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第二章 实数---2.4-2.6


实数( 第二章 实数(二)
知识体系】 【知识体系】 1、实数: 2、实数的分类: (1) (2) 3、实数的性质 实数的性质 (1) 任何实数 a,都有一个相反数是

。 。 。 。 。 ,0 的绝对值是 。如︱
3 ︱=

。如 5 的相反数是 (2) 任何非零实数 a,都有倒数是 。如 2 的倒数是 (3) 正实数的绝对值等于 ,负实数的绝对值等于



︱-2 π ︱= ,︱0︱= 。 (4) 正实数 0,负实数 0;两个正实数,绝对值大的数 ;两个负实数,绝对值大的数反而 。 . 4、实数和数轴上的点是 5、无理数的错误认识: (1)无限小数就是无理数,这种说法错误,因为无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类. (2)带根号的数是无理数,这种说法错误; (3)两个无理数的和、差、积、商也还是无理数,这种说法错误; (4)无理数是无限不循环小数,所以无法在数轴上表示出来,这种说法错误,每一个无理数在数轴上都有一个 唯一位置; (5)无理数比有理数少,这种说法错误,虽然无理数在人们生产和生活中用的少一些,但并不能说无理数就少 一些,实际上,无理数也有无穷多个. 6、算术平方根的化简:

最简算术平方根应满足的条件: (1)被开方数的因式是整式或整数; (2)被开方数中不含有能开得尽的因数或因式. 7、实数的运算:在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用。

运算注意事项: (1)算术平方根相加减,先把各根式化为最简算术平方根,再合并同类的根式。 防止:①该化简的没化简;②不该合并的合并;③化简不正确;④合并出错. (2) 算术平方根的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算, 运算结果一定写成最简的形式。 【题型体系】 题型体系】 1、实数的概念 、 关于本知识点主要是考查实数的分类和判断一个数的数性, 常以填空、 选择的形式出现。 在解决这类问题的时候, 我们必须从本质上理解实数的概念和实数的分类思想方法。 例 1、把下列各数分别填入相应的集合里:
3

8 , 3 ,-3.14159,

π
3

, 22 ,- 3 2 ,-
7

7 ,0,-0.020202…,1.414,- 8
(2)有理数集合:{ (4)分数集合:{
1

7 ,1.2112111211112…。

(1)正有理数集合:{ (3)无理数集合:{ (5)实数集合:{

}; }; }。

}; };

练习: 练习: 2 在实数中- ,0, 3 ,-3.14, 4 中无理数有( ) 3 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

2.实数的性质 关于本知识点是中考的热点也是必考内容,主要考查实数的相反数、绝对值、倒数等性质。一般以填空题或选择 题形式出现,所以我们对实数的性质要理解透彻。 ) 例 2、下列结论中正确的个数为( ①零是绝对值最小的实数;② π -3 的相反数是 3- π ;③无理数就是带有根号的数;④- 1 的立方根为± 1 ;
27 3

⑤一个实数的平方根有两个,它们互为相反数;⑥所有的实数都有倒数;⑦ 2 -2 的绝对值是 2- 2 。 A.6 个 B.5 个 C.4 个 D.3 个 练习: 练习: 1、如果 (x-2) 2 =2-x 那么 x 取值范围是( A、x ≤2 B. x <2 C. x ≥2 ) D. x>2

2、 3 的相反数是________,立方等于-64 的数是________。

3.实数和数轴上点的对应关系 . 实数与数轴的关系是中考的必考内容,实数与数轴是数形结合的具体体现。其题型多以填空题、选择题为主,主 要考查数形结合的思想和实数与数轴上的点的一一对应关系,解决这类问题的关键与方法是借助数轴分析,数与 形紧密结合。 例 3、如图,在数轴上点 A 和 B 之间的整数的点有______个。 、

) 例 4、实数 a、b 在数轴上表示如图所示,则下列结论错误的是( A、a+b<0 B、ab<0 C、-b>a D、a-b<0

练习: 练习: 1、当 a 为实数时,
A.原点的右侧 a 2 = -a 则实数 a 在数轴上的对应点在( ) B.原点的左侧 C.原点或原点的右侧 D.原点或原点的左侧

2、实数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示,则下列各式中正确的是( ) A、a+b>b+c B、a-b>b-c C、ac>bc
D、 a > b
c c

3、 “数轴上的点并不都表示有理数,如图 3-3-5 中数轴上的点 P 所表示的数是 2 ” ,这种说明问题的方式体现的 数学思想方法叫做( ) A.代入法 B.换元法 C.数形结合 D.分类讨论
2

4.实数的运算 实数的运算是中考中的必考内容,多以填空、选择和计算的形式出现。 解决这类问题主要把握以下三点:①要明确运算顺序;②须明确运算法则;③讲求灵活多变,熟练运用各种公式 进行计算。 例 5、计算下列各题:

(1)( 2 + 6 ) ? (2 6 + 2 2 )

(2)

( ?2 )

2005

?1? ×? ? ?2?

2006

(3) 2 ×

(

18 + 50

)

(4)(2 3 + 6)(2 3 ? 6)

(5) (

3+ 2

) (
2

?

3? 2

)

2

(6)

9?6 2 3

练习: 练习: 计算: (3 2 -2 3) 2 -(3 2 +2 3) (1) (2) ( 2- 3) 2001 ( 2+ 3) 2002

难点指津: 难点指津:实数大小比较
实数大小的比较:这类题目旨在考查学生比较实数大小的能力和方法,一般以填空、选择的形式来进行考查。其 方法是根据数据特点,灵活运用实数的比较方法进行比较。 1.两个实数大小的比较法则与有理数大小比较法则相同,即正数大于零;零大于负数;正数大于负数;两个正数 绝对值大的则大;两个负数,绝对值大的反而小。 2.数轴上,右边的数总比左边的数大。 3.对于某些带根号的无理数,我们也可以通过以下方法来比较: 方法一 求差法 求差法的基本思路是设 a,b 为任意两个实数,先求出 a 与 b 的差,再根据当 a-b﹥0 时,得到 a﹥b.当 a-b﹤0 时, 得到 a﹤b。.当 a-b=0,得到 a=b。 (1)比较 例 6、 、

3 ?1 1 与 的大小。 5 5

(2)比较 1- 2 与 1- 3 的大小。

方法二 求商法 求商法的基本思路是设 a。b 为任意两个正实数,先求出 a 与 b 得商。 <1 时,a<b,当
3

a b

a a >1 时,a>b.当 =1 b b

时,a=b 来比较 a 与 b 的大小。 例 7、 比较 、

3 ?1 1 与 的大小 5 5

方法三 倒数法 倒数法的基本思路是设 a ,b 为任意两个正实数,先分别求出 a 与 b 得到书,再根据当 与 b 的大小 例 8、 比较 2004 - 2003 与 2005 - 2004 的大小 、

1 1 > 时 a<b,来比较 a a b

方法四 估算法 估算法的基本是思路是设 a.b 为任意两个正实数,先估算出 a,b 两数或两数中某部分的取值范围,再进行比较。 例 9、比较 、

13 ? 3 1 与 的大小 8 8

方法五 平方法 平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方, 再根据 a>0,b>0 时, 可由 a > b 得到 a>b,来比较大小, 这种方法常用于比较无理数的大小。 例 10、 比较 2 + 、
2 2

6 与 3 + 5 的大小

方法六 移动因式法 移动因式法的基本是思路是,当 a>0,b>0,若要比较形如 a b与c d 的大小,可先把根号外的因数 a 与 c 平方后 移入根号内,再根据被开方数的大小进行比较 例 11、比较 2 7 与 3 3 的大小 、 练习: 练习: 1、设 A =

6 + 2, B = 5 + 3, 则 A、B 中数值较小的是



4

2、比较大小: (1) 8 (

)3 ;

( 2) ?

7(

)?

5

基础达标体系 1.1- 2 的相反数是_________。

3.在下列实数中:-

π
2



1 ,︱-3︱,0.80808…,- 3

14

,(

3 0 ) 中,属于无理数的是________。 2
2

4. 化简: ︱-3 2 ︱=________; 3 ? 1 -1︱=________; π -3.14︱=________; 1 =________; 288 =________。 ︱ ︱

5.若 2x-1 +|y-1|=0,那么 x=____,y=____

6.在 3 - 2 的相反数是________,绝对值是______. 7.满足-

3 <x<

2 的整数 x 有________。

8、若实数 a 和 b 的关系为 b= a+5 + -a-5 , 则 ab 的值等于_______

9、下列实数中,是无理数的是 A.0 B.-3.5

( ) C. 2

D. 9

10、 有下列说法: ①有理数和数轴上的点—一对应; ②不带根号的数一定是有理数; ③负数没有立方根; ④- 17 是 17 的平方根,其中正确的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 11.如图所示,数轴上表示 1, 2 的点分别为 A、B。点 B 关于 A 的对称点为 C,则点 C 表示的数是( ) A. 2 -1 B.1- 2 C.2- 2 D. 2 -2

12.下列 3 对等式: ① ? 2 =- 其中都成立的一对是( A.① ) B.②

2 ,3 ? 2 =- 3 2 ;② (?2) 2
C.③

=-2,3 (?2) 3 =-2; ③(

2 ) 2 =2,( 3 2 ) 3 =2,

D.没有

13.把下列各数填入相应集合内:-11, (1)有理数集合:{ (2)无理数集合:{ (3)正实数集合:{

5 ,3

9 ,0, 2 , 3 3 11

343 ,- π

.

,0. 4

}; }; };
5

(4)实数集合:{ 14.计算和化简: (1)

}。



5 ; 12

(2) 24 × 6 ; 8

(3) ( 3 -

1 2

)

2



(4)

20 × 45 -8;

(5) (

5?2 2

)(

5+2 2

)

15.化简:︱ 3 -3 2 ︱+︱ 3 -

2

︱+︱ 2 - 3 ︱。

能力提升题系 1、设 2的整数部分为a,小数部分为b,求-16ab-8b 的立方根。
2

2、已知 x = (

?2 a ? 4+a

a ?3 + 3? a 3? a

)1993 ,求 x 的个位数字。

3、已知实数 a 满足 1999 ? a + a ? 2000 = a, 则a ? 1999 =
2



6

4、设 A= 5 +

7 ,B= 2 + 10 ,则 A、B 中数值较小的是



5、在实数范围内解方程

π ? x + x ? π + 1 ? 2 y = 5.28, 则 x=

,y=

6、若 3 + 5的小数部分是a,3- 5的小数部分是b, 则a + b的值为 ( A、0 B、1 C、-1 D、2



7、已知 x、y 是实数,且 ( x ? y + 1) 与 5 x ? 3 y ? 3互为相反数,求 x + y 的值。
2 2 2

7


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