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【志鸿优化设计-赢在课堂】(人教)2015高中数学选修2-1【精品课件】3-1 空间向量及其运算3


3.1.3 空间向量的数量积运算

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KEQIAN YUXI DAOXUE

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KETANG HEZUO TANJIU

学习目 标

1.能记住空间向量夹角的概念和表示方法. 2.记住两个向量数量积的概念和性质. 3.会计算两个向量的数量积. 4.会用两个向量的数量积解决一些简单的几何问题. 重点:两个向量的数量积的计算方法及其应用. 难点:数量积的几何意义及把立体几何问题转化为向量的计算问 题.

重点难 点

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1.空间向量的夹角 已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作=a,=b,则∠AOB 叫做向量 a,b 的夹角,记作<a,b>,向量夹角的取值范围是[0,π]. 如果<a,b>= ,那么向量 a,b 互相垂直,记作 a⊥b.
π 2

预习交流 1
(1)在正四面体 ABCD 中,< , >= 提示:
π 3 2π 3 π 2

,< , >=

,<, >=

.

(2)<a,b>=<b,a>吗?<a,b>与<-a,b>,<a,-b>,<-a,-b>有什么关系? 提示:<a,b>=<b,a>,<-a,b>=<a,-b>=π-<a,b>,<-a,-b>=<a,b>.

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2.空间向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量 a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做 a,b 的数量积, 记作 a· b. (2)数量积的运算律: (λa)· b=λ(a· b);a· b=b· a(交换律); a· (b+c)=a· b+a· c(分配律). (3)数量积的运算性质: ①若 a,b 是非零向量,则 a⊥b?a· b=0. ②若 a 与 b 同向,则 a· b=|a||b|; 若 a 与 b 反向,则 a· b=-|a||b|. 特别地,a· a=|a|2 或|a|= · . ④|a · b|≤|a||b|. ③若 θ 为 a,b 的夹角,则 cosθ=
· . ||||

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预习交流 2
向量的数量积满足结合律吗? 提示:数量积运算只适合交换律、 加乘分配律及数乘结合律 ,但不适 合乘法结合律,即(a·b)·c 不一定等于 a·(b·c).这是由于(a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量,而 a·(b·c)表示一个与 a 共线的向量,而 c 与 a 不一定共线.

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一、空间向量数量积的计算
活动与探究 问题:对于两个向量的数量积应注意什么? 提示:(1)零向量与任何向量的数量积为 0,且 a·a=|a|2. (2)数量积是数量(数值),可以为正,可以为负,也可以为零. (3)a·b 的几何意义:a 与 b 的数量积等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影|b|cosθ 的乘积,或 b 的长度|b|与 a 在 b 的方向上的投影 |a|cosθ 的乘积.

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例 1 如图,已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等 于 1,点 E,F 分别是 AB,AD 的中点,计算: (1) ·;(2) · ; (3) · . 思路分析:求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角 ,根据数 量积的定义进行计算.

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解:(1) · = ·
1 2 1 = ×1×1×cos 2

1 2

= | |||cos< , > 60° = ,
1 · 2 1 2 1 . 2 1 4 1 4

所以 · = . (2) · =
1 2 1 = ×1×1×cos 2

= | || |cos< , > 0° = , 所以 · =

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(3) · = ·
1 2 1 = ×1×1×cos 2

1 2

= | || |cos< , > 120° =- ,
1 4 1 4

所以 · =- .

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迁移与应用 1.下列式子中正确的是( A.a· |a|=a2 C.(a· b)· c=a· (b · c) 答案:D 解析:A 显然错误; (a·b)2=(|a||b|cos<a,b>)2=|a|2|b|2·cos2<a,b>, 而 a2·b2=|a|2·|b|2≠(a·b)2,所以 B 错; 又因为数量积运算不满足结合律,所以 C 错; 又因为|a·b|=|a|·|b|·|cos<a,b>|, 且|cos<a,b>|≤1,所以 D 正确. ). B.(a· b)2=a2· b2 D.|a· b|≤|a|· |b|

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2.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=4,E 为侧面 AB1 的中心,F 为 A1D1 的中点.

计算:(1) ·1 ; (2) ·1 ; (3) ·1 . 解:设=a,=b,1 =c, 则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=a·c=b·c=0. (1) ·1 =b· (-) + =|b|2=16. (2) ·1 = - + ·(a+c) =|c|2-|a|2=0.
1 2 1 2

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(3) ·1 = = (-a+b+c)·

1 2 1 1 =- |a|2+ |b|2=2. 2 4

1 1 (-) + 2 2 1 + 2

·

1 2

+

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1.在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质, 把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算 .在解题过程中 要注意两向量的夹角,正确运用两向量夹角的定义. 2.有关数量积的运算应注意的问题: (1)与数乘运算区分开,数乘运算的结果仍是向量,数量积的结果为 数量; (2)书写规范:不能写成 a×b,也不能写成 ab.

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二、向量夹角的计算
活动与探究 问题 1:如何理解空间向量的夹角? 提示:(1)任意两个空间向量均是共面的,故空间向量夹角范围同两 平面向量夹角范围一样,即[0,π]. (2)空间向量的夹角在[0,π]之间,但直线夹角在
π 0, 2

内,利用向量求

直线夹角时注意转化,两直线夹角的余弦值一定为非负数.

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问题 2:利用向量数量积求夹角的方法是什么? 提示:(1)两异面直线所成角的范围是 0,
π 2

,两个向量夹角的范围是

[0,π],利用向量数量积求异面直线所成的角时,要注意角度的转化. (2)利用数量积求直线夹角或余弦值的方法:

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例 2 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求向量1 与 的 夹角的大小.

思路分析:求两个向量的夹角,可以把其中一个向量平移到与另一 个向量的起点重合,从而转化为求平面角的大小;也可以用两个向量的 数量积定义 a·b=|a||b|cos<a,b>,求出 的大小.
· cos<a,b>= 的值,然后确定<a,b> ||||

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解:方法一:连接 AD1,CD1.因为1 = 1 , 所以∠D1AC 即为向量1 与 的夹角. 又因为△D1AC 为正三角形,所以∠D1AC=60° , 即<1 , >=60° .所以向量1 与 的夹角为 60° .

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方法二:设正方体的棱长为 1, 则1 · =( + 1 )·( + ) =( + 1 )·( + ) =· + 2 + 1 · + 1 · =0+2 +0+0=2 =1. 又|1 |= 2,| |= 2, 所以 cos<1 , >=
1 · |1 |||

=

1 2× 2

= .

1 2

因为<1 , >∈[0° ,180° ], 所以<1 , >=60° ,所以向量1 与 的夹角为 60° .

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迁移与应用 1.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,异面直线 A1B 与 AC 所成的角 为 .

答案:60°

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解析:设正方体的棱长为 1, 则||=| |=|1 |=1, ·1 B=( + )·( ? 1 ) =||2+ · ? 1 · ? 1 · =1. 又|1 B|=| |= 2,∴ cos<1 B, >= , ∴ 异面直线 A1B 与 AC 成 60° 角.
1 2

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2.如图,在空间四边形 OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45° ,∠OAB=60° , 求 OA 与 BC 所成角的余弦值. 解:因为 = ? , 所以· = · ? · =||| |cos<, >-||||cos<, > =8×4×cos 135° -8×6×cos 120° =-16 2+24. 所以 cos<, >= 即 OA 与
24-16 2 3-2 2 = , 8×5 5 3-2 2 BC 所成角的余弦值为 . 5 · ||||

=

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1.求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移到与另一 个向量的起点重合,从而转化为求平面角的大小.平面角的大小通过解 三角形即可求得,此法就是求两个向量夹角的平移法. 2.由两个向量的数量积定义得 cos<a,b>=
· ,求<a,b>的大小,可转 ||||

化为求两个向量的数量积及两个向量的模,求出<a,b>的余弦值进而求 得<a,b>的大小.在求 a· b 时,注意结合空间图形把 a,b 表示成基向量的形 式,进而化简得出 a· b 的值.

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三、向量数量积的应用
活动与探究 问题:空间向量的应用一般有哪些? 提示:由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关 ,所以许多立 体几何中的问题,如距离、夹角、垂直等问题的求解,都可借助向量的数 量积运算加以解决.设 a,b 都是非零向量,则 (1)a·b=|a||b|cos<a,b>,则 cos<a,b>=
· ,可用来求两个向量的夹 ||||

角、两条异面直线所成的角. (2)a⊥b?a·b=0,用于判断空间两个向量(或空间两条直线)的垂 直. (3)|a|2=a·a,用于对向量模的计算,求两点间的距离和线段的长度.

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例 3 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是 DD1 的中点,O 是 底面 ABCD 的中心.求证:B1O⊥平面 PAC.

思路分析:证明 B1O⊥平面 PAC,即证 B1O⊥AC,B1O⊥AP,即证明 1 O ⊥ ,且1 O ⊥ .

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证明:连接 BD,则 BD 过点 O,令 =a,=b,1 =c,则 = + =a+b,设|a|=|b|=|c|=1,

1 1 = + 1 = + 1 2
= ( ? )+1 = a- b+c.
1 2 1 2 1 2

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∴ ·1 =(a+b)·
1 1 1 2 2 2 1 1 = ? =0.∴ ⊥ 2 2 1 2

1 1 - 2 2 1 2

+

= |a|2+ a·b- a·b- |b|2+a·c+b·c 1 ,即 AC⊥OB1.
1 2

又 = + 1 =b+ c, ∴ 1 · =
1 1 - 2 2

+ · +
1 4 1 4 1 2

1 2

1 1 2 2 1 1 =- + =0,∴ 1 2 2

= a·b- |b|2+c·b+ a·c- b·c+ |c|2 ⊥ ,即 OB1⊥AP.

∵ AP∩AC=A,且 AP,AC? 平面 PCA, ∴ OB1⊥平面 PCA.

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迁移与应用 1.如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90° ,∠BAA1=∠DAA1=60° ,则 AC1 的长为 ( ).

A. 13 答案:B

B. 23

C. 33

D. 43

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解析:∵ 1 = + + 1 , ∴ |1 |= ( + + 1 )2 = | |2 + ||2 + |1 |2 + 2(· + ·1 + ·1 ). ∵ AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90° ,∠BAA1=∠DAA1=60° , ∴ < , >=90° ,<, 1 >=< , 1 >=60° . ∴ |1 | = 1 + 4 + 9 + 2(1 × 3 × cos60° + 2 × 3 × cos60°) = 23.

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2.如图,空间四边形 OABC 中,OB=OC,AB=AC.

求证:OA⊥BC. 证明:∵ OB=OC,AB=AC,OA=OA,∴ △OAC≌△OAB. ∴ ∠AOC=∠AOB. ∵ · = ·( ? )=· ? · =||| |cos∠AOC-||||cos∠AOB=0, ∴ ⊥ .∴ OA⊥BC.

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利用空间向量的数量积以及性质可以解决如下问题 : (1)求空间中两点间的距离或线段长度,可以理解为求相应线段所 对应的向量的模. (2)求空间中两直线的夹角,尤其是异面直线所成的角. (3)证明线线垂直,可以通过计算两条直线所对应向量的数量积为 零,从而说明两直线垂直.

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1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 1,则 ·1 等于( A.0 答案:B 解析: ·1 =( + )·( + 1 ) = · + ·1 + 2 + ·1 =0+0+1+0=1. B.1 C.
1 2

).

D.-1

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2.如图,已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 a,点 E,F,G 分别是 AB,AD,DC 的中点,则下列向量的数量积等于 a2 的是( A.2 · B.2 · C.2 · D.2 · 答案:B ).

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解析:2· =2||·| |·cos 120° =-a2; 2 · =2| |·| |·cos 60° =a2; 2 · = ·=-a2; 2 · = · =| |·| |·cos 120° =- a2.
1 2

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3.如图,已知 PA⊥平面 ABC,∠ABC=120° ,PA=AB=BC=6,求 PC 的长. 解:∵ = + + , ∴ 2 =||2+||2+| |2+2· =36+36+36+2×36cos60° =144. ∴ |PC|=12.

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4.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为 AC 与 BD 的交点,G 为 CC1 的 中点,求证:A1O⊥平面 GBD.

证明:设1 1 =a,1 1 =b,1 A=c, 则 a·b=0,b·c=0,a·c=0. =c+ (a+b),
1 2

而1 O = 1 A + = 1 A + ( + )

1 2

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= ? =b-a, = (a+b)- c.
1 2 1 2 1 2

= + = ( + )+ 1
1 2 1 2

1 2

∴ 1 O· = + + ·(b-a) =c·(b-a)+ (a+b)·(b-a) =c·b-c·a+ (b2-a2)= (|b|2-|a|2)=0. ∴ 1 O ⊥ , ∴ A1O⊥BD.
1 2 1 2 1 2

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同理可证1 O ⊥ ,即 A1O⊥OG. 又∵ OG∩BD=O,且 OG,BD? 平面 GBD. ∴ A1O⊥平面 GBD.


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