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北京市朝阳区2013年高三4月第一次综合练习数学理试题


北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试(理工类)
2013.4 (考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. (1) i 为虚数单位,复数 A.

1 2

1 的虚部是 1? i 1 B. ? 2

C. ?

1 i 2

D.

1 i 2

(2)已知集合 M ? x ?2 ? x ? 3 , N ? x lg( x ? 2) ? 0 ,则 M ? N ? A. (?2, ??) B. (?2,3) C.

?

?

?

?

(?2, ?1]

D. [?1,3)

(3)已知向量 OA ? ? 3, ?4 ? , OB ? ? 6, ?3? , OC ? ? 2m, m ? 1? .若 AB / /OC ,则实数 m 的 值为

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

1 3 3 C. ? D. 7 5 5 1 (4)在极坐标系中,直线 ? cos ? ? 与曲线 ? ? 2cos ? 相交于 A, B 两点, O 为极点,则 2 ?AOB 的
A. ?3 B. ? 大小为 A.

? 3

B.

? 2

C.

?? 3
1 1 1

D.

?? 6

(5)在下列命题中, ①“ ? ?

? ”是“ sin ? ? 1 ”的充要条件; 2

x3 1 4 ② ( ? ) 的展开式中的常数项为 2 ; 2 x
③设随机变量 ? ~ N (0,1) ,若

2
正视图

2
侧视图

1 P(? ? 1) ? p ,则 P(?1 ? ? ? 0) ? ? p . 2
其中所有正确命题的序号是 A.② B.③ C.②③ D.①③ (6)某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三 视图如图所示,则这个几何体的体积为 优质教学资源 服务广大考生

2 2
俯视图

A. 4

B. 4 2

C. 6 2

D. 8

(7)抛物线 y 2 ? 2 px ( p > 0 )的焦点为 F ,已知点 A , B 为抛物线上的两个动点,且 满足 ?AFB ? 120? .过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为 N ,则

| MN | 的最大值为 | AB |

A. ( )

3 3
已 知 函 数

B. 1

C.

2 3 3

D. 2

8

f(
0

?) x

2x N*1 x., 若 ? ?

?x0 , n ?N*



使

f(

0

x) ?

f0(? ? ? ) ? x 1

f 成立,则称 ( x0 , n6 为函数 f ( x) 的一个“生成 (? x ?) n ) 3

点”.函数 f ( x ) 的“生成点”共有 A. 1 个 B .2 个 C .3 个 D .4 个

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. (9)在等比数列 ?an ? 中, 2a3 ? a2 a4 ? 0 ,则 a3 ? 则 数列 ?bn ? 的前 5 项和等于 . , ?bn ? 为等差数列,且 b3 ? a3 ,

(10)在 ?ABC 中, a , b , c 分别为角 A , B ,C 所对的边.已知角 A 为锐角,且 b ? 3a sin B , 则 tan A ? . (11)执行如图所示的程序框图,输出的结果 S= . 开始

C D O A

i=0

S=0

S=S+2i-1

i=i+2

B
i≥6 (12)如图,圆 O 是 ?ABC 的外接圆,过点 C 作圆 O 的切 线交 BA 的延长线于点 D .若 CD ? 3 , 是 输出 S 否

AB ? AC ? 2 , 则线段 AD 的长是

; O的 圆

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结束

半径是

.

(13)函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且满足 . f ( x ? 2) ? f ( x) . 当 x ? [0,1] 时 , f ( x)? 2 x 若 在 区 间 [?2,3] 上 方 程

a x 2 a (f )x? 恰有 ? ? 0
四个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是 .

(14)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 是半圆 x 2 ? 4 x ? y 2 ? 0( 2 ≤ x ≤ 4 )上的一 个动点,点 C 在线段 OA 的延长线上.当 OA ? OC ? 20 时,则点 C 的纵坐标的取值范 围是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

??? ??? ? ?

3 ?x 1 sin ? x ? sin 2 ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? . 2 2 2

(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x ) 的取值范围. (16) (本小题满分 13 分)

? 2

1, 盒子中装有四张大小形状均相同的卡片,卡片上分别标有数字 ?1,0,2 .称“从盒中随
机抽取一张,记下卡片上的数字后并放回”为一次试验(设每次试验的结果互不影响) . (Ⅰ)在一次试验中,求卡片上的数字为正数的概率; (Ⅱ)在四次试验中,求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率; (Ⅲ)在两次试验中,记卡片上的数字分别为 ?,? ,试求随机变量 X=? ?? 的分布列与数 学期望 EX . (17) (本小题满分 14 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 平 面 PAC ? 平 面 A B C D 且 P A? A C , ,

PA ? AD ? 2 .四边形 ABCD 满足 BC ? AD , AB ? AD , AB ? BC ? 1 .点 E , F 分别
为侧棱 PB, PC 上的点,且

PE PF ? ?? . PB PC

P

(Ⅰ)求证: EF ? 平面 PAD ;

1 时,求异面直线 BF 与 CD 所成角的余弦值; 2 (Ⅲ)是否存在实数 ? ,使得平面 AFD ? 平面 PCD ?若存在, 试求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅱ)当 ? ? (18) (本小题满分 13 分)

E

F

A 优质教学资源 服务广大考生 B C

D

已知函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? a ln x ? 2a ? 2 ,其中 a ? 2 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 ? 0, 2? 上有且只有一个零点,求实数 a 的取值范围.

(19) (本小题满分 14 分) 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 (1,

3 3 ,点 A 为其右顶 ) ,离心率为 2 2

, 点.过点 B(1 0) 作直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两点,直线 AE , AF 与直线 x ? 3 分别交于
点M ,N . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 EM ? FN 的取值范围. (20) (本小题满分 13 分) 设

???? ???? ?

, 任9 1 个 ? ? ( x1 , x2 ,?, x10 ) 是 数 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7的 8 , 意, 一 0 全 排 列 , 定 义
10

S (? ) ? ? | 2 xk ? 3xk ?1 | ,其中 x11 ? x1 .
k ?1

(Ⅰ)若 ? ? (10,9,8,7,6,5, 4,3, 2,1) ,求 S (? ) 的值; (Ⅱ)求 S (? ) 的最大值; (Ⅲ)求使 S (? ) 达到最大值的所有排列 ? 的个数.

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数学学科测试答案(理工类)
2013.4 一、选择题: 题号 答案 (1) A (2) D (10) (3) A (4) C (11) (5) C (12) 1, 2 (6) D (13) (7) A (8) B (14)

二、填空题: 题号 (9) 答案

2 , 10

2 4

20

2 2 ( , ) 5 3

[?5,5]

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)

?

3 1 sin ? x ? cos ? x 2 2
????????????????4 分 ????????????6 分

? ? sin(? x ? ) . 6
因为 f ( x ) 最小正周期为 ? , 所以 ? ? 2 . 所以 f ( x) ? sin(2 x ? 由 2k ? ?

? ). 6

? ? ? ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? , k ? Z ,得 k ? ? ? x ? k ? ? . 2 6 2 3 6 ? ? 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为[ k ? ? , k ? ? ], k ? Z . ??????8 分 3 6 ? ? ? 7? ], (Ⅱ)因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? ? [ , ?????????????10 分 2 6 6 6 1 ? 所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 . ???????????????12 分 2 6 ? 1 所以函数 f ( x ) 在 [0, ] 上的取值范围是[ ? ,1 ]. ???????????13 分 2 2
(16) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设事件 A:在一次试验中,卡片上的数字为正数,则

P ( A) ?

2 1 ? . 4 2 1 .??????????3 分 2

答:在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是

(Ⅱ)设事件 B:在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数. 优质教学资源 服务广大考生

由(Ⅰ)可知在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是 所以 P ( B ) ? 1 ? [C4 ( ) ? ( ) ? C4
0 0 4 1

1 . 2

1 2

1 2

1 1 3 11 ?( ) ] ? . 2 2 16 11 .?????7 分 16

答:在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为

(Ⅲ)由题意可知, ?,? 的可能取值为 ?1,0,2 ,所以随机变量 X 的可能取值为 1,

?2, ?1 0,2, 4 . ,1,
2 1 ? ; 4? 4 8 7 7 P( X=0) ? ? ; 4 ? 4 16 2 1 P( X =2) ? ? ; 4? 4 8 P( X= ? 2) ?
所以随机变量 X 的分布列为

2 1 ? ; 4? 4 8 2 1 P( X =1) ? ? ; 4? 4 8 1 1 P ( X =4) ? ? . 4 ? 4 16 P ( X= ? 1) ?
?1

X
P

?2

0

1

2

4

7 1 1 1 16 8 8 16 1 1 7 1 1 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 4 ? ? . 所以 E ( X ) = ?2 ? ? 1? ? 0 ? ????????13 分 8 8 16 8 8 16 4
(17) (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)由已知, 所以 EF ? BC . 因为 BC ? AD ,所以 EF ? AD . 而 EF ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD , 所以 EF ? 平面 PAD . (Ⅱ)因为平面 ABCD ? 平面 PAC , 平面 ABCD ? 平面 PAC ? AC ,且 PA ? AC , 所以 PA ? 平面 ABCD . 所以 PA ? AB , PA ? AD . 又因为 AB ? AD , 所以 PA, AB, AD 两两垂直. ????????????????????5 分 ????????????????????4 分

1 8

1 8

PE PF ? ??, PB PC

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如图所示,建立空间直角坐标系, 因为 AB ? BC ? 1 , PA ? AD ? 2 , 所以 A? 0,0,0? ,B ?1,0,0? ,

z x P

C ?1,1,0? , D ? 0,2,0? , P ?0,0,2? .
当? ?

1 时, F 为 PC 中点, 2

E

F

所以 F ( ,

1 1 ,1) , 2 2
??? ? 1 1 , ,1), CD ? (?1,1, 0) . 2 2
B x

A C

D

所以 BF ? (?

??? ?

y x

设异面直线 BF 与 CD 所成的角为 ? ,

1 1 | (? , ,1) ? (?1,1,0) | ??? ??? ? ? 3 2 2 ? 所以 cos ? ?| cos? BF , CD? |? , 3 1 1 ? ?1 ? 2 4 4
所以异面直线 BF 与 CD 所成角的余弦值为

3 .?????????????9 分 3

(Ⅲ)设 F ( x0 , y0 , z0 ) ,则 PF ? ( x0 , y0 , z0 ? 2), PC ? (1,1, ?2) . 由已知 PF ? ? PC ,所以 ( x0 , y0 , z0 ? 2) ? ? (1,1, ?2) ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? x0 ? ? , ? 所以 ? y0 ? ? , ? z ? 2 ? 2 ?. ? 0

所以 AF ? (?, ?,2 ? 2?) .

??? ?

设平面 AFD 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,因为 AD ? ? 0, 2,0 ? ,

????

??? ? ?n1 ? AF ? 0, ? 所以 ? ???? ?n1 ? AD ? 0. ?

即?

?? x1 ? ? y1 ? (2 ? 2? ) z1 ? 0, 2 y1 ? 0. ?

令 z1 ? ? ,得 n1 ? (2? ? 2,0, ? ) . 设平面 PCD 的一个法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,因为 PD ? ? 0, 2, ?2 ? , CD ? ? ?1,1,0 ? ,

??? ?

??? ?

??? ? ?n 2 ? PD ? 0, ? 所以 ? ??? ? ? n 2 ? CD ? 0. ?

即?

? 2 y2 ? 2 z2 ? 0, ? ? x2 ? y2 ? 0.

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令 x2 ? 1 ,则 n2 ? (1,1,1) . 若平面 AFD ? 平面 PCD ,则 n1 ? n2 ? 0 ,所以 (2? ? 2) ? ? ? 0 ,解得 ? ? 所以当 ? ?

2 . 3

2 时,平面 AFD ? 平面 PCD .????????????????14 分 3

(18) (本小题满分 1 3 分) 解:函数定义域为 x x ? 0 , 且 f ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ? ①当 a ? 0 ,即

?

?

a (2 x ? a )( x ? 1) ? . ????2 分 x x

a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ,函数 f ( x) 的单调递减区间为 (0,1) , 2

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (1, ??) .

a a ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 或 x ? 1 , 2 2 a 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) , (1, ??) . 2 a a 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? x ? 1 ,函数 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ,1) . 2 2 a ③当 ? 1 ,即 a ? 2 时, f ?( x) ? 0 恒成立,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) . ?7 分 2
②当 0 ? (Ⅱ)①当 a ? 0 时, 由(Ⅰ)可知, 函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) , f ( x ) 在 (1, 2] 单调递增. 所以 f ( x ) 在 ? 0, 2? 上的最小值为 f (1) ? a ? 1 , 由于 f (

1 1 2 a 1 a ) ? 4 ? 2 ? 2 ? 2 ? ( 2 ? 1) 2 ? 2 ? 1 ? 0 , 2 e e e e e e

要使 f ( x ) 在 ? 0, 2? 上有且只有一个零点, 需满足 f (1) ? 0 或 ?

? f (1) ? 0, 2 . 解得 a ? ?1 或 a ? ? ln 2 ? f (2) ? 0,

②当 0 ? a ? 2 时,由(Ⅰ)可知, (ⅰ)当 a ? 2 时,函数 f ( x ) 在 (0, 2] 上单调递增; 且 f (e ) ? 零点.
?4

1 4 ? ? 2 ? 0, f (2) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,所以 f ( x) 在 ? 0, 2? 上有且只有一个 e8 e 4

a 2 a 又因为 f (1) ? a ? 1 ? 0 ,所以当 x ? ( , 2] 时,总有 f ( x) ? 0 . 2
因为 e
? 2a?2 a

(ⅱ)当 0 ? a ? 2 时,函数 f ( x ) 在 ( ,1) 上单调递减,在 (1, 2] 上单调递增;

?1? a ? 2 ,
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所以 f (e?

2a?2 a

)?e

?

2a?2 a

[e

?

2 a?2 a

? (a ? 2)] ? (a ln e

?

2 a ?2 a

? 2a ? 2) ? 0 .
a 2

所以在区间 (0, ) 内必有零点.又因为 f ( x ) 在 (0, ) 内单调递增, 从而当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 ? 0, 2? 上有且只有一个零点. 综上所述, 0 ? a ? 2 或 a ? ?

a 2

2 或 a ? ?1 时 , f ( x ) 在 ? 0, 2? 上 有 且 只 有 一 个 零 ln 2

点. ??????????????????????????????????13 分 (19) (本小题满分 14 分)

x2 y 2 解: (Ⅰ)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? , a b

? 2 2 2 ?a ? b ? c , ? 3 ? c 依题意得 ? ? , 解得 a 2 ? 4 , b2 ? 1 . 2 ? a 3 ?1 ? a 2 ? 4b 2 ? 1 ?
所以椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)显然点 A(2, 0) .

x2 ? y 2 ? 1 . ??????????????????4 分 4

(1)当直线 l 的斜率不存在时,不妨设点 E 在 x 轴上方,易得 E (1,

3 3 ), F (1, ? ) , 2 2

M (3, ?

???? ??? ? ? 3 3 所以 EM ? FN ? 1 . ), N (3, ) , 2 2

????????????????6 分

(2)当直线 l 的斜率存在时,由题意可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,显然 k ? 0 时,不符 合题意. 由?

? y ? k ( x ? 1), 2 2 2 2 得 (4k ? 1) x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 . 2 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0
8k 2 4k 2 ? 4 , x1 x2 ? 2 . 4k 2 ? 1 4k ? 1

设 E( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

直线 AE , AF 的方程分别为: y ?

y1 y ( x ? 2), y ? 2 ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2

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令 x ? 3 ,则 M (3,

y1 y ), N (3, 2 ) . x1 ? 2 x2 ? 2 ???? y1 (3 ? x1 ) y (3 ? x2 ) ) , FN ? (3 ? x2 , 2 ) . ????????10 分 x2 ? 2 x1 ? 2 y1 (3 ? x1 ) y2 (3 ? x2 ) ? x1 ? 2 x2 ? 2 y1 y2 ) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ] x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

所以 EM ? (3 ? x1 ,

???? ?

所以 EM ? FN ? (3 ? x1 )(3 ? x2 ) ?

???? ??? ? ?

? (3 ? x1 )(3 ? x2 )(1 ?

? (3 ? x1 )(3 ? x2 )(1 ? k 2 ?

? [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9] ? [1 ? k 2 ?

4k 2 ? 4 8k 2 ? 2 ?1 2 4k ? 4 8k ?( 2 ? 3? 2 ? 9) ? (1 ? k 2 ? 42k ? 1 4k ?21 ) 4k ? 4 8k 4k ? 1 4k ? 1 ? 2? 2 ?4 4k 2 ? 1 4k ? 1
2 2

16k 2 ? 5 ?3k 2 ?( 2 ) ? (1 ? ) 4k ? 1 4k 2 ? 16k 2 ? 5 1 ? 1? . ?????????????????12 分 2 16k ? 4 16k 2 ? 4
2

因为 k ? 0 ,所以 16k ? 4 ? 4 ,所以 1 ?
2

???? ???? ? 5 16k 2 ? 5 5 ? ,即 EM ? FN ? (1, ) . 2 4 16k ? 4 4

综上所述, EM ? FN 的取值范围是 [1, ) . ??????????????14 分 (20) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) S (? ) ?

???? ???? ?

5 4

?| 2 x
k ?1

10

k

? 3xk ?1 | ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 28 ? 57 . ??3 分

(Ⅱ)数 10,9,8,7,6,5, 4,3, 2,1 的 2 倍与 3 倍分别如下:

20,18,16,14,12,10,8,6, 4, 2, 30, 27, 24, 21,18,15,12,9,6,3

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其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为 203 ? 72 ? 131,所以 S (? ) ? 131 . 对于排列 ? 0 ? (1,5,6,7, 2,8,3,9, 4,10) ,此时 S (? 0 ) ? 131 , 所以 S (? ) 的最大值为 131 . ???????????????????????8 分 (Ⅲ)由于数 1, 2,3, 4 所产生的 8 个数都是较小的数,而数 7,8,9,10 所产生的 8 个数都是较 大的数, 所以使 S (? ) 取最大值的排列中, 必须保证数 1, 2,3, 4 互不相邻, 7,8,9,10 也 数 互不相邻;而数 5 和 6 既不能排在 7,8,9,10 之一的后面,又不能排在 1, 2,3, 4 之一的前 面.设 x1 ? 1 ,并参照下面的符号排列 1 △○□△○□△○□△○ 其中 2,3, 4 任意填入 3 个□中,有 6 种不同的填法; 7,8,9,10 任意填入 4 个圆圈○中, 共有 24 种不同的填法; 5 填入 4 个△之一中,有 4 种不同的填法; 6 填入 4 个△中, 且当与 5 在同一个△时,既可以在 5 之前又可在 5 之后,共有 5 种不同的填法,所以当

x1 ? 1 时,使 S (? ) 达到最大值的所有排列 ? 的个数为 6 ? 24 ? 4 ? 5 ? 2880 ,由轮换性
知,使 S (? ) 达到最大值的所有排列 ? 的个数为 28800 . ???????????13 分

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