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成都市2015-2016学年度上期期末学业质量监测高二数学(文科)word版(含详解)


成都市 2015-2016 学年度上期期末学业质量监测

高二数学(文科)
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)在空间直角坐标系 Oxyz 中,点 M (1,?2,3) 关于 yOz 平面对称的点的坐标是 (A) (?1,?2,3) (B) (1,?2,?3) (C) (?1,2,?3) (D) (1,2,?3)

(2)直线 y ? 3x ? 1 的倾斜角为 (A) 30 ? (B) 45 ? (C) 60 ? (3)在某校举行的演讲比赛中,7 位评委为某同学打出的分数如茎叶图 所示,则这组数据的中位数是 (A)85 (B)83.5 (C)83 (D)84 (4)将两个数 a , b 的值互换,比如 a ? 1, b ? 3 ,互换得 a ? 3, b ? 1 .下 列语句能实现上述操作的是 (D) 135?

7 8 8 3 3 9 1 0

4 5

a?b b?a

c?a
a?b b?c
(B)

b?a a?b

a?c
c?b b?a
(D)

(A)

(C)

?x ? y ? 1 ? (5)设实数 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 z ? 3x ? y 的最小值为 ? y ? ?2 ?
(A) 7 (B) 2 (C) ?6 (6)已知空间中两条不同的直线 m, n 和平面 ? ,下列说法正确的是 (D) ?8

(A)若 m ? n , n ? ? ,则 m // ? (B)若 m // ? , n // ? ,则 m // n (C)若 m ? ? , n ? ? ,则 m // n (D)若 m // n , n // ? ,则 m // ? (7)为了迎接新一轮的课程改革,教育主管部门对某省 600 所高中的“课程建设”进行调 研考评,考评分数在 60 分以上(含 60 分)的授予“课程建设合

[50,60) , [60,70) , [70,80) , 格学校” 称号, 考评结果按 [40,50) , [80,90) , [90,100] 分组得如图所示频率分布直方图,则应授予

“课程建设合格学校”称号的学校个数为 (A)588 (B)480 (C)450 (D)120

(8)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱 柱 ABCD ? A 1B1C1D1 中,若 AA 1 ? 2 AB ,则异面直线

D1 A1 B1

C1

AC , A1B 所成角的余弦值为
(A)

10 10 5 5

(B)

3 10 10 2 5 5
A

D B

C

(C)

(D)

(9)右边的程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前 300 年左右 提出的 “辗转相除法” . 执行该程序框图, 若输入 m ? 1813 ,n ? 333 , 则输出 m 的值为 (A)4 (B) 37 (C) 148 (D)333 (10)在平面直角坐标系中,若 A(2,3) , B(?2, ?3) ,若沿 x 轴把坐 标平面折成 60 ? 的二面角,则 AB 的长为 (A) 41 (C) 5 (B) 34 (D) 4

( 11 )如图,已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 棱长为 2 , P 是底面

ABCD内一动点, 且满足 PC ? PD . 则当点 P 运动时,A1 P 2 的
最小值是 (A) 12 ? 2 2 (B) 12 ? 2 2 (C) 10 ? 2 5 (D) 10 ? 2 5

D1
A1
D
?P

C1
B1

C

(12)要设计一个隧道,在隧道内设双向行驶的公路, 其截面由一个长方形和圆弧构成 (如图所示) . 已知车道 总宽度 BC 为 2 11 m,侧墙 EA 、 FD 高为 2m,弧顶 高 MN 为 5 m.若通行车辆(设为平顶)限高 3.5 m,且 车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要

A

B

0.5 m,则隧道的拱宽 AD 至少应设计为(精确到 0.1 m)
参考数据: 2 ? 1.414 , 3 ? 1.732 . (A)10.4m (B)10.0m (C)8.5m (D)7.6m

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上. (13)某班有男生 30 人,女生 20 人,若用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量 为 10 的样本,则抽取的女生人数为________. (14)若直线 ax ? y ? 2 ? 0 与直线 x ? ay ? 1 ? 0 平行, 则 a ? ________. . (15)某小卖部销售一品牌饮料的日销量 y (瓶)与该日零售价 x (元/瓶)的关系统计如 下表: 该日零售价 x (元 /瓶) 日销量 y (瓶) 若已知 x , 3.0 50 3.2 44 3.4 43 3.6 40 3.8 35 4.0 28

? ?a ? ? ?20 .由此预测,当 ? ? bx ? ,其中 b y 的关系符合线性回归方程 y
?x ? y ? 4 ? 0 , ( x, y) ? A} 表示的平 ?x ? y ? 4 ? 0

某日零售价定为 4.2 元/瓶时,此品牌饮料的当日销售量为________. (16)记集合 A ? {( x, y) | x 2 ? y 2 ? 16} ,集合 B ? {( x, y) | ?

面区域分别为 ?1 , ?2 .若在区域 ?1 内任取一点 P ? x, y ? ,则点 P 恰好在区域 ? 2 内的概率为 ________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (17) (本小题满分 10 分) 在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(1, ?2,3) , B(?1,3, 2) . (Ⅰ)求 AB 的值; (Ⅱ)将一个点 P( x, y, z ) 的坐标 x, y, z 按右图所示的
z ? z ?1

开始

输入 x, y , z

程序框图执行运算后,得到对应点 P 0 ( x0 , y0 , z0 ) .试分

x2 ? y 2 ? z 2 ? 21?
别写出 A, B 两点经此程序框图执行运算后的对应点




A0 , B0 的坐标.

输出 x, y , z

结束

(18) (本小题满分 12 分) 口袋中装有除编号和颜色以外其余完全相同的 5 个小球,其中红球 3 个,编号分别为

5 .现从这 5 个球中同时取出 2 个球. 1, 2,3 ;黑球 2 个,编号分别为 4,
(Ⅰ)求取出的 2 个球颜色相同的概率; (Ⅱ)求取出的 2 个球编号之和大于 5 的概率. (19) (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 A ? BCD 中,平面 ABD ? 平面 BCD ,

A

AB ? BD , CD ? BD , M 为 AD 中点. (Ⅰ) 在平面 ABD 内, 试作出过点 M 与平面 ABC 平行的直线 l ,
并说明理由; (Ⅱ)若 AB ? BD ? CD ? 2 ,求三棱锥 D ? BCM 的体积. (20) (本小题满分 12 分) 已知圆 C 经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,且圆心 C 在直线 l : 3x ? 4 y ? 1 ? 0 上 (Ⅰ)求圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 m 垂直于直线 l ,且与圆 C 相切,求直线 m 的方程.

M

B
C

D

(21) (本小题满分 12 分) 在秋季车展上,为调查市民对某汽车品牌的认可度,从参加车展的市民中,随机抽 取 50 人对该品牌汽车进行评分,统计得到以下频率分布表: 分数 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 2 4 16 8 a b 频率 0.04 0.08 0.32 0.16 (Ⅰ)求样本频率分布表中 a , b 的值,并根据上述频率分布表,在下图中作出样本频 率分布直方图; (Ⅱ)根据(Ⅰ)中频率分布直方图,计算这 50 名市民所评分的平均数 p 和中位数 q ; (Ⅲ)该汽车经销商根据以往的调查经验,只有当调查评分的平均数 p 和中位数 q 满 足 p ? q ? 1 时,这次调查评分所得的数据才是可信的。请问:本次调查评分所得的数据是 否可信? 频率/组距 0.040 0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004 O
50 60 70 80 90 100 成绩/分

22. (本小题满分 12 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,已知两定点 M (1,0) , N (4,0) ,且动点 A 满足 (Ⅰ)求动点 A 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)若过点 M 的直线 l 与曲线 C 交于不同两点 P 、 Q , ①当 PQ ? 14 时,求直线 l 的方程;

AM AN

?

1 . 2

②试问在 x 轴上是否存在点 T (m,0) ,使 PT ? QT 恒为定值?若存在,求出 T 点的坐标 及定值;若不存在,请说明理由.

??? ? ??? ?

成都市 2015-2016 学年度上期期末学业质量监测

高二数学(文科)参考答案及评分意见
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.A; 2.C; 3.D;4.B;5.D;6.C;7.B;8.A;9.B;10.C;11.D;12.A.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 4 ; 14. ?1 ; 15. 26 ; 16.

??2 . 2?

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分) 17.解:(Ⅰ) AB ?

22 ? (?5) 2 ? 12 ? 30 .???????????6 分

(Ⅱ) A0 (1, ?2, 4) ,????????????????8 分

B0 (?1,3, 4) . ????????????????10 分
18. 解: 同时取出 2 个小球, 得到的编号可能为:(1, 2) ,(1,3) ,(1, 4) ,(1,5) ,(2,3) ,(2, 4) ,

(2, 5 ) (3, 4) , (3,5) , (4,5) .共 10 个. ,
(Ⅰ)记“取出的 2 个球颜色相同”为事件 A ,则

P( A) ?

4 2 ? . 10 5 2 . ???????6 分 5

∴取出的 2 个球颜色相同的概率为

(Ⅱ)记“取出的 2 个球编号之和大于 5”为事件 B ,则

P( B) ? 1 ?

4 3 ? . 10 5

3 .????12 分 5 19.解: (Ⅰ)作出 BD 的中点 N ,连接 MN ,则直线 MN 即为所求直线 l . ∵在 ?ABD 中, MN / / AB , MN ? 平面 ABC , AB ? 平面 ABC , ∴ MN / / 平面 ABC .???4 分 (Ⅱ)∵平面 ABD ? 平面 BCD ,平面 ABD ? 平面 BCD ? BD , CD ? 平面 BCD , CD ? BD ,
∴取出的 2 个球编号之和大于 5 的概率为

A

l

M
B

N
C

D

∴ CD ? 平面 ABD .???????????8 分 在 Rt?ABD 中, S?ABD ? ∴ VD ? BCM ? VC ? BDM ?

1 ? 2? 2 ? 2 . 2

1 VC ? ABD 2
??????????12 分

?

1 1 2 ? S ?ABD ? CD ? . 2 3 3

20.解: (Ⅰ)已知 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,所以线段 AB 的中点 D ( , ? ) .

?2 ? 1 ? ?3 , 2 ?1 ∴线段 AB 的垂直平分线 l ? 的方程为 1 1 3 y ? ? ( x ? ) ,即 x ? 3 y ? 3 ? 0 . 2 3 2
直线 AB 的斜率为 k AB ? 由?

3 2

1 2

?x ? 3y ? 3 ? 0 ? x ? ?3 ,得 ? ,即圆心 C (?3, ?2) . ??4 分 ?3x ? 4 y ? 1 ? 0 ? y ? ?2

又 r ? AC ? (1 ? 3)2 ? (1 ? 2)2 ? 5 , ∴圆 C 的标准方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25 . (Ⅱ)由于直线 m 垂直于直线 l , ∴设直线 m 的方程为 l : 4 x ? 3 y ? b ? 0 . ∵直线 m 与圆 C 相切, ∴ ??????6 分

4 ? (?3) ? 3 ? (?2) ? b 42 ? 32

? 5 ,即 b ?18 ? 25 .

解得 b ? ?7 或 b ? 43 . ∴直线 m 的方程为 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 43 ? 0 .????12 分 21.解: (Ⅰ)由 2 ? 4 ? 16 ? a ? 8 ? 50 ,得 a ? 20 . 由

20 ? 0.4 ,得 b ? 0.4 .?????????????????2 分 50
频率/组距 0.040 0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004 O
50 60 70 80 90 100 成绩/分

频率分布直方图如下:

???????????6 分 (Ⅱ)平均数为 p ? 55 ? 0.04 ? 65 ? 0.08 ? 75 ? 0.32 ? 85 ? 0.4 ? 95 ? 0.16 ? 80.6 .?8 分 由于 0.5 ? 0.04 ? 0.08 ? 0.32 ? 0.06 . ∴中位数为 q ? 80 ? 10 ?

0.06 ? 81.5 。?????????????????10 分 0.4

(Ⅲ) 据(Ⅱ)可知 p ? 80.6 , q ? 81.5 ∵ p ? q ? 0.9 ? 1 ∴本次调查评分所得的数据可信。 22.解: (Ⅰ)设动点 A( x, y) .

( x ? 1) 2 ? y 2 1 1 由 ? . ? ,得 AN 2 ( x ? 4) 2 ? y 2 2

AM

化简得, x ? y ? 4 . ??????????????????? 3 分
2 2

(Ⅱ)①当直线 l 与 x 轴垂直时, P(1, 3) , Q(1, ? 3) ,此时 PQ ? 2 3 ,不符合 题意. ??????????????4 分

当直线 l 与 x 轴不垂直时,设其斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 由于 PQ ? 14 ,所以圆心 C 到直线 l 的距离为 d ? 4 ? ( 由
| ?k | k ?1
2

14 2 2 ) ? . 2 2

?

2 ,解得 k ? ?1 . 2

故直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .??????????6 分 ②当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 由?

? x2 ? y2 ? 4 ? y ? k ( x ? 1)

,消去 y ,得 (1 ? k 2 ) x2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 .
k2 ? 4 2k 2 , x1 x2 ? 2 . 2 k ?1 k ?1

设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?
??? ? ??? ?

又 PT ? (m ? x1 , ? y1 ) , QT ? (m ? x2 , ? y2 ) . 则 PT ? QT ? (m ? x1 )(m ? x2 ) ? y1 y2 ? m2 ? m( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? y1 y2
? m2 ? m( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

??? ? ??? ?

? m2 ?

2mk 2 k 2 ? 4 2 k 2 ? 4 2k 2 ? ?k ( 2 ? ? 1) k 2 ?1 k 2 ?1 k ?1 k 2 ?1

?

(m2 ? 2m ? 2)k 2 ? m2 ? 4 . k 2 ?1

????????????9 分

m2 ? 2m ? 2 ? 1 ,解得 m ? 1 , m2 ? 4 ??? ? ??? ? 此时 T (1, 0) , PT ? QT 为定值 ?3 . ?????????11 分

要使上式为定值须

当直线 l 的斜率不存在时, P(1, 3) , Q(1, ? 3) . 由 T (1, 0) 可得 PT ? (0, ? 3) , QT ? (0, ? 3) . ∴ PT ? QT ? ?3 . 综上所述,当 T 点的坐标为 (1, 0) 时, PT ? QT 为定值 ?3 .????????12 分
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?


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