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高中数学人教B版必修3课件:2.1.2 系统抽样


2.1.2 系统抽样

1.正确理解系统抽样的概念. 2.掌握系统抽样的一般步骤. 3.正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系.

1.系统抽样 当总体元素个数很大时,样本容量就不宜太小,采用简单随机抽 样,就显得费事.这时,可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先 制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽 样的方法叫做系统抽样,也叫等距抽样.

名师点拨系统抽样与简单随机抽样的联系在于:将总体均分后的每 一部分进行抽样时,采用的是简单随机抽样.当总体元素个数较少 时,常采用简单随机抽样,当总体中元素个数较多时,常采用系统抽 样.

【做一做】 下列抽样试验中,最适宜用系统抽样法的是 ( ) A.某市的 4 个区共有 2 000 名学生,4 个区的学生人数之比为 3∶ 2∶8∶7,从中抽取 200 人作为样本 B.从某厂生产的 2 000 个电子元件中随机抽取 5 个作为样本 C.从某厂生产的 2 000 个电子元件中随机抽取 200 个作为样本 D.从某厂生产的 20 个电子元件中随机抽取 5 个作为样本 解析:根据系统抽样的定义和特点进行判断.选项 A,总体中的个 体有明显的不同,不适宜用系统抽样;选项 B,样本容量太小,适宜用 随机数表法;选项 D,总体容量很小,适宜用抽签法,所以应选 C. 答案:C

2.系统抽样的步骤 一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为

为整数

的样本, 系统抽样的步骤为: (1)编号(有时可直接使用个体自身所带的号码,如学号、准考证 号、门牌号等); (2)分段:对编号进行分段,要保证“等距”分段; (3)确定起始编号:在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编 号; (4)按事先指定的规则抽取样本,通常将编号为起始号码+k×分 段间隔的个体抽出(k=0,1,…,n-1).

1.系统抽样的操作要领 剖析:系统抽样操作的要领是先将个体数较多的总体分成均衡 的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分中抽取一个个体, 得到所需样本.由于抽样的间隔相等,因此系统抽样中必须对总体中 的个体进行合理(即等距)分段. 若从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,系统抽样时,应先 将总体中的各个个体编号,再确定分段间隔 k,以便对总体进行分段. 当 是整数时,取 k= 间隔 k=
100 20



为分段间隔即可,如

N=100,n=20,则分段

= 5.

当 不是整数时,应先从总体中随机剔除一些个体,使剩余个体 数 N'能被 n 整除,这时分段间隔 k= , 如N=101,n=20,则应先在总体 中剔除一个个体,使剩余的总体容量(即 100)能被 20 整除,从而得分 段间隔 k= 20 = 5. 一般地,用简单随机抽样从总体中剔除部分个体,其个数为总体 中的个体数除以样本容量所得的余数.
100 '



上述过程中,总体中的每个个体被取出(或被剔除)的可能性相等, 也就是每个个体不被选取(或不被剔除)的可能性也相等,所以在整 个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍然都相等,这说明使用系统 抽样抽取样本的过程是公平的.

题型一

题型二

题型三

题型四

系统抽样的概念

【例 1】 下列抽样中不是系统抽样的是( ) A.从标有 1~150 号的 150 个球中,任选三个作样本,按从小号到 大号排序,随机选起点 i0(1≤i0≤50),以后选 i0+50,i0+100 号入选 B.工厂生产的产品,用传送带将产品送入包装车间前,检验人员 从传送带上每隔 5 min 抽一件产品进行检验 C.进行某一市场调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询问 调查,直到调查到事先规定的调查人数为止 D.在报告厅对与会听众进行调查,通知每排(每排人数相等)座 位号为 14 的观众留下来座谈

题型一

题型二

题型三

题型四

解析:选项C不是系统抽样,因事先不知道总体,抽样方法不能保证 每个个体等可能入选,其余3个间隔都相同,符合系统抽样的特征. 答案:C

题型一

题型二

题型三

题型四

反思在系统抽样中,抽样的间隔相同,因此系统抽样也称作等距抽 样.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 1】 关于“系统抽样”下列叙述正确的是 ( ) A.当总体容量不能被样本容量整除时,每个个体被抽到的机会 是不均等的 B.比简单随机抽样要方便得多 C.将总体分成均衡的若干部分后,用简单随机抽样从每一部分 抽取一个个体 D.常用来解决总体容量与样本容量均较大且分布均匀的抽样 解析:系统抽样中,每个个体被抽取的可能性相等,因此 A 错误; 在总体容量与样本容量均比较小时,采用抽签法比较方便,因此选项 B 错误;在采用系统抽样时,只有在第 1 段抽样时,采用简单随机抽样, 以后的编号的确定是由抽样间隔决定的,因此选项 C 错误.故 D 正确. 答案:D

题型一

题型二

题型三

题型四

系统抽样的方案设计

【例 2】 某工厂有 1 001 名工人,从中抽取 10 人参加体检,试写出系 统抽样的具体实施步骤. 分析:由于总体容量不能被样本容量整除,需先剔除 1 名工人,使 得总体容量能被样本容量整除,取 k= 10 = 100, 再利用系统抽样的方法进行. 解:(1)将每名工人编号 0001 至 1001; (2)利用随机数表法找到 1 个号将这个号所对应的工人剔除; (3)将剩余的 1 000 名工人重新编号 1 至 1000; (4)分段,取间隔 k= 名工人;
1 000 10 1 000

= 100, 将总体均分为10 组,每组含 100

题型一

题型二

题型三

题型四

(5)从第一段即1号到100号中随机抽取一个号l; (6)按编号将l,100+l,200+l,…,900+l共10个号选出. 这10个号所对应的工人即组成一个样本.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思当总体容量不能被样本容量整除时,可以先从总体中随机地剔 除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 2】 为了了解某大学一年级新生英语学习的情况, 拟从该大学一年级 503 名学生中抽取 50 名作为样本.如何采用系统 抽样的方法完成这一抽样? 解:第一步,将 503 名学生用随机方式编号为 1,2,3,…,503; 第二步,用简单随机抽样法剔除 3 个个体,这样剩下 500 名学生, 对剩下的 500 名学生重新编号,分别是 1,2,3,…,500; 第三步,确定分段间隔 k,k= 一部分包括 10 个个体,这时,第 1 部分的个体编号为 1,2,…,10;第 2 部分的个体编号为 11,12,…,20;依此类推,第 50 部分的个体编号为 491,492,…,500.
500 50

= 10, 将总体分为50 个部分,每

题型一

题型二

题型三

题型四

第四步,在第1部分用简单随机抽样确定起始的个体编号,例如是 5. 第五步,依次在第2部分,第3部分,…,第50部分取出号码为 15,25,…,495的个体,这样得到一个容量为50的样本.

题型一

题型二

题型三

题型四

系统抽样中的数值计算问题 【例3】 (1)为了了解1 200名学生对学校某项教学实验的意见,打 算从中抽取一个容量为30的样本,考虑采用系统抽样的方法,则抽 样距k为( ) A.40 B.30 C.20 D.12

题型一

题型二

题型三

题型四

(2)某单位有 840 名职工,现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷 调查,将 840 人按 1,2,…,840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区 间[481,720]的人数为( ) A.11 B.12 C.13 D.14 解析:(1)由已知得总体容量 N=1 200,样本容量 n=30,因此应将 总体分为 30
1 200 组,每组中含有个体数为 30

= 40, 即抽样距k=40.

题型一

题型二

题型三

题型四

(2)抽样间隔为 42 = 20. 设在 1,2,…,20 中抽取的号码为 x0(x0∈[1,20]),在[481,720]之间 抽取的号码记为 20k+x0,则 481≤20k+x0≤720,k∈N+. 即 24
1 ≤k+ 0 ≤36. 20 20

840

0 1 ∵ ∈ ,1 , 20 20

题型一

题型二

题型三

题型四

∴k=24,25,26,…,35, ∴k值共有35-24+1=12(个),
即所求人数为12.故选B. 答案:(1)A (2)B

题型一

题型二

题型三

题型四

反思解决系统抽样中的数值计算问题时,核心是抓住系统抽样的定 义,理解好“分组数”“抽样间距”等概念.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练3】 某单位有200名职工,现要从中抽取40名职工做 某项调查,用系统抽样法,将全体职工随机按1~200编号,并按编号顺 序平均分为40组(1~5号,6~10号,…,196~200号).若第5组抽出的号码 为22,则第8组抽出的号码为 . 解析:由系统抽样的知识可知,将总体分成均等的若干部分是将 总体分段,且分段间隔为5.因为第5组抽出的号码为22,所以第6组抽 出的号码为27,第7组抽出的号码为32,第8组抽出的号码为37. 答案:37

题型一

题型二

题型三

题型四

易错辨析 易错点:系统抽样特点理解不准确致错 【例 4】 从容量为 111 的总体中抽取容量为 10 的样本,每个个 体入样的可能性为多少?若采用系统抽样的方法抽样,则抽样间隔 k 是多少? 错解 1:采用系统抽样的方法,先将个体编号:001,002,…,111,然 后确定抽样间隔为 个个体,在第一段内,将编号为 001,002,…,011 的这 11 个个体采用简 单随机抽样的方法抽取一个个体的可能性是 11 , 故每个个体入样的可能性是 11 , 抽样间隔k=11.
1 1

= ([x]指不大于 x 的整数),即 k=11,每段 11

题型一

题型二

题型三

题型四

错解 2:由系统抽样的概念可知,每个个体入样的可能性均为 , 故每个个体入样的可能性是 111 . 抽样间隔k= = 10 = 11.1. 错因分析:对个体入样的可能性与 的理解不准确.
10 111



正解:由系统抽样的概念可知,每个个体入样的可能性均为 , 故每个个体入样的可能性是 故k=11.
10 . 抽样间隔k= 111



=

111 10

= 11,


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