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【状元之路】高中数学 抛物线及其标准方程课件 新人教A版选修2-1_图文

第二章 圆锥曲线与方程 2. 4 抛物线 课时作业(18) 抛物线及其标准方程 ①经历从具体情境中抽象出抛物 作业 线模型的过程,掌握抛物线的定 目标 义、几何图形和标准方程;②会求 简单的抛物线方程. 作业 设计 限时:40 分钟 满分:90 分 一、选择题:每小题 5 分,共 30 分. x2 y2 1. 以双曲线16- 9 =1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程 为( ) A.y2=16x C.y2=-20x B.y2=12x D.y2=20x 解析:由已知抛物线的焦点为(4,0),则设抛物线的标准方程 p 为 y =2px(p>0).∴2=4,p=8. 2 ∴所求方程为 y2=16x. 答案:A 2.已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两 点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( 3 A.4 5 C.4 B.1 7 D.4 ) 1 解析: 如图, 由题意知直线 l: x=-4为抛物线 y2=x 的准线, 由抛物线定义知|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=3,则 AB 的中点 C 到 3 1 5 y 轴的距离为2-4=4. 答案:C 3.以抛物线 y2=-8x 的焦点为圆心,且和抛物线准线相切 的圆的方程为( ) B.x2+(y-2)2=4 D.x2+(y+2)2=16 A.(x-2)2+y2=8 C.(x+2)2+y2=16 解析:抛物线 y2=-8x 的焦点为(-2,0),准线方程为 x=2, 则圆的半径 r=4. 故所求圆的方程为(x+2)2+y2=16. 答案:C 4.抛物线 y=ax2 的准线方程是 y-2=0,则 a 的值是( 1 A.8 C .8 1 B.-8 D.-8 ) 1 解析:抛物线方程 y=ax 化为标准形式为 x =ay,其准线方 2 2 1 1 程为 y=- =2,所以 a=- . 4a 8 答案:B 5.抛物线 y2=mx 的准线与直线 x=1 的距离为 3,则此抛物 线的方程为( ) A.y2=-16x B.y2=8x C.y2=16x 或 y2=-8x D.y2=-16x 或 y2=8x m 解析:抛物线的准线方程为 x=- 4 , m 则|1+ |=3,m=8 或-16. 4 ∴所求抛物线方程为 y2=8x 或 y2=-16x.故选 D. 答案:D 6.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 ( ) A.2 11 C. 5 B.3 37 D. 16 解析:如图所示,动点 P 到 l2:x=-1 的距离可转化为|PF|, |4+6| 由图可知,距离和的最小值即 F 到直线 l1 的距离 d= 2 4 +?-3?2 =2. 答案:A 二、填空题:每小题 5 分,共 15 分. 7.已知动点 P 到定点(2,0)的距离和它到定直线 l:x=-2 的距离相等, 则点 P 的轨迹方程为__________________________. 解析:由条件可知 P 点的轨迹为抛物线,其焦点为(2,0),准 p 线方程为 x=-2,所以2=2,p=4,轨迹方程为 y2=2px=8x. 答案:y2=8x 8.已知点 A(0,-2),直线 l:y=2,则过点 A 且与 l 相切 的圆的圆心的轨迹方程为__________. 解析:设圆心为 C,则|CA|=d,其中 d 为点 C 到直线 l 的距 离,所以 C 的轨迹是以 A 为焦点,l 为准线的抛物线.所以所求 轨迹方程为 x2=-8y. 答案:x2=-8y 9.设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离为 _______________________________________________________ _________________. p 解析:如图所示,由已知得 B 点的纵坐标为 1,横坐标为4, 即 ?p ? B?4,1?,将其代入 y2=2px(p>0)得 ? ? p 1=2p×4,解得 p= 2, p p 3 3 2 则 B 点到抛物线准线的距离为2+4=4p= 4 . 3 2 答案: 4 三、解答题:每小题 15 分,共 45 分. 10.抛物线的焦点是双曲线 4x2-9y2=36 的左顶点,求抛物 线的标准方程. 2 2 x y 解:双曲线方程 4x2-9y2=36 可化为 9 - 4 =1,左顶点坐标 p 是(-3,0), 根据题意设抛物线方程为 y =-2px(p>0)且-2=-3, 2 解得 p=6,所以抛物线标准方程为 y2=-12x. 11.已知点 P 到 F(4,0)的距离和到直线 x=-5 的距离相等, 求点 P 的轨迹方程. 解:设点 P(x,y),则|PF|= ?x-4?2+y2, 点 P 到直线 x=-5 的距离为 d=|x+5|. 由题意知|PF|=d, ∴ ?x-4?2+y2=|x+5|, 化简整理得 y2=18x+9. ∴点 P 的轨迹方程为 y2=18x+9. 12.已知抛物线 x2=4y,定点 A(12,39),点 P 是此抛物线上 的一动点,F 是该抛物线的焦点,求|PA|+|PF|的最小值. 解:将 x=12 代入 x2=4y,得 y=36<39. ∴点 A(12,39)在抛物线内部,抛物线的焦点为(0,1),准线 l 为 y=-1. 过 P 作 PB⊥l 于点 B, 则|PA|+|PF|=|PA|+|PB|, 由图可知,当 P,A,B 三点共线时,|PA|+|PB|最小. ∴|PA|+|PB|的最小值为|AB|=39+1=40. 故|PA|+|PF|的最小值为 40.