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高二数学 教案19 圆锥曲线期末复习


江西乐安一中高二数学教案:19 圆锥曲线期末复习
【同步教育信息】 一. 本周教学内容: 圆锥曲线期末复习 二. 重点、难点: 1. 定直线 l , A 为直线 l 外一定点,动点 P 到 A 的距离与 P 到直线 l 的距离之比为常数

e:
(1) e ? ( 0 , 1 ) 时,轨迹为椭圆 (2) e ? 1 时,轨迹为双曲线 (3) e ? ( 1 , ? ? ) 时,轨迹为抛物线 2. 圆锥曲线 C ,离心率为 e , A 为 C 内一定点, F 为焦点, l 为相应准线。 则: PA ?

1 d PF e

? PA ? d ( p , l )
≥ d( A , l ) 3. 直线 l 的斜率为 k ( ? 0 ) (1) l 与抛物线 y ? 2 px
2

相切

l : y ? kx ?
(2) l 与双曲线

p 2k

x2 y2 ? ? 1 相切 a2 b2

l : y ? kx ? a 2 k 2 ? b 2

x2 y2 (3) l 与椭圆 2 ? 2 ? 1 a b

相切

l : y ? kx ? a 2 k 2 ? b 2
4. P ( x0 , y0 ) 为圆锥曲线 C 上一点,过 P 作直线 l 与 C 相切。 (1) C :

x2 y2 ? ?1 a2 b2

∴ l:

x0 x y 0 y ? 2 ?1 a2 b

-1-

(2) C :

x2 y2 ? ?1 a2 b2

∴ l:

x0 x y 0 y ? 2 ?1 a2 b

(3) C : y 2 ? 2 px

∴ l : y0 y ? p( x ? x0 )

三. 重点、难点解析: 1. P 、 Q 为椭圆 求证: OP
2

1 x2 y2 kOQ ? ? ? ? 1 上两点, O 为原点 kOP . 4 16 4
2

? OQ

? 20

解: P( 4 cos? , 2 sin ? ) Q( 4 cos ? , 2 sin ? )

1 K OP . K OQ ? ? 4


4 sin ? sin ? 1 ?? 16 cos? cos ? 4

∴ cos? cos ? ? sin ?c sin ? ? 0 即 cos( ? ? ? ) ? 0 ∴ ? ? ? ? 2k? ?

?
2

OP ? OQ

2

2

? 16 ( cos 2 ? ? cos 2 ? ) ? 4 ( sin 2 ? ? sin 2 ? ) ? 20

x2 y2 2. 椭圆 2 ? 2 ? 1( a > b > 0 )与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 P 、Q ,且 OP ? OQ( O 为 a b
原点) (1)求证:

1 1 ? 2 为2值 2 a b

(2)若 e ? ?

? 3 2? , ? ,求:长轴的取值范围。 2 ? ? 3

? x2 y2 ? ?1 ? 解: ? a 2 b 2 ? ( a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 ( 1 ? b 2 ) ? 0 ? x ? y ?1 ? 0 ?
? >0
∴ a ? b >1
2 2

-2-

? 2a 2 x ? x ? 2 ? ? 1 a2 ? b2 ? 2 2 ? x .x ? a ( 1 ? b ) 1 2 ? a2 ? b2 ?
∴ a ? b ? 2a b
2 2 2 2

OP ? OQ x1 x2 ? y1 y 2 ? 0


1 1 ? 2 ?2 2 a b
2 2 2 2

② e?

c a

∴ b ? a ?a e

∴ 2 ? e 2 ? 2a 2 ( 1 ? e 2 ) ∴ a ?
2

1 1 ? 2 2( 1 ? e 2 )

? 3 2? e?? , ? 2 ? ? 3

∴ 2a ? 3. P 为双曲线 求: S ?F1PF2

?

5, 6

?

x2 y2 ? ? 1 上一点(异于顶点) ? F1 PF2 ? ? a2 b2

. ? 4a 2 解: PF 1 ? PF 2 ? 2PF 1 PF 2
2 2

PF1 ? PF2 ? 2PF1 . PF2 . cos? ? 4c 2
2 2

相减 ∴ 2PF1

.PF2 . ( 1 ? cos? ) ? 4c 2 ? 4a 2 ? 4b 2

PF2 ? ∴ PF1.
∴ S ?F1PF2 ? 4. 双曲线上

2b 2 1 ? cos?

1 . . . ? PF1 PF2 sin ? ? b 2 cot 2 2

x2 y2 ? ? 1 的右顶点为 A , P 为双曲线上一点(异于顶点)过 A 作渐近线的 a2 b2
y
F E A P

平行线交 OP 于 E 、 F 。

x

-3-

(1)求证: OP

2

? OE . OF

(2)双曲线是否存在一点 P 使 S ?AEF ? 解: A ( a , 0 ) ∴ lOP

ab 4

P ( x0 , y 0 )
y0 . x x0

y?

b ( x?a ) a b l AF : y ? ? ( x ? a ) a

l AE : y ?

∴ E(

abx0 aby0 , ) bx0 ? ay0 bx0 ? ay0
2

F(
a 2 b 2 x0

abx0 aby0 , ) bx0 ? ay0 bx0 ? ay0
2 2

OE . OF ? ( 1 ? K 2 )

b x0 ? a y 0
2 2

? ( 1 ? K 2 ) x0 ? OP
2

2

EF ? 1 ? K x E ? x F ?
2

2 y0

x0 ? y 0 b

2

2 2 2 2 y0 .x0 ? y0 . ay0 ay0 1. ab S? ? ? ? 2 2 2 b b 4 x0 ? y 0

∴ 四点( ?

b 5 a,? ) 2 2

2 5. 求证:抛物线 y ? 2 px ( p > 0 )的两弦平行的充要条件是两弦中点的连线斜率为 0 。

证:设 A ( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) C ( x3 , y3 ) D ( x4 , y4 ) 在抛物线上

AB 中点 M (

x ? x4 y3 ? y 4 x1 ? x2 y1 ? y 2 , ) N( 3 , ) 2 2 2 2

(1)若 AB ? x 轴显然成立。 (2) AB 、 CD 均不垂直于 x 轴。

?已知 K MN ? 0

y1 ? 2 px1 y1 ? 2 px2
2

2

y1 ? y 2 2p ? x1 ? x2 y1 ? y 2 y3 ? y 4 2p ? x3 ? x 4 y3 ? y 4

同上
-4-

K MN ? 0



y1 ? y 2 y3 ? y 4 ? 2 2

∴ K AB ? K CD

?若 K AD ? KCD ? y1 ? y2 ? y3 ? y4 ? yM ? y N ? K MN ? 0
6. 抛物线 y 2 ? 2 px ( p > 0 )的焦点 F ,过 F 的弦 AB 长为 m , O 为原点,求: S ?OAB (1) AB 斜率不存在 (2) AB 斜率存在

m ? 2p
设为 k

S? ?

1 2 p 2

p ? ?y ? k( x ? ) 2 ? ? y 2 ? 2 px ?
m ? x1 ? x2 ? p

k 2 x 2 ? ( k 2 ? 2 ) px ?

k 2 p2 ?0 4

? m?

k 2 ? 1. 2p k2

pk 1 1 2p 1 2 S? ? . m. ? . m. p. ? p 2 pm 2 2 4 m 4 1? k
综上所述 S ? ?

1 p 2 pm 4

【模拟试题】 一. 解答题: 1. A ( 4 , 0 ) 、 B ( 2 , 2 ) M 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 上动点。 25 9

M B A

求: MA ? MB 的最值。

2. 过椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左焦点 F 作直线 l 交椭圆于 P 、 Q , F2 为右焦点。 4 3

求: PF2 . QF2 的最值

-5-

二. 选择题: 1. 离心率为 2 是双曲线为等轴双曲线的( )

A. 充非必 B. 必非充 C. 充要 D. 非充非必 2. 下列双曲线中,既有相同的离心率,又有相同渐近线的是( A.



x2 x2 y2 ? y2 ? 1和 ? ? ?1 3 3 9
2

B.

x2 x2 ? y2 ? 1和 ? ? y2 ? 1 3 3

x2 y2 2 ? 1和 x ? ?1 C. y ? 3 3
3. 过 P( 4 , 4 ) 且与双曲线 A. 1 条 B. 2 条

x2 x2 y2 2 ? y ? 1和 ? ?1 D. 3 9 3


x2 y2 ? ? 1 只有一个公共点的直线有( 16 9
C. 3 条 D. 4 条

4. 过双曲线的一个焦点 F1 且垂直于实轴的弦 PQ ,而 F2 为另一个焦点,若 ?PF2 Q ? 则e ?( A. 2 2 ) B.

?
2



2 ?1

C.

2

D.

2 ?1


5. 双曲线的两条准线把连结两个焦点的线段分成 1 : 2 : 1 则双曲线的离心率为( A.

2

B.

3

C. 2

D. 3

6. 连接双曲线

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 的四个顶点的四边形面积为 S1 ,连接四个焦点 和 a2 b2 b2 a2

的四边形面积为 S 2 ,则 A. 2 B. 4

S1 的最大值为( S2
C.



1 2

D.

1 4

7. 抛物线 y ? 2 px2 ( p > 0 )上一点 M 到焦点 F 的距离为

1 ,则该点纵坐标为( p



A.

7 8p

B.

1 p

C.

p 2

D.

1 8p

2 y1 ) B( x2 , y2 ) 关 于 直 线 y ? x ? m 对 称 , 则 8. 若 抛 物 线 y ? 2 x 上 两 点 A( x1 ,

1 x1. x 2 ? ? ,则 m =( 2 3 A. B. 2 2

) C.

5 2

D. 3

-6-

9. 过抛物线的焦点 F 的直线与抛物线相交于 A 、 B 两点,若 A 、 B 在抛物线准线上的射 点为 A? 、 B ? ,则 ?A?FB ? ? ( ) A. 45 ? B. 60 ? C. 75 ? D. 90 ? 10. 已 知 抛 物 线 y 2 ? 2 x 的 焦 点 为 F , 定 点 A( 3 , 2 ) 在 y 2 ? 2 x 上 取 动 点 P , 则

PA ? PF 有最小值时, P 点坐标为(
A. ( ? 2 , 2 ) B. ( 1 ,



2 ) C. ( 2 , 2 ) D. ( 1 , ? 2 )

11. 抛物线 y ? x 2 上有 A 、B 、C 三点横坐标依次为 ? 1 ,2 ,3 在 y 轴一点 D 纵坐标为 6 , 则四边形 ABCD 为( ) A. 正方形 B. 菱形

C. 平行四边形
2

D. 任意四边形 )

12. 等边 ?ABC 内接于抛物线 y ? 2 x , A( 0 , 0 ) ,则 S ?ABC ? ( A. 3 B. 3 3 C. 12 3 D. 无法判断

-7-

【试题答案】 一. 解答题: 1.

M B A' A

解: A 为右焦点 M 在椭圆上 ∴ MA ? MB

? 2a ? MA? ? MB ? 2a ? ( MB ? MA? )

MB ? MA? ? ? ? A?B , A?B

?

∴ MA ? MB ? [ 10 ? 2 10 , 10 ? 2 10 ] 2. 解:直线 l : ?

cos? ? x ? ?1 ? t. ? 为参数 sin ? ? y ? 0 ? t.

P 、 Q 为 l 与椭圆交点



( ? 1 ? tan? ) 2 ( t. sin ? ) 2 ? ?1 4 3

∴ t1 ? t 2 ?

6 cos ? ?9 t1. t2 ? 2 4 ? cos ? 4 ? cos 2 ? z ? PF2 . QF2 ? ( 4 ? PF1 )( 4 ? QF1 ) ? 16 ? 4 ( PF ? QF ) ? PF . QF
1 1 1 1

? 16 ? 4 t1 ? t 2 ? t1 .t 2 12 9 39 ? 16 ? 4. ? ? 16 ? 2 2 4 ? cos ? 4 ? cos ? 4 ? cos2 ?
2 2 ∴ cos ? ? 1 时 z min ? 3 cos ? ? 0 时 z max ?

25 4

二. 选择题: 1. C 2. D 7. A 8. A

3. D 9. D

4. B 10. C

5. A 11. C

6. C 12. C

-8-


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