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人教a版必修5学案:3.3.2简单的线性规划问题(1)(含答案)


3.3.2
知识梳理 线性规划中的基本概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题

简单的线性规划问题(一)
自主学习

意义 由变量 x,y 组成的________________ 由 x,y 的________不等式(或方程)组成的不等式组 欲求最大值或最小值所涉及的变量 x,y 的函数解析式 关于 x,y 的________解析式 满足________________的解(x,y) 所有________组成的集合 使目标函数取得____________的可行解 在________________条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

自主探究 在线性目标函数 z=Ax+By (B≠0)中,目标函数 z 的最值与截距之间有怎样的对应关 系?请完成下面的填空. 1.线性目标函数 z=Ax+By (B≠0)对应的斜截式直线方程是________________,在 y 轴上的截距是________,当 z 变化时,方程表示一组____________的直线. 2.当 B>0 时,截距最大时,z 取得________值,截距最小时,z 取得________值; 当 B<0 时,截距最大时,z 取得________值,截距最小时,z 取得________值. 对点讲练 知识点一 求线性目标函数的最值问题 x+3y≥12 ? ? 线性约束条件?x+y≤10 ? ?3x+y≥12

例1

下,求 z=2x-y 的最大值和最小值.

总结 解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域, 准确地理解 z 的几何意义,求最 优解时采用“平移直线法”.

x+y≥3, ? ? 变式训练 1 设变量 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?2x-y≤3, 值为( ) A.6 B.7 C.8

则目标函数 z=2x+3y 的最小

D.23

知识点二 求非线性目标函数的最值问题 2x+y-2≥0 ? ? 已知实数 x、y 满足?x-2y+4≥0 ? ?3x-y-3≤0

例2

y+1 ,试求 z= 的最大值和最小值. x+1

y-b ,可考虑(a,b)与(x,y)两点连线的斜率. x-a 若目标函数为形如 z=(x-a)2+(y-b)2,可考虑(x,y)与(a,b)两点距离的平方. 总结 若目标函数为形如 z= 2x+y-5≥0 ? ? 变式训练 2 已知?3x-y-5≤0 ? ?x-2y+5≥0 ,则 x2+y2 的最小值和最大值分别是________.

知识点三 和平面区域有关的参数问题 x+2y-19≥0 ? ? 设二元一次不等式组?x-y+8≥0 ? ?2x+y-14≤0

例3

,所表示的平面区域为 M,使函数 y=ax

(a>0,a≠1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是( ) A.(1,3] B.[2, 10] C.[2,9] D.[ 10,9] 总结 准确作出可行域,熟知指数函数 y=ax 的图象特征是解决本题的关键. x-y≥0, ? ?2x+y≤2, 若不等式组? y≥0, ? ?x+y≤a,

变式训练 3

表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值

范围是__________.

1.用图解法求线性目标函数的最值时,要搞清楚 z 的含义,z 总是与直线在 y 轴上的 截距有关. 2.作不等式组表示的可行域时,注意标出相应的直线方程,还要给可行域的各顶点标 上字母, 平移直线时, 要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较, 确定最优解. 3.在解决与线性规划相关的问题时,首先考虑目标函数的几何意义,利用数形结合方 法可迅速解决相关问题. 课时作业 一、选择题 x+y≤4, ? ? 1.已知点 P(x,y)的坐标满足条件?y≥x, ? ?x≥1, A. 10 B.8 C.16 2x+y≤40, ? ?x+2y≤50, 2.若变量 x,y 满足? x≥0, ? ?y≥0, A.90 B.80 则 x2+y2 的最大值为( D.10 )

则 z=3x+2y 的最大值是(

)

C.70

D.40

y≥0 ? ? ? ? 3.在坐标平面上有两个区域 M 和 N,其中区域 M=??x,y?|?y≤x ?,区域 N= ? ?y≤2-x ? ? {(x,y)|t≤x≤t+1,0≤t≤1},区域 M 和 N 公共部分的面积用函数 f(t)表示,则 f(t)的表达式 为( ) 1 A.-t2+t+ B.-2t2+2t 2 1 1 C.1- t2 D. (t-2)2 2 2 ? ?x-y+1≤0, y 4.若实数 x,y 满足? 则 的取值范围是( ) x - 1 ?x>0, ? A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,-1) D.[1,+∞) 题 号 答 案 二、填空题

1

2

3

4

y≥x, ? ? 5.设变量 x,y 满足约束条件?x+2y≤2, ? ?x≥-2. x+y-1≤0, ? ? 6.已知?x-y+1≥0, ? ?y≥-1, 三、解答题

则 z=x-3y 的最小值为________.

且 u=x2+y2-4x-4y+8,则 u 的最小值为________.

7.已知 1≤x+y≤5,-1≤x-y≤3,求 2x-3y 的取值范围.

? ??x+y??x-y+5?≥0 8.求不等式组? 表示的平面区域的面积. ?-3≤x≤3 ?

3.3.2

简单的线性规划问题(一)

知识梳理 不等式或方程 一次 一次 线性约束条件 可行解 最大值或最小值 线性约束 自主探究 A z z 1.y=- x+ 互相平行 B B B 2.最大 最小 最小 最大 对点讲练 例 1 解 如图作出线性约束条件 x+3y≥12 ? ? ?x+y≤10 ? ?3x+y≥12 下的可行域,包含边界:

其中三条直线中 x+3y=12 与 3x+y=12 交于点 A(3,3), x+y=10 与 x+3y=12 交于点 B(9,1), x+y=10 与 3x+y=12 交于点 C(1,9), 作一组与直线 2x-y=0 平行的直线 l:2x-y=z 即 y=2x-z,然后平行移动直线 l,直线 l 在 y 轴上的截距为-z,当 l 经过点 B 时,-

z 取最小值,此时 z 最大,即 zmax=2×9-1=17;当 l 经过点 C 时,-z 取最大值,此时 z 最小,即 zmin=2×1-9=-7. ∴zmax=17,zmin=-7. 变式训练 1 B [作出可行域如图所示:

由图可知,z=2x+3y 经过点 A(2,1)时,z 有最小值,z 的最小值为 7.] 例 2 解 由题意知, 作出线性约束条件下的可行域如图所示, 且可求得 A(2,3), B(0,2), y+1 y-?-1? C(1,0).由于 z= = ,所以 z 的几何意义是点(x,y)与点 M(-1,-1)连线的斜 x+1 x-?-1? y+1 率,因此 的最值就是点(x,y)与点 M(-1,-1)连线的斜率的最值, x+1 结合图可知,直线 MB 的斜率最大,直线 MC 的斜率最小,即 zmax=kMB=3,此时 x= 0,y=2; 1 zmin=kMC= ,此时 x=1,y=0. 2

变式训练 2 5,25 2x+y-5≥0 ? ? 解析 作出不等式组?3x-y-5≤0 ? ?x-2y+5≥0 的可行域如图所示,

? ?x-2y+5=0 由? , ?2x+y-5=0 ? 得 A(1,3), ? ?x-2y+5=0 由? , ?3x-y-5=0 ? 得 B(3,4), ? ?3x-y-5=0 由? , ?2x+y-5=0 ? 得 C(2,1), 设 z=x2+y2,则它表示可行域内的点到原点的距离的平方,结合图形知,原点到点 B 的距离最大,注意

到 OC⊥AC,∴原点到点 C 的距离最小. → → 故 zmax=|OB|2=25,zmin=|OC|2=5. 例3 C [

作二元一次不等式组的可行域如图所示,由题意得 A(1,9),C(3,8). 当 y=ax 过 A(1,9)时,a 取最大值,此时 a=9; 当 y=ax 过 C(3,8)时,a 取最小值,此时 a=2, ∴2≤a≤9.] 4 变式训练 3 0<a≤1 或 a≥ 3 解析 不等式表示的平面区域如图所示,

2 2? 当 x+y=a 过 A? ?3,3?时表示的区域是△AOB, 4 此时 a= ; 3 4 当 a> 时,表示区域是△AOB; 3 当 x+y=a 过 B(1,0)时表示的区域是△DOB,此时 a=1; 当 0<a<1 时可表示三角形; 4 4 当 a<0 时不表示任何区域,当 1<a< 时,区域是四边形.故 0<a≤1 或 a≥ . 3 3 课时作业 1.D 2.C 3.A 4.B

[可行域如图阴影部分所示, y y >1 或 <-1.] x-1 x-1 5.-8

y 的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率,易求得 x-1

解析 作出可行域如图所示. 可知当 x-3y=z 经过点 A(-2,2)时,z 有最小值,此时 z 的最小值为-2-3×2=- 8. 9 2 解析 点(x,y)在图中阴影部分, 由已知得(x-2)2+(y-2)2=( u)2, |2+2-1| 3 9 则 umin= = ,umin= . 2 2 1+1 6.

7.解

作出一元二次方程组 ? ?1≤x+y≤5 ? 所表示的平面区域(如图)即可行域. ?-1≤x-y≤3 ? 2 1 2 考虑 z=2x-3y,把它变形为 y= x- z,得到斜率为 ,且随 z 变化的一组平行直线, 3 3 3 1 - z 是直线在 y 轴上的截距,当直线截距最大且满足约束条件时目标函数 z=2x-3y 取得 3 最小值;当直线截距最小且满足约束条件时目标函数 z=2x-3y 取得最大值. 由图可知,当直线 z=2x-3y 经过可行域上的点 A 时,截距最大,即 z 最小. ? ?x-y=-1 解方程组? ,得 A 的坐标为(2,3). ?x+y=5 ? 所以 zmin=2x-3y=2×2-3×3=-5. 当直线 z=2x-3y 经过可行域上的点 B 时,截距最小,即 z 最大. ?x-y=3 ? 解方程组? ,得 B 的坐标为(2,-1), ? ?x+y=1 所以 zmax=2x-3y=2×2-3×(-1)=7. ∴2x-3y 的取值范围是[-5,7]. ? ??x+y??x-y+5?≥0 8.解 不等式组? ?-3≤x≤3 ?

所表示的可行域如图所示, 1 11 其可行域为两个等腰直角三角形,其底边长分别为 1 与 11,高分别为 与 , 2 2 1 1 1 11 61 所以,可行域的面积为 ×1× + ×11× = . 2 2 2 2 2


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