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3.3.1《双曲线及其标准方程》课件(北师大版选修2-1)


学习目标定位

基础自主学习

典例精析导悟

课堂基础达标

知能提升作业
一、选择题(每题4分,共16分)
1.(2010· 安徽高考)双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点为 (
2 ,0) 2 (C)( 6 ,0) 2

)

(A)(

(B)( 5 ,0)
2

(D)( 3 ,0)
y2 =1, 1 2
2

【解析】选C.双曲线方程化为x22 ∴a=1,b= , 2



∴右焦点为( 6 ,0).

x 2 y2 2.双曲线 - =1 的焦距是10,则实数m的值为( 9 m

)

(A)-16

(B)4

(C)16

(D)81

x 2 y2 【解析】选C.∵ - =1 是双曲线的方程, 9 m

∴m>0,又∵2c=10,c=5,

∴9+m=25,m=16.

3.已知双曲线的两个焦点为F1(- 5 ,0),F2(

5 ,0),

P是此双曲线上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1|· 2|=2,则该双 |PF

曲线的方程是(
x 2 y2 (A) - =1 2 3 x2 2 (C) -y =1 4

)
x 2 y2 - =1 (B) 3 2 y2 2 (D) x ? =1 4

【解题提示】解答本题要结合双曲线的定义,勾股定理 解题.

【解析】选C.由题意c= 5 ,|F1F2|=2 5 ,

∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20,
∴(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=20-4=16, ∴4a2=16,∴a2=4,∴b2=c2-a2=5-4=1,
x2 2 ∴双曲线方程为 -y =1 . 4

x2 2 x2 2 4.(2010· 邯郸高二检测)若椭圆 -y =1 +y =1 (m>1)和双曲线 n m

(n>0)有共同的焦点F1、F2,且P是两条曲线的一个交点,则

△PF1F2的面积是(
(A)1 (B)
1 2


(C)2 (D)4

【解题提示】本题中点P为双曲线、椭圆的交点,结合两 个曲线的定义解题.

【解析】选A.由题意: ∴m=n+2,∴|F1F2|=2 n+1 , 又 |PF1|+|PF2|=2 m , |PF1|-|PF2|=2 n , ∴|PF1|= m ? n,|PF2|= m ? n, ∴|PF1|2+|PF2|2=2m+2n=4n+4=4(n+1)

=|F1F2|2,
∴△PF1F2是直角三角形,
1 ∴ S? PF1F2 = |PF1|·|PF2|= 1 (m-n)=1. 2 2

二、填空题(每题4分,共8分) 5.(2010· 福州高二检测)△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹是________(什么

曲线).

【解析】如图,设△ABC的内切圆与AB、BC、AC分别相切于点 D,E,F,内切圆圆心为O′,则∠E=∠F,BE=BD,AD=AF, O′D⊥AB,且D点坐标为(3,0). ∴|CA|-|CB|=AF-BE=AD-BD=8-2=6. 故C的轨迹为以F1,F2为焦点的双曲线

的一支,又a=3,c=5,∴双曲线方程为:
x 2 y2 (x>3). ? =1 9 16 x 2 y2 答案:双曲线 ? =1的右支 9 16

x 2 y2 6.方程 + =1 表示曲线C,给出以下命题: 4-t t-1

①曲线C不能为圆;②若曲线C为椭圆,则1<t<4;③若曲线C为双 曲线,则t<1或t>4;④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则1<t< 5 .
2

其中,真命题的编号是_______(写出所有正确结论的编号).

【解析】①中,若曲线C表示圆,则 4-t>0 t-1>0 4-t=t-1 ①错.②中,若t=
5 ,则曲线C为圆,错误.③中,若曲线C为双曲 2 5 ,t= , 2

线,则(4-t)(t-1)<0,解得t<1或t>4.

④中,由
4-t>0 t-1>0 ,得1<t<
5 ,正确. 2

t-1<4-t
答案:③④

三、解答题(每题8分,共16分)
x 2 y2 7.(2010· 西安高二检测)求以椭圆 + =1 短轴的两个端点 16 9

为焦点,且过点A(4,-5)的双曲线的标准方程.
x 2 y2 【解析】由 + =1 ,得a=4,b=3,所以短轴两端点(0,〒3),又 16 9

双曲线过A点,由双曲线定义得

=2 5 ,得a= 5 ,又c=3,从而b2=c2-a2=4,

又焦点在y轴上,
x 2 y2 所以双曲线方程为 ? =1 . 5 4

8.如图,若动圆过定点A(-3,0),且和定圆C:(x-3)2+y2=4
外切,求动圆圆心P的轨迹方程,并说明轨迹是什么?

【解析】∵|PC|-|PA|=2且2<|AC|,
∴P点的轨迹是以A,C为焦点的双曲线的左支.
x 2 y2 设P点的轨迹方程是 2 ? 2 =1 . a b

则2a=2,∴a=1.

又2c=6,∴c=3.从而b2=c2-a2=8.
y2 ∴P点的轨迹方程是 x - =1(x≤-1). 8
2

9.(10分)如图,圆x2+y2=4与y轴的两个交点分别为A、B,以A、

B为焦点,以坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y轴左侧的交点
分别为C、D,当梯形ABCD的周长最大时,求此双曲线的方程.

y2 x 2 【解析】设双曲线的方程为 2 ? 2 =1(a>0,b>0), a b

C(x0,y0)(x0<0,y0>0), |BC|=t(0<t<2 2 ).

连接AC,则∠ACB=90°. 作CE⊥AB于E,则有

|BC|2=|BE|·|AB|.
∴t2=(2-y0)〓4,
t2 即y0=2. 4

∴梯形ABCD的周长 L=4+2t+2y0. 即L=1 2 t +2t+8=- 1 (t-2)2+10. 2 2

当t=2时,L最大.此时|BC|=2,|AC|=2 3 . 又C在双曲线的上支,B、A分别为上、下两焦点, ∴|AC|-|BC|=2a,即2a=2 3 -2. ∴a= 3 -1,∴a2=4-2 3 . ∴b2=c2-a2=2 3 . ∴所求双曲线方程为


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