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重庆八中2010——2011学年度(下)期末考试高一年级


重庆八中 2010——2011 学年度(下)期末考试高一年级

数 学 试 题
命题:曾昌涛 赵天友 审核:曾昌涛 打印:赵天友 校对:赵天友
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. (1)已知数列 {a n } 为等比数列,且 a1 = 1, a 4 = 8 ,则公比 q = (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8

(2)已知 ?ABC 中, a = (A) 135
o

2 , b = 3 , B = 60 o ,那么角 A =
o

(B) 90

(C) 45

o

(D) 30

o

?x ≥ 0 ? (3)已知 ? y ≥ 0 ,则 z = x ? 2 y 的最小值为 ?x + y ≤ 2 ?
(A) 2 (B) 0 (C) ? 2 (4)若 a < b < 0 ,那么下列不等式中正确的是 (A) (D) ? 4
2

1 1 > a b

(B)

1 1 < a b

(C) ab < b

(D) ab > a
2

2

(5) 袋内装有 6 个球, 每个球上都记有从 1 到 6 的一个号码, 设号码为 n 的球重 n ? 6n + 12 克,这些球等可能地从袋里取出(不受重量、号码的影响).若任意取出 1 球,则其重量大 于号码数的概率为 (A)

1 6

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3

(6)实数 a, b 均为正数,且 a + b = 2 ,则 (A) 3 (B) 3 + 2 2

1 2 + 的最小值为 a b
(C) 4 (D)

3 + 2 2 (7)为了解某校身高在 1.60m ~ 1.78m 的高一学生的情况,随机地抽查了该校 100 名高一 学生,得到如图 1 所示频率直方图.由于不 慎将部分数据丢失, 但知道前 4 组的频数成 等比数列, 6 组的频数成等差数列, 后 设最 大频率为 m ,身高在 1.66m ~ 1.74m 的学 生数为 n ,则 m, n 的值分别为
(A) 0.27,78 (C) 0.81,78 (B) 0.27,83 (D) 0.09,83

图2 (8)若执行如图 2 所示的程序框图,当输入 n = 1, m = 5 ,则输出 p 的值为 (A) ? 4 (B) 1 (C) 2 (D) 5

(9)锐角三角形 ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 B = 2 A ,则 围是 (A) (1, 2) (B) (1, 3) (C) ( 2, 3)

b 的取值范 a

(D) ( 3, 2 2)

(10)已知数列 {an } 满足 3a n +1 + a n = 4( n ≥ 1) ,且 a1 = 9 ,其前 n 项之和为 S n ,则满足不 等式 S n ? n ? 6 <

(C) 7 (D) 8 (A) 5 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. (11)已知等差数列 {a n } ,若 a1 + a3 + a5 = 9 ,则 a2 + a4 = __________. (12)某校有教师 400 人,男学生 3000 人,女学生 3200 人.现用分层抽样的方法,从所有 师生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从男生中抽取的人数为 100 人,则 n = __________. (13)现有红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个,从中选取三个分别安装在 ?ABC 的 三个顶点处,则 A 处不安装红灯的概率为__________. (14)某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,对全市居民某年的月均用水量进 行了抽样调查,其中 4 位居民的月均用水量分别为 x1 , x 2 , x3 , x 4 .根据图 3 所示的程序框图, 若知 x1 , x 2 , x3 , x 4 分别为 1,2,1.5,0.5 ,则输出的结果 S 为 __________.

1 的最小整数是 125 (B) 6

图3

(15)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 C = 60 ,且 3ab = 25 ? c ,则
o 2

?ABC 的面积最大值为__________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. )
设 {a n } 是公差大于 0 的等差数列, a1 = 2 , a 3 = a 2 ? 10 .
2

(Ⅰ)求 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)设 {bn } 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列,求数列 {a n + bn } 的前 n 项和 S n . (17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 9 分, (Ⅱ)小问 4 分. ) 已知 x1 , x 2 , L , x n ( n ∈ N , n > 100) 的平均数是 x ,方差是 s .
2

?

(Ⅰ)求数据 3 x1 + 2,3 x 2 + 2,..., 3 x n + 2 的平均数和方差; (Ⅱ)若 a 是 x1 , x 2 ,..., x100 的平均数, b 是 x101 , x102 ,L , xn 的平均数.试用 a, b, n 表示

x.

(18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 2 分, (Ⅲ)小问 7 分. ) 已知数列 {a n } 的通项公式为 a n = n ? 2 ,为了求数列
n

{a n } 的和,现已给出该问题的算法程序框图.
(Ⅰ)请在图中执行框①②处填上适当的表达式,使该 算法完整; (Ⅱ)求 n = 4 时,输出 S 的值; (Ⅲ)根据所给循环结构形式的程序框图,写出伪代码. 图4 (19) (本小题满分 12分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分. )

已知函数 f ( x) = log 2 ( x ? x) , g ( x) = log 2 ( ax ? a ) .
2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)若 g (x ) 的定义域为 (1,+∞) ,求当 f ( x ) > g ( x ) 时 x 的取值范围. (20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 6 分. ) 已知变量 S = sin

a?b π. 3

(Ⅰ)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数, b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数, 求 S ≥ 0 的概率; (Ⅱ) a 是从区间 [0,3] 中任取的一个数,b 是从区间 [0,2] 中任取的一个数, S ≥ 0 若 求 的概率. (21) (本小题满分 12分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知各项均为正数的数列 {a n } ,其前 n 项和为 S n ,且满足 2 S n = a n + a n .
2

(Ⅰ)求 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {

1 an
2

} 的前 n 项和为 Tn ,求证:当 n ≥ 3 时, Tn >

3 1 ? 2n + . 2 2n 2

重庆八中 2010——2011 学年度(下)期末考试高一年级

数学试题参考答案
一、选择题

BCDAD

DACCC

π π ? ? ?B + A > 2 ?2 A + A > 2 π π ? ? 9.由题意得 ? ?? ? < A < ,又 6 4 ?B < π ?2 A < π ? ? ? 2 ? 2
b sin B sin 2 A 2 sin A cos A π π = = = = 2 cos A ,所以 2 cos < 2 cos A < 2 cos a sin A sin A sin A 4 6 b 即 2 < = 2 cos A < 3 a 1 1 n ?1 10.因为 3an +1 + a n = 4 ? an +1 ? 1 = ? ( an ? 1) ,所以 a n = 8( ? ) + 1 ,所以用分组求 3 3 1 n 1 和可得 S n = n + 6 ? 6 ? ( ? ) ,所以 S n ? n ? 6 < ? 3n > 750 显然最小整数为 7 . 3 125
二、填空题

11. 6

12. 220
2

13.

3 4
2

14.

5 4

15.

25 3 16
2 2

15 . 由 余 弦 定 理 可 得 c = a + b ? ab , 所 以 3ab = 25 ? a ? b + ab , 化 简 可 得
2

25 = a 2 + b 2 + 2ab ≥ 2ab + 2ab 即
的面积 S = 三、解答题

25 ≥ ab 当且仅当 a = b 时等号成立,所以三角形 ABC 4

1 1 25 3 25 3 25 3 ab sin C ≤ × × = ,所以最大值为 . 2 2 4 2 16 16

16. 解: (Ⅰ)由题意 a1 + 2d = ( a1 + d ) ? 10
2

由 a1 = 2 得 2 + 2d = (2 + d ) 2 ? 10 …………………………3 分 化简得 d + 2d ? 8 = 0 解得 d = 2 或 d = ?4 (舍)
2

所以 an = 2 + ( n ? 1) × 2 = 2n ………………6 分 (Ⅱ)由题意 bn = 2
n ?1

………………8 分

所以 S n = ( a1 + b1 ) + ( a2 + b2 ) + L + ( an + bn )

= (a1 + a2 + L + an ) + (b1 + b2 + L + bn ) = (2 + 4 + L + 2n) + (1 + 2 + L + 2n ?1 ) = n(2 + 2n) 1 ? 2n + = 2n + n 2 + n ? 1 ………13 分 2 1? 2 x1 + x2 + L + xn n
' '2

17.解: (Ⅰ)由题意有 x =

设数据 3 x1 + 2,3 x 2 + 2, L ,3 x n + 2 的平均数和方差分别为 x , s ,则

(3 x1 + 2) + (3 x2 + 2) + L + (3 xn + 2) n 3( x1 + x2 + L + xn ) = + 2 = 3 x + 2 ………5 分 n 1 s '2 = [(3 x1 + 2 ? x ' ) 2 + (3 x2 + 2 ? x ' ) 2 + L + (3 xn + 2 ? x ' ) 2 ] n 1 = [9( x1 ? x)2 + 9( x2 ? x)2 + L + 9( xn ? x) 2 ] = 9 s 2 ……………………………9 分 n x + x2 + L + xn ( x1 + x2 + L + x100 ) + ( x101 + L + xn ) = (Ⅱ) x = 1 n n x' =

100a + (n ? 100)b …………13 分 n 18.解: (Ⅰ)第①处填 S = S + a ? b 第②处填 b = 2b ………………4 分 =
(Ⅱ) n = 4 时, S = 1× 2 + 2 × 2 + 3 × 2 + 4 × 2 = 98 ………………6 分
2 3 4

(Ⅲ) S = 0

i =1 a =1

b=2 WHILE i <= n S = S + a ?b i = i +1 a = a +1 b = 2?b WEND PRINT END
19.解: (Ⅰ)由题意 x ? x > 0 得 x < 0或x > 1 所以 f ( x) 的定义域为 {x | x < 0或x > 1} ……………………4 分
2

………………………13 分

S

(Ⅱ)因为 g ( x) = log 2 ( ax ? a ) ,所以 ax ? a > 0 即 a ( x ? 1) > 0 由于 g ( x) = log 2 ( ax ? a ) 的定义域为 (1,+∞) ,所以 x ? 1 > 0 , 所以 a > 0 ………………6 分 f ( x) > g ( x) 由以上结论可得 x > 1
2

且 x ? x > ax ? a 即 ( x ? 1)( x ? a ) > 0 ①当 0 < a ≤ 1 时, x > 1 ②当 a > 1 时, x > a ………………12 分 20.解:设事件 A 为“ S ≥ 0 ” . 当 0 ≤ a ≤ 3 , 0 ≤ b ≤ 2 时,对 S = sin (Ⅰ)基本事件共 12 个:

a ?b π ≥ 0 成立的条件为 a ≥ b . 3

(0,,,,,,,,,,,,,, ,, ,,,,,,, .其中第一个数表示 a 的 0) (0 1) (0 2) (1 0) (11) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2) (3 0) (3 1) (3 2)

取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 P ( A) =

9 3 = .…………6 分 12 4

, (Ⅱ)试验的全部结束所构成的区域为 ( a,b) | 0 ≤ a ≤ 3 0 ≤ b ≤ 2 .
构成事件 A 的区域为 ( a,b) | 0 ≤ a ≤ 3 0 ≤ b ≤ 2,a ≥ b . ,

{

}

{

}

1 3 × 2 ? × 22 2 2 所以所求的概率为 = = .…………12 分 3× 2 3
21. 解: (Ⅰ)因为 2 S n = a n + a n ……① ,所以 2a1 = a1 + a1 得 a1 = 1或0 (舍)
2
2

且 2 S n ?1 = an ?1 + an ?1 ……②,
2

①-②得 2an = an ? an ?1 + an ? an ?1 化简得 ( an ? an ?1 ? 1)(an + an ?1 ) = 0
2 2

因为数列 {a n } 各项均为正数,所以 an ? an ?1 ? 1 = 0 即 an = an ?1 + 1 所以 {a n } 为等差数列, an = n 经检验, a1 = 1 也符合该式 ………………………………5 分 (Ⅱ)当 n ≥ 3 时,

Tn =

1 1 1 1 + 2 + 2 +L 2 2 n 1 2 3 1 2 2 2 = 1+ ( 2 + 2 +L 2 ) n 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 = (1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + L + 2 + 2 ) n n 2 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 > (1 + 2 1× 2 + 2 2 × 2 + L + 2 × 2 + 2) 2 2 2 2 3 (n ? 1) n n

1 2 2 2 1 = (1 + + +L + + 2) 2 1× 2 2 × 3 (n ? 1) × n n 1 2 2 2 2 2 2 1 = (1 + ? + ? + L + ? + 2) 2 1 2 2 3 (n ? 1) n n 1 2 1 3 1 ? 2n = (3 ? + 2 ) = + 2 n n 2 2n 2
得证…………12 分


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