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1.6 三角函数模型的简单应用 第二课时 问题提出 ? 1.函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), x ? R(其中? ? 0, ? ? ) 2 的最小正周期是 ? ,且 f (0) ? 3 ,能否 确定函数f(x)的图象和性质? 2.三角函数的应用十分广泛, 对于与角 有关的实际问题,我们可以建立一个三 角函数,通过研究其图象和性质或进行 定量分析,就能解决相应问题.这是一种 数学思想,需要结合具体问题的研究才 能领会和掌握. 探究一:建立三角函数模型求临界值 【背景材料】如图,设地球表面某地正午太 阳高度角为θ ,δ 为此时太阳直射纬度,φ 为该地的纬度值.当地夏半年δ 取正值,冬半 年δ 取负值. 如果在北京地区(纬度数约为 北纬40°)的一幢高为h0的楼房北 φ -δ 面盖一新楼,要使新 楼一层正午的太阳全 θ φ 太阳光 年不被前面的楼房遮 δ 挡,两楼的距离不应 小于多少? 思考1:图中θ 、 δ 、φ 这三个角 之间的关系是什 么? θ=90°-∣φ-δ∣. φ -δ φ δ θ 太阳光 思考2:当太阳高度角为θ 时,设高为 h0的楼房在地面上的投影长为h,那么 θ 、h0、h三者满足什么关系? h=h0 tanθ. 思考3:根据地理知识,北京地区一年 中,正午太阳直射什么纬度位置时,物体 的影子最短或影子最长? 太阳直射北回归线时物体的影子最 短,直射南回归线时物体的影子最 长. 思考4:如图,A、B、C分别为太阳直射 北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地 面上的投影点.要 使新楼一层正午 的太阳全年不被 前面的楼房遮挡, 两楼的临界距离 h 应是图中哪两点 M A B C -23°26? 0 ° 23 ° 26 ? 之间的距离? 40° 0 思考5:右图中∠C 的度数是多少?MC 的长度如何计算? -23°26? h0 0° 23°26? M A 40° B C h0 h0 MC ? ? ? 2h0 0 tan C tan 26 34 ' 思考6:综上分析,要使新楼一层正午 的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼 的距离不应小于多少? 探究二:建立三角函数模型解决最值问题 【背景材料】某地拟修建一条横断面为 等腰梯形的水渠(如图),为了降低成 本,必须尽量减少水与水渠周壁的接触 面.若水渠横断面面积设计为定值S,渠 深为h,问应怎样修建才能使修建成本最 低? A B S D C 思考1:修建水渠的成本可以用哪个几何 量来反映? A S D C B h E 思考2:设想将AD+DC+CB表示成某个变 量的函数,那么自变量如何选取? 思考3:取∠BCE=x为自变量,设y=AD+ DC+CB,那么如何建立y与x的函数关系? A S x D C B h E S h(2 - cos x ) y= + h sin x 思考4:考虑x的实际意义,这个函数的 定义域是什么? A B S x D C h E S h (2 - cos x ) y = + h sin x p x ? (0, ) 2 思考5:注意到S、h为常数,要使y的值 最小,只需研究哪个三角函数的最小值? 2 - cos x p k= (0 < x < ) sin x 2 2 - cos x p k = (0 < x < ) 思考6:对于函数 sin x 2 你有什么办法求出当x为何值时,k取 最小值? y A(0,2) P(-sinx,cosx) O x k = kPA

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