ? 0 时取等号,
? | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值等于 4 |a|

(II)

?| 2 ? x | ? | 2 ? x |?

| 2a ? b | ? | 2a ? b | 恒成立, |a|

故 | 2 ? x | ? | 2 ? x | 不大于 | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值 |a| 由 (I)可知 | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值等于 4.
|a|

实数 x 的取值范围即为不等式 | 2 ? x | ? | 2 ? x |? 4 的解. 可用分类讨论法;数性结合法;图像法等方法,只要过程严密,结论正确即可 解不等式得 ? 2 ? x ? 2. 11、设不等式 2 x ? 1 ? 1 的解集为 M , 且 a ? M , b ? M . (Ⅰ) 试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小; (Ⅱ) 设 max A 表示数集 A 中的最大数, 且 h ? max ?

? 2 ? a

,

a?b ab

,

2 ? ? , 求 h 的范围. b?

12、 已知 k 为正常数,关于 x 的方程 x ? kx ? u ? 0 有 两个正数解 ? , ? .
2

(1)求实数 u 的取值范围; (2)求使不等式 ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? k ? 2 ? 恒成立的 k 的取值范围. ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? ?2 k? 解: (1)? 关于 x 的方程 x ? kx ? u ? 0 有两个正数解 ? , ? ,
2
2

?k 2 ? 4u ? 0, ? 解得 0 ? u ? ?? ? ? ? k ? 0, ??? ? u ? 0. ?

?

k2 2 ,即实数 u 的取值范围是 ? 0, k ? . ? ? 4 ? 4?
2

? 1 1 ?2 ? ?2 1 ?? ? ? ? ? 2?? ?? 1 (2) ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?

?u?

? k2 ? 1 k 2 ? 2u k 2 ?1 ? ?u? ? 2 ,u ?? 0 , ? . u u u ? 4?

令 f ?u ? ? u ?

? k2 ? k 2 ?1 k 2 ?1 ? 2 , , u ? ? 0, ? ,则 f ? ? u ? ? 1 ? 2 . u u ? 4?

(i)若 k ? 1 ,则 f ? ? u ? ? 0 ,从而 f ? u ? 在 ? 0,

? ?

k2 ? ? 上为增函数, 4?
2

2 ? ?k 2? ? k 2 ? ,即 ? 1 ?? 1 ? ? k 2 ? ,所以 ? 1 ? k 2 ? k 2 k 2 ?1 ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 不恒成立. ? ? ? ? ? ? ? f ?u ? ? f ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 k? ?? ?? ? ?? ?? ? k ? ?2 k? ? ?2 k? ?4? 4 4

2

(ii) 若 0 ? k ? 1, 由 f ? ?u ? ? 0 , 得 u ? 1? k 2 , 当u? 0 当u? , 1 ? k 2 时, f ? ?u ? ? 0 ;

?

?

?

1 ? k 2 , ??

?

2 时, f ? ? u ? ? 0 ,所以 f ? u ? 在 0, 1 ? k 2 ? 上递减,在 f ? u ? 在 ? 1 ? k 2 , ?? 上递增,要使 f ? u ? 在 ? 0, k ? ?

?

?

?

?

?

? 4?

k2 2 上恒有 f ? u ? ? f ? k ? ,必有 1 ? k 2 ? , ? ? 4 4 ? ?
4 2 即 k ? 16k ? 16 ? 0 ,解得 0 ? k ? 2

5?2 .
1 (3)当 M= 时,试求出 f(x)的解析式. 2

13.已知二次函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的定义域为[-1,1],且|f(x)|的最大值为 M. 1 (1)试证明|1+b|≤M; (2)试证明 M≥ ; 2

解析:证明:(1)∵M≥|f(-1)|=|1-a+b|,M ≥|f (1)|=|1+a+b|, ∴2M ≥|1-a+b|+|1+a+b|≥|(1-a+b)+(1+a+b)|=2|1+b|,∴|1+b| ≤M. (2)证明:依题意,M ≥|f(-1)|,M ≥|f(0)|,M ≥|f(1)|,又|f(-1)|=|1-a+b|,|f(1)|=|1+a+b|,|f(0)|=|b|, 1 ∴4M ≥|f(-1)|+2|f(0)|+|f(1)|=|1-a+b|+2|b|+|1+a+b|≥|(1-a+b)-2b+(1+a+b)|=2,∴M≥ . 2 1 1 1 1 (3)当 M= 时,|f(0)|=|b|≤ ,- ≤b≤ ① 2 2 2 2 3 1 ②+③得- ≤b≤- ④ 2 2
?-1≤a≤0 ? 1 1 1 由① ④ 得 b=- ,当 b=- 时,分别代入② ③ 得? ? a=0,因此 f(x)=x2- . 2 2 2 ?0≤a≤1 ?

1 1 1 1 同理- ≤1+a+b≤ ② - ≤1-a+b≤ ③ 2 2 2 2


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