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12月29日圆的复习


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学科: 数学 年级: 九年级 课题:圆的期末复习 教学目标

性 化




课时计划: 第 学生姓名: 教师姓名:崔璐 课时

教学重点

掌握垂直于弦的直径的性质;掌握圆的切线的判定定理与性质定理的应用,能利用垂直关系进 行有关的证明和计算;掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,并会利用图形加以区别;会利 用弧长、扇形面积、圆锥侧面积公式进行有关的计算;掌握圆心角、弧、弦之间的关系及圆周角定 理,并能运用它们进行有关的计算.

垂径定理,弧、弦、圆心角的关系定理,圆周角定理;直线和圆相切的性质定理、判 定定理的证明及应用,切线长定理的应用;圆与圆的五种位置关系的判断;圆锥的侧 教学难点 面积与母线长和底面半径之间的关系等都是本章的难点.间接证明题目的方法——反 证法也是本章的难点.在圆中添加“辅助线”既是本章的重点,也是本章的难点
授课类型 一对一 教师活动 学法指导 1.在本章的学习中,注意通过观察、探 索、合作、实践、交流、归纳等数学活 动,进行主动的、富有个性的学习,尤 其是对于一些结论的得出, 更应去探索、 总结,通过合情的推理,主动地获取新 知,注意“由特殊到一般”“数形结 合”“化归”等数学思想方法的运用. 2.学习本章应注意以下几点: (1)在实际问题中认识圆的有关概念: 圆 心、半径、直径、弦、弧(优弧、劣弧)、 圆心角、圆周角. (2)通过对实际生活的观察和亲自体验, 掌握圆的对称性,并能利用圆的对称性 探索圆的一些基本性质,在同圆或等圆 中,圆心角、弧、弦之间的关系,同弧 所对的圆周角与圆心角之间的关系,垂 直于弦的直径平分弦及弦所对的弧等. (3)通过对点、 直线和圆与圆的相对运动 的探索、实验、推理、计算等归纳出点 与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关 系,掌握通过点与圆心的距离、直线与 圆心的距离、圆心与圆心之间的距离同 圆的半径的大小比较,来判定它们之间


学生活动 例 1.已知:如图,AB 是⊙O 的直径, AD⊥AB 于 A,BC⊥AB 于 B, 若∠DOC= 90°. 求证: 是⊙O 的 DC 切线

设计意图

教学过程

例 2.如图所示,已知 AB 是⊙O 的直径, AC⊥L 于 C,BD⊥L 于 D,且 AC+BD=AB。 求证:直线 L 与⊙O 相切。

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的位置关系的方法. (4)在对直线与圆相对运动的探索过程 中掌握切线的概念,并能利用实验探索 切线与过切点的半径之间的关系,同时 能判断一条直线是否为圆的切线. (5)在动手操作与观察实验的同时, 探索 出正多边形与圆的关系、扇形面积及弧 长的计算公式,并掌握圆柱及圆锥的侧 面积与全面积公式. (6)在学习本章的过程中, 要及时准确地 画出示意图形,以帮助解题,化抽象为 直观. 一、圆的基本概念 (1)圆的定义:在平面内到定点的距离 等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做 圆心,定长叫半径。 (2)确定圆的条件; ①已知圆心和半径, 圆心确定圆的位置, 半径确定圆的大小; ②不在同一条直线上的三点确定一个 圆; ③已知圆的直径的位置和长度可确定一 个圆; (3) 点和圆的位置关系 设圆的半径

四、连结公共弦 在处理有关两圆相交的问题时, 公共弦像 一把 “钥匙” 常常可以打开相应的 , “锁” , 因此“遇到相交圆,连接公共弦.” 。 例 1.已知:如图,⊙O1 和⊙O2 相交于 点 A 和 B, O2O1 的延长线交⊙O1 于点 C,CA、CB 的延长线分 别和⊙O2 相交于点 D、 求证: E, AD=BE.

为 r,点到圆心的距离为 d,则点与圆的 位置关系有三种。 ①点在圆外 ? d>r; ②点在圆上

? d=r;

③点在圆内 ? d<r;

五、作连心线 两圆相交, 连心线垂直平分两圆的公 共弦;两圆相切,连心线必过切点.通过 作两圆的连心线, 可沟通圆心距、 公共弦、 两圆半径之间的关系.因此, “已知有两 圆,常画连心线.” 例 1.已知:如图,⊙A 和⊙B 外切于 P 点, ⊙A 的半径为 r, ⊙B 的半径为 3r, CD 为⊙A、⊙B 的外公切线,C、D 为切点, 求: (1)CD 的长; (2)CD 与弧 PD 及弧 PC 所围成的阴影部分的面积.

(4)弦:连结圆上任意两点的线段叫做 弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆 中最大的弦。圆心到弦的距离叫做弦心 距。 (5) 圆上任意两点间的部分叫做弧。 弧: 弧分为半圆,优弧、劣弧三种。 (6)等圆、等弧:能够重合的两个圆叫 做等圆。同圆或等圆的半径相等。在同



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圆或等圆中,能够互相重合的两条弧叫 做等弧。 (7) 圆的对称性:圆既是轴对称图形 又是中心对称图形。经过圆心的每一条 直线都是它的对称轴。圆心是它的对称 中心。圆绕圆心旋转任何角度,都能够 与原来的图形重合,因此圆还具有旋转 不变性。 二、圆中的重要定理 1.垂径定理及其推论:垂直于弦的直径 平分这条弦,并且平分这条弦所对的两 条弧. 推论 1:一条直线,如果具有①过圆心; ②垂直于弦;③平分弦(非直

六、作公切线 分析:相切两圆过切点有一条公切线,这 条公切线在解题时起着非常重要的作用, 如下题中所作的内公切线 MN 起到沟通 两圆的作用.因此,相切两圆过切点的公 切线是常用辅助线. 例 1.已知:⊙O1 和⊙O2 外切于点 A,B C是⊙O1 和⊙O2 的外公切线,B、C为 切点. 求证:AB⊥AC

我们可以把圆中常用辅助线的规律总结 为如下歌诀: 平分弦所对的优弧.这五个性质 弦与弦心距,密切紧相连;直径对直角, 圆心作半径; 已知有两圆, 常画连心线; . 中的任何两个性质这条直线就 遇到相交圆,连接公共弦;遇到相切圆, 具有其余的三条性质. 作条公切线; “有点连圆心, 无点作垂线.” 切线证明法,规律记心间. 推论 2:圆的平行弦所夹的弧相等. 二、点与弦的相对位置 2. 圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系、 3.⊙O 是△ABC 的外接圆,OD⊥BC 于 D , 且 ∠ BOD = 48 ° , 则 ∠ BAC = 定理及推论. _________。 4.已知点 P 是⊙O 内一点,⊙O 的半径为 在同圆或等圆中,四组量:①两个圆心 5,OP=3,在过点 P 的所有⊙O 的弦中, 弦长为整数的弦条数为( ) 角;②两条弧;③两条弦;④两条弦心 A.2 B.3 C.4 D.5 距.其中任一组量相等,则其余三组量 三、弦所对的圆周角 5.半径为 1 的圆中有一条弦, 如果它的长 也分别相等.即在同圆或等圆中: 为 3 ,那么这条弦所对的圆周角的度数 径) ;④平分弦所对的劣弧;⑤ 圆心角相等 等于___________。 6.已知△ABC 是半径为 2cm 的圆内接三 四、平行弦与圆心的位置

角形,若 BC ? 2 3 cm,则∠A=_______. 所对 所对 所对 ??? 弧相等 ??? 弦相等 ??? 弦心距相等 ? ? ? 3.圆周角 ①定义:顶点在圆上,且两边与圆相交



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的角. ②定理及推论 定理:一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.

7.在半径为 5cm 的⊙O 中, AB=6cm, 弦 弦 CD=8cm,且 AB∥CD,求 AB 与 CD 之间的距离。

8. 已 知 圆 形 下 水 道 的 横 截 面 直 径 为 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等; 100cm,如果水面宽 AB 为 80cm,求下水 道中水的最大深度。 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧 相等. 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角 是直角;90 的圆周角所对的弦是直径. 推论 3:如果三角形一边上的中线等于 这边的一半,那么这个三角形是直角三 角形.
o

五、圆心与角的位置 9.在半径为 1 的⊙O 中,弦 AB、AC 的 长分别为 3 和 2 ,则∠BAC 的度数是 ____________。 相交两圆的圆心与公共弦的位置 11.已知半径为 4 和 2 2 的两圆相交, 公

推论 4:圆内接四边形定理:圆的内接四 共弦长为 4,求两圆的圆心距 边形对角互补,并且任何一个外角都等于 它的内对角. 直线和圆的位置关系性质和判定 如果⊙O 的半径 r ,圆心 O 割直线 l 的距 离为 d ,那么(1)直线 l 和⊙O 相交

圆中的三角函数题解题策略
三角函数是与角密切相关的函数, 而 圆中常会出现与角有关的求解问题, 尤其 会出现一些非特殊角求其三角函数值的 问题, 或已知三角函数值求圆中的有关线 段长等问题.三角函数与圆的综合应用也 是中考中的热点问题之一. 解决几何图形的三角函数求值问题, 关键 在于,找到相关的直角三角形.若没有现 成的直角三角形,则需根据所给的条件, 合理构造直角三角形,或把角进行转化。 圆中有关此类问题的解决也不例外, 现就 解题策略分析如下 一、 用圆周角的性质把角转化到直角三角 形中 例 1(成都市)如图 1, 已知 AB 是⊙O 的直 径,弦 CD⊥AB, AC ? 2 2 ,BC=1, 那么 sin∠ABD 的值是

?d ?r
(2)直线 l 和⊙O 相切 ? d ? r (3)直线 l 和⊙O 相离 ? d ? r . 四、切线的判定和性质: (一)切线的判定 1.切线判定定理:经过半径的外端点 并且垂直于这条半径的直线是圆的切 线; 2.和圆心距离等于半径的直线是圆的 切线; 3.经过半径外端点且与半径垂直的直


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线是圆的切线. (二)切线的性质 1.切线的性质定理,圆的切线垂直于 经过切点的半径; 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线 必经过切点; 二、 用直径与所对圆周角构造直角三角形 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线 必经过圆心. 2.切线的性质: (1)切线和圆只有一个公共点; (2)切线和圆心的距离等于圆的半 径; (3)切线垂直于过切点的半径; (4)经过圆心垂直于切线的直线过 切点; (5)经过切点垂直于切线的直线必 过圆心. 五、三角形的内切圆 1.三角形的外接圆 过三角形三个顶点的圆, 叫做三角形的 外接圆,三条边中垂线的交点,叫做三 角形的外心。三角形的外心到各顶点的 距离相等. 2.外心的位置 锐角三角形的外心在三角形内部,钝角 三角形的外心在三角形的外部,直角三 角形的外心在斜边中点,外接圆半径 例 2(烟台市)如图 2,已知AB是半 圆 O 的直径,弦 AD、BC 相交于点 P, 若∠DPB=α,那么

CD 等于 AB
D.

A. sinα B. COSα C. tanα

1 tan ?

以圆为载体的动态问题
类型 1 动点问题 所谓“动点型问题”是指题设图形 中存在一个或多个动点,它们在线 段、射线或弧线上运动的一类开放 性题目.解决这类问题的关键是动 中求静,灵活运用有关数学知识解 决问题. 在变化中找到不变的性质 是解决数学“动点”探究题的基本 思路,这也是动态几何数学问题中 最核心的数学本质
例 1.在直角坐标平面内,O 为原点,点 A 的坐标为(1,0) ,点 C 的坐标为(0, 4) ,直线 CM∥ x 轴(如图所示) .点 B 与点 A 关于原点对称, 直线 y=x+b b 为 ( 常数)经过点 B,且与直线 CM 相交于点 D,联结 OD. (1)求 b 的值和点 D 的坐标; (2)设点 P 在 x 轴的正半轴上,若△ POD 是等腰三角形,求点 P 的坐标; (3)在(2)的条件下,如果以 PD 为 半径的圆 P 与圆 O 外切, 求圆 O 的半径.

R?

C (C 为斜边长) 2

3.三角形的内切圆



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到三角形三条边距离都相等的圆, 叫三 角形的内切圆,三角形中,三个内角平 分线的交点,叫三角形的内心,三角形 内心到三条边的距离相等,内心都在三 角形的内部.若三角形的面积为 S ?ABC , 周长为 a+b+c,则内切圆半径 为: r ? B
4 3 2 1

y C

y=x+ bbb M D

?1O

A
1

x

2S ?ABC , a, b 为直角三角形 当 a?b?c

的直角边, c 为斜边时,内切圆半径

r?

ab a?b?c 或r ? . a?b?c 2

例题 4 如图,点 M(4,0) ,以点 M 为圆 心、 为半径的圆与 x 轴交于点 A、 已 2 B. 知抛物线 y ?

4.圆内接四边形的性质 (1)圆内接四边形的对角互补; (2) 圆内接四边形的任何一个外角等于 它的对角. 注意:①圆内接平行四边形为矩形;② 圆内接梯形为等腰梯形. 六、切线长定理: 1.切线长概念: 在经过圆外一点的切线上,这点和切点 之间的线段的 R,叫做这点到圆的切线 长. 2.切线长和切线的区别 切线是直线,不可度量;而切线长是切 线上一条线段的长,而圆外一已知点到 切点之间的距离,可以度量. 3.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切 线长相等,圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角.


1 2 x ? bx ? c 过点 A 和 6

B,与 y 轴交于点 C. (1)求点 C 的坐标,并画出抛物线的大 致图象. (2)点 Q (8,m)在抛物线

y?

1 2 x ? bx ? c 上,点 P 为此抛物线对 6

称轴上一个动点,求 PQ+PB 的最小值. (3)CE 是过点 C 的⊙M 的切线,点 E 是 切点,求 OE 所在直线的解析式.

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要注意:此定理包含两个结论,如 图, 、 切⊙O于 A、 两点, PA=PB②PO PA PB B ① 平分 ?APB . A A · O A C A B D A A

P

A 4.两个结论: 圆的外切四边形对边和相等; 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰 长. 七、弦切角定理: 1.弦切角概念: 理解体弦切角要注意两点:①角的 顶点在圆上; ②角的一边是过切点的弦, 角的边一边是以切点为端点的一条射 线. 2.弦切角定理: 弦切角等于它所夹的弦对的圆周 角,该定理也可以这样说:弦切角的度 数等于它所夹弧的度数的一半. 3.弦切角定理的推论: 推论:如果两个弦切角所夹的弧相 等,那么这两个弦切角相等 C

A

P B D

1.相交弦定理及其推论:


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(1)定理:圆内的两条相交弦,被交点 分成的两条线段长的积相等. 如图, , 相交余 E, AE·EB=CE·DE AB CD 则 C P

A

· O

B

D (2) ,推论:如果弦与直径垂直相交, 那么弦的一半是它分直径所成 的两条线段的比例中项.如上右图,有

AE·EB=CE 2 成立
2,切割线定理及其推论 (1) 定理: 从圆外一点引圆的切线和 割线, 切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的比例中项. 如上左 图,PT 切⊙O,PAB 是⊙O 的一条 割线,则有 PT =PA·PB 成立. B A P· T (2) 推论: 从圆外一点引圆的两条割线, 这一点到每条割线与圆的交点 的两条线段长的积相等.如上右图,有 · O
2

PA·PB=PC·PD 成立.
A P C

B

D



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圆中的相关计算 1.弧长公式:半径为 R 的圆,其周长是

2?R ,将圆周分成 360 份,每一份弧就
是 1o 的弧,1o 弧的弧长应是圆周长的

1 2?R ?R o ,而为 ,因此, n 的 ? 360 360 180 n?R 弧的弧长就是 ,于是得到公式: 180 n?R l? (l代表弧长) 。 180
2.(1)扇形的定义:一条弧和经过这条 弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇 形(如图) 。

OA (2)扇形的周长: ? OB ? l AB ? 2 R ? l AB
(3)扇形的面积:如图,阴影部分的面 积 即 为 扇 形 OAB 的 面 积 。 S =
扇 形

n?R 2 ( R为半径,n 为扇形圆心角的度数) 360
由 上 面 两 公 式 可 知 S
扇 形

=

n? R 2 1 ? lR .可据已知条件灵活选 360 2
A O · · O B m B

用公式。

A

m

O · A B

1.弓形的面积



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(1)由弦及其所对的劣弧组成的图形, S 弓形=S 扇形-S△OAB。 (2)由弦及其所对的优弧组成的弓形, S 弓形=S 扇形+S△OAB。 两圆连心线的性质 (1)如果两圆相切,那么切点位于这两 个圆的连心线上. (2) 相交两圆的连心线垂直平分这两个 圆的公共弦. 两圆的公切线 (1)与两圆都相切的直线,叫做这两个 圆的公切线,两个圆在公切线的同旁时, 这条公切线叫做这两个圆的外公切线; 两个圆在公切线的两旁时,这条公切线 叫做这两个圆的内公切线;公切线上两 个切点间的距离,叫做这条公切线(段)的 长; (2)两圆的两条外公切线长相等; (3)两圆的两条内公切线长相等,且交 点位于这两个圆的连心线上; (4) 两圆相切可以运用于弧与弧的平分 连接 课堂练习 课后作业

10


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