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高中数学必修一人教A版1.2.2函数的表示法(上课用,已修改整理)


复习回顾
设A、B是非空的数集,如果按照某 个确定的对应关系 f ,使对于集合A中 的任意一个数x,在集合B中都有唯一 确定的数 y 和它对应,那么就称 f: A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作: y=f(x),x∈A.

对于函数的意义,应从以下几个方面去理解:

(1)对于自变量x的取值范围A叫做函数y=f(x)
的定义域. (2)对于函数值y组成的集合叫做函数y=f(x) 的值域.(注意:值域是集合B的子集)

(3)从定义域与对应法则理解函数相等 (4)对应法则可以是解析式、 图形、表格等

新课导入
回想函数的表示方法有哪几种?
解析法,列表法,图象法.

用图象表示两个变量之 间的对应关系 列出表格来表示两个变量之间的对应关系
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系

h = 130t - 5t .

2

解析法 图象法

列表法

那么这三种表示方法各自有什么优点呢?面 对实际问题时怎么样选用恰当方法来表示函数呢?

1.2.2

函数的表示法

例 在礼品盒的专卖店里,某种包装盒的单价是3元,

买x (x ? {1, 2, 3,4,5})个包装盒需要y元,试用函数的 三种表示法表示函数. 解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5};

用解析法可将函数y=f(x)表示为 y = 3x, x ? {1, 2, 3,4,5}
用解析法表示函数时一定要写出自变量的取值 范围!

函数的定义域是函数存在的前提,在写函数 解析式的时候,一定要写出函数的定义域. 用列表法可将函数表示为: 笔记本数x 钱数y 1 3 2 6 3 9 4 12 5 15

用图象法可将函数表示为下图:

y y 15
12

9 6
3 0

. . .
1 2 3 4 5 x

.



用描点法画函数图象的一般步骤是什么?本题 中的图象为什么不是一条直线?

思考

列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线).

函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是
直线、折线、离散的点等.

注 意

y = 3x(x ? R) 是连续的直线,但

y = 3x(x ?{1, 2, 3,4,5}) 却是5个离散的点.
所以说在函数概念中,对应关系,定义域, 值域是一个整体.

三种表示方法的特点
解析法
①函数关系清楚、精确; ②容易从自变量的值求出其对应的函数值; ③便于研究函数的性质.

解析法是中学研究函数的主要表达方法. 能形象直观的表示出函数的变化趋势,是今 图象法 后利用数形结合思想解题的基础.

列表法 不必通过计算就知道当自变量取某些值时函
数的对应值,当自变量的值的个数较少时使 用. 列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.

所有的函数都能用解析法表示吗?

例: 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学 年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
成绩
姓名 测试序号

第一次 第二次

第三次 第三次

第五次 第六次

王伟 张城 赵磊 班级平均分

98 90 68 88.2

87 76 65 78.3

91 88 73 85.4

92 75 72 80.3

88 86 75 75.7

95 80 82 82.6

对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做 一个分析.

解:从表中可以知道每位同学在每次测试中的 成绩,但是不容易看出每位同学的成绩的变化情况 .可以将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函 数图像表示出来,如图1,那么就能比较直观地看 到成绩变化的情况.
y

王伟 张城

100 90 80 70 60 0 图1 1

赵磊
班级平均分

2

3

4

5

6

x

y

王伟 张城 赵磊 班级平均分

100 90 80 70 60 0 1 2 3 4 5 6 x

图2

在图2中看到,王伟同学的数学成绩始终高于班 为了更容易的看出学 级平均水平,学习情况比较稳定而且比较优秀 .张诚 生的学习情况,将离散的 同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均水平上下波 点用虚线连接。 动,而且幅度较大.赵磊同学的数学成绩低于平均水 平,但是他的成绩呈曲线上升的趋势,从而表明他的 数学成绩在稳步提高.

例 画出函数y=|x|的图象. 解:y=

x, x≥0 -x, x<0
y
5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 23

图象如下:

x

比较做图方法与前面例题有何不同? 前面的例题采用的是描点法,而现在借助于 已知函数画图象,描点法一般适用于那些复杂的函 数,而对于一些结构比较简单的函数,则通常借 助于一些基本函数的图象来表示.

变式1:作函数y=|x-1|的图像.
y y
5 4 3 2 1 -3 -2 -1 01 2 3

y=|x|
y=|x-1|

4
3 2 1

y=|x - 1| y=|x -1| + 1

x

-3 -2 -1

1 0

2

3

x

变式2:作函数y=|x-1|+1的图像.

例1、某市“招手即停”公共汽车的票价按下列 规则制定: (1)5公里以内(含5公里),票价2元; (2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元 (不足5公里的按5公里计算)。 如果某条线路的总里程为20公里,请根 据题意,写出票价与里程之间的函数解析式, 并画出函数的图象。

它的图象是4条线段 5 (不包括左端点),都平 解:函数解析式为: 行于x轴,如图所示。 4

y

? 2, 0 ? x ? 5 ?3, 5 ? x ? 10 ? y?? ? 4,10 ? x ? 15 ? ?5,15 ? x ? 20
其图像为右图:

3 2

我们把这样的函数 称为分段函数
5 10 15 20

1

O

x

分段函数的概念:
所谓“分段函数”,习惯上指在定义域内的不 同区间上,有不同的对应法则的函数。对它应有以 下基本认识: (1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个 函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值 域是各段值域的并集。 (3)分段函数的作图就是将分段函数在各段上的图 象逐段作出,注意端点处的取舍情况。

如何求分段函数的定义域?值域?如何画分段函 数的图象?

y ? x ? 2 例:1、
? x ? 2, ( x ? 2) ? 2、 f ( x) ? ?4, (?2 ? x ? 2) ? 2 ? x, ( x ? ?2) ?

思考
函数是两个数集之间的一种确定关系,那么现 在将数集扩展到任意集合,那又会得到什么呢?

常见的对应关系:
1. 对于坐标平面内任何一个点A,都有唯一的有序 实数对(x, y)和它对应; 2. 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的 座位与它对应;

3. 长途汽车上的每位乘客都有唯一确定的座位相 对应; 4. 对于任何一个实数,数轴上都有唯一的点和它 对应; 我们把它们称作什么呢? 称对应f: A→B为从集合A到集合B的一个映射.

设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的 对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集 合B中都有惟一确定的元素y与之对应,那么就称对 应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.

B中的对应元素y称为x的像, A中的元素x称为原像, y 记作 f:x
函数概念与映射概念之间有怎样的关系?有什么异同? 函数是从非空数集A到非空数集B的映射.映射是从 集合A到集合B的一种对应关系,这里的集合A、B可以 是数集,也可以是其他集合.函数是一种特殊的映射.

映射f:A→B,可理解为以下几点:
1、映射有三个要素:两个集合、一个对应法则, 三者缺一不可; 2、A中每个元素在B中必有惟一的元素和它对应; 3、A中元素与B中元素的对应关系,可以是:一 对一,多对一,但不能一对多.

判断下面对应关系是不是映射?

A ???? B
求正弦

A ???? B
求平方

300 45
0

1 2 2 2 3 2 1

600 900



3 -3 2 -2 1 -1

9 4

1



A ???? B
开平方

A
1

乘以 2

B
1 2 3 4 5 6

9
4 1

3 -3 2 -2 1 -1

2 3

×



3.设A={1,2,3},B={3,4,5,6,7,8,9},集合A中的元 素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的元素 2x+1对应.这个对应是不是映射? 解:是. A 1 2x+1 B 3 4 5 6 7 8 9

2
3

4.A={0,1,2,4,5},B={0,1,4,9,16,64},集合A中的元
2”和集合B中 素x按照对应法则“f :a b=(a ? 1) ?

的元素对应.这个对应是不是映射? 解:是映射. A 0 1 2 4 5

(a?1)2

B 0 1 4 9 16 64

练习 下列对应关系:
①A ? {1,4,9}, B ? { ?3,?2,?1,1,2,3}, f : x ? x的平方根; ②A ? R, B ? R, f : x ? x的倒数; ③A ? R, B ? R, f : x ? x 2 ? 2; ④A表示平面内周长为 5的所有三角形组 成的集合, B是平面内所有的点的集 合, f : 三 角形 ? 三角形的外心 . 其中A到B是映射的是 (C ) A .①③ B .②④ C .③④ D .②③

1.函数与映射有什么区别和联系?
1.函数是一种特殊的映射; 结论: 2.两个集合中的元素类型有区别; 3.对应的要求有区别.
一一映射:是一种特殊的映射
1.A中的不同元素的像也不同 2.B中的每一个元素都有原像

课堂小结
(1)理解函数的三种表示方法;
(2)在具体的实际问题中能够选用恰当的表 示法来表示函数; (3)注意分段函数的表示方法及其图象的画法; (4)映射的概念.

重要题型
题型一、与分段函数有关的问题

如求值、解不等式、研究函数性质等等,常需
要分类讨论。(以各段的定义域为分类的标准)

练习1.

练习2.已知函数 y ? 2 x ?1 ? 3 x
1、画出函数的图象,并用分段函数的形式表示 2、求函数的值域

例2.已知函数

求f(x+1)

?1 ? , f ( x) ? ? x ? x2 , ?

x?0 x?0

题型二、求函数的解析式
1.配凑法和换元法 例1:求下列函数的解析式. (1)已知f(x)=x2+2,求f(x-1),f(x+2); (2)已知f(x+1)=x2+2x,求f(x). 【思路点拨】 由题目可以获取以下主要信息: ①对应关系f对自变量x起作用,可用代入法求解. ②对应关系f对(x+1)起作用,需要寻找对应关系f怎样

对自变量x起作用,可用配凑法或换元法求解.

结论:

(1)若已知f(x),求f(g(x)),常用代入法.
(2)若已知f(g(x)),求f(x)常用换元法和配凑法. 练习.(1)已知f(x)=x2+x+1,求f(x-1); (2)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x).
【解析】 (1)∵f(x)=x2+x+1

∴f(x-1)=(x-1)2+(x-1)+1
= x2 - x+ 1 (2)∵f(x+1)=x2-3x+2 =(x+1)2-5(x+1)+6 ∴f(x)=x2-5x+6.

例2 已知f(x2+2)=x4+4x2,求f(x)的解析式.
【错解】 ∵f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2-4,

设t=x2+2,则f(t)=t2-4.∴f(x)=x2-4. 【错因】 本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义

域.上面的解法,似乎是无懈可击,然而从其结论,即

f(x)=x2-4来看,并未注明f(x)的定义域,那么按一般理
解,就应认为其定义域是全体实数.但是f(x)=x2-4的定 义域不是全体实数.

事实上,任何一个函数都由定义域、值域和对应 关系f三要素组成.所以,当函数f(g(x))一旦给出,则 其对应关系f就已确定并不可改变,那么f的“管辖范 围”(即g(x)的值域)也就随之确定.因此,我们由

f(g(x))求f(x)时,求得的f(x)的定义域就理应与f(g(x))
中的f的“管辖范围”一致才妥.

x?1 x2 ? 1 1 )? ? 例 3: f ( ,求 f ( x ) 2 x x x

练习:

,求 f ( x )

2.待定系数法 例:求下列函数的解析式: (1)已知f(x)是二次函数,且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x- 1, 求f(x);

(2)已知反比例函数f(x)满足f(3)=-6,求f(x)的解析式

【思路点拨】 函数模型―→设解析式―→列方程组―→确定系 数

【解析】 (1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由 f(0)=2,得 c=2. 由 f(x+1)-f(x)=x-1, 得恒等式 2ax+a+b 1 3 =x-1, 得 a= , b=- .故所求函数的解析式为 2 2 1 2 3 f(x)=2x -2x+2. k k (2)设反比例函数 f(x)= (k≠0), 则 f(3)= = x 3 18 -6,解得 k=-18,故 f(x)=- x .

已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反 比例函数等)求函数解析式,常采用待定系数法, 然后由题设条件求待定系数. 题(1)已知函数为二次函数,由条件列方程组 求解即得待定系数a,b的值.如题(2)设反比例函 数f(x)=k/x(k≠0),由f(3)=-6可得k的值;

3.解函数方程组法

练习:

题型三、画函数图像求值域
例1:作出下列函数图象并求其值域. (1)y=2x2-4x-3(0≤x<3). (2)y=1/x(x≥1).
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息:
①中函数是二次函数,且定义域为[1,3]. ②中定义域为[1,+∞).

解答本题时要注意定义域对图象的影响.
【解析】 (1)因为x∈[0,3),故图象是一段抛物线(如图(1)),

由图象知,y∈[-5,3).

(2)当x=1时,y=1,所画函数图象如图(2);
由图象知,函数值域为(0,1].

(1)图象法是表示函数的方法之一,画函数图象时,以定义域、 对应关系为依据,采用列表、描点法作图.当已知式是一次或二次 式时,可借助一次函数或二次函数的图象帮助作图. (2)作图象时,应标出某此关键点,例如,图象的顶点、端点、 与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点,还是空心点.

变式: 1.本例(1)中,若将函数定义域改为[0,+∞),作

出函数的图象并求其值域;

2.本例(2)中,若将函数定义域改为(-
1,0)∪(0,1),作出函数图象并求其值域.

【解析】

3.作出y=2x2-4x-3 x∈[0,+∞)的图


(如图1)

由图象知函数的值域为[-5,+∞).
4.作出y= ,x∈(-1,0)∪(0,1)的图象(如图2)

由图象知函数的值域为(-1,0)∪(0,+∞).

题型四、映射的问题
1. 已知集合A={x│x≠0,x∈R},B=R,对 应法则是“取负倒数” (1) 画图表示从集合A到集合B的对应(在集 合A中任取四个元素); (2) 判断这个对应是否为从集合A到集合B的 映射;是否为一一映射? (3) 元素-2的象是什么?-3的原象是什么 ? (4) 能不能构成以集合B到集合A的映射?

知识应用
2. 点(x,y)在映射f下的象是(2x-y,2x+y) , (1)求点(2,3)在映射f下的像; (2)求点(4,6)在映射f下的原象. (1)点(2,3)在映射f下的像是(1,7); (2)点(4,6)在映射f下的原象是(5/2,1) 3.设集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a}, 其中a,k∈N,映射f:A→B,使B中元素y=3x+1 与A中元素x对应,求a及k的值.

a=2 , k=5

.判断下列对应是否A到B的映射和一一映 射?

(1) A ? R, B ? R ? , x ? A, f : x ?| x | (2) A ? N , B ? N ? , x ? A, f : x ?| x ? 1 | (3) A ? {x | x ? 2, x ? Z }, B ? { y | y ? 0, y ? N } x ? A, f : x ? y ? x 2 ? 2 x ? 2 (4) A ? [1,2], B ? [a, b](a ? b), x ? A f : x ? y ? (b ? a ) x ? 2a ? b

课堂小测
?x ? 3 1借助图象求函数 y ? ? ?? x ? 5
2 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x

( x ? 1) ( x ? 1)

的最大值 。

求函数 f ( x) 的解析式。

? x 2 ? bx ? c( x ? 0) 3设函数 f ( x) ? ? , 2( x ? 0) ?
若 f (?4) ? f (0), f (?2) ? ?2 ,求方程 f ( x) ? x 的解的个数。


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