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《几何证明选讲》知识点归纳与练习(内含答案)


一、相似三角形的判定及有关性质
平行线等分线段定理 平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么在其他直线上截 得的线段也相等。 推理 1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理 2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。 平分线分线段成比例定理 平分线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定: 定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值 叫做相似比(或相似系数) 。 由于从定义出发判断两个三角形是否相似,需考虑 6 个元素,即三组对应角是否分别相等, 三组对应边是否分别成比例, 显然比较麻烦。 所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形 相似的简单方法: (1)两角对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; (3)三边对应成比例,两三角形相似。 预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形 与三角形相似。 判定定理 1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应 相等,那么这两个三角形相似。简述为:两角对应相等,两三角形相似。 判定定理 2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比 例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角 形相似。 判定定理 3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应 成比例,那么这两个三角形相似。简述为:三边对应成比例,两三角形相似。 引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条 直线平行于三角形的第三边。 定理: (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似; (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似。 定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比 例,那么这两个直角三角形相似。 相似三角形的性质: (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比; (2)相似三角形周长的比等于相似比; (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方。 直角三角形的射影定理

1

射影定理: 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项; 两直角边分别是它 们在斜边上射影与斜边的比例中项。

二、直线和圆的位置关系
圆周定理 圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。 圆内接四边形的性质与判定定理 定理 1:圆的内接四边形的对角互补。 定理 2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。 圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 弦切角的性质 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 与圆有关的比例线段 相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理: 从园外一点引圆的两条割线, 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相 等。 切割线定理: 从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项。 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。

数学选修 4-1《几何证明选讲》综合复习题
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作 圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =( ) A. 15 ? B. 30 ? C. 45 ? D. 60 ? 【解析】由弦切角定理得 ?DCA ? ?B ? 60? ,又 AD ? l ,故 ?DAC ? 30? , 第 1 题图 故选B.

2

2.在 Rt ?ABC 中, CD 、CE 分别是斜边 AB 上的高和中线,是该图中共有 x 个三角 形与 ?ABC 相似,则 x ? ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】2 个: ?ACD 和 ?CBD ,故选 C. 3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为 12 cm 和 18 cm 两段,另一弦被分为 3: 8 ,则另 一弦的长为( ) 66cm A. 11cm B. 33cm C. D. 99cm 【 解 析 】 设 另 一 弦 被 分 的 两 段 长 分 别 为 3k ,8k (k ? 0) , 由 相 交 弦 定 理 得 3k ? 8k ? 1 2 ? 1, 8 解得 k ? 3 ,故所求弦长为 3k ? 8k ? 11k ? 33 cm .故选 B. A AB BC AC 5 ? DBE ? ABC ? ABC ? ? ? ,若 4.如图,在 和 中, 与 DB BE DE 3 D B ?DBE 的周长之差为 10cm ,则 ?ABC 的周长为( C ) 25 50 E A. 20 cm B. C. D.25 cm cm cm 第 4 题图 4 3 【解析】利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案 D. 5. ? O 的 割 线 PAB 交 ? O 于 A, B 两 点 , 割 线 P C D经 过 圆 心 , 已 知 22 PA ? 6, PO ? 12, AB ? ,则 ? O 的半径为( ) 3 A.4 B. 6 ? 14 C. 6 ? 14 D.8 22 【解析】 设 ? O 半径为 r ,由割线定理有 6 ? (6 ? ) ? (12 ? r )(12 ? r ) ,解得 r ? 8 .故 3 选 D. 6.如图, AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上, CD ? AB 于点 D , 且 AD ? 3DB ,设 ?COD ? ? ,则 tan 2 A.
1 3

?
2

=(

)
第 6 题图

B.

1 4

C. 4 ? 2 3

D. 3

【解析】设半径为 r ,则 AD ?

??

?
3

,故 tan 2

?

3 1 3 r , BD ? r ,由 CD2 ? AD ? BD 得 CD ? r ,从而 2 2 2

1 ? ,选 A. 2 3

7. 在 ?ABC 中 , D, E 分别为 AB, AC 上的点 , 且 DE // BC , ?ADE 的面积是 2cm 2 , 梯形 DBCE 的面积为 6cm 2 ,则 DE : BC 的值为( )

A. 1: 3 B. 1 : 2 C. 1 : 3 D. 1 : 4 【解析】 ?ADE ? ?ABC ,利用面积比等于相似比的平方可得答案 B. 8.半径分别为 1 和 2 的两圆外切,作半径为 3 的圆与这两圆均相切,一共可作 ( )个. A.2 B.3 C.4 D.5
3

【解析】 一共可作 5 个,其中均外切的 2 个,均内切的 1 个,一外切一内切的 2 个, 故选 D. 9.如图甲,四边形 ABCD 是等腰梯形, AB // CD .由 4 个这样的 等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形, 则四边形 ABCD 中 ? A 度数为 ( )
第 9 题图 A. 30 ? B. 45 ? C. 60 ? D. 75 ? 【解析】 6?A ? 360? ,从而 ?A ? 60? ,选 A. 10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠 压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑 直径为 10mm,若所用钢珠的直径为 26 mm,则凹坑深度为( ) A.1mm B.2 mm C.3mm D.4 mm 2 2 2 【解析】依题意得 OA ? AM ? OM ,从而 OM ? 12mm , 故 CM ? 13 ? 12 ? 1mm ,选 A. 第 10 题图 ??? ? 2 ??? ? 1 ???? ???? 2 ??? ? ? 1 ??? 11.如图,设 P, Q 为 ?ABC 内的两点,且 AP ? AB ? AC , AQ = AB + AC , 5 5 3 4

则 ?ABP 的面积与 ?ABQ 的面积之比为(
1 A. 5

C

)
Q P A B

4 1 1 B. C. D. 5 4 3 ??? ? ???? ? ???? ???? ? 2 ??? ? ???? 1 ???? 【解析】如图,设 AM ? AB , AN ? AC ,则 AP ? AM ? AN . 5 5 ???? 1 ?ABP AN ? ???? = , 由平行四边形法则知 NP // AB ,所以 5 ?ABC AC

第 11 题图
C

Q N P M B

同理可得

?ABQ 1 ?ABP 4 ? .故 ? ,选 B. ?ABC 4 ?ABQ 5

A

12.如图,用与底面成 30 ? 角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的 离心率为 ( ) A.
1 2

B.

3 3

C.

3 2

D.非上述结论
第 12 题图

【解析】 用平面截圆柱,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径,弄清了这一概念, 1 考虑椭圆所在平面与底面成 30 ? 角,则离心率 e ? sin 30? ? .故选 A. 2 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 13. 一平面截球面产生的截面形状是 _______; 它截圆柱面所产生的截面形状是 ________ 【解析】圆;圆或椭圆. 14.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠C=720,⊙O 过 A、B 两点且 与 BC 相切于点 B,与 AC 交于点 D,连结 BD,若 BC= 5 ? 1 , 则 AC=
O?

A

D 4 B C

第 1 题图

【解析】由已知得 BD ? AD ? BC , BC 2 ? CD ? AC ? ( AC ? BC)?AC , 解得 AC ? 2 . 15.如图, AB 为 ? O 的直径,弦 AC 、 BD 交于点 P , 若 AB ? 3, CD ? 1 ,则 sin ?APD = AD 【解析】连结 AD ,则 sin ?APD ? ,又 ?CDP ? ?BAP , AP 第 15 题图 PD CD 1 ? ? , 从而 cos ?APD PA BA 3 30 1 2 2 2 所以 sin ?APD ? 1 ? ( ) ? . 135 3 3 180 16.如图为一物体的轴截面图,则图中 R 的值 第 16 题图 是 30 【解析】由图可得 R 2 ? ( ) 2 ? (180 ? 135 ? R) 2 ,解得 R ? 25 . 2 三、 解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17.(本小题满分 12 分) 如图: EB, EC 是 ? O 的两条切线, B, C 是切点, A, D 是 ? O 上两点,如果 ?E ? 46?, ?DCF ? 32? ,试求 ? A 的度数. 【解析】连结 OB, OC , AC ,根据弦切角定理,可得 1 ?A ? ?BAC ? ?CAD ? (180? ? ?E ) ? ?DCF ? 67? ? 32? ? 99? . 第 17 题图 2 18.(本小题满分 12 分) E 如图,⊙ O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P , F B A E 为⊙O 上一点, ? AE ? ? AC , DE 交 AB 于点 F ,且 AB ? 2 BP ? 4 , 求 PF 的长度. 【解析】连结 OC , OD, OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 结合题中条件 ? AE ? ? AC 可得 ?CDE ? ?AOC ,又 ?CDE ? ?P ? ?PFD ,
O C D

R

P

第 18 题图
E

PF PD ?AOC ? ?P ? ?C ,从而 ?PFD ? ?C ,故 ?PFD ? ?PCO ,∴ ? , F B PC PO A O D PC ? PD 12 C ? ?3. 由割线定理知 PC ? PD ? PA ? PB ? 12 ,故 PF ? PO 4 19.(本小题满分 12 分) E 已知:如右图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC, D A AB=DC,过点 D 作 AC 的平行线 DE,交 BA 的延长线于 点 E.求证:(1)△ABC≌△DCB (2)DE·DC=AE·BD. B 【解析】证明:(1) ∵四边形 ABCD 是等腰梯形,∴AC=DB 第 19 题图 ∵AB=DC,BC=CB,∴△ABC≌△BCD (2)∵△ABC≌△BCD,∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB ∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC ∵ED∥AC,∴∠EDA=∠DAC ∴∠EDA=∠DBC,∠EAD=∠DCB
5

P

C

∴△ADE∽△CBD ∴DE:BD=AE:CD, 20.(本小题满分 12 分)

∴DE·DC=AE·BD.

如图,△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,P 为 AD 上一点,CF∥AB,BP 延长线交 AC、 CF 于 E、F,求证: PB 2 =PE?PF. 【解析】连结 PC ,易证 PC ? PB, ?ABP ? ?ACP ∵ CF // AB ∴ ?F ? ?ABP ,从而 ?F ? ?ACP 又 ?EPC 为 ?CPE 与 ?FPC 的公共角, CP PE 解答用图 ? 从而 ?CPE ? ?FPC ,∴ ∴ PC 2 ? PE ? PF 第 20 题图 FP PC 又 PC ? PB , ∴ PB 2 ? PE ? PF ,命题得证. E 21.(本小题满分 12 分) A 如图, A 是以 BC 为直径的 ? O 上一点, AD ? BC 于点 D , F 过点 B 作 ? O 的切线,与 CA 的延长线相交于点 E,G 是 AD G 的中点,连结 CG 并延长与 BE 相交于点 F , 延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P . P B D O (1)求证: BF ? EF ; (2)求证: PA 是 ? O 的切线; (3)若 FG ? BF ,且 ? O 的半径长为 3 2 ,求 BD 和 FG 的长度. 第 21 题图 【解析】(1)证明:∵ BC 是 ? O 的直径, BE 是 ? O 的切线, E ∴ EB ? BC .又∵ AD ? BC ,∴ AD ∥ BE . A 易证 △BFC ∽△DGC , △FEC ∽△GAC . F BF CF EF CF BF EF H ∴ ? , ? ? .∴ . G DG CG AG CG DG AG ∵ G 是 AD 的中点,∴ DG ? AG .∴ BF ? EF . P B D O (2)证明:连结 AO,AB .∵ BC 是 ? O 的直径,∴ ?BAC ? 90° . 在 Rt△BAE 中,由(1) ,知 F 是斜边 BE 的中点, ∴ AF ? FB ? EF .∴ ?FBA ? ?FAB .又∵ OA ? OB ,∴ ?ABO ? ?BAO . ∵ BE 是 ? O 的切线,∴ ?EBO ? 90° . ∵ ?EBO ? ?FBA ? ?ABO ? ?FAB ? ?BAO ? ?FAO ? 90° , ∴ PA 是 ? O 的切 线. (3)解:过点 F 作 FH ? AD 于点 H .∵ BD ? AD,FH ? AD ,∴ FH ∥ BC . 由(1),知 ?FBA ? ?BAF ,∴ BF ? AF . 由已知,有 BF ? FG ,∴ AF ? FG ,即 △ AFG 是等腰三角形. HG 1 ∵ FH ? AD ,∴ AH ? GH .∵ DG ? AG ,∴ DG ? 2 HG ,即 ? . DG 2 ∵ FH ∥ BD,BF ∥ AD,?FBD ? 90° ,∴ 四边形 BDHF 是矩形, BD ? FH . FH FG HG ∵ FH ∥ BC , 易 证 △H F ∽△ G D. C ∴ G ? ? , 即 CD CG DG B D F G 1H G ? ? ? . C D C G 2D G BD BD BD 1 ∵ ? O 的半径长为 3 2 ,∴ BC ? 6 2 .∴ ? ? ? . CD BC ? BD 6 2 ? BD 2
6

C

C


∴ FG ?



BD ? 2 2



∴ BD ? FH ? 2 2





FG HG 1 ? ? CG DG 2



1 CG .∴CF ? 3FG . 2 在 Rt△FBC 中,∵CF ? 3FG ,BF ? FG ,由勾股定理,得 CF 2 ? BF 2 ? BC 2 . .∴ FG ? 3 . ∴(3FG)2 ? FG2 ? (6 2)2 .解得 FG ? 3 (负值舍去) [或取 CG 的中点 H ,连结 DH ,则 CG ? 2 HG .易证 △ AFC≌△ DHC, ∴ FG ? HG , G ?F 2 G , CF ? 3FG . D ∥ F B , 故C 由G 易知 △CDG ∽△CBF , CD CG 2 FG 2 ∴ ? ? ? . CB CF 3FG 3 6 2 ? BD 2 由 ? ,解得 BD ? 2 2 .又在 Rt△CFB 中,由勾股定理,得 3 6 2

. ] (3FG)2 ? FG2 ? (6 2)2 ,∴ FG ? 3 (舍去负值) 22.(本小题满分 14 分) AC BC ? 如图 1,点 C 将线段 AB 分成两 部分,如果 ,那么称点 C 为线段 AB . AB AC 的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割 线” ,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部 S S 分,这两部分的面积分别为 S1 , S2 ,如果 1 ? 2 ,那么称直线 l 为该图形的黄金分 S S1 割线. (1)研究小组猜想:在 △ ABC 中,若点 D 为 AB 边上的黄金分割点(如图 2), 则直线 CD 是 △ ABC 的黄金分割线.你认为对吗?为什么? (2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线? (3)研究小组在进一步探究中发现:过点 C 任作一条直线交 AB 于点 E ,再过 点 D 作直线 DF ∥ CE ,交 AC 于点 F ,连接 EF (如图 3),则直线 EF 也是 △ ABC 的黄金分割线.请你说明理由. (4)如图 4,点 E 是 ? ABCD 的边 AB 的黄金分割点,过点 E 作 EF ∥ AD ,交 DC 于点 F , 显然直线 EF 是 ? ABCD 的黄金分割线.请你画一条 ? ABCD 的黄金 分割线,使它不经过 ? ABCD 各边黄金分割点.

【解析】(1)直线 CD 是 △ ABC 的黄金分割线.理由如下:设 △ ABC 的边 AB 上的 高为 h . 1 1 1 S AD S△ ADC ? AD?h , S△ BDC ? BD?h , S△ ABC ? AB ?h , 所 以 △ A D C? , 2 2 2 S△ ABC AB S△BDC BD ? S△ ADC AD AD BD S S ? 又因为点 D 为边 AB 的黄金分割点,所以有 .因此 △ ADC ? △ BDC . AB AD S△ ABC S△ ADC
7

第 22 题图

所以,直线 CD 是 △ ABC 的黄金分割线. (2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时 s1 ? s2 ?
1 s ,即 2

s1 s2 ? ,所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线. s s1 (3) 因为 DF ∥ CE , ∴ △DEC 和 △FCE 的公共边 CE 上的高也相等 , 所以有 S△DEC ? S△FCE 设 直 线 EF 与 CD 交 于 点 G . 所 以 S△D G ?ES△ . 以 F G 所 C

S△A

D C 四边形A F G D △

? S

?

S

F G C

? S四边形AFGD ? S△DGE ? S△AEF , S△BDC ? S四边形BEFC .

C C S S S S 又因为 △ ADC ? △ BDC ,所以 △ AEF ? 四边形BEFC . G S△ ABC S△ ADC S△ ABC S△ AEF A E M B A E M B 因此,直线 EF 也是 △ ABC 的黄金分割线. (第 22 题答图 1) (第 22 题答图 2) (4)画法不惟一,现提供两种画法; 画法一:如答图 1,取 EF 的中点 G ,再过点 G 作一条直线分别交 AB , DC 于 M , N 点,则直线 MN 就是 ? ABCD 的黄金分割线. 画法二:如答图 2,在 DF 上取一点 N ,连接 EN ,再过点 F 作 FM ∥ NE 交 AB 于点 M ,连接 MN ,则直线 MN 就是 ? ABCD 的黄金分割线.

D N F

D N F

8


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